"Cijfers zijn veel eerder uitgevonden dan letters. Al in prehistorische tijden kerfden mensen groeven in hout om aantallen vast te leggen, volgens een systeem dat veel lijkt op het tegenwoordige turven. Over de hele wereld kwam men daarbij vanzelf tot gelijksoortige notaties, omdat die het gemakkelijkste zijn aan te brengen in hout."
Gert-Jan C. Lokhorst
Inhoud
Inleiding
Overzicht
De geschiedenis van het tellen
De uitvinding van het grondgetal
De Romeinse cijfers, een slecht systeem
Een Arabische uitvinding
Tellen in de tijd
Alles of niets
Getallen in de techniek
Leven in een chaos
Conclusie
Logboek
Inleiding
Cijfers. We gebruiken ze allemaal. Om te meten, te tellen, te nummeren en te rekenen. Zonder ze komen we nooit op tijd voor een afspraak, weten we niet hoeveel een kubieke meter is, welke bus we moeten nemen en moeten we heel wat langer in de pashokjes staan. Toch staan wij er niet bij stil dat getallen ons leven zo beïnvloeden. Maar wist je dat er heel wat aan af is gegaan om tot 10 te tellen? In het begin wisten mensen niet hoe ze iets konden bijhouden. Als je 2 schapen had ronddartelen in de wei, kon je nog makkelijk zien of ze er nog waren, als ze weer naar de stallen moesten. Maar wat als je een goede schaapherder was en je had 10 schapen? Of 30? Of misschien zelfs 55? Dan is het wel heel moeilijk om al die schapen bij te houden. Met behulp van cijfers is het heel makkelijk om die schapen te tellen. Het stelsel wat wij gebruiken om die nummers op te schrijven is het tientallig stelsel. Waarom gebruiken wij eigenlijk het tientallig stelsel en niet het tweetallig stelsel zoals de computer? Wat is er zo bijzonder aan het getal 0, een getal wat zo gewoon lijkt in ons leven?
Hierop zullen we proberen antwoord te geven in dit werkstuk. Het gaat grotendeels over de getallen zelf, dus minder over wiskunde met al zijn ingenieuze berekeningen en regels. We gaan terug naar de basis; waarom is een getal een getal?
Overzicht
Onderwerp - Getallenstelsels.
Subonderwerpen - Ontstaan van de getallen
- Computers
- Romeins stelsel
- Tijd
- Verschillende soorten stelsels
- Nul en ∞
Hoofdvraag - Waarom werken wij met het tientallig stelsel?
Subvragen - Hoe heeft de mens leren tellen?
- Hoe ontstond het tientallig stelsel?
- Waarom werkte het Romeinse getallenstelsel niet goed?
- Hoe werden de huidige cijfers uitgevonden?
- Waarom gebruiken het 60-tallige stelsel voor de tijd?
- Wat is er zo bijzonder aan het getal nul en ∞?
- Waarom werken computers met een tweetallig stelsel?
- Hoe zou de wereld eruit zien zonder getallen?
De geschiedenis van het tellen
Hoe heeft de mens leren tellen?
We weten niet wanneer, of waar, de eerste mensen begonnen met tellen. Of het nou dertigduizend of driehonderdduizend jaar is begonnen, de mens kan het niet met zekerheid zeggen. De gebeurtenis is verloren gegaan in de prehistorie. Wat we wel zeker weten is dat er ooit een tijd is geweest dat de mens níet kon rekenen. Dit kan makkelijk bewezen worden, omdat er tot op de dag van vandaag nog steeds primitieve volkeren bestaan die niet weten wat een abstract getal inhoud. Bijvoorbeeld bij de Zoeloe's en de Pygmeeën in Africa, en bij de Aborigionals van de Murray Eilanden. "Een", "twee" en "veel" zijn de enige numerieke grootheden die zij kennen. De slimste onder de stammen lukt het wel om drie en vier uit te drukken, als "een-twee" en "twee-twee" bijvoorbeeld, maar daara blijft het ook bij. Na de vier ontstaat onnauwkeurigheid en verwarring, omdat er veel verschillende woorden zijn voor "veel", zoals een massa, een hoop, verscheidene, enzovoort. Het is voor hen nog steeds onmogelijk een getal voor te stellen van groter dan vier, net zoals wij enorme getallen, zoals afstanden in de ruimte, ons nauwelijks kunnen voorstellen.
Eigenlijk beschouwen deze primitieve volkeren het cijfer niet als iets abstracts. Het wordt waargenomen, zoals wij een kleur of een geur waarnemen. Ze zijn er zich niet van bewust dat vijf koeien en vijf paarden een gemeenschappelijke eigenschap vertonen, het feit dat ze allebei met zijn vijven zijn. Dit 'zien' van getallen word 'de directe waarneming van het getal genoemd'. Dit kan niet vergeleken worden met het vermogen tot abstract tellen, dat veel ingewikkelder is. Abstract tellen weerspiegelt de mate van intelligentie die de mens verworven heeft. Het waarnemen van getallen duidt ook op intelligentie, en onderscheid de primitieve volkeren nog steeds van het dierenrijk.
De uitvinding van de eerste getallen
Ook de mens uit de vroegste eeuwen van deze geschiedenis, zeker niet begaafder dan die imboorlingen, zal niet in staat zijn geweest om de getallen op zich te begrijpen, en de mogelijkheid tot tellen zal zich ook beperkt hebben tot globale waarneming zoals die door mensen, dieren en voowerpen werd ingenomen. Ook zij kenden alleen een, twee en veel.
Eer een twee zijn inderdaad de eerste twee cijfers die voor een mens te bevatten was. ‘Een’ was de mens zelf, de persoon. ‘Twee’ was te begrijpen door goed en kwaad, man en vrouw, leven en dood, echt en nep, enzovoorts. Twee was ook rivaliteit, conflict, tegenstelling en tweedeling.
Dat dit de eerste twee begrijpelijke cijfers waren, is vaak bewezen. In sommige talen word nog steeds verschil gemaakt tussen singularis(enkelvoud), dualis(tweevoud) en pluralis(meervoud).
Drie werd door onze verre voorouders ook gebruikt, maar niet op de manier waarop wij hem kennen. Drie stond bij verscheidene volken voor ‘meer dan een of twee’. Zo zette de Egyptenaren drie streepjes onder een hiëroglyfe als ze wilden aanduiden dat het meer dan 1 of 2 moest voorstellen. In het Oud-Chinees werd een bos aangeduidt door drie bomen te tekenen. Een menigte werd uitgebeeld met behulp van drie getekende mensen. In het Frans is er zelfs nu nog duidelijk de overeenkomst tussen ‘trois’ (drie) en ‘trés’ (erg, veel) te zien. In de Engelse taal heb je het woord ‘thrice’ wat ‘driemaal’ of ‘hoogst’ betekent.
Sinds het begin der tellingen is drie dus gebruikt als synoniem voor massa of veel, en dat is lange tijd het limiet voor de telling van de menselijke hersenen geweest.
Zelfs aan een baby is het nog te zien. Tussen de eerste twaalf tot achttien jaar van zijn leven ziet hij alleen het verschil tussen een, twee, en meer. Als de baby na een jaar of drie begint met praten, lijkt het getal drie vaak een knelpunt. Een groot gedeelte van de kinderen slaat de drie over en telt ‘een, twee, vier’.
Wanneer de mens het aantal van een bepaald voorwerp wil weten, kan hij tot ongeveer vier voorwerpen zonder na te denken zien hoeveel het er zijn. Zodra dit getal meer word gaat de mens automatisch tellen.
De eerste echte tellingen
Het begin van het tellen is ongetwijfeld het gevolg geweest van practische problemen in het allerdaagse leven. De mensen, bijvoorbeeld, die schapen en geiten hoedden moesten er zeker van zijn dat ze aan het eind van de dag nog evenveel schapen en geiten haden, als waarmee ze vertrokken waren. Degenen die gereedschappen of wapens opsloegen, of mensen die de voedselvoorraden beheerdden, moesten kunnen verifiëren of de hoeveelheid gereedschap of voedsel op peil waren. En in tijd van oorlog, was het noodzakelijk om te weten hoeveel soldaten een dorp tot zijn beschikking had. Ook handelaars moesten kunnen begroten welke hoeveelheid voedsel of andere koopwaar ze tegen welke hoeveelheid moesten ruilen.
De eerste mensen die telden waren zich er niet van bewust wat voor een grote ontdekking ze hadden gedaan. Het was heel simpel. Voor elk schaap wat in de ochend uit de stal liep, kerfde de herder een streepje op een steen. Aan het einde van de dag zette hij een kras door een streepje voor elk schaap wat terug de stal in liep. Als alle streepjes na het laatste schaap een kras hadden, klopte het.
Veel imboorlingen telden op hun lichaam. Zo konden zij in totaal tot 41 ‘tellen’.
Ondanks dat de mensen telden, snapte zij nog niet de abstracte waarden van het getal. Wat ze wel al zagen is dat wanneer ze aan de ene kant 10 schapen hadden, en aan de andere kant 20, dat de 20 er meer waren. Maar dat het er precies 2 keer zoveel waren werd weer te ingewikkeld.
De bewustwording van de getallen
Een mohammedaanse herder in het Midden Oosten telde zijn schapen door voor ieder schaap een woord van zijn gebed op te zeggen. Maar hij ging verder; bij het laatste schaap onthield hij het woord wat erbij hoorde. Dit was dus een soort van ‘getallenstelsel’. Dit was het begin van de bewustwording van de getallen.
De uitvinding van het grondgetal
Hoe ontstond het tientallig stelsel?
Toen eenmaal het abstracte van de getallen zich aan de mens had geopenbaart, nam hij nog een keer zijn telwerktuigen bij de hand, maar nu keek hij er op een andere manier naar. De mens had door dat je met je verzameling stokjes of steentjes meer kon doen. Je kon ze vergelijken, om uit te maken wie de grootste kudde had binnen een dorp. Je kon ze combineren of juist niet, om je schapen en varkens uit elkaar te halen.
Maar al snel was er een probleem. Om met grotere getallen te gaan werken moest hij bergen steentjes heen en weer gaan slepen. Men kan niet oneindig nieuwe symbolen bedenken. De grote vraag was: hoe kon hij, met gebruikmaking van zo min mogelijk symbolen, grote getallen aanduiden?
Vroeger paste herders in West-Afrika een hele slimme methode toe om hun schapen te tellen. Ze lieten de schapen een voor een langslopen. Bij ieder dier regen ze een schelp aan een witte wollen draad. Bij het tiende schaap haalde ze alle schelpen van de witte draad af, en regen ze er een aan een blauwe draad. Daarna gingen ze weer verder met schelpen aan de witte draad rijgen, tot het twintigste schaap, enzovoort.Bij tien schelpen aan de blauwe draad werd alles eraf gehaald en werd er een schelp aan een rode draad geregen.
Deze primitieve manier van tellen zou later de grondslag worden van ons tientallig stelsel. De pakketjes van schapen die de schelpen moesten voorstellen, zijn nu de tientallen, honderdtallen, enzovoorts.
Het tientallig stelsel word tegenwoordig veruit het meest gebruikt. Het zijn niet te veel getallen om te onthouden, en niet te weinig om enorme getallen te krijgen.
Er zijn veel andere stelsels die in bepaalde opzichten beter zijn, wiskundig gezien. In principe zou het kunnen dat we van stelsel veranderen. Het twaalfcijferige of achtcijferige stelsel is voor onze hersenen even goed te bevatten. Alleen, het zou een eindeloze discussie opleveren tussen experts.
Je hebt practische mensen en theoetische mensen. Practische mensen zouden pleiten voor een grondtal wat door veel andere cijfers deelbaar is, en omdat het een even getal is is het makkelijker te bevatten voor een mens.
Een theoretisch persoon zou een heel ander getal willen. Hij zou een getal willen waarvan de breuken op een eenvoudige en ondubbelzinnige wijze kunnen worden opgeschreven. Met het grondtal elf bijvoorbeeld. De breuken van dit getal zijn namelijk niet herleidbaar, en kunnen maar op een manier worden opgeschreven. Dit is altijd zo als je een priemgetal als grondgetal hebt.
Neem een getal als 0,76. In ons systeem is dit 76/100, 38/50 én 19/25. Dat zou nooit meer het geval kunnen zijn als je een priemgetal als grondgetal hebt.
Maar het is vrijwel onmogelijk om nu nog over te stappen op een ander systeem. De 10 zit er zo ingebakken, zowel in de mensen als in de administratie van van alles, dat we ons nooit zouden kunnen aanpassen. We zouden beter de wereld eens kunnen standaardizeren, zodat iedereen het tientallig stelsel gebruikt, in plaats van alternatieven, zoals ponden en yards.
