Driehoek van Pascal

Helaas, kunnen de formules en illustraties niet worden weergegeven, die zijn heel erg belangrijk. Probeer ze zelf toe te voegen.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

De driehoek van Pascal

Inhoudsopgave
Naam van het hoofdstuk Pagina nummer
Inleiding 2
Wat is de driehoek van Pascal ? 3
De geschiedenis van de driehoek van Pascal 4
Het gebruik van de driehoek van Pascal 5

Reeksen binnen de driehoek van Pascal 8
Patronen in de driehoek van Pascal 11
Varianten op de driehoek van Pascal 13
Bronnen 15

Inleiding
Wij hebben dit verslag over de driehoek van Pascal gemaakt voor ons wiskunde B PO. Over de driehoek van Pascal valt heel veel te vertellen, meer dan genoeg om er hele boeken over te schrijven en daarom hebben wij natuurlijk niet alles kunnen vertellen. Maar toch hebben we als onderzoeksvraag een relatief open vraag gebruikt zodat we wel uit veel verschillende dingen over de driehoek van Pascal wat konden vertellen. Onze onderzoeksvraag was namelijk: Wat is de driehoek van Pascal en waar kun je hem voor gebruiken? Eigenlijk wilden we gewoon van alles vertellen over de driehoek van Pascal in verschillende hoofdstukken maar voor dit PO was je gebonden aan de “onderzoeksvraag structuur” , we hebben deze onderzoeksvraag dus gekozen zodat het bij ons eerste plan voor het PO aansloot.

Wat is de driehoek van Pascal ?
De driehoek van Pascal is een oneindige stapel getallen, die meestal in de vorm van een blokkentoren wordt afgebeeld. De illustratie hieronder is een visualisatie van de top van de driehoek, de eerste rijen zijn hier weergegeven. Zoals je kunt zien is in ieder blokje een getal geplaatst, echter niet zomaar een getal, elk getal voldoet aan één belangrijke regel. Die regel luidt: Ieder getal in de driehoek van Pascal is de som van de twee getallen er direct boven. De enige uitzondering op deze regel is de 1 die helemaal bovenaan in het grijze blokje staat. Alles buiten de driehoek van blokjes heeft de waarde 0, in de illustratie is dat gebied met grijze nullen aangegeven.

In de onderstaande illustratie zie je bijvoorbeeld het rood gekleurde blokje met 84 er in, en twee groene blokjes direct daarboven, met respectievelijk 56 en 28 er in. De 84 uit het rode blokje is de som van de 56 en de 28 uit de groene blokjes. Dit geldt ook voor de 1 in het blauwe blokje en de 0 en 1 in de gele blokjes. En alle andere getallen in welk blokje dan ook, met uit zondering van het begingetal in het bovenste, grijze blokje; de 1.


84 = 56 + 28
1 = 0 + 1

De geschiedenis van de driehoek van Pascal
De driehoek van Pascal is niet voor het eerst bedacht door de Franse wetenschapper Blaise Pascal, maar door vele verschillende wetenschappers overal ter wereld. Een van de eerste ontdekkers was de Chinese wiskundige Yang Hui in 1261. Ook in Europa was Pascal niet de eerste, de Italiaanse wiskundige Niccolò Fontana Tartaglia kwam in 1556 al met zijn ‘Rechthoek van Tartaglia’ deze was in feite het zelfde als de driehoek van Pascal, alleen de blokjes waren op een zodanige manier anders gepositioneerd dat zich een rechthoek vormde.

Yang Hui
Yang Hui (in het Chinees 楊輝) leefde van 1238 tot 1298 in Hangzhou, de hoofdstad van de provincie Zhejiang in oost China. Zijn belangrijkste bijdragen aan de wiskunde leverde hij op het gebied van magische vierkanten, magische cirkel en combinatoriek, de subdiscipline van de wiskunde waartoe de driehoek van Pascal ook behoord.

Niccolò Fontana Tartaglia
Niccolò Fontana Tartaglia werd geboren in het jaar 1499 of in het jaar 1500 te Brescia in Italië. Hij overleed op 13 of 14 december yyyy te Venetië. Zijn belangrijkste bijdrage aan de wiskunde was zij universele formule voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen, zoals Brahmagupta in 628 de universele formule voor het oplossen van een kwadratische vergelijking ontdekte. Tegenwoordig staat deze bekend als de abc-formule. De formule van Tartaglia zou je dus de ‘abcd-formule’ kunnen noemen.

