Fibonacci
Fibonacci is omstreeks 1175 geboren en gestorven rond 1250. Fibonacci is de bijnaam van Leonardo van Pisa. Fibonacci betekent in het Latijns zoon van Bonaccio.
Leonardo van Pisa was een handelaar en een wiskundige. Hij is geboren in Pisa. Pisa was toen een belangrijke handelsstad.
Leonardo's vader was Bonaccio. Bonaccio was een soort handelsreiziger in de Noord Afrikaanse stad Bugia (nu Bougie).
Leonardo is opgegroeid in Noord Afrika en heeft daar ook zijn scholing gehad. Later reisde hij veel in landen rondom de Middellandse Zee. Tijdens die reizen zou hij in contact zijn gekomen met veel manieren om wiskunde te beoefenen. Hij was een van de eersten die het Hindu-Arabische getallen systeem naar Europa bracht. Dit systeem is gebaseerd op het nog steeds gebruikte tientallig stelsel: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 en 0.
Fibonacci is ook de schrijver van een aantal boeke: Liber Abbaci, Practica, Flos, Liber Quadratorum en De brief aan filosoof Theodorus.
In de vorige eeuw hebben de bewoners van Pisa een standbeeld van hun beroemdste inwoner opgericht. Het staat aan de oevers van de rivier de Arno aan de Via Fibonacci (straat van Fibonacci).
De gulden snede
De Gulden Snede wordt meestal ingevoerd aan de hand van de verdeling van een lijnstuk in twee gedeelten.
Het lijnstuk AB (waarvan we de lengte 1 nemen) wordt in tweeën gedeeld door een punt M, zodat de verhouding MB : AM gelijk is aan de verhouding AM : AB. De lengte van AM noemen we x. Hierdoor krijgen we de volgende vergelijking:
Met kruislings vermenigvuldigen kunnen we deze vergelijking omschrijven tot
Je moet dus: het kleinste deel : het grootste deel = het grootste deel : het geheel.
Met de abc-formule vinden we x = (–1 + Ö5)/2 » 0.618 of x = (–1 – Ö5)/2 » –1.618. We weten dat de oplossing een positief getal moet zijn, dus alleen x = (–1 + Ö5)/2 voldoet.
Het getal (–1 + Ö5)/2 noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede weer met de Griekse letter j. Met je rekenmachine vind je dat j = 1,61803398875.
Op je rekenmachine kun je zien wat er gebeurt als je het omgekeerde j berekent (dus 1/ j). De Gulden Snede heeft blijkbaar de eigenschap dat 1/ j = 1 + j. Dit getal wordt soms ook de Gulden Snede genoemd. Op deze pagina geven we 1 + j weer met de hoofdletter F (dus F » 1,61803398875).
Gebruik van de Gulden Snede in de kunst
De gulden snede is om verschillende redenen interessant. Ten eerste is het een klassieke opvatting dat de Gulden Snede "mooie" verhoudingen geeft. Al in de oudheid baseerden de Grieken de ontwerpen van gebouwen op de Gulden Snede. Later kwam dit concept opnieuw in de mode in de Renaissance, en ook vandaag de dag zijn er kunstenaars en architecten die de Gulden Snede bij de vormgeving van hun werk toepassen. Bij landschappen wordt gezegd dat het motief op 1/3 op 2/3 van het beeld moet staan.
Een voorbeeld van "mooie" verhoudingen zie je op de afbeelding van de Mona Lisa op de volgende bladzijde.
De “Mona Lisa”
De “Mona Lisa” is een van de bekendste schilderijen ter wereld. De verhoudingen kloppen precies met die van een mens. Dit lijkt natuurlijk niet vreemd, maar als we hier preciezer naar gaan kijken kunnen we het volgende verband zien.
De onderdelen van het schilderij zijn precies op te delen in vierhoeken. Niet zomaar vierhoeken, de vierhoeken zijn rechthoeken die precies op zo’n manier gedeeld zijn dat er weer een nieuwe rechthoek en een vierkant uit komt. Als we deze rechthoek weer op dezelfde mannier verdelen komt er weer een rechthoek uit in dezelfde verhoudingen. Men zou dus oneindig door kunnen gaat met het delen van deze rechthoeken.