Maar waar komt het grondtal 10 nu eigenlijk vandaan? Het is eigenlijk heel simpel. Vroeger telden de mensen p hun vingers. Een mens heeft 10 vingers. Daarom is ons grondtal 10. Dat is echt de enige reden dat 10 zo veel gebruikt is. Als de mens 12 vingers zou hebben, zouden we waarschijnlijk nu in dozijnen tellen.
Als stammen hun bizons wilden tellen, maar om rituele redenen niet mochten praten, telden ze dus met hun vingers. Éen persoon deed de eenheeden, een de tientallen, een de honderdtallen, enzovoort. Iedere keer als de eerste bij 10 kwam deed de tweede een vinger erbij. Dit werkte dus hetzelfde als bij het systeem met de schelpjes aan de draden.
De Romeinse cijfers, een slecht systeem
Waarom werkte het Romeinse getallenstelsel niet goed?
Het romeinse getallenstelsel word ‘akrofonisch’ genoemd. Dit betekent dat ze niet uit tekens bestaan, die ontworpen zijn om rekenkundige handelingen mogelijk te maken, maar uit afkortingen, bedoeld om telwoorden op te tekenen en te onthouden. Dat is ook de reden dat Romeinse rekenkundigen altijd gebruik maakten van een rekentafel.
Ook het Romeinse systeem gebruikte het principe van de optelling. Ze hadden echter geen onderling verband tussen hun tekens. In plaats daarvan zette ze een een aantal tekens naast elkaar, en de opsomming van de tekens was het getal.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
CCCLXXXVI = 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 387
MMDCCXXVI = 1000 + 1000 + 500 + 100 + 100 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2726
De Romeinen maakten het zichzelf nog lastiger door een regel toe te voegen, die bepaalde dat wanneer er aan de linkerkant van een cijferteken één of meer cijfers met een lagere waarde stonden, de waarde daarvan van het betreffence cijferteken moest worden afgetrokken. 4 werd bijvoorbeeld IV (5 - 1) in plaats van IIII, en 19 werd XIX (10 – 1 + 10) in plaats van XVIIII.
Het is typisch om te zien, dat een volk wat zo groot is geworden en enorme technische vooruitgangen heeft geboekt, meer dan duizend jaar zo’n onhandig en onnodig ingewikkeld systeem heeft gebruikt.
Op het eerste gezicht lijken de Romeinse cijfers afgeleid van letters uit het Latijnse alfabet, zoals wij die kennen. Maar dat is niet zo. Ze zijn het resultaat van oudere tekens, die niets met letters te maken hadden.
De een was een verticaal streepje, de vijf een scherpe hoek, de tien een kruis, de vijftig een scherpe hoek met een verticaal streepje erin, dde honderd een kruis dat word dorrsneden door een verticale streep, de vijfhonderd een halve, door een kruis doorgesneden cirkel, en de duizend door een doorkruiste cirkel.
Dat in een later staduim de eerste drie voor I, V en X werden verward is duidelijk. De vijftig maakte een ontwikkeling door, en kreeg zijn definitieve vorm pas in de eerste eeuw van Christus. De hogere cijfers hadden te maken met een vergelijkbare evolutie. Vooral de duizend is vaak veranderd.
De Romeinse cijfers zijn dus het resultaat van studies die al honderden jaren eerder zijn ingezet. Vele eeuwen voor Julius Caesar hadden de Entrusken al een cijfersysteem wat heel veel leek op de Romeinse cijfers. De oorsprong van beide systemen is lange tijd onbekend gebleven. Er is pas ontdekt dat di systeem simpelweg voortkomt uit de kerfstok, waarmee mensen tekens in hout zette.
Het is (weer) ontworpen door herders die een nieuwe manier van tellen nodig hadden. Dus bij vijf schapen Zetten ze niet een vijfde streepje neer, maar een V. Daarna gingen ze weer verder met streepjes. Tot ze bij de tien kwamen, daar kwam een X. Dat kwam gelijk mooi overeen met de vingers aan hun handen. Later zijn de andere tekens toegevoegd, steeds met gebruik van hetzelfde systeem.
Iedereen die dit systeem heeft gebruikt is vroeg of laat bij een belangrijke beperking gekomen, de reden dat het Romeinse systeem zo slecht was. Bij grote getallen kreeg je al snel hele grote cijfers. Men kon niet oneindig symbolen verzinnen voor steeds weer een nul erbij.
Een Arabische uitvinding
Wanneer werden onze huidige cijfers uitgevonden?
Sinds in de negende eeuw het Arabisch-Islamitisch rijk uiteengevallen was, maakten Noord-Afrika en het islamitische gedeelte van spanje niet langer deel uit van Bagdad. De betrekkingen tussen de verschillende Arabisch sprekende overheersers was echter niet compleet. Dat was het gevolg van veel pelgrimstochten naar Mekka, van handelscontacten, van oorlog, van volksverhuizingen en van individuele reizigers.
Toen de beginselen van het rekenen eenmaal bekend was geworden onder de Arabieren van het oosten, verspreidde het zich, dankzij de vele betrekkingen, snel over Zuid-Spanje en andere delen van het voormalige Arabische rijk. Ook de Arabieren leerden omgaan met grote getallen. Ze gebruikten veel rekenmethodes uit India.
Ook hun schrijfmethode leek op die van de Indiase methode. Maar in de loop der eeuwen ontwikkelde de tekens zich, en kreeg in veel landen een uiterlijk wat steeds meer ging afwijken van de oorspronkelijke vorm. De Arabieren uit het westen noemden ze de ‘stof-cijfers’, naar het fijne stof waarmee de rekenaars hun rekenplankjes bestrooide om er met een schrijfstift de cijfers in te trekken, en zo berekeningen uit te voeren.
Ondanks de verschillen tussen de tekens (en de volkeren) bleef de gelijkenis toch erg duidelijk. Omdat het Arabische volk in die tijd op wetenschappelijk niveau een niveau haalden die ons in die tijd ver te boven ging, spreken we nog steeds over Arabische cijfers, niet Indiase.
De introductie van Arabische cijfers in Europa
De introductie van de Arabische cijfers in Europa ging niet van de een op de andere dag. Toen de Arabieren de Indiase manier van rekenen onder ogen kreeg, zagen zij gelijk de superioriteit ervan in, en hebben het zo snel mogelijk overgenomen. De koppige Europeanen daaintegen waren zo gehecht aan hun eigen archaïsche systeem, dat zij de voordelen van het Arabische stelsel niet wilden inzien (Archaïsch betekent dat het een stelsel is bedoelt om te tellen, niet om te rekenen). Het zou nog eeuwen duren voordat het archaïsche stelsel het moest afleggen tegen de kracht van het algoritme.
Na de val van het Romeinse Rijk is het onderwijs in Europa heel lang erg primitef gebleven, tot het eind van de Middeleeuwen. De enkelen die werden bevoegd tijd en geld aan school te verkwisten leerden aanvankelijk alleen lezen en schrijven. Later werd hen ook grammatica, dialectiek, retoriek en soms muziektheorie bijgebracht. Vervolgens werden er cursussen sterrenkunde en meetkunde aan toegevoegd. Tergelijkertijd lerrden zij tellen op hun vingers en getallen te noteren in Romeinse cijfers. Maar daar bleef het bij.
In die tijd lag de kunst van het rekenen ook aan alle schoolgangers niet binnen bereik. De rekenaars was een select gezelschap, specialisten, die jarenlange studies over ingewikkeld materiaal hadden genoten, en werkten met een Romeinse rekentafel. Als je in die tijd kon rekenen kreeg je enorm veel respect. Dat bewijst hoe moeilijk rekenen toen was. Een vermenigvuldiging, die je tegenwoordig in groep vier in de basisschool leert, hadden ze vaak veel werk aan. En iedere koopman die een overzicht van zijn verkopen wilde, had zo’n specialist nodig.
In die tijd waren in Europa de Italianen het verst met rekenen. Als je wilde leren optellen en aftrekken, voldeed een school in Frankrijk of Duitsland ook, maar als je wilde vermenigvuldigen, moest je simpelweg naar Italië afreizen. Ze hadden meer cotact met de Arabieren, en specialeerden zich al snel in ingewikkelde berekeningen. Dit is zo gebleven tot de achttiende eeuw.
Het is begrijpelijk dat mensen die konden rekenen als magiërs werden aangekeken. Dit is eigenlijk nog steeds zo. Veel mensen verwarren echter aanleg voor wiskunde, en goed kunnen omgaan met getallen. Verwacht word dat een wiskundegenie in seconden enorme vermenigvuldigingen kan uitrekenen. Dit hoeft lang niet altijd zo te zijn.
Toch hadden de Europeanen een geweldig profijt van de arabische wiskunden kunnen hebben in de tijd van de kruistochten. Maar helaas is het pas veel later doorgekomen. Door toedoen van een Franse monnik, Gerbert d’Aurillac. Hij had een liefde voor studie. Al snel wist hij veel af van sterrenkunde en meetkunde, maar hij wilde meer. Daarom rees hij af naar Spanje om in de leer te gaan bij Arabische rekenmeesters.
Toen hij terugkeerde naar Frankrijk, beheerste hij de Arabische manier van rekenen. Tussen 972 en 982 verbleef hij in Reims, waar hij de leiding kreeg over een grote school. Zijn lessen hadden een grote invloed op de andere schoelen, en wiskunde werd weer interessant. Hij was de man die de Arabische cijfers naar Europa had gehaald.
Jammer genoeg alléén de arabische cijfers. Geen nul en geen Indiase rekenmethoden. Dit kwam omdat hij bij het invoeren daarvan iedere keer op heftige weerstand stuitte. De andere Europeanen konden niet zo makkelijk hun systeem opgeven, wat ze al honderden jaren gebruikte. Daarom werden de Arabische cijfers slechts als vervanging voor de Romeinse cijfers gebruikt. Het rekenen werd wel vereenvoudigd, maar het was nog lang niet zo efficiënt als nu.
Tussen 1095 en 1270 waren er weer kruistochten. Maar de ridders kwamen terug met nieuwe Arabische kennis die de hunne ver te boven ging. In deze tijd was ook de wederopbloei van de wetenschap. Geleerden trokken naar het zuiden om er ook meer van te leren.
En ook hun kwamen enthousiast terug. De methodes die ze gezien hadden werkte zoveel efficiënter. In 1202 stelde Leonardo van pisa, oftewel Fibonacci, alle regels voor het rekenen met de Arabische cijfers vast. Dit stuk werd het slagschip voor alle algoritem-aanhangers en heeft een enorme invloed op de algebra gehad.
In de dertiende eeuw raakte alles in een stroomversnelling. De Arabische rekenmethodes begonnen het te winnen van de traditionele methodes met de rekentafel. Toch werd er nog fel weerstand geboden. De specialisten die nog werketn met de rekenmachine, of de pas uitgevonden abacus, wilde met alle geweld de complexiteit van het rekenen behouden, want zij zagen hun broodwinning in gevaar komen. Ook vonden zij dat de methodes tegen de heilige schriften van de kerk ingingen.
De kerk ging zelfs zo ver om het gerucht te verspreiden dat de Arabische rekenmethodes door de duivel gemaakt moesten zijn. Anders kon het nooit zo makkelijk.
Het gevecht tussen de methodes heeft tot diep in de achttiende eeuw geduurd. Zelfs toen werden berekeningen nog gecontroleerd met rekentafels. Maar toen de Franse revolutie uitbrak was het gedaan met de Abacisten. Het gebruik van de abacus of rekentafel werd op scholen vanaf toen verboden.
Sinds die tijd heeft de wiskunde zich onbelemmerd kunnen ontwikkelen. Hun angstaanjagende vijand was verslagen.
Tellen in de tijd
Waarom gebruiken wij het 60-tallige stelsel voor de tijd?
Het zestigtallig stelsel bestaat al minstens 4000 jaar. In Babylonië, het tegenwoordige Irak, bestond toen een hoogontwikkelde cultuur. Veel kleitabletten met spijkerschrift uit die periode zijn opgegraven, en daarbij zijn ook een aantal met wiskundige problemen en berekeningen in het zestigtallig stelsel. Het zestigtallig stelsel werd toen nog niet voor tijd gebruikt en voor hoeken, maar wel voor aantallen, lengtes en oppervlaktes.
Voor het schrijven van getallen gebruikten de Babylonische wiskundigen twee symbolen: de spijker, met waarde 1, en de winkelhaak, met waarde 10. Het getal '59' schreven zij als vijf winkelhaken, gevolgd door 9 spijkers. Voor grotere getallen werkte hun systeem zestigtallig. Een voorbeeld: Ons getal '500' is 480 plus 20, en 480 = 8 maal 60, dus 500 = 8 maal 60 plus 20. De Babyloniers schreven ons getal 500 daarom als acht spijkers (het getal 8), en daarna twee winkelhaken (het getal 20).
