Pythagoras

Inhoud

Inleiding
Over Pythagoras
Filosofie en religie
Getallenleer
Kosmologie
Bewijzen
Boom van Pythagoras

Inleiding:

De stelling van Pythagoras is één van de, voor mij meest bekende, stellingen in de wiskunde. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde van alle rechthoekige driehoeken.
In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypothenusa.
De stelling van Pythagoras luidt:

"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypothenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden."
Anders geformuleerd:
a2+b2=c2 (zie fig.1) fig. 1
Een andere belangrijke wiskundige stelling waarvan de ontdekking aan Pythagoras wordt toegeschreven is de stelling dat in een driehoek de som van de grootte van de drie hoeken altijd gelijk aan 180° is.
In dit verslag geef ik een aantal bewijzen voor deze stelling alsmede wat achtergrondinformatie over Pythagoras.

Over Pythagoras

Pythagoras

fig 2. Pythagoras (Πυθαγορας, 582 v. Chr. - 496 v. Chr.) Grieks wiskundige, wijsgeer en hervormer.
Pythagoras werd geboren op Samos, één van de toen welvarende Griekse eilanden in de Aegeïsche zee. Volgens de overlevering heeft hij veel reizen gemaakt naar Egypte en het Oosten. Hij streefde harmonie en reinheid van de ziel na, wat volgens hem bevorderd kon worden door onder andere de kennis van getalsverhoudingen. Deze verhoudingen beheersen volgens zijn leer het heelal, zoals ze bijvoorbeeld ook terug te vinden zijn in de muziek.
Omstreeks 530 v. Chr. stichtte Pythagoras in Croton een school, die ook in andere Zuid-Italiaanse steden afdelingen vestigde. Pythagoras en zijn aanhangers hebben een belangrijke invloed uitgeoefend op het openbare en het politieke leven, maar zijn daarbij ook op krachtig verzet gestuit; tegen het eind van zijn leven moest Pythagoras Croton verlaten en enkele decennia later vond een algehele opstand tegen zijn aanhangers plaats.


Filosofie en religie

Aristoteles heeft de leer van Pythagoras bestudeerd en vatte dit als volgt samen:
• de dingen zijn getallen
• de gehele hemel is harmonie en getal
Pythagoras was overtuigd van de onsterfelijkheid van de ziel en geloofde in reïncarnatie.
Pythagoras' religieuze voorstellingen waren waarschijnlijk van Oosterse, voornamelijk Indische oorsprong. Hij geloofde in zielsverhuizing.
"Volgens deze maakt de onsterfelijke ziel van de mens een lang louteringsproces door in steeds hernieuwde belichamingen, waarbij zij ook de dierlijke gestalte aan kan nemen. In verband daarmee staat, evenals in India, het gebod geen dier te doden of te offeren, en zich van dierlijk voedsel te onthouden. Daar als doel van het leven wordt aangezien de ziel door reinheid en vroomheid van de kringloop der wedergeboorten te verlossen, vertoont ook de Pythagoreïsche ethiek met India verwante trekken: zelftucht, ingetogenheid, onthouding staan in het middelpunt."
(Störig, 1964)

Pythagoras was de eerste die wiskunde met theologie combineerde, later zien we dit ook terug bij Plato en andere middeleeuwse theologen, Baruch de Spinoza en bij Leibniz en later tot zelfs bij Kant. Pythagoras heeft steeds een grote invloed op het denken uitgeoefend.

Getallenleer

Befaamd is de getallenleer van de oude Pythagoreeërs: ze namen aan dat de dingen getallen zijn of erop lijken, of ook wel dat de elementen van de dingen ook die van het getal zijn.
Het idee dat "mooie" getalsverhoudingen iets harmonisch opleveren was volgens Pythagoras aan te tonen met een aangestreken snaar. Wanneer je een snaar aanstrijkt en daarna de snaar halveert hoor je twee tonen die heel goed samen klinken. Wij zeggen nu dat deze tonen een octaaf verschillen. De lengteverhouding 2:3 geeft een kwint, 3:4 geeft een kwart.

