Hoofdstuk 4

Opgave I-1 Zorg er eerst voor dat je goed begrijpt dat de nieuwe verkoopprijs (dus met een korting van 25%) berekent kan worden door die prijs te vermenigvuldigen met 0,75. Immers als ik 25% van de oude prijs aftrek houd ik 75% over en dat is natuurlijk 0,75 maal de oude prijs! Op dezelfde manier dien je ook te snappen dat als je 17,5 % bij een prijs optelt dat je dit ook kunt doen door de prijs met 1,175 te vermenigvuldigen! Kijk voor de rest van het verhaal in het antwoordenboek. Opgave I-2 a. Op het eerste veld 1 korrel. Op het tweede 2, ofwel 21. Op het derde 4, ofwel 22. Op het vierde 8, ofwel 23. ……………. Op het twintigste 219. b. Zie antwoordenboek

c. Zie antwoordenboek
d. Neem bijvoorbeeld voor 1 korrel 1 mm3. Dan heb je dus 1,8 x 1019 mm3. Dat is 1,8 x 1016 cm3 = 1,8 x 1013 dm3 = 1,8 x 1010 m3 = 180 km3 graan. En dat is dus een heleboel. Opgave I-3 a. Zie antwoordenboek
b. Zie antwoordenboek
c. Voorbeeld: De groei op het tijdvak 1950-1960 is N(10) - N(0). Immers de formule is zo opgesteld (volgens de tekst van de opgave) dat t = 0 voor het jaar 1950 staat en dat vervolgens elk verder jaar een stapje is van 1. Dus procentueel is de toename x 100 % = 21,9 % d. Zie antwoordenboek
e. Zie antwoordenboek
f. Gewoon door proberen een oplossing zoeken voor Je zoekt dus een waarde t waarvoor . Probeer met je rekenmachine zo'n t te zoeken. Je vindt dan ongeveer t = 35. Opgave 4 a. Dit is de beginhoeveelheid. Aan de formule kun je direct zien dat dit 2
gram lucht is. Je kunt ook eventueel t=0 invullen in de formule. Ook dan komt er 2 uit. b. De groeifactor is 0,89 per dag. Maak nu een plaatje op de manier zoals dat op bladzijde 98 in het roze kader wordt gedaan. Je ziet dan dat de afname 11% per dag is. c. Je moet nu dus t = 3 invullen. Je krijgt dan gram. d. Aan de formule kun je zien dat het om een afnemende groei gaat, immers de groeifactor is kleiner dan 1. Vanaf t = 0 neemt de hoeveelheid lucht dus alleen maar af. De X-waardes kun je dus positief nemen en de Y-waardes tussen 0 en bijvoorbeeld 3. Als je op je rekenmachine voor Y1 de formule van H(t) hebt ingevuld, kun je voor Y2 invullen Y2 = 1. Je zoekt vervolgens met 'intersect' (via 'second-calc') naar het snijpunt. Voor de t-waarde die je dan vindt geldt dat de hoeveelheid gehalveerd vergeleken met de beginhoeveelheid (namelijk van de beginhoeveelheid 2 naar de halvering 1). Opgave 5 a. Afname van 7% betekent: een groeifactor van 0,93. Dus na twee jaar zijn er nog 0,93 x 0,93 x 90000 = 77841 insecten over. Als de afname 14% is over twee jaar (dus de groeifactor is dan 0,86), dan zijn er na twee jaar nog 0,86 x 0,86 x 90000 = 77400 insecten over. Een afname van 7% per jaar gedurende twee jaar is dus duidelijk niet hetzelfde als een afname van 14% per twee jaar. b. Een afname van 7% per jaar is hetzelfde als een groeifactor van 0,93 per jaar. Per twee jaar is dat dus c. De algemene formule voor een exponentieel groeiproces is . In deze som staat t voor jaren. We moeten dus de groeifactor per jaar hebben. Die hadden we al berekend en was 0,93. Dus g = 0,93. Verder is de beginhoeveelheid b gelijk aan 90000. Dus de formule wordt d. Dat is precies 5 jaar na 1 juni 1995, dus je moet in de formule t = 5 nemen en je krijgt dan: e. Toets in je rekenmachine: Bereken met 'intersect' de t-waarde van het snijpunt. Je vindt dan t = 15,14. Dus ergens in het jaar 2010 zal de hoeveelheid voor het eerst minder dan 30000 zijn.