Er waren twee moeilijkheden met dit systeem. De eerste was, dat de oude Babyloniërs geen teken voor de nul hadden. Als er één spijker staat, en verder niets, dan kan dat 1 betekenen, maar ook 60. Een tweede moeilijkheid komt doordat zij precies hetzelfde systeem gebruikten voor breuken, en geen teken hadden om het gehele deel van een getal van het breukdeel te scheiden. 8 spijkers en 2 winkelhaken kan daarom behalve 500 ook 8 20/60 betekenen. Blijkbaar waren deze dubbelzinnigheden voor hen niet zo'n probleem omdat uit de context wel bleek wat de bedoeling was. Dat veranderde pas 1500 jaar later, en dat heeft te maken met de ontwikkeling van de sterrenkunde.
Omstreeks 750 voor Christus begon men in Babylonië systematisch sterrekundige waarnemingen te doen, en de resultaten in archieven (van kleitabletten) vast te leggen. Dit hield men eeuwen lang vol, dus ook ten tijde van Nebukadnezar en de Babylonische ballingschap moeten deze waarnemingen gedaan zijn.
Al gauw werden daarbij een paar regelmatigheden duidelijk; zo was er vaak 223 maanden (iets meer dan 18 jaar) na een maansverduistering opnieuw een maansverduistering. In de vierde eeuw voor Christus zijn een paar geniale Babylonische wiskundigen met dit materiaal aan de gang gegaan. Zij hebben methoden ontwikkeld om tijd en positie van diverse hemelverschijnselen te kunnen voorspellen. Niet alleen posities van de zon en de planeten, maar ook volle en nieuwe maan en het moment na nieuwe maan waarop de jonge maansikkel voor het eerst aan de avondhemel verschijnt. Dit was belangrijk voor de Babylonische kalender omdat het verschijnen van de maansikkel het begin van een nieuwe maand aangaf, net als in de Joodse en Islamitische kalender. De maan is een hemellichaam met een heel moeilijke beweging, en de Babylonische voorspellingsmethoden zitten uiterst geraffineerd in elkaar.
We keren nu terug naar het zestigtallig stelsel. De sterrekundige berekeningen waren zo ingewikkeld dat het oude system niet langer voldeed. Er werd nu een symbool voor de nul ingevoerd, en verder werden de berekeningen netjes in kolommen onder elkaar gezet, zodat je steeds weet welk getal bedoeld wordt. Nu ontstaat ook de methode om met hoeken te rekenen in graden, minuten en seconden.
De Babyloniërs hadden ontdekt dat het pad van de zon tussen de vaste sterren een cirkel was met de aarde als middelpunt, dat is de dierenriem. Zij wisten dat de maan en de planeten ook altijd in de buurt van de dierenriem staan. Zij verdeelden de dierenriem in 360 graden. Men vermoedt dat dat getal gekozen is, omdat men graag wilde dat de beweging van de zon in één dag ongeveer één graad is. Dan moet de hele cirkel dus ongeveer 365 graden zijn, en 360 is een veelvoud van 60 dat hier mooi in de buurt ligt. Omdat de Babyloniërs in het zestigtallig stelsel rekenden, werd elke graad in 60 minuten en elke minuut in 60 seconden verdeeld. Niet alleen de dierenriem naar ook elke andere cirkel kan in 360 gelijke delen verdeeld worden, en zo kun je ook een volledige omwenteling in 360 graden verdelen. Dit idee werd gebruikt voor het verdelen van de tijd. Het hemelgewelf draait namelijk in één dag om de aarde, om een denkbeeldige as door de poolster. Men verdeelde zo'n totale omwenteling (de moderne sterredag) in 360 'tijdgraden', en uiteraard 1 tijdgraad in 60 tijdminuten, enzovoort. 1 'tijdgraad' is dus de tijd die de hemel nodig heeft om 1 graad verder te draaien, en dit komt ongeveer overeen met 4 van onze klokminuten.
Na de verovering van Babylon door Alexander de Grote hebben de Griekse sterrekundigen de verdeling van de cirkel in 360 graden en de verdeling van de dag in 360 tijdgraden overgenomen. Daarnaast gebruikte men ook een verdeling van een etmaal in 24 gelijke uren, die gebruikelijk was in Egypte. In de late middeleeuwen is door de ontwikkeling van klokken met wijzerplaten een soort synthese ontstaan uit tijdgraden en uren. Een dag is 24 uren, maar met de uren wordt in het zestigtallig stelsel gerekend. Er zijn in de vorige eeuw en het begin van deze eeuw wel pogingen gedaan om het zestigtallig stelsel af te schaffen en decimaal te gaan rekenen met tijd en hoeken, maar zonder succes. Naar het zich laat aanzien zal de Babylonische traditie wel gehandhaafd blijven.
Het is ook gewoon het makkelijste stelsel voor tijd. Het aantal uren in een dag is tweemaal het grondtal. Het aantal minuten in een uur is vijf maal het grondtal, net zoals het aantal seconden in een minuut.
Alles of niets
Wat is er zo bijzonder aan ‘nul’ en ‘oneindig’?
Plaats-waarde systeem
Het woord voor ‘nul’ bestaat al heel lang. Sinds de tijd dat wij gingen rekenen (voornamelijk tellen) hadden we iets nodig om aan te geven dat onze bessen op waren of alle schapen waren weggelopen. Uit dat opzicht is het getal 0 helemaal niet belangrijk. Het bijzondere komt pas om de hoek kijken rond de tijd dat we daadwerkelijk die nul ook op gingen schrijven.
Laten we als voorbeeld de Romeinse methode nemen. Als je 2 cijfers bij elkaar wilt optellen, 19 en 43. In onze notatie zou dat 62 worden, dat is heel makkelijk te doen. Nu in het Romeins: XIX en XLIII. Als we dat bij elkaar optellen, krijgen we LXII. Dat zie je niet zo snel. Nu gaan we de cijfers vermenigvuldigen: 19*43=817, dat gaat nog wel. Maar nu in het Romeins: XIX*XLIII=DCCCXVII ! Dat is al helemaal niet te doen.
De oude methoden om getallen weer te geven hadden het nadeel dat er verschillende symbolen werden gebruikt om verschillende grootheden, zoals vijftallen, tientallen en honderdtallen, weer te geven. Dat betekende dat elke keer een symbool moest worden verzonnen voor hogere getallen. Dat maakte het rekenen ongelooflijk lastig en de getallen werden snel erg lang. Je zal begrijpen dat rekenen tot in de middeleeuwen als een duistere en geheimzinnige bezigheid werd gezien, omdat maar heel weinig dat mensen konden.
Geleidelijk aan ontdekte men echter dat het overbodig is om er zoveel verschillende symbolen op na te houden. Zo ontstonden de plaats-waarde systemen, waarin de waarde van een cijfer wordt bepaald door de plaats die het inneemt in een rijtje cijfers. Dat betekent dat er geen nieuwe symbolen bedacht moesten worden als het cijfer te groot werd. Dit komt doordat de grootte van het getal afhangt van de plek waar hij staat en omdat er oneindig aantal plaatsen zijn, kan je elk getal die je maar kan verzinnen, opschrijven. Zie verder voor meer oneindigheid.
Onze hedendaagse manier om getallen te noteren wordt vaak het "Arabische" getallenschrift genoemd, maar dat is eigenlijk niet terecht. De Arabieren waren slechts degenen die dit systeem in de tiende eeuw aan ons doorgaven. De werkelijke uitvinding vond plaats in India; in het Arabisch spreekt men dan ook niet van de "Arabische", maar van de "Hindoe" getallen. Er zijn al geschriften uit de zevende eeuw waarin met precies dezelfde notatie wordt gewerkt als de onze. Zelfs de vormen van de cijfers zijn in de tussenliggende dertien eeuwen nauwelijks veranderd.
Hierdoor veranderde het rekenen in één klap van een duistere bezigheid in kinderspel. Het Indiase systeem verspreidde zich naar China en de Arabische wereld, en van daaruit heeft het de gehele wereld veroverd. Leuk feit: ons woord "cijfer" is rechtstreeks afkomstig uit de Arabische benaming van de nul, "sifr", die op haar beurt weer een vertaling is van de Sanskrit-term "soenja" (nul, leegte).
Omdat in het plaats-waarde systeem de plek van het cijfer bepalend is voor zijn waarde, moesten ze zorgen dat er een ‘spatie’ moest komen. Eerst werd dat geschreven als een punt, en later werd dit symbool vervolgens door een rondje vervangen. Rond deze tijd (ongeveer 500/ 800 voor Christus) werd de nul ook niet gezien als een echt getal, maar als een afstandhoudertje tussen cijfers. Later werd pas het belang gezien van de nul als een echt cijfer, toen men met negatieve getallen ging bezig houden.
Nul?
Toen ze die nul als een echt cijfer gingen zien, kwamen er veel opmerkelijke dingen naar voren. Zoals dat de nul niet deelbaar is. Verzin maar eens een getal en deel de nul door dat getal en je krijgt oneindig. Met vermenigvuldigen krijg je altijd de nul terug. Ook zoiets: als je de nul optelt of aftrekt bij een ander getal, blijft dat getal staan. Ook bijzonder was dat een getal tot de nulde geen oplossing had. Om berekeningen te vereenvoudigen is er afgesproken dat een willekeurig getal tot de macht 0 altijd 1 zou worden. Geen enkel ander cijfer kan een willekeurig cijfer zo veranderen. Dit zijn de 4 aspecten van de nul waardoor het getal zo bijzonder is.
En hoe zit het dan met even en oneven? Is de nul nou oneven of even? Een getal is even als er een getal bestaat dat 2x dat getal is, dus m=2n. Omdat 0 hetzelfde is als 2*0, is de nul een even getal. Maar het kan ook zo zijn dat nul geen van beide is, omdat het zo’n speciaal getal is. En eigenlijk is het geen getal, want de nul geeft niks aan, de leegheid, het niets. De wetenschap is er nog niet over uit: even, oneven of geen van beide?
Leuke feit: Toen Gandhi, de spirituele leider van Indiase onafhankelijkheid, gevraagd was of hij geen ambitie had, zei hij: "O nee! Ik ben de meest ambitieuze man in de wereld. Ik wil mijzelf nul maken!"
De oneindige: ∞
In het begin in het geschiedenis van wiskunde was het een taboe om over oneindigheid te praten. Wiskundigen vonden het gewoon niet gepast om er over te praten, omdat het zo moeilijk te bevatten was. Dit kwam voor het grootste deel door de stelling dat er geen grootheid te bedenken is, waarvoor je oneindigheid nodig hebt.
Deze stelling van Aristoteles werd door Galileo ondermijnd door de gedachte dat als je van de set van natuurlijke getallen de helft weg haalt, de uitkomst een even grote rij van natuurlijke nummers is (Natuurlijke getallen zijn hele getallen boven de 0). Dat kan je zien door bijvoorbeeld alle oneven nummers weg te halen, en alle even nummers te paren met 2x die waarde, Met andere woorden n=2n. Voorbeeld:
Even getal 2 4 6 8
Dubbel getal 4 8 12 16
Als er een eindig aantal getallen waren, zou voor sommige getallen geen dubbele bestaan. Wat Galileo niet wist is dat hij op het principe gestuit was waarom hedendaagse wiskundigen oneindigheid definiëren, terwijl hijzelf deze methode te ver gezocht vond. Hij zei dat het een paradox was, en sindsdien heet die paradox de “Galileo paradox”.
John Wallis
pa•ra•´dox (de ~ (m.))
schijnbare tegenspraak [b.v. het geluid van de stilte, vele eersten zullen de laatsten zijn]
In de zeventiende en achttiende eeuw gingen steeds meer wiskundigen geloven in de oneindigheid van getallen. De engelse wiskundige John Wallis was de eerste die de ‘liefdesknoop’ of de ‘lazy eight’ in zijn boek ‘Arithmetica infinitorum’ gepubliceerd in 1665 als symbool voor de oneindigheid gebruikte.
Om even terug te komen op Galileo’s paradox, er was nog niet bewezen of oneindig nou bestaat of niet. Na heel veel gekibbel van de twee kampen, verscheen een persoon die alles zou doen veranderen. Hij heette Georg Cantor en hij had een scriptie gepubliceerd in 1874. Die scriptie bevatte een theorie om voor eens en altijd te bewijzen dat oneindigheid bestaat.
Bedenk eens dat je niet verder dan drie kan tellen (het is moeilijk voor te stellen, maar er is een tijd geweest wanneer dat ook echt zo was!), hoe weet je nou dat er even veel vingers aan de rechter- en je linkerhand zat? Kijk nu eens naar je handen. Leg je vingers op elkaar zo, dat je duimen elkaar aanraken en de rest van je vingers. Je ziet dat er geen vingers overblijven. Je weet nog steeds niet hoeveel vingers je hebt, maar je weet wel dat elke hand dezelfde aantal vingers bezit.
Als we nu weer naar Galileo’s paradox kijken, zien we dit:
Dit betekent dat de set, waarbij alle natuurlijke getallen in zitten, dezelfde grootte heeft als de set waarbij maar de helft van alle natuurlijke getallen inzitten.