Blaise Pascal
Pascal werd op 19 juni 1623 geboren te Clermont-Ferrand in de Franse regio Auvergne. Hij overleed op 19 augustus 1662 te Parijs.

Pascal was een belangrijk wis– en natuurkundige, hij was eveneens een filosoof en een theoloog. Gedurende zijn leven heeft hij samen met de wiskundige Pierre Fermat de grondslag voor de kansrekening gelegd. Ook bouwde hij een van de eerste mechanische rekenmachine, overigens kon deze alleen maar op– en aftrekken.
Op het gebied van natuurkunde leverde hij een belangrijke bijdrage met de Wet van Pascal, die luidt ‘De druk die op een vloeistof wordt uigeoefend, plant zich in alle richtingen met dezelfde grootte voort’. En op wiskundig gebied niet te vergeten de driehoek van Pascal, waar deze verhandeling om begonnen is. Alle deze dingen zijn nog maar een fractie van zijn totale bijdrage aan de wis– en natuurkunde, om nog maar te zwijgen over zijn overige vakgebieden.

Het gebruik van de driehoek van Pascal
Blaise Pascal was de eerste die de driehoek van Pascal echt kon gebruiken. Hij gebruikte zijn driehoek voornamelijk voor het maken van kansberekeningen, er bestaan heel veel verschillende soorten kansberekeningen. Een belangrijke overeenkomst tussen alle kansberekening is dat je het aantal vrijheidsgraden van het systeem moet weten. Met het systeem wordt bedoeld: de situatie of het experiment waarop de kansberekening betrekking heeft. En met het aantal vrijheidsgraden bedoelt men het aantal mogelijke uitslagen van het experiment.

Mogelijkheden
Bij kansexperimenten is het dus heel makkelijk om te berekenen wat het aantal mogelijkheden is, bijvoorbeeld bij het gooien van een dobbelsteen (in de vorm van een kubus). Die heeft namelijk zes zijvlakken, is symmetrisch en heeft na het rollen slechts een vlak boven liggen. Hieruit volgt uit dat er zes mogelijkheden zijn met ieder een gelijke waarschijnlijkheid.

Kansen
Uit het bovenstaande volgt dat de kans is dat je met een dobbelsteen een 6 gooit gelijk is aan:
Overigens is het onder wiskundige niet gebruikelijk om kansen in procenten weer te gegeven. In de wiskunde is een kans van 1 gelijk aan een kans van 100% en een kans van 0,5 gelijk aan een kans van 50%; zo is een kans van 0 dan ook een kans van 0%. De kans dat je 6 gooit met een dobbelsteen is dus 0,167.

Een stapje verder
Soms is het minder gemakkelijk om er achter te komen hoeveel mogelijkheden er zijn. Neem bijvoorbeeld het volgende probleem:


Er is een groep van 11 mensen. In deze groep wordt een bestuur van 3 mensen gekozen. Hoeveel verschillende bestuursgroepen zijn er samen te stellen?

Op het eerste gezicht denk je misschien, voor bestuurslid 1 zijn er 11 mogelijkheden , voor bestuurslid 2 zijn er 10 en voor bestuurslid 3 zijn er 9 mogelijkheden, dus het antwoord is . Dit klopt echter niet, omdat onder andere de volgende bestuursformaties hetzelfde zijn, persoon 1 samen met persoon 6 en persoon 8, kort geschreven als 168 hetzelfde is als 186, 618, 681, 816 en 861.En 123, 132, 213, 231, 312, 321. Kortom de volgorde doet er niet toe. Elke bestuursgroep kan dus op zes verschillende manier worden genoteerd. Er zijn dus eigenlijk 6 keer zo weinig mogelijkheden, dus: .