De vierkanten delen het gezicht precies op in de juiste verhoudingen. Dit kan natuurlijk toeval zijn, maar is dat het geval?
Niet alleen in schilderijen van mensen zien we deze verhoudingen terugkeren. Je ziet ze ook in landschappen.
Vooral in dit schilderij van Turner zijn deze verhoudingen goed terug te vinden.
De Fibonacci reeks
Net als de Gulden Snede duiken deze Fibonacci getallen in de natuur op de meest vreemde plaatsen op. Het bekendste voorbeeld is het feit dat zonnebloempitten zodanig staan ingeplant dat ze twee stelsels spiralen lijken te vormen. Die stelsels bevatten meestal 34 en 55 spiralen, maar 55 en 89, of 89 en 144 komen ook voor. Zoals je ziet zijn het steeds opeenvolgende Fibonacci getallen.
F(0)=0
F(1)=1
F(n) = F(n-1) + F(n-2).voor n>1
In gewone woorden betekent dat een Fibonacci getal de som is van de twee voorgaande Fibonacci getallen.
Voorbeelden:
0+1=1 5+8=13 55+89=144
1+1=2 8+13=21 89+144=233
1+2=3 13+21=34 144+233=377
2+3=5 21+34=55 233+377=610
3+5=8 34+55=89 377+610=987
Wat is het verband tussen Fibonacci en Phi?
Als je de twee opelkaarvolgende Fibonacci uitkomsten deelt en 1 erbij optelt, kom je steeds dichter bij Phi(1,61803 39887).
Voorbeelden:
1:2=0,5 13:21=0,619047619 144:233=0,618025751
2:3=0,666666… 21:34=0,617647058 233:377=0,618037135
Hij komt dus steeds dichter bij Phi à0.61803 39887
Phi en zijn soortgenoten.
Hij hoort bij de irrationale getallen. Irrationale getallen zijn getallen die je niet als een breuk kan schrijven.
Het ‘konijnenpaar’-probleem.
Fibonacci zocht de oplossing voor het zogenaamde “konijnenpaar”-probleem. Hij zette 2 konijnen, een mannetje en een vrouwtje, bij elkaar in een afgesloten hok. In de eerste maand heb je dus één paar. Na een maand zijn ze volwassen en kan het vrouwtje jongen krijgen. De draagtijd van een konijn is ongeveer één maand. Je hebt dus na twee maanden nog steeds één paar. In de derde maand krijgt het vrouwtje twee jongen, een mannetje en een vrouwtje. Nu heb je dus twee paar. Dat vrouwtje kan na een maand ook jongen krijgen.
Hoeveel konijnen heb je dan na een jaar? Er gaan geen konijnen dood en elk konijnenpaar krijgt elke maand een mannetje en een vrouwtje. De oplossing van dit probleem leidde tot de getallenreeks van Fibonacci: 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 144, 233…..
In die reeks zit een verband: als je de twee voorgaande getallen op telt krijg je het volgende getal in de reeks. Dit is in formulevorm: F(n) = F(n-1)+F(n-2), waarbij F(n) een getal uit de reeks van Fibonacci is.
Fibonacci in het fruit
De Fibonacci reeks komt ook voor in aller daagse soorten fruit. Zoals de appel, peer en banaan. Hieronder een voorbeeld van de banaan.
Als je een banaan bekijkt, valt het meteen op dat aan de buitenkant al meteen duidelijk een Fibonacci getal zichtbaar is. Bij bijna alle bananen heeft het buitenkant 5 vlakken.
Als je de banaan schilt en daarna voorzichtig op de punt drukt, splits de banaan zich in drie delen. Dat is duidelijk te zien op het derde plaatje.
Zo blijkt maar weer dat zelfs de dagelijkse groenten en fruit enige structuren hebben waar de Fibonacci getallen in te herkennen zijn. Ook komt Fibonacci voor in planten en bloemen.
Fibonacci in de natuur.