Nu gaan we kijken naar de reële getallen. Reële getallen zijn alle getallen die je maar kunt bedenken, of ze nou negatief of positief zijn, klein of groot. Kan je die reële getallen ook zo neerzetten tegen de natuurlijke getallen? Als we weer hetzelfde doen ziet het er zo uit.
Waarbij de linkerset de natuurlijke getallen voorstelt en de rechter de reële. Wat je dan krijgt is een volledige set van getallen. Nu komt Cantor weer om de hoek kijken. Hij zei dat er altijd een reëel getal bestaat, die niet in die lijst voor komt. Hij redeneerde zo: Pak van het eerste reële getal in de set een andere decimaal, en pak van het volgende getal een andere decimaal voor het tweede decimaal van ons nieuwe getal:
Nu vragen we ons af: staat het verkregen reële getal op de lijst? Hij kan niet hetzelfde zijn als de het eerste getal in de lijst, want de eerste decimaal is anders. Zo is het dus ook voor het tweede getal, omdat de tweede decimaal anders is dan de tweede decimaal van ons nieuwe getal. Zo zien we dat ons nieuwe getal niet op onze lijst voorkomt, want het nieuwe getal verschilt minstens één decimaal van elke getal in die lijst.
MAAR - we zeiden dat die lijst een oneindige lijst was van getallen. Wat een paradox. Dat betekend dus, dat een set van reële getallen een grotere oneindige heeft dan een set van natuurlijke getallen.
Je kan natuurlijk zeggen: waarom gooi je dat getal dan niet erbij? Omdat we dan het proces opnieuw kunnen herhalen, waarbij we weer een nieuw getal hebben, die we weer aan de set kunnen toevoegen, enz. Dat gaat oneindig lang door. Voor de grootte van oneindigheid hebben we een woord: cardinaliteit. We zeggen dat de cardinaliteit van de set reële getallen groter is dan de cardinaliteit van de set van natuurlijke getallen.
Hieruit volgt Cantor’s theorie:
Als X een set is, dan bestaat er minstens één set, de kracht van X, wat cardinaal groter is dan X.
Even as the finite encloses an infinite series,
And in the unlimited limits appear,
So the soul of immensity dwells in minut
And in the narrowest limits, no limits inhere.
What joy to discern the minute in infinity!
The vast to perceive in the small, what Divinity!
-Jakob Bernoulli
Getallen in de techniek
Waarom werken computers met een tweetallig stelsel?
de pascaline
De idee van een computer heeft al een respectabele geschiedenis. Het begon allemaal met de rekenmachine, het neefje van de computer. In 1642 werd een eerste mechanische rekenmachine ontwikkeld en gebouwd door Charles Babbage. Deze Pascaline werd ontworpen voor babbage’s vader die veel en lange berekeningen moest maken door zijn baan bij de belastingdienst. Het kon optellen en aftrekken. De Pascaline werkt volgens hetzelfde principe als een kilometerteller. Ook de tellertjes op een oude cassetterecorder werken zo.
De allereerste programmeerbare machines waren geen rekenapparaten maar weefgetouwen. In 1801 kwam een eerste vorm van computer in gebruik. Toen vond Joseph-Marie Jacquard een weefgetouw uit, dat door ponskaarten werd geprogrammeerd. Ponskaarten zijn kaarten (uit hout, karton of metaal) met gaatjes. Door aan een soort wiel te draaien, vielen er in de gaatjes pinnen die aan andere dingen vastzaten. Hierdoor wist de machine wat voor patronen er geweven moest worden. De gaten in de platen vormden als het ware de programmering van het toestel. Wilde men met een ander patroon weven, dan stopte men eenvoudig een andere plaat (ponskaart) in de machine.
de werking van de pascaline
Het principe van de ponskaart vind je nu nog terug in de werking van een draaiorgel in de straat. Men gebruikt hiervoor muziekboeken. Deze boeken bestaan uit ponskaarten die achter elkaar een lied vormen.
De eerste elektronische computer was de ENIAC(Electronic Numerical Integrator and Calculator), die in 1946 door het Amerikaanse leger werd gebouwd. De ENIAC was 30 meter lang, 3 meter hoog en 1 meter diep. Hij woog 30.000 kilo, had 500.000 gesoldeerde punten en was uitgerust met 18.000 radiobuizen.
Nu we bij de elektronische rekenmachines zijn aangekomen, zien wij dat de rekenmachines van toen radiobuizen gebruikten. Radiobuizen zijn een soort lampen, de voorlopers van transistors. Radiobuizen verbruikten veel energie en gingen snel kapot. Ze moesten een vervanging zorgen voor die energieslurpende dingen en in was het zo ver: de transistor werd uitgevonden.
Leuke feit: door de hitte die radiobuizen afgeven, kwamen er veel vliegjes en andere insecten op de radiobuizen af. Die insecten, bugs in het engels, zorgden voor onverklaarbare storingen. Daar komt de tegenwoordige benaming vandaan als er een fout in de programmering of in de computer zelf zit.
Die radiobuis, wat later de transistor zou worden, is het antwoord op onze vraag. Zo’n transistor doet maar 2 dingen: hij laat elektriciteit wel of niet door. Als je dat in cijfers moet weergeven, is het makkelijkst als je de 0 neemt voor ‘geen elektriciteit’ en 1 voor ‘elektriciteit’. Zo’n getallenstelsel met maar 2 waardes heet een binair getallenstelsel. En zo zijn wij dus bij het tweetallig (=binair) getallenstelsel aangekomen. Doordat de mensen een ‘schakelaartje’ gingen stoppen in de computers, werken de tegenwoordige computers met een binair getallenstelsel. Die transistors zitten nog steeds in je computer. Zij bevinden zich in de processor. De nieuwste processors hebben ongeveer 220 miljoen transistors op ± 7 cm. En ze worden nog steeds verbeterd en verkleind.
Als we toch bezig zijn, waarom is een computer eigenlijk digitaal? Slaat dat ook op de transistor?
Eigenlijk wel. Het begrip digitaal duidt op het gebruik van discrete getallen (ook wel natuurlijke getallen genoemd, zie ‘Wat is er zo bijzonder aan het getal nul en ∞?’). 0 en 1 zijn discrete getallen en daarom wordt een computer digitaal genoemd.
Leven in een chaos
Hoe zou de wereld eruit zien zonder getallen?
Wat zijn cijfers toch makkelijk. Als we boodschappen gaan doen, als we telefoneren, als we in het verkeer zitten, we gebruiken cijfers. We kunnen er allemaal wonderlijke dingen mee doen, zonder dat we erbij stil staan.
Een leven zonder getallen is voor ons niet te bevatten. Geen getallen betekent geen besef van tijd, ruimte of afstand. Het metriek stelsel zou overbodig zijn. Het is simpel: zonder getallen zouden we nu nog net zo primiief leven als onze verre voorouders.
Een wereld met intelligente wezens erop, maar zonder getallen is echter zeer onrealistisch. Om dingen te kunnen bewerkstelligen heb je afspraken nodig. En voor afspaken heb je dikwijls getallen nodig. Als de mens opnieuw moest beginnen met alles ontdekken en uitvinden, zal de telling onherroepelijk weer als een van de eerste dingen ontdekt worden. Een telling is gewoon essentieel als je een zekere mate van orde in de chaos van het leven op aarde wilt creëren.
Conclusie
De hoofdvraag was: Waarom gebruiken wij het tientallig stelsel?
Het antwoord blijkt heel simpel. Wij gebruiken het tientallig stelsel, omdat we tien vingers hebben. Toevallig dus. Het grondtal 10 is een redelijk goed getal om mee te werken. Het gebruikt niet te veel symbolen, maar wel genoeg om niet al te grote getallen te krijgen. Maar een twaalfcijferig of achtcijferig stelsel was theoretisch beter geweest.
Tijdens het maken van het stuk kwam ik op een tweede hoofdvraag: Is ons systeem nou af?
Het antwoord daarvan ligt wat ingewikkelder. Volgens analisten is het af. Het is een simpel systeem, en je kan er alles mee doen wat je wilt. Wiskundigen vinden het echter niet af. Zij stellen dat het niet af is zolang het niet voor 100 procent geanalyseerd is. Zolang er nog formules en verbanden bestaan die wij nog niet gevonden hebben, is het niet af.
Behalve het tiencijferige stelsel hebben er vele anderen bestaan. Stelsels van 2, 8, 12, 16 of zelfs 60 cijfers werken even goed, al dan niet beter. Maar de mens heeft de 10 omarmd, en zal hem niet snel loslaten.
Vervolg
Als vervolg zouden we over andere getallenstelsels kunnen praten. Het onderwerp is erg uitgebreid. Te uitgebreid voor een werkstuk. De geschiedenis van de getallen zit vol gebeurtenisjes, die bij elkaar tot de grote veranderingen hebben geleid.
Ook is er veel te vertellen over de strijd tussen de Abacisten en de Logaritme-aanhangers. Deze strijd heeft eeuwen geduurd, met veel interrestante ontwikkelingen. Maar dat is misschien voor een volgend werkstuk.
Logboek
Datum Persoon Omschrijving SLU
23-08-2002 Dennis + Stefan Begonnen met hoofdvragen en deelvragen formuleren. 1
03-09-2002 Dennis + Stefan Vragen verder uitgewerkt en begonnen aan een goede indeling 1
16-01-2003 Stefan Begonnen met enkele deelvragen 2
18-01-2003 Dennis Begonnen met algemene informatie te zoeken 5
30-01-2003 Stefan Eerste deelvragen afgerond 4
23-02-2003 Dennis Begonnen met deelvragen 3
01-03-2003 Dennis ‘Tellen in de tijd’ afgerond 2
03-03-2003 Stefan 3 deelvragen afgerond 5
08-03-2002 Stefan ‘Getallen in de techniek’ afgerond 2
09-03-2002 Dennis Alles samengevoegd, conclusie getrokken en laatste wijzigingen aangebracht 3
We zijn te laat begonnen met werken. We hebben het toch nog afgekregen, en dit is een goede les gebleken, omdat we dit nooit nog een keer willen meemaken.
Bronvermelding
- De Wereld van het Getal – Georges Ifrah
- From One to Zero - Georges Ifrah
- De Man die van Getallen hield – Paul Hoffman
- www.wisfaq.nl
- Diverse kleine bronnen op het internet
We ontdekten dat er nog niet erg veel boeken over dit onderwerp bestaan. Het boek ‘De Wereld van het Getal’ is echter zeer compleet, en heeft goed geholpen. Op internet is er wel veel over te vinden, maar zoals vaak op internet, gaat het meestal om samenvattingen, terwijl wij uitgebreidere stukken zochten.
Gert-Jan C. Lokhorst
Inhoud
Inleiding
Overzicht
De geschiedenis van het tellen
De uitvinding van het grondgetal
Een Arabische uitvinding
Tellen in de tijd
Alles of niets
Getallen in de techniek
Leven in een chaos
Conclusie
Logboek
Inleiding
Cijfers. We gebruiken ze allemaal. Om te meten, te tellen, te nummeren en te rekenen. Zonder ze komen we nooit op tijd voor een afspraak, weten we niet hoeveel een kubieke meter is, welke bus we moeten nemen en moeten we heel wat langer in de pashokjes staan. Toch staan wij er niet bij stil dat getallen ons leven zo beïnvloeden. Maar wist je dat er heel wat aan af is gegaan om tot 10 te tellen? In het begin wisten mensen niet hoe ze iets konden bijhouden. Als je 2 schapen had ronddartelen in de wei, kon je nog makkelijk zien of ze er nog waren, als ze weer naar de stallen moesten. Maar wat als je een goede schaapherder was en je had 10 schapen? Of 30? Of misschien zelfs 55? Dan is het wel heel moeilijk om al die schapen bij te houden. Met behulp van cijfers is het heel makkelijk om die schapen te tellen. Het stelsel wat wij gebruiken om die nummers op te schrijven is het tientallig stelsel. Waarom gebruiken wij eigenlijk het tientallig stelsel en niet het tweetallig stelsel zoals de computer? Wat is er zo bijzonder aan het getal 0, een getal wat zo gewoon lijkt in ons leven?
Hierop zullen we proberen antwoord te geven in dit werkstuk. Het gaat grotendeels over de getallen zelf, dus minder over wiskunde met al zijn ingenieuze berekeningen en regels. We gaan terug naar de basis; waarom is een getal een getal?
Onderwerp - Getallenstelsels.
Subonderwerpen - Ontstaan van de getallen
- Computers
- Romeins stelsel
- Tijd
- Verschillende soorten stelsels
- Nul en ∞
Hoofdvraag - Waarom werken wij met het tientallig stelsel?
Subvragen - Hoe heeft de mens leren tellen?
- Hoe ontstond het tientallig stelsel?
- Waarom werkte het Romeinse getallenstelsel niet goed?
- Hoe werden de huidige cijfers uitgevonden?