Faculteit
Maar waar komt die 6 nou vandaan? Die 6 is het aantal manieren waarop je de 3 verschillende getallen kunt rangschikken, manieren. Zo is het aantal verschillen de ordeningen van 5 getallen 120, wand . Vanaf nu wordt dit geschreven als omdat dat veel korter is. Deze functie heet faculteit en is gedefinieerd als :
, waar N
Hier betekent ‘ N’ dat de variabele n altijd een natuurlijk getal moet zijn, anders geldt de definitie niet. Een natuurlijk getal is een positief niet geheel getal. Sommige wiskundige vinden dat 0 ook een natuurlijk getal is, in deze gehele verhandeling beschouwen we 0 echter niet als een natuurlijk getal, dit maakt dat reeks van natuurlijke getallen dus 1,2,3,4,5,… enzovoort.

Extraatje
De hierboven genoemde definitie van de faculteit-funcie is wiskundig eigenlijk niet helemaal correct, omdat deze strikt genomen niet klopt als , maar hij is een stuk makelijker te begrijpelijker dan de officiële definitie. Echter met wat uitleg is de officiële definitie ook wel te begrijpen:
, waar N
Het teken betekent hier komt een herhaling van vermenigvuldiging. In de bovengenoemde definitie wordt het getal een aantal malen vermenigvuldigd, net als bij een machtsverheffing, alleen hier verandert de tijdens het berekenen van de functie.
Zo als je ziet begint met waarde 1, vanaf dan wordt steeds 1 groter totdat . Het getal bovenop de (in het voorbeeld hiernaast is dat de 5) bepaalt de laatste waarde van , dus het einde van de berekening functie. Het getal onder de (in het voorbeeld hierboven is dat 1) bepaalt de begin waarde van k. De betekent dat k de veranderlijke variabele is, maar daarvoor mag natuurlijk ook een willekeurige andere letter worden gekozen.



Voorbeelden:
Combinaties
Bij het vraagstuk over de bestuursgroepen ging het eigenlijk over hoeveel combinaties van 11 dingen je kunt maken als je er maar 3 tegelijk mag gebruiken. Dit wordt geschreven als , inmiddels waren we er achter dat . De 6 was van 3! En is het zelfde als , kort geschreven . Die 8 komt weer van , dus eigenlijk geldt

Als universele formule kunnen we stellen:
, iets duidelijker geschreven : .

Op deze manier kun je bijvoorbeeld vrij gemakkelijk berekenen hoeveel combinaties van 32 dingen je kunt maken als je er maar 6 tegelijk mag gebruiken. Namelijk :

Deze functie heet ‘de binomiaalcoëfficiënt’ en spreek je uit als ‘vier boven drie’.
Er zijn meerdere manieren om vier boven drie te noteren de belangrijkste zijn:

Met een computer of GR is een binomiaalcoëfficiënt niet zo moeilijk te berekenen, maar in de 17e eeuw was men aangewezen op de driehoek van Pascal. De oplossing van is namelijk ook in de driehoek van Pascal te vinden, ga gewoon 11 blokjes omlaag vanaf de grijze 1, en dan op die rij 3 blokjes naar rechts vanaf de linker 1 (licht groen), et voila: 165. (De omcirkelde 11 is een goed herkenningpunt voor de 11e rij.)

Het maken van de driehoek van Pascal is veel minder werk dan het uitrekenen van al die faculteiten en delingen.


