Pythagoras

Inhoud

Inleiding
Over Pythagoras
Filosofie en religie
Getallenleer
Kosmologie
Bewijzen
Boom van Pythagoras

Inleiding:

De stelling van Pythagoras is één van de, voor mij meest bekende, stellingen in de wiskunde. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde van alle rechthoekige driehoeken.
In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypothenusa.
De stelling van Pythagoras luidt:
"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypothenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden."
Anders geformuleerd:
a2+b2=c2 (zie fig.1) fig. 1
Een andere belangrijke wiskundige stelling waarvan de ontdekking aan Pythagoras wordt toegeschreven is de stelling dat in een driehoek de som van de grootte van de drie hoeken altijd gelijk aan 180° is.
In dit verslag geef ik een aantal bewijzen voor deze stelling alsmede wat achtergrondinformatie over Pythagoras.

Over Pythagoras

Pythagoras

fig 2. Pythagoras (Πυθαγορας, 582 v. Chr. - 496 v. Chr.) Grieks wiskundige, wijsgeer en hervormer.
Pythagoras werd geboren op Samos, één van de toen welvarende Griekse eilanden in de Aegeïsche zee. Volgens de overlevering heeft hij veel reizen gemaakt naar Egypte en het Oosten. Hij streefde harmonie en reinheid van de ziel na, wat volgens hem bevorderd kon worden door onder andere de kennis van getalsverhoudingen. Deze verhoudingen beheersen volgens zijn leer het heelal, zoals ze bijvoorbeeld ook terug te vinden zijn in de muziek.
Omstreeks 530 v. Chr. stichtte Pythagoras in Croton een school, die ook in andere Zuid-Italiaanse steden afdelingen vestigde. Pythagoras en zijn aanhangers hebben een belangrijke invloed uitgeoefend op het openbare en het politieke leven, maar zijn daarbij ook op krachtig verzet gestuit; tegen het eind van zijn leven moest Pythagoras Croton verlaten en enkele decennia later vond een algehele opstand tegen zijn aanhangers plaats.

Filosofie en religie

Aristoteles heeft de leer van Pythagoras bestudeerd en vatte dit als volgt samen:
• de dingen zijn getallen
• de gehele hemel is harmonie en getal
Pythagoras was overtuigd van de onsterfelijkheid van de ziel en geloofde in reïncarnatie.
Pythagoras' religieuze voorstellingen waren waarschijnlijk van Oosterse, voornamelijk Indische oorsprong. Hij geloofde in zielsverhuizing.
"Volgens deze maakt de onsterfelijke ziel van de mens een lang louteringsproces door in steeds hernieuwde belichamingen, waarbij zij ook de dierlijke gestalte aan kan nemen. In verband daarmee staat, evenals in India, het gebod geen dier te doden of te offeren, en zich van dierlijk voedsel te onthouden. Daar als doel van het leven wordt aangezien de ziel door reinheid en vroomheid van de kringloop der wedergeboorten te verlossen, vertoont ook de Pythagoreïsche ethiek met India verwante trekken: zelftucht, ingetogenheid, onthouding staan in het middelpunt."
(Störig, 1964)

Pythagoras was de eerste die wiskunde met theologie combineerde, later zien we dit ook terug bij Plato en andere middeleeuwse theologen, Baruch de Spinoza en bij Leibniz en later tot zelfs bij Kant. Pythagoras heeft steeds een grote invloed op het denken uitgeoefend.

Getallenleer

Befaamd is de getallenleer van de oude Pythagoreeërs: ze namen aan dat de dingen getallen zijn of erop lijken, of ook wel dat de elementen van de dingen ook die van het getal zijn.
Het idee dat "mooie" getalsverhoudingen iets harmonisch opleveren was volgens Pythagoras aan te tonen met een aangestreken snaar. Wanneer je een snaar aanstrijkt en daarna de snaar halveert hoor je twee tonen die heel goed samen klinken. Wij zeggen nu dat deze tonen een octaaf verschillen. De lengteverhouding 2:3 geeft een kwint, 3:4 geeft een kwart.
Op basis van gehele verhoudingen is de reine stemming voor een toonladder gedefinieerd: de pythagoreaanse stemming.