- Waarom gebruiken het 60-tallige stelsel voor de tijd?
- Wat is er zo bijzonder aan het getal nul en ∞?
- Waarom werken computers met een tweetallig stelsel?
- Hoe zou de wereld eruit zien zonder getallen?
Hoe heeft de mens leren tellen?
We weten niet wanneer, of waar, de eerste mensen begonnen met tellen. Of het nou dertigduizend of driehonderdduizend jaar is begonnen, de mens kan het niet met zekerheid zeggen. De gebeurtenis is verloren gegaan in de prehistorie. Wat we wel zeker weten is dat er ooit een tijd is geweest dat de mens níet kon rekenen. Dit kan makkelijk bewezen worden, omdat er tot op de dag van vandaag nog steeds primitieve volkeren bestaan die niet weten wat een abstract getal inhoud. Bijvoorbeeld bij de Zoeloe's en de Pygmeeën in Africa, en bij de Aborigionals van de Murray Eilanden. "Een", "twee" en "veel" zijn de enige numerieke grootheden die zij kennen. De slimste onder de stammen lukt het wel om drie en vier uit te drukken, als "een-twee" en "twee-twee" bijvoorbeeld, maar daara blijft het ook bij. Na de vier ontstaat onnauwkeurigheid en verwarring, omdat er veel verschillende woorden zijn voor "veel", zoals een massa, een hoop, verscheidene, enzovoort. Het is voor hen nog steeds onmogelijk een getal voor te stellen van groter dan vier, net zoals wij enorme getallen, zoals afstanden in de ruimte, ons nauwelijks kunnen voorstellen.
Eigenlijk beschouwen deze primitieve volkeren het cijfer niet als iets abstracts. Het wordt waargenomen, zoals wij een kleur of een geur waarnemen. Ze zijn er zich niet van bewust dat vijf koeien en vijf paarden een gemeenschappelijke eigenschap vertonen, het feit dat ze allebei met zijn vijven zijn. Dit 'zien' van getallen word 'de directe waarneming van het getal genoemd'. Dit kan niet vergeleken worden met het vermogen tot abstract tellen, dat veel ingewikkelder is. Abstract tellen weerspiegelt de mate van intelligentie die de mens verworven heeft. Het waarnemen van getallen duidt ook op intelligentie, en onderscheid de primitieve volkeren nog steeds van het dierenrijk.
De uitvinding van de eerste getallen
Ook de mens uit de vroegste eeuwen van deze geschiedenis, zeker niet begaafder dan die imboorlingen, zal niet in staat zijn geweest om de getallen op zich te begrijpen, en de mogelijkheid tot tellen zal zich ook beperkt hebben tot globale waarneming zoals die door mensen, dieren en voowerpen werd ingenomen. Ook zij kenden alleen een, twee en veel.
Eer een twee zijn inderdaad de eerste twee cijfers die voor een mens te bevatten was. ‘Een’ was de mens zelf, de persoon. ‘Twee’ was te begrijpen door goed en kwaad, man en vrouw, leven en dood, echt en nep, enzovoorts. Twee was ook rivaliteit, conflict, tegenstelling en tweedeling.
Dat dit de eerste twee begrijpelijke cijfers waren, is vaak bewezen. In sommige talen word nog steeds verschil gemaakt tussen singularis(enkelvoud), dualis(tweevoud) en pluralis(meervoud).
Drie werd door onze verre voorouders ook gebruikt, maar niet op de manier waarop wij hem kennen. Drie stond bij verscheidene volken voor ‘meer dan een of twee’. Zo zette de Egyptenaren drie streepjes onder een hiëroglyfe als ze wilden aanduiden dat het meer dan 1 of 2 moest voorstellen. In het Oud-Chinees werd een bos aangeduidt door drie bomen te tekenen. Een menigte werd uitgebeeld met behulp van drie getekende mensen. In het Frans is er zelfs nu nog duidelijk de overeenkomst tussen ‘trois’ (drie) en ‘trés’ (erg, veel) te zien. In de Engelse taal heb je het woord ‘thrice’ wat ‘driemaal’ of ‘hoogst’ betekent.
Sinds het begin der tellingen is drie dus gebruikt als synoniem voor massa of veel, en dat is lange tijd het limiet voor de telling van de menselijke hersenen geweest.
Wanneer de mens het aantal van een bepaald voorwerp wil weten, kan hij tot ongeveer vier voorwerpen zonder na te denken zien hoeveel het er zijn. Zodra dit getal meer word gaat de mens automatisch tellen.
De eerste echte tellingen
Het begin van het tellen is ongetwijfeld het gevolg geweest van practische problemen in het allerdaagse leven. De mensen, bijvoorbeeld, die schapen en geiten hoedden moesten er zeker van zijn dat ze aan het eind van de dag nog evenveel schapen en geiten haden, als waarmee ze vertrokken waren. Degenen die gereedschappen of wapens opsloegen, of mensen die de voedselvoorraden beheerdden, moesten kunnen verifiëren of de hoeveelheid gereedschap of voedsel op peil waren. En in tijd van oorlog, was het noodzakelijk om te weten hoeveel soldaten een dorp tot zijn beschikking had. Ook handelaars moesten kunnen begroten welke hoeveelheid voedsel of andere koopwaar ze tegen welke hoeveelheid moesten ruilen.
De eerste mensen die telden waren zich er niet van bewust wat voor een grote ontdekking ze hadden gedaan. Het was heel simpel. Voor elk schaap wat in de ochend uit de stal liep, kerfde de herder een streepje op een steen. Aan het einde van de dag zette hij een kras door een streepje voor elk schaap wat terug de stal in liep. Als alle streepjes na het laatste schaap een kras hadden, klopte het.
Veel imboorlingen telden op hun lichaam. Zo konden zij in totaal tot 41 ‘tellen’.
Ondanks dat de mensen telden, snapte zij nog niet de abstracte waarden van het getal. Wat ze wel al zagen is dat wanneer ze aan de ene kant 10 schapen hadden, en aan de andere kant 20, dat de 20 er meer waren. Maar dat het er precies 2 keer zoveel waren werd weer te ingewikkeld.
De bewustwording van de getallen
Een mohammedaanse herder in het Midden Oosten telde zijn schapen door voor ieder schaap een woord van zijn gebed op te zeggen. Maar hij ging verder; bij het laatste schaap onthield hij het woord wat erbij hoorde. Dit was dus een soort van ‘getallenstelsel’. Dit was het begin van de bewustwording van de getallen.
De uitvinding van het grondgetal
Hoe ontstond het tientallig stelsel?
Toen eenmaal het abstracte van de getallen zich aan de mens had geopenbaart, nam hij nog een keer zijn telwerktuigen bij de hand, maar nu keek hij er op een andere manier naar. De mens had door dat je met je verzameling stokjes of steentjes meer kon doen. Je kon ze vergelijken, om uit te maken wie de grootste kudde had binnen een dorp. Je kon ze combineren of juist niet, om je schapen en varkens uit elkaar te halen.
Vroeger paste herders in West-Afrika een hele slimme methode toe om hun schapen te tellen. Ze lieten de schapen een voor een langslopen. Bij ieder dier regen ze een schelp aan een witte wollen draad. Bij het tiende schaap haalde ze alle schelpen van de witte draad af, en regen ze er een aan een blauwe draad. Daarna gingen ze weer verder met schelpen aan de witte draad rijgen, tot het twintigste schaap, enzovoort.Bij tien schelpen aan de blauwe draad werd alles eraf gehaald en werd er een schelp aan een rode draad geregen.
Deze primitieve manier van tellen zou later de grondslag worden van ons tientallig stelsel. De pakketjes van schapen die de schelpen moesten voorstellen, zijn nu de tientallen, honderdtallen, enzovoorts.
Het tientallig stelsel word tegenwoordig veruit het meest gebruikt. Het zijn niet te veel getallen om te onthouden, en niet te weinig om enorme getallen te krijgen.
Er zijn veel andere stelsels die in bepaalde opzichten beter zijn, wiskundig gezien. In principe zou het kunnen dat we van stelsel veranderen. Het twaalfcijferige of achtcijferige stelsel is voor onze hersenen even goed te bevatten. Alleen, het zou een eindeloze discussie opleveren tussen experts.
Je hebt practische mensen en theoetische mensen. Practische mensen zouden pleiten voor een grondtal wat door veel andere cijfers deelbaar is, en omdat het een even getal is is het makkelijker te bevatten voor een mens.
Een theoretisch persoon zou een heel ander getal willen. Hij zou een getal willen waarvan de breuken op een eenvoudige en ondubbelzinnige wijze kunnen worden opgeschreven. Met het grondtal elf bijvoorbeeld. De breuken van dit getal zijn namelijk niet herleidbaar, en kunnen maar op een manier worden opgeschreven. Dit is altijd zo als je een priemgetal als grondgetal hebt.
Neem een getal als 0,76. In ons systeem is dit 76/100, 38/50 én 19/25. Dat zou nooit meer het geval kunnen zijn als je een priemgetal als grondgetal hebt.
Maar het is vrijwel onmogelijk om nu nog over te stappen op een ander systeem. De 10 zit er zo ingebakken, zowel in de mensen als in de administratie van van alles, dat we ons nooit zouden kunnen aanpassen. We zouden beter de wereld eens kunnen standaardizeren, zodat iedereen het tientallig stelsel gebruikt, in plaats van alternatieven, zoals ponden en yards.
Maar waar komt het grondtal 10 nu eigenlijk vandaan? Het is eigenlijk heel simpel. Vroeger telden de mensen p hun vingers. Een mens heeft 10 vingers. Daarom is ons grondtal 10. Dat is echt de enige reden dat 10 zo veel gebruikt is. Als de mens 12 vingers zou hebben, zouden we waarschijnlijk nu in dozijnen tellen.
De Romeinse cijfers, een slecht systeem
Waarom werkte het Romeinse getallenstelsel niet goed?
Het romeinse getallenstelsel word ‘akrofonisch’ genoemd. Dit betekent dat ze niet uit tekens bestaan, die ontworpen zijn om rekenkundige handelingen mogelijk te maken, maar uit afkortingen, bedoeld om telwoorden op te tekenen en te onthouden. Dat is ook de reden dat Romeinse rekenkundigen altijd gebruik maakten van een rekentafel.
Ook het Romeinse systeem gebruikte het principe van de optelling. Ze hadden echter geen onderling verband tussen hun tekens. In plaats daarvan zette ze een een aantal tekens naast elkaar, en de opsomming van de tekens was het getal.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
CCCLXXXVI = 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 387
MMDCCXXVI = 1000 + 1000 + 500 + 100 + 100 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2726
De Romeinen maakten het zichzelf nog lastiger door een regel toe te voegen, die bepaalde dat wanneer er aan de linkerkant van een cijferteken één of meer cijfers met een lagere waarde stonden, de waarde daarvan van het betreffence cijferteken moest worden afgetrokken. 4 werd bijvoorbeeld IV (5 - 1) in plaats van IIII, en 19 werd XIX (10 – 1 + 10) in plaats van XVIIII.
Het is typisch om te zien, dat een volk wat zo groot is geworden en enorme technische vooruitgangen heeft geboekt, meer dan duizend jaar zo’n onhandig en onnodig ingewikkeld systeem heeft gebruikt.
De een was een verticaal streepje, de vijf een scherpe hoek, de tien een kruis, de vijftig een scherpe hoek met een verticaal streepje erin, dde honderd een kruis dat word dorrsneden door een verticale streep, de vijfhonderd een halve, door een kruis doorgesneden cirkel, en de duizend door een doorkruiste cirkel.
Dat in een later staduim de eerste drie voor I, V en X werden verward is duidelijk. De vijftig maakte een ontwikkeling door, en kreeg zijn definitieve vorm pas in de eerste eeuw van Christus. De hogere cijfers hadden te maken met een vergelijkbare evolutie. Vooral de duizend is vaak veranderd.
De Romeinse cijfers zijn dus het resultaat van studies die al honderden jaren eerder zijn ingezet. Vele eeuwen voor Julius Caesar hadden de Entrusken al een cijfersysteem wat heel veel leek op de Romeinse cijfers. De oorsprong van beide systemen is lange tijd onbekend gebleven. Er is pas ontdekt dat di systeem simpelweg voortkomt uit de kerfstok, waarmee mensen tekens in hout zette.
Het is (weer) ontworpen door herders die een nieuwe manier van tellen nodig hadden. Dus bij vijf schapen Zetten ze niet een vijfde streepje neer, maar een V. Daarna gingen ze weer verder met streepjes. Tot ze bij de tien kwamen, daar kwam een X. Dat kwam gelijk mooi overeen met de vingers aan hun handen. Later zijn de andere tekens toegevoegd, steeds met gebruik van hetzelfde systeem.
Iedereen die dit systeem heeft gebruikt is vroeg of laat bij een belangrijke beperking gekomen, de reden dat het Romeinse systeem zo slecht was. Bij grote getallen kreeg je al snel hele grote cijfers. Men kon niet oneindig symbolen verzinnen voor steeds weer een nul erbij.
