Fibonacci en de gulden snede

Fibonacci

Fibonacci is omstreeks 1175 geboren en gestorven rond 1250. Fibonacci is de bijnaam van Leonardo van Pisa. Fibonacci betekent in het Latijns zoon van Bonaccio.
Leonardo van Pisa was een handelaar en een wiskundige. Hij is geboren in Pisa. Pisa was toen een belangrijke handelsstad.
Leonardo's vader was Bonaccio. Bonaccio was een soort handelsreiziger in de Noord Afrikaanse stad Bugia (nu Bougie).
Leonardo is opgegroeid in Noord Afrika en heeft daar ook zijn scholing gehad. Later reisde hij veel in landen rondom de Middellandse Zee. Tijdens die reizen zou hij in contact zijn gekomen met veel manieren om wiskunde te beoefenen. Hij was een van de eersten die het Hindu-Arabische getallen systeem naar Europa bracht. Dit systeem is gebaseerd op het nog steeds gebruikte tientallig stelsel: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 en 0.
Fibonacci is ook de schrijver van een aantal boeke: Liber Abbaci, Practica, Flos, Liber Quadratorum en De brief aan filosoof Theodorus.
In de vorige eeuw hebben de bewoners van Pisa een standbeeld van hun beroemdste inwoner opgericht. Het staat aan de oevers van de rivier de Arno aan de Via Fibonacci (straat van Fibonacci).

De gulden snede

De Gulden Snede wordt meestal ingevoerd aan de hand van de verdeling van een lijnstuk in twee gedeelten.
Het lijnstuk AB (waarvan we de lengte 1 nemen) wordt in tweeën gedeeld door een punt M, zodat de verhouding MB : AM gelijk is aan de verhouding AM : AB. De lengte van AM noemen we x. Hierdoor krijgen we de volgende vergelijking:

Met kruislings vermenigvuldigen kunnen we deze vergelijking omschrijven tot

Je moet dus: het kleinste deel : het grootste deel = het grootste deel : het geheel.

Met de abc-formule vinden we x = (–1 + Ö5)/2 » 0.618 of x = (–1 – Ö5)/2 » –1.618. We weten dat de oplossing een positief getal moet zijn, dus alleen x = (–1 + Ö5)/2 voldoet.
Het getal (–1 + Ö5)/2 noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede weer met de Griekse letter j. Met je rekenmachine vind je dat j = 1,61803398875.
Op je rekenmachine kun je zien wat er gebeurt als je het omgekeerde j berekent (dus 1/ j). De Gulden Snede heeft blijkbaar de eigenschap dat 1/ j = 1 + j. Dit getal wordt soms ook de Gulden Snede genoemd. Op deze pagina geven we 1 + j weer met de hoofdletter F (dus F » 1,61803398875).

Gebruik van de Gulden Snede in de kunst

De gulden snede is om verschillende redenen interessant. Ten eerste is het een klassieke opvatting dat de Gulden Snede "mooie" verhoudingen geeft. Al in de oudheid baseerden de Grieken de ontwerpen van gebouwen op de Gulden Snede. Later kwam dit concept opnieuw in de mode in de Renaissance, en ook vandaag de dag zijn er kunstenaars en architecten die de Gulden Snede bij de vormgeving van hun werk toepassen. Bij landschappen wordt gezegd dat het motief op 1/3 op 2/3 van het beeld moet staan.
Een voorbeeld van "mooie" verhoudingen zie je op de afbeelding van de Mona Lisa op de volgende bladzijde.

De “Mona Lisa”

De “Mona Lisa” is een van de bekendste schilderijen ter wereld. De verhoudingen kloppen precies met die van een mens. Dit lijkt natuurlijk niet vreemd, maar als we hier preciezer naar gaan kijken kunnen we het volgende verband zien.
De onderdelen van het schilderij zijn precies op te delen in vierhoeken. Niet zomaar vierhoeken, de vierhoeken zijn rechthoeken die precies op zo’n manier gedeeld zijn dat er weer een nieuwe rechthoek en een vierkant uit komt. Als we deze rechthoek weer op dezelfde mannier verdelen komt er weer een rechthoek uit in dezelfde verhoudingen. Men zou dus oneindig door kunnen gaat met het delen van deze rechthoeken.
De vierkanten delen het gezicht precies op in de juiste verhoudingen. Dit kan natuurlijk toeval zijn, maar is dat het geval?
Niet alleen in schilderijen van mensen zien we deze verhoudingen terugkeren. Je ziet ze ook in landschappen.

Vooral in dit schilderij van Turner zijn deze verhoudingen goed terug te vinden.

De Fibonacci reeks

Net als de Gulden Snede duiken deze Fibonacci getallen in de natuur op de meest vreemde plaatsen op. Het bekendste voorbeeld is het feit dat zonnebloempitten zodanig staan ingeplant dat ze twee stelsels spiralen lijken te vormen. Die stelsels bevatten meestal 34 en 55 spiralen, maar 55 en 89, of 89 en 144 komen ook voor. Zoals je ziet zijn het steeds opeenvolgende Fibonacci getallen.
F(0)=0
F(1)=1
F(n) = F(n-1) + F(n-2).voor n>1
In gewone woorden betekent dat een Fibonacci getal de som is van de twee voorgaande Fibonacci getallen.
Voorbeelden:
0+1=1 5+8=13 55+89=144
1+1=2 8+13=21 89+144=233
1+2=3 13+21=34 144+233=377
2+3=5 21+34=55 233+377=610
3+5=8 34+55=89 377+610=987

Wat is het verband tussen Fibonacci en Phi?

Als je de twee opelkaarvolgende Fibonacci uitkomsten deelt en 1 erbij optelt, kom je steeds dichter bij Phi(1,61803 39887).
Voorbeelden:
1:2=0,5 13:21=0,619047619 144:233=0,618025751
2:3=0,666666… 21:34=0,617647058 233:377=0,618037135
Hij komt dus steeds dichter bij Phi à0.61803 39887

Phi en zijn soortgenoten.
Hij hoort bij de irrationale getallen. Irrationale getallen zijn getallen die je niet als een breuk kan schrijven.

Het ‘konijnenpaar’-probleem.

Fibonacci zocht de oplossing voor het zogenaamde “konijnenpaar”-probleem. Hij zette 2 konijnen, een mannetje en een vrouwtje, bij elkaar in een afgesloten hok. In de eerste maand heb je dus één paar. Na een maand zijn ze volwassen en kan het vrouwtje jongen krijgen. De draagtijd van een konijn is ongeveer één maand. Je hebt dus na twee maanden nog steeds één paar. In de derde maand krijgt het vrouwtje twee jongen, een mannetje en een vrouwtje. Nu heb je dus twee paar. Dat vrouwtje kan na een maand ook jongen krijgen.
Hoeveel konijnen heb je dan na een jaar? Er gaan geen konijnen dood en elk konijnenpaar krijgt elke maand een mannetje en een vrouwtje. De oplossing van dit probleem leidde tot de getallenreeks van Fibonacci: 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 144, 233…..
In die reeks zit een verband: als je de twee voorgaande getallen op telt krijg je het volgende getal in de reeks. Dit is in formulevorm: F(n) = F(n-1)+F(n-2), waarbij F(n) een getal uit de reeks van Fibonacci is.

Fibonacci in het fruit