Zowel de Gulden Snede als de Reeks van Fibonacci zie je in heel veel vormen in de natuur terug, dat is geen toeval. Het komt door de manier waarop cellen groeien en elkaar steeds verder van de kern wegduwen. Dat gebeurt op een manier waarop de cellen zo min mogelijk ruimte innemen. Als dit zich blijft herhalen krijg je een spiraal motief. Bekijk voor de lol maar eens hoe pitten in een zonnebloem zijn geordend. Of hoe de schubben van een dennenappel spiraalsgewijs zijn gestapeld. En hoe bladeren bij een aantal planten steeds onder eenzelfde vaste hoek van ongeveer 137,5 graden ten opzichte van elkaar zijn verdraaid.
Een hoek die voldoet aan de Gulden Snede ( het kleinste deel van 360 gr).
Wat interessant is aan de hoek van 137,5 graden is dat de lichtopbrengst van de plant optimaal is. Ze liggen namelijk zo min mogelijk in elkaars schaduw.
Fibonacci in de zonnebloem
Een zonnebloem heeft zijn zaden niet zomaar gerangschikt. Tel maar eens het aantal spiralen linksom en rechtsom. Dat zijn er afhankelijk van de soort zonnebloem 34 en 55, 55 en 89, 89 en 144 en ga zo maar verder. Misschien is het je opgevallen dat het steeds 2 opeenvolgende Fibonacci-getallen zijn.
Bij een zonnebloem komt een nieuwe pit aan de zijkant van de kern. Als daar al een oude pit zit wordt hij naar buiten gedrukt. Hij krijg je op deze manier zoveel mogelijk pitten in een mooie ronde zonnebloem?
Je draait telkens over de Gulden hoek,φ x 360° = 222,5°.
Je kunt echter met het blote oog niet goed zien dat de zonnebloem zo is verdeeld, want hij wordt afgeleid door andere spiralen. De getallen van Fibonacci kun je ook in andere dingen uit de natuur terug vinden.
Fibonacci in nog meer bloemen.
De groei van de blaadjes van de plant Lychnis Coronaria laat eerst 1 bloem groeien, daarna groeien er 2 blaadjes, dan 3, gevolgd door 5,8,13,21. Een iris heeft 3 bloemblaadjes, een boterbloem 5, een delphinium 8, een Afrikaantje 13 en een aster 21. Er zijn zelfs zonnebloemen met 34 blaadjes. Zo zie je maar weer dat ook in bloemen de reeks van Fibonacci terug komt.
Fibonacci is omstreeks 1175 geboren en gestorven rond 1250. Fibonacci is de bijnaam van Leonardo van Pisa. Fibonacci betekent in het Latijns zoon van Bonaccio.
Leonardo van Pisa was een handelaar en een wiskundige. Hij is geboren in Pisa. Pisa was toen een belangrijke handelsstad.
Leonardo's vader was Bonaccio. Bonaccio was een soort handelsreiziger in de Noord Afrikaanse stad Bugia (nu Bougie).
Leonardo is opgegroeid in Noord Afrika en heeft daar ook zijn scholing gehad. Later reisde hij veel in landen rondom de Middellandse Zee. Tijdens die reizen zou hij in contact zijn gekomen met veel manieren om wiskunde te beoefenen. Hij was een van de eersten die het Hindu-Arabische getallen systeem naar Europa bracht. Dit systeem is gebaseerd op het nog steeds gebruikte tientallig stelsel: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 en 0.
In de vorige eeuw hebben de bewoners van Pisa een standbeeld van hun beroemdste inwoner opgericht. Het staat aan de oevers van de rivier de Arno aan de Via Fibonacci (straat van Fibonacci).
De gulden snede
De Gulden Snede wordt meestal ingevoerd aan de hand van de verdeling van een lijnstuk in twee gedeelten.
Het lijnstuk AB (waarvan we de lengte 1 nemen) wordt in tweeën gedeeld door een punt M, zodat de verhouding MB : AM gelijk is aan de verhouding AM : AB. De lengte van AM noemen we x. Hierdoor krijgen we de volgende vergelijking:
Met kruislings vermenigvuldigen kunnen we deze vergelijking omschrijven tot
Je moet dus: het kleinste deel : het grootste deel = het grootste deel : het geheel.
Met de abc-formule vinden we x = (–1 + Ö5)/2 » 0.618 of x = (–1 – Ö5)/2 » –1.618. We weten dat de oplossing een positief getal moet zijn, dus alleen x = (–1 + Ö5)/2 voldoet.