Op basis van gehele verhoudingen is de reine stemming voor een toonladder gedefinieerd: de pythagoreaanse stemming.

Pythagoras’ toonladder:
de tonen E D C B A G F E
de constructie 2/3 3/4 27/32 8/9 1 9/8 81/64 4/3
snaarlengtes 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
toonsafstanden 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243

Voor de Pythagoreeërs corresponderen getallen niet alleen met muzikale fenomenen, maar ook met begrippen en andere dingen. Een aantal voorbeelden: 4 is gerechtigheid (2 × 2, gelijk maal gelijk), 5 is huwelijk (eerste verbinding van even = vrouwelijk met oneven = mannelijk). Het volmaakte getal is 10 (1 + 2 + 3 + 4), tetraktus genoemd: deze is bron en oorsprong van alle dingen en bevat bijvoorbeeld alle getallen nodig om de voornaamste toonverhoudingen te definiëren. De elementen van het getal zijn het 'bepaalde' en het 'onbepaalde', termen die ook met andere gepaarde tegendelen (oneven-even, mannelijk-vrouwelijk, goed-kwaad) op één lijn gesteld werden.
De oorspronkelijke getallenleer van Pythagoras was daarom geen wetenschappelijke wiskunde, maar eerder een toepassing, een soort metafysica van het getal; op den duur is echter ook in de school van Pythagoras, net als op andere plaatsen in de Griekse wereld, wiskunde op wetenschappelijke wijze beoefend.

Pythagoras stelde zich de getallen voor in bepaalde gedaanten.
"Hij sprak van vierkante en kubusvormige getallen, van langwerpige, driehoekige en pyramidevormige getallen, en zo voort. Uit de getallenvormen werden dan de bewuste figuren opgebouwd. Blijkbaar vatte hij de wereld op als bestaande uit atomen, terwijl de lichamen dan waren samengesteld uit moleculen, die weer waren opgebouwd uit in verschillende vormen gerangschikte atomen. Op deze wijze trachtte hij de wiskunde te maken tot de grondslag, zowel voor de natuurkunde als voor de esthetica."
(Russell, 1948)


En ook voor de ethiek, zou je kunnen zeggen. Pythagoras hechtte weinig waarde aan empirisch onderzoek. Wanneer er tussen de verschijnselen eenmaal wiskundige relaties waren ontdekt trok het denken zich terug in de sfeer van het ideële. Het denken is superieur aan de zintuiglijke waarneming. Het zuivere weten is gericht op het onstoffelijke, en bevrijdt de ziel uit de banden van de zinnelijkheid.

Kosmologie

Het is typerend voor Pythagoras dat hij zijn waarneming heel snel extrapoleerde naar het heelal. De hemellichamen -ook de aarde- bewegen zich in cirkelvormige banen om een centraal vuur. Dat vuur zien wij niet, want aan de kant van de -kennelijk bolvormige- aarde waar je dat vuur wel zou kunnen zien is geen leven mogelijk. De stralen van deze banen verhouden zich als de tonen in het octaaf. Door hun beweging in deze banen brengen de hemellichamen muziek voort, een "hemelse symfonie".
Het heelal is dus een geordend geheel, een "kosmos". Dit idee van het heelal als kosmos zou een belangrijke bron van inspiratie worden.
Omdat tien het volmaakte getal was, moest het heelal dus wel uit tien hemellichamen bestaan. Met de vijf toen bekende planeten, de zon, de maan, de aarde en het centrale vuur kwam men slechts op het getal negen. Dan moest er, recht tegenover de aarde, een "tegenaarde" rond het centrale vuur cirkelen. Aarde en tegenaarde cirkelden in de kleinste baan; daarna kwam de maan, vervolgens de zon, en nog verder de planeten.

Bewijzen van de stelling van Pythagoras

Bewijs 1

Dit eerste bewijs wordt gevormd door het handig schuiven met vormen.