Reeksen binnen de driehoek van Pascal
Binnen de driehoek van Pascal zijn oneindig veel getallenreeksen, bijvoorbeeld is iedere diagonale en horizontale rij blokjes op te vatten als een getallenreeks, eerst gaan we het hebben over de diagonale getallenreeksen. De diagonale getallenreeksen zijn altijd oneindig lang, en ze beginnen allemaal met een 1, die staat op positie 0. Diagonale reeks 0 bevat alleen maar enen, in de illustratie rechts is deze reeks grijs gekleurd. Diagonale reeks 1 is de telreeks, deze begint op positie 0 met waarde 1, hierna wordt de waarde in het volgende blokje steeds 1 groter. Diagonale reeks 2 is de reeks van driehoeksgetallen, in de illustratie blauw gekleurd. In de reeks van driehoeksgetallen kun je opzoeken hoeveel blokjes een blokkentoren in de vorm van een driehoek (zoals de driehoek van Pascal) bevat als gegeven is hoe hoog hij is. Stel, er is een blokkentoren met een hoogte van 6 blokken, hoeveel blokken bevat deze toren dan? Je kunt het natuurlijk helemaal uittellen, maar het is makkelijker om het op te zoeken in de driehoek van Pascal. Als je in de 2e diagonale reeks naar positie 6-1, dus positie 5 gaat, vind je het aantal blokjes dat je toren bevat. In de illustratie is dit ook weergegeven: alle dik omrande blokje behalve de 21 stellen de blokkentoren met een hoogt van 6 blokjes voor. De dik omrande 21 is het aantal blokjes dat je toren bevat. In de driehoek van Pascal is deze waarde altijd te vinden in de 2e diagonale reeks, op de positie die zich twee blokjes onder de onderkant van de denkbeeldige blokkentoren bevind. Driehoeksgetal nummer ‘n’ kun je echter veel steller berekenen met de formule . De juistheid van deze formule is eenvoudig in te zien: stel je hebt een vierkant met zijde 5, het aantal blokjes is dan =25, we delen het vierkant door tweeën dan is het aantal blokjes dus 12,5. Vervolgens tellen we de helft van 5 bij weer bij op, 12,5+2,5=15. Dus driehoeksgetal 5 is 15. Dit geldt voor alleen formaten van vierkanten.

Diagonale reeks 3 is de reeks van tetraëdergetallen, in de illustratie op de vorige bladzijde is reeks deze licht geel gekleurd, in de reeks van tetraëdergetallen kun je opzoeken hoeveel bollen er op een stapel met een driehoekig grondvlak liggen, als de hoogte van de stapel gegeven is. Zie de illustratie rechts.

Het konijnen probleem
Het konijnen probleem is een probleem dat de groei van een populatie konijnen beschrijft. Het aantal konijnen op een gegeven moment is in een reeks te vatten, deze reeks is bedacht door Fibonacci. Fibonacci zei dat hij met deze rij het konijnen probleem kon weergeven. Hij zei namelijk dat hij precies kon laten zien hoe veel konijnen er na een jaar waren als je begint met een paar.

De rij van Fibonacci krijg je door in de driehoek van pascal vanaf de 1 de som te nemen van de getallen die op de lijn liggen als je rechts naar boven gaat. In het plaatje hier onder kun je zien hoe dat in zijn werking gaat. Het kan gewoon in een gewone driehoek van pascal maar het is makkelijker te zien als je de driehoek van pascal tekend zoals in het onderstaande plaatje. Elke rij (inclusief rij 0) staat voor een maand omdat Fibonacci ervan uit ging dat er elke maand nakomelingen gemaakt zouden worden, omdat een konijn daar na een maand toe in staat is. Je kunt dus zien aan de getallen rechts in de rij hoeveel paar konijnen er zijn, dat is in het begin dus 1 en aan het einde 144.

In het begin is er 1 paar konijnen, dit paar konijnen doet er 1 maand over om geslachtsrijp te worden, daarom in er de 2e maand nogsteeds maar 1 paar konijnen. Daarna werpt het konijn een paar konijnen en blijft zelf ook leven, dan zijn er dus 2 paar konijnen. Vervolgens werpt het paar waarmee we begonnen weer een paar jongen en ondertussen is het andere paar geslachtsrijp geworden. Op deze manier gaat het door en dat is dus te zien in de rij van Fibonacci.

De konijnen met een blauwe achtergrond zijn geslachtsrijp en die met een gele achtergrond niet

Om deze rij echt te laten kloppen zijn er een paar voorwaarden waar sowieso aan voldaan moeten zijn.
1. Als een konijn jongen werpt moeten het er steeds precies 2 zijn van tegenovergestelde sekse.
2. Elk konijn moet na een maand ook daadwerkelijk nakomelingen kunnen maken.
3. Er mogen nooit konijnen sterven.
4. Inteelt is geen probleem


Omdat er een zeer kleine kans is dat dit allemaal van toepassing is, kunnen we stellen dat de rij van Fibonacci niet echt een goed simulatie van het werkelijke konijnen probleem is.