Pythagoras’ toonladder:
de tonen E D C B A G F E
de constructie 2/3 3/4 27/32 8/9 1 9/8 81/64 4/3
snaarlengtes 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
toonsafstanden 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243

Voor de Pythagoreeërs corresponderen getallen niet alleen met muzikale fenomenen, maar ook met begrippen en andere dingen. Een aantal voorbeelden: 4 is gerechtigheid (2 × 2, gelijk maal gelijk), 5 is huwelijk (eerste verbinding van even = vrouwelijk met oneven = mannelijk). Het volmaakte getal is 10 (1 + 2 + 3 + 4), tetraktus genoemd: deze is bron en oorsprong van alle dingen en bevat bijvoorbeeld alle getallen nodig om de voornaamste toonverhoudingen te definiëren. De elementen van het getal zijn het 'bepaalde' en het 'onbepaalde', termen die ook met andere gepaarde tegendelen (oneven-even, mannelijk-vrouwelijk, goed-kwaad) op één lijn gesteld werden.
De oorspronkelijke getallenleer van Pythagoras was daarom geen wetenschappelijke wiskunde, maar eerder een toepassing, een soort metafysica van het getal; op den duur is echter ook in de school van Pythagoras, net als op andere plaatsen in de Griekse wereld, wiskunde op wetenschappelijke wijze beoefend.

Pythagoras stelde zich de getallen voor in bepaalde gedaanten.
"Hij sprak van vierkante en kubusvormige getallen, van langwerpige, driehoekige en pyramidevormige getallen, en zo voort. Uit de getallenvormen werden dan de bewuste figuren opgebouwd. Blijkbaar vatte hij de wereld op als bestaande uit atomen, terwijl de lichamen dan waren samengesteld uit moleculen, die weer waren opgebouwd uit in verschillende vormen gerangschikte atomen. Op deze wijze trachtte hij de wiskunde te maken tot de grondslag, zowel voor de natuurkunde als voor de esthetica."
(Russell, 1948)

En ook voor de ethiek, zou je kunnen zeggen. Pythagoras hechtte weinig waarde aan empirisch onderzoek. Wanneer er tussen de verschijnselen eenmaal wiskundige relaties waren ontdekt trok het denken zich terug in de sfeer van het ideële. Het denken is superieur aan de zintuiglijke waarneming. Het zuivere weten is gericht op het onstoffelijke, en bevrijdt de ziel uit de banden van de zinnelijkheid.

Kosmologie

Het is typerend voor Pythagoras dat hij zijn waarneming heel snel extrapoleerde naar het heelal. De hemellichamen -ook de aarde- bewegen zich in cirkelvormige banen om een centraal vuur. Dat vuur zien wij niet, want aan de kant van de -kennelijk bolvormige- aarde waar je dat vuur wel zou kunnen zien is geen leven mogelijk. De stralen van deze banen verhouden zich als de tonen in het octaaf. Door hun beweging in deze banen brengen de hemellichamen muziek voort, een "hemelse symfonie".
Het heelal is dus een geordend geheel, een "kosmos". Dit idee van het heelal als kosmos zou een belangrijke bron van inspiratie worden.
Omdat tien het volmaakte getal was, moest het heelal dus wel uit tien hemellichamen bestaan. Met de vijf toen bekende planeten, de zon, de maan, de aarde en het centrale vuur kwam men slechts op het getal negen. Dan moest er, recht tegenover de aarde, een "tegenaarde" rond het centrale vuur cirkelen. Aarde en tegenaarde cirkelden in de kleinste baan; daarna kwam de maan, vervolgens de zon, en nog verder de planeten.

Bewijzen van de stelling van Pythagoras