Allereerst teken ik twee vierkanten, waarbij het oppervlakte gegeven wordt door a2 en b2.

Vervolgens door middel van constructie twee gelijkvormige rechthoekige driehoeken in deze figuur en halen de lijn tussen de twee vierkanten weg (zie figuur).

Als je vervolgens de twee driehoeken 270º draait, dan vormt het geheel een vierkant met als zijde c en dus een oppervlakte van c2. fig 3 (boven) en fig. 4
Hieruit volgt dat zijde a2 + b2 = c2.


Bewijs 2

Bij dit bewijs gebruik je 4
exact dezelfde rechthoekige driehoeken, maar
elk 90º verder gedraaid.
De oppervlakte van zo’n driehoek wordt
gegeven door ab:2. fig 5
Als je deze 4 driehoeken als het ware in elkaar legt krijg je een vierkant met zijde c en oppervlakte c2 waarin een vierkant mist. Dit vierkant heeft zijde a-b en dus een oppervlakte van (a-b)2. De oppervlakte van de 4 driehoken wordt nu gegeven door 4• (ab:2) = 2ab.

Als je deze informatie samen neemt krijg je dus fig 6

c2 = (a-b)2+2ab = a2-2ab+b2+2ab = a2+b2.

Bewijs 3

In dit bewijs moet een cirkel geconstrueerd worden met
straal c. Vanuit het middelpunt moet dan een staande rechthoekige driehoek gemaakt worden met zijde a en b.
Doordat de figuur in een cirkel gemaakt is kun je nu zeggen dat er ook een rechthoekige driehoek GHF is met hoogte FK = a. GH is opgedeeld in een stuk (c+b) en een stuk (c-b).

Fig 7


Dezelfde figuur als gemaakt wordt in het eerste figuur staat
hiernaast weer. Doordat driehoek FHK en FHG gelijkvormig zijn, zijn de zijden met elkaar in verhouding. Daarom kun je stellen dat: FK : KG = KH : FK.
Dit is ook anders te schrijven
als FK • FK = KG • KH en dus FK2 = KG • KH.

En de eerste figuur is FK = a fig. 8
KG = (c+b)
KH = (c-b)

Als je al dit samenvoegt krijg je het volgende: a2 = (c+b)(c-b) = c2 - b2
=> a2 + b2 = c2.

Bewijs 4

Bij dit bewijs moet een rechthoekige driehoek abc getekend worden. Aan de korte zijde ab wordt de gelijkvormige rechthoekige driehoek abd getekend. Omdat beide driehoeken gelijkvormig zijn geldt dit ook voor driehoek dbc.

Opp. abd + opp. abc = opp. dbc
ad = ab2 : ac en bd = ab • bc : ac
Hieruit valt het volgende af te leiden: fig. 9
(ab2 : ac) • ab + ab • ac = (ab•bc : ac)•bc

als je nu ab deelt door ac krijg je ab2 + ac2 = bc2 dus a2 + b2 = c2.

Bewijs 5

In driehoek ABC is hoek C de rechte hoek (90o). Zoals te zien is AB = c , AC = b en BC = a. Hierbij kan je de punten D en E op AB creëren zodat AD = AE = b.

Fig 10

Als we een cirkel construeren waar C op ligt en die A als middelpunt heeft, is de straal dus b. Dit betekent dat niet alleen C op de cirkel ligt, maar ook D en E. De diameter is 2b. Hieruit kunnen we afleiden dat de hoek C in BCD en in BEC hetzelfde is. Daarom zijn de driehoeken DBC en EBC gelijkvormig. Hieruit volgt dus: a : (c + b) = (c - b) : a
Dus: a2 = c2 - b2 dus a2 + b2 = c2.