Het getal (–1 + Ö5)/2 noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede weer met de Griekse letter j. Met je rekenmachine vind je dat j = 1,61803398875.
Op je rekenmachine kun je zien wat er gebeurt als je het omgekeerde j berekent (dus 1/ j). De Gulden Snede heeft blijkbaar de eigenschap dat 1/ j = 1 + j. Dit getal wordt soms ook de Gulden Snede genoemd. Op deze pagina geven we 1 + j weer met de hoofdletter F (dus F » 1,61803398875).
Gebruik van de Gulden Snede in de kunst
De gulden snede is om verschillende redenen interessant. Ten eerste is het een klassieke opvatting dat de Gulden Snede "mooie" verhoudingen geeft. Al in de oudheid baseerden de Grieken de ontwerpen van gebouwen op de Gulden Snede. Later kwam dit concept opnieuw in de mode in de Renaissance, en ook vandaag de dag zijn er kunstenaars en architecten die de Gulden Snede bij de vormgeving van hun werk toepassen. Bij landschappen wordt gezegd dat het motief op 1/3 op 2/3 van het beeld moet staan.
De “Mona Lisa”
De “Mona Lisa” is een van de bekendste schilderijen ter wereld. De verhoudingen kloppen precies met die van een mens. Dit lijkt natuurlijk niet vreemd, maar als we hier preciezer naar gaan kijken kunnen we het volgende verband zien.
De onderdelen van het schilderij zijn precies op te delen in vierhoeken. Niet zomaar vierhoeken, de vierhoeken zijn rechthoeken die precies op zo’n manier gedeeld zijn dat er weer een nieuwe rechthoek en een vierkant uit komt. Als we deze rechthoek weer op dezelfde mannier verdelen komt er weer een rechthoek uit in dezelfde verhoudingen. Men zou dus oneindig door kunnen gaat met het delen van deze rechthoeken.
De vierkanten delen het gezicht precies op in de juiste verhoudingen. Dit kan natuurlijk toeval zijn, maar is dat het geval?
Niet alleen in schilderijen van mensen zien we deze verhoudingen terugkeren. Je ziet ze ook in landschappen.
Vooral in dit schilderij van Turner zijn deze verhoudingen goed terug te vinden.
De Fibonacci reeks
Net als de Gulden Snede duiken deze Fibonacci getallen in de natuur op de meest vreemde plaatsen op. Het bekendste voorbeeld is het feit dat zonnebloempitten zodanig staan ingeplant dat ze twee stelsels spiralen lijken te vormen. Die stelsels bevatten meestal 34 en 55 spiralen, maar 55 en 89, of 89 en 144 komen ook voor. Zoals je ziet zijn het steeds opeenvolgende Fibonacci getallen.
F(0)=0
F(n) = F(n-1) + F(n-2).voor n>1
In gewone woorden betekent dat een Fibonacci getal de som is van de twee voorgaande Fibonacci getallen.
Voorbeelden:
0+1=1 5+8=13 55+89=144
1+1=2 8+13=21 89+144=233
1+2=3 13+21=34 144+233=377
2+3=5 21+34=55 233+377=610
3+5=8 34+55=89 377+610=987
Wat is het verband tussen Fibonacci en Phi?
Als je de twee opelkaarvolgende Fibonacci uitkomsten deelt en 1 erbij optelt, kom je steeds dichter bij Phi(1,61803 39887).
Voorbeelden:
1:2=0,5 13:21=0,619047619 144:233=0,618025751
2:3=0,666666… 21:34=0,617647058 233:377=0,618037135
Hij komt dus steeds dichter bij Phi à0.61803 39887
Phi en zijn soortgenoten.
Hij hoort bij de irrationale getallen. Irrationale getallen zijn getallen die je niet als een breuk kan schrijven.
Fibonacci zocht de oplossing voor het zogenaamde “konijnenpaar”-probleem. Hij zette 2 konijnen, een mannetje en een vrouwtje, bij elkaar in een afgesloten hok. In de eerste maand heb je dus één paar. Na een maand zijn ze volwassen en kan het vrouwtje jongen krijgen. De draagtijd van een konijn is ongeveer één maand. Je hebt dus na twee maanden nog steeds één paar. In de derde maand krijgt het vrouwtje twee jongen, een mannetje en een vrouwtje. Nu heb je dus twee paar. Dat vrouwtje kan na een maand ook jongen krijgen.