Patronen binnen de driehoek van Pascal
In de driehoek van Pascal komen meerdere patronen voor, in dit hoofdstuk gaan we onderzoeken hoe deze patronen ontstaan, en waarvoor ze gebruikt kunnen worden. Er zijn zo veel patronen te vinden in de driehoek van Pascal dat we ze niet allemaal kunnen behandelen, maar hier volgen de belangrijkste.

Veelvouden
Als je in de driehoek van Pascal alle veelvouden van een zelf gekozen getal wit maakt en de andere juist kleurt, kun je bijzondere patronen te zien krijgen. Als je bijvoorbeeld alle veelvouden van 2 in de driehoek van Pascal wit laat, krijg je het patroon wat in het eerste plaatje te zien is. Hetzelfde kan ook met de veelvouden van 3, dan krijg je een ander patroon. Dat is te zien in het plaatje daarnaast.
Een veelvoud van 2 is een getal dat deelbaar is door 2. Zo werkt het ook met veelvouden van 3. In de bovenstaande illustraties zijn respectievelijk de veelvouden van 2 en de veelvouden van 3 wit gekleurd. De andere getallen zijn zwart gekleurd. Omdat je bij het optellen van twee oneven getallen altijd een even getal krijgen, maar bij het optellen van 2 even getallen nooit een oneven getal krijgt, echter een even getal plus een oneven getal is een altijd een oneven getal. Doordat er alleen maar enen aan de rand van de driehoek staan (diagonale rij 0), is het zo dat op diagonale rij 1, de even en oneven getallen elkaar afwisselen. Op deze manier ontstaan de patonen in de driehoek van Pascal. Op ons titelblad is ook een illustratie van de driehoek van Pascal te zien waar alle veelvouden van 2 wit zijn gekleurd en de rest van de blokjes zwart. Deze beslaat een veel groter gebied dan de plaatsjes hierboven.

Als je de veelvouden van andere getallen kleurt, krijg je ook weer patronen. Iedere reeks veelvouden levert weer een ander driehoekspatroon op.

Ringen
In de driehoek van Pascal zitten behalve de veelvoudpatronen nog veel meer patronen. Een van die patroon is het ringenpatroon. Het ringenpatroon is een patroon van getallen rondom een willekeurig getal in de driehoek van Pascal. De ring bestaat dus uit alle aangrenzende getallen van een getal in de driehoek. Het bijzondere aan die ringen is dat het product van de getallen die het middelste getal omringen, altijd het kwadraat is van een natuurlijk getal. Dus de wortel van het product van de getallen in zo’n ring is altijd een natuurlijk getal. De enige uitzonderingen op deze regel zijn de enen aan de rand, want het product van een ring om zo’n 1 is altijd 0 (doordat de ring gedeeltelijk buiten de driehoek ligt, en de wortel van 0 ook 0 is) en 0 is geen natuurlijk getal. In onderstaande illustratie kun je zie hoe het werkt: de bovenste ring die grijs gekleurd is (die met een 4 in het midden), heeft als product 900, de wortel van 900 is 30, en dat is een natuurlijk getal. Dit geldt ook voor de andere ringen.

Wat opvalt aan deze ringen is dat als je om en om de getallen uit een ring met elkaar vermenigvuldigd, dus getal 1 met 3 met 5, of getal 2 met 4 met 6, dan geldt dat deze twee vermenigvuldigingen allebei dezelfde uitkomst hebben. Als je dat doet met de bovenste ring uit het plaatje krijg je:

deze zijn zoals je ziet gelijk.

Hockeystick
In de driehoek van Pascal is ook een patroon te vinden in de vorm van een hockeystick. Deze zogenaamde hockeystickpatronen worden gevormd door alle getallen uit een stukje van een diagonale reeks op te tellen beginnend bij de 1 (op positie 0) en eindigend bij een zelf gekozen getal (binnen de diagonale reeks). Het getal dat uit die sommering komt is ook te vinden in de driehoek van Pascal, en wel direct onder de betreffende diagonaal, zodat er een hoek wordt gevormd tussen de diagonaal en het blokje met de som van de diagonaal. Door deze hoek lijkt het patroon op een hockeystick en vandaar dus de naam. Dit patroon is bij elke lengte van de diagonaal van toepassing en het geldt voor diagonalen met de 1 links en voor diagonalen met de 1 rechts, de driehoek is immers symmetrisch.
Zie de illustratie rechts.
1+7+28+84+210+462+924=1716
1+6+21+56=84
1+12=13