Bewijs 6

Deze methode begint met 4 dezelfde driehoeken, maar deze keer vormen ze een vierkant met zijde (a+b) en een gat met zijde c. We kunnen de oppervlakte van het grote vierkant op twee manieren berekenen. Dus
(a+b)2=4*ab/2+c2
vereenvoudigen: a2+2ab+b2= 2ab+ c2 . geeft
a2+b2=c2 fig.11

Bewijs 7

We beginnen met een van de zijden van een rechtzijdige driehoek, construeer hierbij vier congruente gelijkzijdige driehoeken met willekeurige hypotenusa’s. De hypotenusa van de eerste van de driehoeken (in het diagram aangegeven met rood) moet samenvallen met een van de zijden.
De driehoeken vormen een vierkant met zijden gelijk aan de hypotenusa van de eerste driehoek. De hypotenusa’s van deze driehoeken snijden de zijden van het vierkant precies in hun midden. Op deze manier ontstaan vier paren van gelijke driehoeken (een paar een aangegeven in het groen in figuur 12 hiernaast). Fig. 12

Een van de driehoeken van het paar zit in het vierkant, een zit er buiten. Stel de zijden van de originele driehoek op a, b en c (hypotenusa). Indien de eerste gelijkbenige driehoek geconstrueerd was op zijde b, dan heeft elk een oppervlak van b2/4. We verkrijgen
a2 + 4b2/4 = c2

N.B. Dit bewijs komt uit R. Nelsen’s boek “Proofs Without Words II”.

Bewijs 8

Met een rechthoekige driehoek ABC, met zijden BC,
AC en hypotenusa AB. Noem deze zijden respectievelijk a, b en c. Plak aan de zijden BC en AC vierkanten, zoals dat in het plaatje hiernaast wordt laten zien. Driehoeken ABC en PCQ zijn gelijk, wat als gevolg heeft dat QPC = A. Laat M het midden van de hypotenusa voorstellen. Noem het punt op PQ R, dat verkregen wordt door MC door te trekken naar PQ.

Fig.12
De lijn CM naar de hypotenusa is de helft van de hele lijn, RM. Driehoek CMB is gelijkbenig en MBC = MCB. Maar we hebben ook PCR = MCB. Met deze stelling en het feit dat QPC = A, stel ik dat hoek CRP recht is, oftewel MR PQ.
Met deze stellingen kijken we naar driehoeken MCP en MCQ. We bekijken hun oppervlakten op twee manieren:
Aan de ene kant is de hoogte van M naar PC gelijk aan AC/2 = b/2. Maar PC is ook gelijk aan b. Daarom moet de oppervlakte van driehoek MCP gelijk zijn aan b2/4.
Aan de andere kant is de oppervlakte van driehoek MCP is gelijk aan CM•PR/2 = c•PR/4. Op dezelfde manier vinden we de oppervlakte van driehoek MCQ = a2/4 en ook de oppervlakte van driehoek MCQ = CM•RQ/2 = c•RQ/4.

We kunnen de twee identiteiten bij elkaar optellen: a2/4 + b2/4 = c•PR/4 + c•RQ/4, oftewel a2/4 + b2/4 = c•c/4.

Bewijs 9

Dit bewijs, ontdekt door J.A. Garfield in 1876.
Dit keer wordt een formule voor het berekenen van de oppervlakte van een trapezoïde gebruikt: hoogte maal helft van de som van de basissen - (a+b)/2 * (a+b).
Kijkt men op een andere manier naar het plaatje, dan vindt men dezelfde waarde door de drie oppervlakten van de driehoeken op te tellen: ab/2 + ab/2 + c*c/2. Door vereenvoudigen vinden we
ab+ab+c²=a²+2ab+b² en dat leidt tot a2+b2=c2. Fig. 13

De Boom van Pythagoras

Deze "boom" illustreert de stelling van Pythagoras. Je begint deze boom te tekenen met een vierkant en een rechthoekige driehoek. Eén van de zijden van het vierkant is de schuine zijde van deze rechthoekige driehoek. Op de rechthoekszijden construeer je een vierkant, en op dat vierkant ga je weer een rechthoekige driehoek construeren met als schuine zijde een zijde van het vierkant.
Na een tijdje krijg je volgende figuur:

(Bron:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Pythagoras )