Hoeveel konijnen heb je dan na een jaar? Er gaan geen konijnen dood en elk konijnenpaar krijgt elke maand een mannetje en een vrouwtje. De oplossing van dit probleem leidde tot de getallenreeks van Fibonacci: 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 144, 233…..
In die reeks zit een verband: als je de twee voorgaande getallen op telt krijg je het volgende getal in de reeks. Dit is in formulevorm: F(n) = F(n-1)+F(n-2), waarbij F(n) een getal uit de reeks van Fibonacci is.
Fibonacci in het fruit
De Fibonacci reeks komt ook voor in aller daagse soorten fruit. Zoals de appel, peer en banaan. Hieronder een voorbeeld van de banaan.
Als je een banaan bekijkt, valt het meteen op dat aan de buitenkant al meteen duidelijk een Fibonacci getal zichtbaar is. Bij bijna alle bananen heeft het buitenkant 5 vlakken.
Als je de banaan schilt en daarna voorzichtig op de punt drukt, splits de banaan zich in drie delen. Dat is duidelijk te zien op het derde plaatje.
Zo blijkt maar weer dat zelfs de dagelijkse groenten en fruit enige structuren hebben waar de Fibonacci getallen in te herkennen zijn. Ook komt Fibonacci voor in planten en bloemen.
Fibonacci in de natuur.
Zowel de Gulden Snede als de Reeks van Fibonacci zie je in heel veel vormen in de natuur terug, dat is geen toeval. Het komt door de manier waarop cellen groeien en elkaar steeds verder van de kern wegduwen. Dat gebeurt op een manier waarop de cellen zo min mogelijk ruimte innemen. Als dit zich blijft herhalen krijg je een spiraal motief. Bekijk voor de lol maar eens hoe pitten in een zonnebloem zijn geordend. Of hoe de schubben van een dennenappel spiraalsgewijs zijn gestapeld. En hoe bladeren bij een aantal planten steeds onder eenzelfde vaste hoek van ongeveer 137,5 graden ten opzichte van elkaar zijn verdraaid.
Een hoek die voldoet aan de Gulden Snede ( het kleinste deel van 360 gr).
Fibonacci in de zonnebloem
Een zonnebloem heeft zijn zaden niet zomaar gerangschikt. Tel maar eens het aantal spiralen linksom en rechtsom. Dat zijn er afhankelijk van de soort zonnebloem 34 en 55, 55 en 89, 89 en 144 en ga zo maar verder. Misschien is het je opgevallen dat het steeds 2 opeenvolgende Fibonacci-getallen zijn.
Bij een zonnebloem komt een nieuwe pit aan de zijkant van de kern. Als daar al een oude pit zit wordt hij naar buiten gedrukt. Hij krijg je op deze manier zoveel mogelijk pitten in een mooie ronde zonnebloem?
Je draait telkens over de Gulden hoek,φ x 360° = 222,5°.
Je kunt echter met het blote oog niet goed zien dat de zonnebloem zo is verdeeld, want hij wordt afgeleid door andere spiralen. De getallen van Fibonacci kun je ook in andere dingen uit de natuur terug vinden.
Fibonacci in nog meer bloemen.
De groei van de blaadjes van de plant Lychnis Coronaria laat eerst 1 bloem groeien, daarna groeien er 2 blaadjes, dan 3, gevolgd door 5,8,13,21. Een iris heeft 3 bloemblaadjes, een boterbloem 5, een delphinium 8, een Afrikaantje 13 en een aster 21. Er zijn zelfs zonnebloemen met 34 blaadjes. Zo zie je maar weer dat ook in bloemen de reeks van Fibonacci terug komt.
REACTIES
:name
:name
:comment
1 seconde geleden
K.
K.
klopt het dat Fibonacci in pisa is geboren?
13 jaar geleden
AntwoordenP.
P.
de Mona Lisa is geschilderd door Da Vinci, niet door Turner.
6 jaar geleden
Antwoorden