Een Arabische uitvinding
Wanneer werden onze huidige cijfers uitgevonden?
Sinds in de negende eeuw het Arabisch-Islamitisch rijk uiteengevallen was, maakten Noord-Afrika en het islamitische gedeelte van spanje niet langer deel uit van Bagdad. De betrekkingen tussen de verschillende Arabisch sprekende overheersers was echter niet compleet. Dat was het gevolg van veel pelgrimstochten naar Mekka, van handelscontacten, van oorlog, van volksverhuizingen en van individuele reizigers.
Toen de beginselen van het rekenen eenmaal bekend was geworden onder de Arabieren van het oosten, verspreidde het zich, dankzij de vele betrekkingen, snel over Zuid-Spanje en andere delen van het voormalige Arabische rijk. Ook de Arabieren leerden omgaan met grote getallen. Ze gebruikten veel rekenmethodes uit India.
Ondanks de verschillen tussen de tekens (en de volkeren) bleef de gelijkenis toch erg duidelijk. Omdat het Arabische volk in die tijd op wetenschappelijk niveau een niveau haalden die ons in die tijd ver te boven ging, spreken we nog steeds over Arabische cijfers, niet Indiase.
De introductie van Arabische cijfers in Europa
De introductie van de Arabische cijfers in Europa ging niet van de een op de andere dag. Toen de Arabieren de Indiase manier van rekenen onder ogen kreeg, zagen zij gelijk de superioriteit ervan in, en hebben het zo snel mogelijk overgenomen. De koppige Europeanen daaintegen waren zo gehecht aan hun eigen archaïsche systeem, dat zij de voordelen van het Arabische stelsel niet wilden inzien (Archaïsch betekent dat het een stelsel is bedoelt om te tellen, niet om te rekenen). Het zou nog eeuwen duren voordat het archaïsche stelsel het moest afleggen tegen de kracht van het algoritme.
Na de val van het Romeinse Rijk is het onderwijs in Europa heel lang erg primitef gebleven, tot het eind van de Middeleeuwen. De enkelen die werden bevoegd tijd en geld aan school te verkwisten leerden aanvankelijk alleen lezen en schrijven. Later werd hen ook grammatica, dialectiek, retoriek en soms muziektheorie bijgebracht. Vervolgens werden er cursussen sterrenkunde en meetkunde aan toegevoegd. Tergelijkertijd lerrden zij tellen op hun vingers en getallen te noteren in Romeinse cijfers. Maar daar bleef het bij.
In die tijd lag de kunst van het rekenen ook aan alle schoolgangers niet binnen bereik. De rekenaars was een select gezelschap, specialisten, die jarenlange studies over ingewikkeld materiaal hadden genoten, en werkten met een Romeinse rekentafel. Als je in die tijd kon rekenen kreeg je enorm veel respect. Dat bewijst hoe moeilijk rekenen toen was. Een vermenigvuldiging, die je tegenwoordig in groep vier in de basisschool leert, hadden ze vaak veel werk aan. En iedere koopman die een overzicht van zijn verkopen wilde, had zo’n specialist nodig.
In die tijd waren in Europa de Italianen het verst met rekenen. Als je wilde leren optellen en aftrekken, voldeed een school in Frankrijk of Duitsland ook, maar als je wilde vermenigvuldigen, moest je simpelweg naar Italië afreizen. Ze hadden meer cotact met de Arabieren, en specialeerden zich al snel in ingewikkelde berekeningen. Dit is zo gebleven tot de achttiende eeuw.
Het is begrijpelijk dat mensen die konden rekenen als magiërs werden aangekeken. Dit is eigenlijk nog steeds zo. Veel mensen verwarren echter aanleg voor wiskunde, en goed kunnen omgaan met getallen. Verwacht word dat een wiskundegenie in seconden enorme vermenigvuldigingen kan uitrekenen. Dit hoeft lang niet altijd zo te zijn.
Toch hadden de Europeanen een geweldig profijt van de arabische wiskunden kunnen hebben in de tijd van de kruistochten. Maar helaas is het pas veel later doorgekomen. Door toedoen van een Franse monnik, Gerbert d’Aurillac. Hij had een liefde voor studie. Al snel wist hij veel af van sterrenkunde en meetkunde, maar hij wilde meer. Daarom rees hij af naar Spanje om in de leer te gaan bij Arabische rekenmeesters.
Toen hij terugkeerde naar Frankrijk, beheerste hij de Arabische manier van rekenen. Tussen 972 en 982 verbleef hij in Reims, waar hij de leiding kreeg over een grote school. Zijn lessen hadden een grote invloed op de andere schoelen, en wiskunde werd weer interessant. Hij was de man die de Arabische cijfers naar Europa had gehaald.
Tussen 1095 en 1270 waren er weer kruistochten. Maar de ridders kwamen terug met nieuwe Arabische kennis die de hunne ver te boven ging. In deze tijd was ook de wederopbloei van de wetenschap. Geleerden trokken naar het zuiden om er ook meer van te leren.
En ook hun kwamen enthousiast terug. De methodes die ze gezien hadden werkte zoveel efficiënter. In 1202 stelde Leonardo van pisa, oftewel Fibonacci, alle regels voor het rekenen met de Arabische cijfers vast. Dit stuk werd het slagschip voor alle algoritem-aanhangers en heeft een enorme invloed op de algebra gehad.
In de dertiende eeuw raakte alles in een stroomversnelling. De Arabische rekenmethodes begonnen het te winnen van de traditionele methodes met de rekentafel. Toch werd er nog fel weerstand geboden. De specialisten die nog werketn met de rekenmachine, of de pas uitgevonden abacus, wilde met alle geweld de complexiteit van het rekenen behouden, want zij zagen hun broodwinning in gevaar komen. Ook vonden zij dat de methodes tegen de heilige schriften van de kerk ingingen.
De kerk ging zelfs zo ver om het gerucht te verspreiden dat de Arabische rekenmethodes door de duivel gemaakt moesten zijn. Anders kon het nooit zo makkelijk.
Het gevecht tussen de methodes heeft tot diep in de achttiende eeuw geduurd. Zelfs toen werden berekeningen nog gecontroleerd met rekentafels. Maar toen de Franse revolutie uitbrak was het gedaan met de Abacisten. Het gebruik van de abacus of rekentafel werd op scholen vanaf toen verboden.
Sinds die tijd heeft de wiskunde zich onbelemmerd kunnen ontwikkelen. Hun angstaanjagende vijand was verslagen.
Tellen in de tijd
Waarom gebruiken wij het 60-tallige stelsel voor de tijd?
Het zestigtallig stelsel bestaat al minstens 4000 jaar. In Babylonië, het tegenwoordige Irak, bestond toen een hoogontwikkelde cultuur. Veel kleitabletten met spijkerschrift uit die periode zijn opgegraven, en daarbij zijn ook een aantal met wiskundige problemen en berekeningen in het zestigtallig stelsel. Het zestigtallig stelsel werd toen nog niet voor tijd gebruikt en voor hoeken, maar wel voor aantallen, lengtes en oppervlaktes.
Voor het schrijven van getallen gebruikten de Babylonische wiskundigen twee symbolen: de spijker, met waarde 1, en de winkelhaak, met waarde 10. Het getal '59' schreven zij als vijf winkelhaken, gevolgd door 9 spijkers. Voor grotere getallen werkte hun systeem zestigtallig. Een voorbeeld: Ons getal '500' is 480 plus 20, en 480 = 8 maal 60, dus 500 = 8 maal 60 plus 20. De Babyloniers schreven ons getal 500 daarom als acht spijkers (het getal 8), en daarna twee winkelhaken (het getal 20).
Omstreeks 750 voor Christus begon men in Babylonië systematisch sterrekundige waarnemingen te doen, en de resultaten in archieven (van kleitabletten) vast te leggen. Dit hield men eeuwen lang vol, dus ook ten tijde van Nebukadnezar en de Babylonische ballingschap moeten deze waarnemingen gedaan zijn.
Al gauw werden daarbij een paar regelmatigheden duidelijk; zo was er vaak 223 maanden (iets meer dan 18 jaar) na een maansverduistering opnieuw een maansverduistering. In de vierde eeuw voor Christus zijn een paar geniale Babylonische wiskundigen met dit materiaal aan de gang gegaan. Zij hebben methoden ontwikkeld om tijd en positie van diverse hemelverschijnselen te kunnen voorspellen. Niet alleen posities van de zon en de planeten, maar ook volle en nieuwe maan en het moment na nieuwe maan waarop de jonge maansikkel voor het eerst aan de avondhemel verschijnt. Dit was belangrijk voor de Babylonische kalender omdat het verschijnen van de maansikkel het begin van een nieuwe maand aangaf, net als in de Joodse en Islamitische kalender. De maan is een hemellichaam met een heel moeilijke beweging, en de Babylonische voorspellingsmethoden zitten uiterst geraffineerd in elkaar.
We keren nu terug naar het zestigtallig stelsel. De sterrekundige berekeningen waren zo ingewikkeld dat het oude system niet langer voldeed. Er werd nu een symbool voor de nul ingevoerd, en verder werden de berekeningen netjes in kolommen onder elkaar gezet, zodat je steeds weet welk getal bedoeld wordt. Nu ontstaat ook de methode om met hoeken te rekenen in graden, minuten en seconden.
De Babyloniërs hadden ontdekt dat het pad van de zon tussen de vaste sterren een cirkel was met de aarde als middelpunt, dat is de dierenriem. Zij wisten dat de maan en de planeten ook altijd in de buurt van de dierenriem staan. Zij verdeelden de dierenriem in 360 graden. Men vermoedt dat dat getal gekozen is, omdat men graag wilde dat de beweging van de zon in één dag ongeveer één graad is. Dan moet de hele cirkel dus ongeveer 365 graden zijn, en 360 is een veelvoud van 60 dat hier mooi in de buurt ligt. Omdat de Babyloniërs in het zestigtallig stelsel rekenden, werd elke graad in 60 minuten en elke minuut in 60 seconden verdeeld. Niet alleen de dierenriem naar ook elke andere cirkel kan in 360 gelijke delen verdeeld worden, en zo kun je ook een volledige omwenteling in 360 graden verdelen. Dit idee werd gebruikt voor het verdelen van de tijd. Het hemelgewelf draait namelijk in één dag om de aarde, om een denkbeeldige as door de poolster. Men verdeelde zo'n totale omwenteling (de moderne sterredag) in 360 'tijdgraden', en uiteraard 1 tijdgraad in 60 tijdminuten, enzovoort. 1 'tijdgraad' is dus de tijd die de hemel nodig heeft om 1 graad verder te draaien, en dit komt ongeveer overeen met 4 van onze klokminuten.
Na de verovering van Babylon door Alexander de Grote hebben de Griekse sterrekundigen de verdeling van de cirkel in 360 graden en de verdeling van de dag in 360 tijdgraden overgenomen. Daarnaast gebruikte men ook een verdeling van een etmaal in 24 gelijke uren, die gebruikelijk was in Egypte. In de late middeleeuwen is door de ontwikkeling van klokken met wijzerplaten een soort synthese ontstaan uit tijdgraden en uren. Een dag is 24 uren, maar met de uren wordt in het zestigtallig stelsel gerekend. Er zijn in de vorige eeuw en het begin van deze eeuw wel pogingen gedaan om het zestigtallig stelsel af te schaffen en decimaal te gaan rekenen met tijd en hoeken, maar zonder succes. Naar het zich laat aanzien zal de Babylonische traditie wel gehandhaafd blijven.
Het is ook gewoon het makkelijste stelsel voor tijd. Het aantal uren in een dag is tweemaal het grondtal. Het aantal minuten in een uur is vijf maal het grondtal, net zoals het aantal seconden in een minuut.
Alles of niets
Wat is er zo bijzonder aan ‘nul’ en ‘oneindig’?
Plaats-waarde systeem
Het woord voor ‘nul’ bestaat al heel lang. Sinds de tijd dat wij gingen rekenen (voornamelijk tellen) hadden we iets nodig om aan te geven dat onze bessen op waren of alle schapen waren weggelopen. Uit dat opzicht is het getal 0 helemaal niet belangrijk. Het bijzondere komt pas om de hoek kijken rond de tijd dat we daadwerkelijk die nul ook op gingen schrijven.
Laten we als voorbeeld de Romeinse methode nemen. Als je 2 cijfers bij elkaar wilt optellen, 19 en 43. In onze notatie zou dat 62 worden, dat is heel makkelijk te doen. Nu in het Romeins: XIX en XLIII. Als we dat bij elkaar optellen, krijgen we LXII. Dat zie je niet zo snel. Nu gaan we de cijfers vermenigvuldigen: 19*43=817, dat gaat nog wel. Maar nu in het Romeins: XIX*XLIII=DCCCXVII ! Dat is al helemaal niet te doen.