Varianten op de driehoek van Pascal
In dit hoofdstuk behandelen we een speciale variant op de driehoek van Pascal, namelijk de vloeiende driehoek van Pascal. In de gewone driehoek van Pascal, is het mogelijk gebleken, om met behulp van de binomiaalcoëfficiënt de waarde in een blokje te berekenen. Maar is het ook mogelijk om de waarde die tussen de twee blokjes zou horen te berekenen. Het is waarschijnlijk niet correct om simpelweg het gemiddelde van de blokjes er naast te berekenen. Want dan zou er tussen de twee 10-en op rij 5 ook een 10 zitten, een dat is onwaarschijnlijk, maar niet onmogelijk, er is namelijk nog iets bewezen. We kunnen beter proberen om te berekenen. Alleen hebben we dan al snel een probleem, want dan moeten we dus moeten berekenen, en dat kan niet want de faculteit-functie is alleen maar voor natuurlijke getallen gedefinieerd. Het is namelijk onmogelijk om te berekenen. Maar gelukkig is er een oplossing, maar die is niet zo eenvoudig. In de vorige eeuw is er een manier verzonnen om van alle getallen een faculteit te berekenen, de functie heet dat geen faculteit meer maar de uitkomsten zijn gewoon het zelfde (alleen moet je bij het getal waar je het faculteit van wil weten 1 op tellen ). De functie heet de gammafunctie en er geldt , om de uitkomsten van de gammafunctie te berekenen heb je een stevige computer nodig, want het kost heel veel rekenwerk. De gammafunctie is gedefinieerd als: . Het getal e is net als π (pi) een bijzonder getal, de waarde van e is ongeveer 2,71828. De definitie van de gammafunctie betekend zoiets als is het oppervlak (van x=0 tot x=∞) onder de grafiek van . Je zou misschien denken dat het oppervlak onder een grafiek van x=0 tot x=∞, altijd ∞ is, maar dat is absoluut niet zo. Een bewijs daarvoor zou het echter wel heel erg ingewikkeld maken en het is al moeilijk genoeg. Hiernaast zie de grafiek voor a=5 dus, . Het oppervlak dat we weten willen is grijs gekleurd. Voor de computer is dit even rekenen maar als het niet belachelijk precies hoeft, goed te doen.

Op deze manier kunnen we dus faculteiten van gebroken getallen berekenen. En ook binomiaalcoëfficiënt dus.


Zo kunnen we dus stellen dat ieder punt P(a,b) op de vloeiende driehoek van Pascal te berekenen valt met de functie: , waarbij a de afstand van het begingetal (punt O(0,0)) maar de rij is, en b de afstand van het begin van de rij (de 1) tot het punt (P) is.

Conclusie
het is heel goed mogelijk om een vloeiende versie van de driehoek van Pascal te maken en iedere waarde is goed te berekenen.

- - - - - - - - - - -
Bronnen
Wikipedia NL
http://nl.wikipedia.org/wiki/Driehoek_van_Pascal
http://nl.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
http://nl.wikipedia.org/wiki/Clermont-Ferrand
http://nl.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
http://nl.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Tartaglia
http://nl.wikipedia.org/wiki/Gammafunctie

Wikipedia EN
http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle
http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedral_number
http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Zhejiang
http://en.wikipedia.org/wiki/Hangzhou
http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta
http://en.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia

Overigen Sites
http://www.wiskundeonline.nl/lessen/driehoek_van_Pascal.htm
http://www.scholieren.com/werkstukken/7951
http://www.student.tue.nl/t/g.dingemans/geschiedenis%20van%20natuurkunde
/blaise_pascal.htm

http://people.bath.ac.uk/nej20/history.htm

Boeken
De Telduivel
Door: Hans Magnus Enzensberger
ISBN: 90-234-8149-6
Handbook of Mathematical Functions
Onderleiding van: Milton Abramowitz en Irene A. Segun
Getal & Ruimte Wiskunde B havo/vwo 4
Getal & Ruimte Wiskunde D havo/vwo 4