Geleidelijk aan ontdekte men echter dat het overbodig is om er zoveel verschillende symbolen op na te houden. Zo ontstonden de plaats-waarde systemen, waarin de waarde van een cijfer wordt bepaald door de plaats die het inneemt in een rijtje cijfers. Dat betekent dat er geen nieuwe symbolen bedacht moesten worden als het cijfer te groot werd. Dit komt doordat de grootte van het getal afhangt van de plek waar hij staat en omdat er oneindig aantal plaatsen zijn, kan je elk getal die je maar kan verzinnen, opschrijven. Zie verder voor meer oneindigheid.
Onze hedendaagse manier om getallen te noteren wordt vaak het "Arabische" getallenschrift genoemd, maar dat is eigenlijk niet terecht. De Arabieren waren slechts degenen die dit systeem in de tiende eeuw aan ons doorgaven. De werkelijke uitvinding vond plaats in India; in het Arabisch spreekt men dan ook niet van de "Arabische", maar van de "Hindoe" getallen. Er zijn al geschriften uit de zevende eeuw waarin met precies dezelfde notatie wordt gewerkt als de onze. Zelfs de vormen van de cijfers zijn in de tussenliggende dertien eeuwen nauwelijks veranderd.
Hierdoor veranderde het rekenen in één klap van een duistere bezigheid in kinderspel. Het Indiase systeem verspreidde zich naar China en de Arabische wereld, en van daaruit heeft het de gehele wereld veroverd. Leuk feit: ons woord "cijfer" is rechtstreeks afkomstig uit de Arabische benaming van de nul, "sifr", die op haar beurt weer een vertaling is van de Sanskrit-term "soenja" (nul, leegte).
Omdat in het plaats-waarde systeem de plek van het cijfer bepalend is voor zijn waarde, moesten ze zorgen dat er een ‘spatie’ moest komen. Eerst werd dat geschreven als een punt, en later werd dit symbool vervolgens door een rondje vervangen. Rond deze tijd (ongeveer 500/ 800 voor Christus) werd de nul ook niet gezien als een echt getal, maar als een afstandhoudertje tussen cijfers. Later werd pas het belang gezien van de nul als een echt cijfer, toen men met negatieve getallen ging bezig houden.
Nul?
Toen ze die nul als een echt cijfer gingen zien, kwamen er veel opmerkelijke dingen naar voren. Zoals dat de nul niet deelbaar is. Verzin maar eens een getal en deel de nul door dat getal en je krijgt oneindig. Met vermenigvuldigen krijg je altijd de nul terug. Ook zoiets: als je de nul optelt of aftrekt bij een ander getal, blijft dat getal staan. Ook bijzonder was dat een getal tot de nulde geen oplossing had. Om berekeningen te vereenvoudigen is er afgesproken dat een willekeurig getal tot de macht 0 altijd 1 zou worden. Geen enkel ander cijfer kan een willekeurig cijfer zo veranderen. Dit zijn de 4 aspecten van de nul waardoor het getal zo bijzonder is.
En hoe zit het dan met even en oneven? Is de nul nou oneven of even? Een getal is even als er een getal bestaat dat 2x dat getal is, dus m=2n. Omdat 0 hetzelfde is als 2*0, is de nul een even getal. Maar het kan ook zo zijn dat nul geen van beide is, omdat het zo’n speciaal getal is. En eigenlijk is het geen getal, want de nul geeft niks aan, de leegheid, het niets. De wetenschap is er nog niet over uit: even, oneven of geen van beide?
Leuke feit: Toen Gandhi, de spirituele leider van Indiase onafhankelijkheid, gevraagd was of hij geen ambitie had, zei hij: "O nee! Ik ben de meest ambitieuze man in de wereld. Ik wil mijzelf nul maken!"
In het begin in het geschiedenis van wiskunde was het een taboe om over oneindigheid te praten. Wiskundigen vonden het gewoon niet gepast om er over te praten, omdat het zo moeilijk te bevatten was. Dit kwam voor het grootste deel door de stelling dat er geen grootheid te bedenken is, waarvoor je oneindigheid nodig hebt.
Deze stelling van Aristoteles werd door Galileo ondermijnd door de gedachte dat als je van de set van natuurlijke getallen de helft weg haalt, de uitkomst een even grote rij van natuurlijke nummers is (Natuurlijke getallen zijn hele getallen boven de 0). Dat kan je zien door bijvoorbeeld alle oneven nummers weg te halen, en alle even nummers te paren met 2x die waarde, Met andere woorden n=2n. Voorbeeld:
Even getal 2 4 6 8
Dubbel getal 4 8 12 16
Als er een eindig aantal getallen waren, zou voor sommige getallen geen dubbele bestaan. Wat Galileo niet wist is dat hij op het principe gestuit was waarom hedendaagse wiskundigen oneindigheid definiëren, terwijl hijzelf deze methode te ver gezocht vond. Hij zei dat het een paradox was, en sindsdien heet die paradox de “Galileo paradox”.
John Wallis
pa•ra•´dox (de ~ (m.))
schijnbare tegenspraak [b.v. het geluid van de stilte, vele eersten zullen de laatsten zijn]
In de zeventiende en achttiende eeuw gingen steeds meer wiskundigen geloven in de oneindigheid van getallen. De engelse wiskundige John Wallis was de eerste die de ‘liefdesknoop’ of de ‘lazy eight’ in zijn boek ‘Arithmetica infinitorum’ gepubliceerd in 1665 als symbool voor de oneindigheid gebruikte.
Om even terug te komen op Galileo’s paradox, er was nog niet bewezen of oneindig nou bestaat of niet. Na heel veel gekibbel van de twee kampen, verscheen een persoon die alles zou doen veranderen. Hij heette Georg Cantor en hij had een scriptie gepubliceerd in 1874. Die scriptie bevatte een theorie om voor eens en altijd te bewijzen dat oneindigheid bestaat.
Als we nu weer naar Galileo’s paradox kijken, zien we dit:
Dit betekent dat de set, waarbij alle natuurlijke getallen in zitten, dezelfde grootte heeft als de set waarbij maar de helft van alle natuurlijke getallen inzitten.
Nu gaan we kijken naar de reële getallen. Reële getallen zijn alle getallen die je maar kunt bedenken, of ze nou negatief of positief zijn, klein of groot. Kan je die reële getallen ook zo neerzetten tegen de natuurlijke getallen? Als we weer hetzelfde doen ziet het er zo uit.
Waarbij de linkerset de natuurlijke getallen voorstelt en de rechter de reële. Wat je dan krijgt is een volledige set van getallen. Nu komt Cantor weer om de hoek kijken. Hij zei dat er altijd een reëel getal bestaat, die niet in die lijst voor komt. Hij redeneerde zo: Pak van het eerste reële getal in de set een andere decimaal, en pak van het volgende getal een andere decimaal voor het tweede decimaal van ons nieuwe getal:
Nu vragen we ons af: staat het verkregen reële getal op de lijst? Hij kan niet hetzelfde zijn als de het eerste getal in de lijst, want de eerste decimaal is anders. Zo is het dus ook voor het tweede getal, omdat de tweede decimaal anders is dan de tweede decimaal van ons nieuwe getal. Zo zien we dat ons nieuwe getal niet op onze lijst voorkomt, want het nieuwe getal verschilt minstens één decimaal van elke getal in die lijst.
MAAR - we zeiden dat die lijst een oneindige lijst was van getallen. Wat een paradox. Dat betekend dus, dat een set van reële getallen een grotere oneindige heeft dan een set van natuurlijke getallen.
Je kan natuurlijk zeggen: waarom gooi je dat getal dan niet erbij? Omdat we dan het proces opnieuw kunnen herhalen, waarbij we weer een nieuw getal hebben, die we weer aan de set kunnen toevoegen, enz. Dat gaat oneindig lang door. Voor de grootte van oneindigheid hebben we een woord: cardinaliteit. We zeggen dat de cardinaliteit van de set reële getallen groter is dan de cardinaliteit van de set van natuurlijke getallen.
Hieruit volgt Cantor’s theorie:
Even as the finite encloses an infinite series,
And in the unlimited limits appear,
So the soul of immensity dwells in minut
And in the narrowest limits, no limits inhere.
What joy to discern the minute in infinity!
The vast to perceive in the small, what Divinity!
-Jakob Bernoulli
Getallen in de techniek
Waarom werken computers met een tweetallig stelsel?
de pascaline
De idee van een computer heeft al een respectabele geschiedenis. Het begon allemaal met de rekenmachine, het neefje van de computer. In 1642 werd een eerste mechanische rekenmachine ontwikkeld en gebouwd door Charles Babbage. Deze Pascaline werd ontworpen voor babbage’s vader die veel en lange berekeningen moest maken door zijn baan bij de belastingdienst. Het kon optellen en aftrekken. De Pascaline werkt volgens hetzelfde principe als een kilometerteller. Ook de tellertjes op een oude cassetterecorder werken zo.
De allereerste programmeerbare machines waren geen rekenapparaten maar weefgetouwen. In 1801 kwam een eerste vorm van computer in gebruik. Toen vond Joseph-Marie Jacquard een weefgetouw uit, dat door ponskaarten werd geprogrammeerd. Ponskaarten zijn kaarten (uit hout, karton of metaal) met gaatjes. Door aan een soort wiel te draaien, vielen er in de gaatjes pinnen die aan andere dingen vastzaten. Hierdoor wist de machine wat voor patronen er geweven moest worden. De gaten in de platen vormden als het ware de programmering van het toestel. Wilde men met een ander patroon weven, dan stopte men eenvoudig een andere plaat (ponskaart) in de machine.
Het principe van de ponskaart vind je nu nog terug in de werking van een draaiorgel in de straat. Men gebruikt hiervoor muziekboeken. Deze boeken bestaan uit ponskaarten die achter elkaar een lied vormen.
De eerste elektronische computer was de ENIAC(Electronic Numerical Integrator and Calculator), die in 1946 door het Amerikaanse leger werd gebouwd. De ENIAC was 30 meter lang, 3 meter hoog en 1 meter diep. Hij woog 30.000 kilo, had 500.000 gesoldeerde punten en was uitgerust met 18.000 radiobuizen.
Nu we bij de elektronische rekenmachines zijn aangekomen, zien wij dat de rekenmachines van toen radiobuizen gebruikten. Radiobuizen zijn een soort lampen, de voorlopers van transistors. Radiobuizen verbruikten veel energie en gingen snel kapot. Ze moesten een vervanging zorgen voor die energieslurpende dingen en in was het zo ver: de transistor werd uitgevonden.
Leuke feit: door de hitte die radiobuizen afgeven, kwamen er veel vliegjes en andere insecten op de radiobuizen af. Die insecten, bugs in het engels, zorgden voor onverklaarbare storingen. Daar komt de tegenwoordige benaming vandaan als er een fout in de programmering of in de computer zelf zit.
Die radiobuis, wat later de transistor zou worden, is het antwoord op onze vraag. Zo’n transistor doet maar 2 dingen: hij laat elektriciteit wel of niet door. Als je dat in cijfers moet weergeven, is het makkelijkst als je de 0 neemt voor ‘geen elektriciteit’ en 1 voor ‘elektriciteit’. Zo’n getallenstelsel met maar 2 waardes heet een binair getallenstelsel. En zo zijn wij dus bij het tweetallig (=binair) getallenstelsel aangekomen. Doordat de mensen een ‘schakelaartje’ gingen stoppen in de computers, werken de tegenwoordige computers met een binair getallenstelsel. Die transistors zitten nog steeds in je computer. Zij bevinden zich in de processor. De nieuwste processors hebben ongeveer 220 miljoen transistors op ± 7 cm. En ze worden nog steeds verbeterd en verkleind.
Als we toch bezig zijn, waarom is een computer eigenlijk digitaal? Slaat dat ook op de transistor?
Eigenlijk wel. Het begrip digitaal duidt op het gebruik van discrete getallen (ook wel natuurlijke getallen genoemd, zie ‘Wat is er zo bijzonder aan het getal nul en ∞?’). 0 en 1 zijn discrete getallen en daarom wordt een computer digitaal genoemd.
Leven in een chaos
Hoe zou de wereld eruit zien zonder getallen?
Wat zijn cijfers toch makkelijk. Als we boodschappen gaan doen, als we telefoneren, als we in het verkeer zitten, we gebruiken cijfers. We kunnen er allemaal wonderlijke dingen mee doen, zonder dat we erbij stil staan.
Een leven zonder getallen is voor ons niet te bevatten. Geen getallen betekent geen besef van tijd, ruimte of afstand. Het metriek stelsel zou overbodig zijn. Het is simpel: zonder getallen zouden we nu nog net zo primiief leven als onze verre voorouders.
Conclusie
De hoofdvraag was: Waarom gebruiken wij het tientallig stelsel?
Het antwoord blijkt heel simpel. Wij gebruiken het tientallig stelsel, omdat we tien vingers hebben. Toevallig dus. Het grondtal 10 is een redelijk goed getal om mee te werken. Het gebruikt niet te veel symbolen, maar wel genoeg om niet al te grote getallen te krijgen. Maar een twaalfcijferig of achtcijferig stelsel was theoretisch beter geweest.
Tijdens het maken van het stuk kwam ik op een tweede hoofdvraag: Is ons systeem nou af?
Het antwoord daarvan ligt wat ingewikkelder. Volgens analisten is het af. Het is een simpel systeem, en je kan er alles mee doen wat je wilt. Wiskundigen vinden het echter niet af. Zij stellen dat het niet af is zolang het niet voor 100 procent geanalyseerd is. Zolang er nog formules en verbanden bestaan die wij nog niet gevonden hebben, is het niet af.
Behalve het tiencijferige stelsel hebben er vele anderen bestaan. Stelsels van 2, 8, 12, 16 of zelfs 60 cijfers werken even goed, al dan niet beter. Maar de mens heeft de 10 omarmd, en zal hem niet snel loslaten.
Vervolg
Als vervolg zouden we over andere getallenstelsels kunnen praten. Het onderwerp is erg uitgebreid. Te uitgebreid voor een werkstuk. De geschiedenis van de getallen zit vol gebeurtenisjes, die bij elkaar tot de grote veranderingen hebben geleid.
Ook is er veel te vertellen over de strijd tussen de Abacisten en de Logaritme-aanhangers. Deze strijd heeft eeuwen geduurd, met veel interrestante ontwikkelingen. Maar dat is misschien voor een volgend werkstuk.
Logboek
Datum Persoon Omschrijving SLU
03-09-2002 Dennis + Stefan Vragen verder uitgewerkt en begonnen aan een goede indeling 1
16-01-2003 Stefan Begonnen met enkele deelvragen 2
18-01-2003 Dennis Begonnen met algemene informatie te zoeken 5
30-01-2003 Stefan Eerste deelvragen afgerond 4
23-02-2003 Dennis Begonnen met deelvragen 3
01-03-2003 Dennis ‘Tellen in de tijd’ afgerond 2
03-03-2003 Stefan 3 deelvragen afgerond 5
08-03-2002 Stefan ‘Getallen in de techniek’ afgerond 2
09-03-2002 Dennis Alles samengevoegd, conclusie getrokken en laatste wijzigingen aangebracht 3
We zijn te laat begonnen met werken. We hebben het toch nog afgekregen, en dit is een goede les gebleken, omdat we dit nooit nog een keer willen meemaken.
Bronvermelding
- De Wereld van het Getal – Georges Ifrah
- From One to Zero - Georges Ifrah
- www.wisfaq.nl
- Diverse kleine bronnen op het internet
We ontdekten dat er nog niet erg veel boeken over dit onderwerp bestaan. Het boek ‘De Wereld van het Getal’ is echter zeer compleet, en heeft goed geholpen. Op internet is er wel veel over te vinden, maar zoals vaak op internet, gaat het meestal om samenvattingen, terwijl wij uitgebreidere stukken zochten.
REACTIES
:name
:name
:comment
1 seconde geleden
".
".
Afgezien van de taal (vervelend onderwerp misschien, maar als je wordt afgeleid door taalfouten, wordt zo'n interssant stuk minder leuk!) ben ik 2 dingen tegengekomen: 1) Waar komt het 11-tallig stelsel in vredesnaam vandaan? (Vlgs. sommige bronnen uit Frankrijk, maar dat geloof ik niet; de Amsterdamse voet, na de gouden eeuw het meest gebruikte systeem in Nederland!, bestond uit 11 duimen! En 2) welk jaatral moest er staan in de alinea na die over de Eniac?
Verder een leuk verhaal!
Succes met een eventuele verdere studie.
14 jaar geleden
AntwoordenJ.
J.
Je zit er flink in de buurt maar nog steeds ernaast als het om de juiste beleving en waarheid gaat, 1080, hd-1080,1liter+0,80cl=1080Ltr=2x1vierkant+2x0,80+2xeen half=20,80+2x0,378=nabij 21,1cm is een baksteen met een breedte van 10,76cm dus geen 10cm 2x1haar+eenkinkker=1 inch+2didac. de heilige koe met flink wat melk is een goed voorbeeld in india maar het gaat om het gezicht van een koe die een ander koe aan kijkt ,wat zie je als je allebei wang aan wang naar het zelfde punt op links kijkt een brandpunt oftewel een aanwijzing of een nieuwe bolvorm inhoud v.1ltr of een hoofd met haar en 2 vlechten, of een toren een uvo , een energiie bol een vierkant , een olifant ,een colibri, ik denk dat elk voorwerp wat daar kan staan een uitvinding is van e enkele onderwerp, het idee achter wiskunde of erna is High dimensional of high tech ,technieker, techniek en een wiel, met wiskundig metingen. wat vindt je hier van hoe hebben de metselaren die temple gebouw in india van een vorm olifant.?
9 jaar geleden
AntwoordenJ.
J.
52000 jaar geleden woonde hier op Argartar een familie indische familie die bestond uit flink wat groter mensen onderandere werden ze Gaints genoemd daar naast leefde de kleine gewone mens ,dat zijn wij ook wat ze engelen noemde zijn piloten met een chinees kostum aan die al vrije energie hadden uitgevonden voor dat de Egyptenaren bestonden en hun schilderingen en huis of kasteel reparaties ,daarvoor bestonden op deze planeet al die pyramides al lang, ook die temples ook de cijfers ook het wiskunde ook alle andere uitvindingen die wij alle sinds dat de moskeeen bestaan nog niet hadden kunnen uitvinden zoals metropolis of het kasteel van hercules of jerusalem de stad van de Gaints en de ruimte vaarders, hoe zo kruistochten van handelaren en mensen, vluchtelingen waren het , bang dat ze werden opgegeten door die Gaints nadat ze uren lang zweven n een uvo en ter werk gesteld werden in een ander land zoals colombia of india of buiten onze sterrenstelsel jupiter op mars of anders, als je het indias sten wiel bekijk en die wiskundig snapt dan snap je ook wat op alle coordinaten en brandpunten iets moet zijn gebouwd om dat een van die uitkomsten behoren tot groep van 3 of groep 2 van draadlijnen, bij 2 is er een keer een wikkeling om de knikker en bij 3 is dat 2 keer gedaan tot dat je na 29 kinkkers en getalen en uitkomsten op het middelpunt van het wiel beland wat een bolvorm betreft ,een bolvorm wil zeggen 1080,= 1liter+0,80cl is volume dus ook inhoud dus ook een opgestapelde berg haar of nog dunner zelfs protonen of neutronen kernenergieen, explosieven, dus energiebollen die door een hydra coil gaan waar je twee van nodig heb voor uvo met de nummer 1 en voor nummer 6 zeker een geadvanceerdere model om zo het snelheid van het licht of te wel ultra power te kunnen formeren magneten kunnen na alle goede berekeningen op het nul punt uitkomen het zweefpunt wordt dan bereikt en dan ontstaat er een hydra ultra high power die naar buiten beweegt zo kun je doormiddel van veel studies zo als de totumpalen en de maya beelden laten zien ook in afrika zijn genoeg ideeen of in indias tempels om een goede uvo te bouwen met batterijen en veel hightech gewikkelde kabels buitenom en goud of materialen die uit vele miniralen bestaan denk maar is aan een onsteker van een magnetron als je die door zaagt dan heb je al een vlammen werper zet dat nu is in een wiel en vermeerder dat is met het aantal van 16 keer 60 knikkers+ een half wat hun zeggen is bij ons de helf van een kwartier = 7,5minuten =30knikkers +30 draden in verschillende kleuren met een kern van goud en aluminium en koper en platina = een half =dus afmeting 7,5inch om vat 30 knikkers en dan een hoop vlechtwerk om ook te voldoen aan 3D dimensonale aspecten en uiterlijk van die draadverbindingen en in bochten werken ook op elk van die 16 uiterste punten met een drie coilvechtwerkje komen die dan 16 x 30 uiteindens gebundeld voeren naar de hydra en batterijwerk en compressieruimte over de rug van het voertuig achter het midden moet het dan aangeketend worden. wat vinden jullie hier van die ouwe was niet gek in 1942. noordpool en india en chili hebben iets gemeen ook california zuid.
9 jaar geleden
AntwoordenJ.
J.
8x60knikkers=16x30inch=32x15 zelfgemaakte kinkkers+65 gewone draden waarvan er 1 langs de vorm van een winkelhaak naar boven wijst ,dit noemen ze het wiel met een half, klein stukje ruimte over -23kinkkers en -22 draden over de 16 delen van 60knikkers van het indias wiel 1 van de 24 wielen die toen gevonden waren. het wiel zelf behoord op een balk te staan die ook weer op twee kleine pyramides staan, daarnaast staan in de muren aan weers kanten een 2 glijrichters die de juiste afstandhebben tot het midden an dewiel in of een lijn tussen twee omgekeerde winkelhaken bepaald het drie dubbele middenstuk van de ligging van de ASbrandpunt en met aan weers kanten altijd twee draden die naar de grond wijzen met loodjes eraan of oorhangers. (meetkoorden zij dat) die meet koorden met lood zijn bedoelt om het wiel wat in een rechthoek van meer dan 3600 kinkkers hoog en breed staat met ook tussen elke knikker 2 draden van 0,378 didac micromillimeter ook 7202 keer deze meten de juiste lengte van tijd en ruimte tot de cirkel van koper die een klokgewijze aantal krasjes heeft over de gehele ring, elk krasje is 3 en/of 2 mega ultra microdidac 0,378gdeeld door 3 door 6 en door 9 en nog kleiner tot dat je in de uitkomsten van berekeningen op een drukmeting komt van een explosief punt, een inwaardse ontplofingspunt het middelpunt waar alle energieen worden om gezet tot vloeistof gas en dampen die hitte veroorzaken en statische elektrische wolken in een omgeving van magnetisme die magneten die aan de disk aangestuurd worden door uitstoot van energieen van uit de diode en kathode en de 2 batterijenvelden parallel geschakeld met een accu die eenaarde draad heeft met een kopere pen of ander metaalsoort wat energieen doorgeven aan een ruimte met geleiders in aluminium of titane omgeving met een harp aan chips in goud koper en platina die dan zwaarweer veroorzaken in een gesloten ruimte pure hitte en druk in het midden zit een ei met hendels die je vast kunt houden dan onlaat de boel waneer jij dat wilt ook daar is het indias wiel op gemaakt om de tijd van ontplofing te doen zien maar ook de beweging in tijd en ruimte door middel van een 3 beenige driehoek tergrootte van een skippy bal die in zijn midden ligt waardoor je dus het draden stelsel handteerd als kortsluitmethode wanneer je een beweging maakt zelf naar links dan kan je dat ook corrigeren ook zo bouwden ze die tempels met twee lood stukken aan de onderkant en weerzijde van de 2Dimensionale pyramide of drie kan ook, de bol in het midden kan van diverse grootte zijn maar niet kleiner dan een balvorm anders klopt het bouwwerk niet na de uitvoering (te klein voor mensen dan) dus een hele grote bal of rollende steen van 3 meter hoog is de maat die ze gebruikten voor elk van die bouwwerken tot aan de miniskcule maten van de buitenste ring de wat groe pyramide mal werk als rechthoek of als driehoek erom heen gezet om de figuren die overal op die temples staan te maken met de hand of waar ze precies komen te staan ook is dat soort wiskunde op de zelfde dag gebruikt om via de elipsen bol berekening voor alle afwerkingen en achterliggende bouwwerktoppen direct ook te gebruiken het virtuelebeeld en precisiewerk werd dan netjes en strak ook op en van die zelfde plek op de grond of in 3D in de lucht de driehoek of vierkant werden de tijdslijnen gegeven voor het binnen werk architectuur uiteengelegd en op punten passen gemaakt of afgewerkt zo zie dat je met een bol vorm en een pyrimide of rechthoek hele mooie tekeningen kunt maken op een makkelijkere manier dan in je eigen schoolboeken wordt aangegeven. dit is ook een leuk wetenschappelijk vraagstuk voor leraren die dit en ook de natuurkunde en biologie en astrologie en theologie en microelektronica snappen maar ook bouwkunde weten om zo iets te kunnen uitvoeren met kinderen een goede stap is om een groot wiel te maken met 16 delen en stuk of ook ringen net als een dartbord maak overal kleine dopjes of spijkers en puneses op en ook aaneerskanten van de kinkkers denk daar denkbeeldig bij aan een punicen 8 draden vlechtwerkjes en een om kleuren en een klok met grotere wijzers. en een bol ofhalve bol aan een as voor in het midden mag ook een wereldbol zijn die dan een disk of pannekoek voor stelt waarover een kopere ring zit met krasjes of potloodlijnen.
9 jaar geleden
Antwoorden