Opgave 7 Elk getal tot de macht nul is gelijk aan 1 !!! Opgave 9 a. Dus de groeifactor per half uur is 1414 / 1000 = 1,41
b. In de gegeven formule is de groeifactor 2 per uur. De groeifactor per half uur noemen we k. Dan geldt dus . Ofwel c. Zie onderdeel b. Aangezien , moet dus d. Als dan is er maar één oplossing voor k, namelijk Opgave 10 a. Het gaat weer om een exponentieel groeiproces. Dus de algemene
formule zal zijn . De beginhoeveelheid b is hier gelijk aan 100000 en de groeifactor is 4 per week, dus g = 4. Conclusie: . b. De eenheid in de formule is weken. Dus om 1 dag later de hoeveelheid te weten, moet je t = 1/7 invullen. Je krijgt dan c. De groeifactor per week is 4. Een week bestaat uit 7 dagen. Dus de groeifactor per dag is een getalletje g waarvoor geldt dat: g x g x g x g x g x g x g = 4. Ofwel d. Zie antwoordenboek Opgave 11 t.m 13 Maak steeds schetsjes waarbij je de groeifactor voor een bekende periode invult en bedenkt wat de groeifactor voor de onbekende periode zal moeten zijn.
Opgave 15 a,b,c,d zie antwoordenboek
e. f. Opgave 19 a. In 1980 waren er 14,1 miljoen mensen. In 1990 14,9 miljoen. Dus de groeifactor per 10 jaar is 14,9 : 14,1 = 1,0567. Per jaar wordt het dan = 1,0055. Per 3 jaar wordt het = 1,0167
b. In het antwoordenboekje is de tekst niet helemaal goed weergegeven! Het handigst is waarschijnlijk om uit te gaan van de groote van de bevolking in 1980 en die hoeveelheid als beginhoeveelheid te nemen en tevens de groeifactor per jaar ni de formule op te nemen. Je krijgt dan met t in jaren. Nu is het een kwestie van invullen. 1965 ligt 15 jaar voor 1980, dus t = -15 invullen. 1997 ligt 17 jaar na 1980, dus t = 17 invullen. Opgave 21 a. Zie antwoordenboek
b. Vul de formule in op je rekenmachine. Gegeven is dat t tussen 0 en 10 komt te liggen, dus bij je windowinstellingen op je rekenmachine kies je X tussen 0 en 10. Uit de formule kun je halen dat de beginhoeveelheid gelijk is aan 8 en dat de grafiek daalt (want de groeifactor is kleiner dan 1). Dus de Y-waarden neem je bijvoorbeeld tussen 0 en 10 of tussen -1 en 10 zodat de grafiek wat hoger op je scherm komt te liggen. c. Dit los je op met behulp van het vinden van snijpunten. Vul op je rekenapparaat voor Y2 in Y2 = 4 en zoek vervolgens naar het snijpunt van Y1 en Y2. Dit doe je met behulp van de functie 'Intersect'. Dat is optie 5 van 'second-calc'. Als je de t-waarde van het snijpunt aldus hebt gevonden, weet je hoe lang het duurt voordat de beginhoeveelheid 8 is gehalveerd. Als je dit hebt bepaald, kun je direct concluderen dat de tijd die nodig is om van 4 naar 2 te halveren hetzelfde is als de tijd die nodig is om van 8 naar 4 te halveren. Dit is namelijk een eigenschap van exponentiele functies!! d. De grafiek daalt want de groeifactor is kleiner dan 0. Voor hele grote waarden van t wordt de hoeveelheid steeds kleiner maar nooit gelijk aan 0. e. Dit moet je weer grafisch oplossen op dezelfde manier als bij onderdeel c. Je moet nu voor Y2 op je rekenmachine 0,001 invullen (1 gram is immers 0,001 kilo). Je moet ook je windowinstellingen veranderen anders zie je de lijn Y2 = 0,001 niet. Kies daarom Y tussen 0 en bjivoorbeeld 0,002. Nu moet je de X-waarden ook aanpassen anders zie je Y1 niet. Bepaal daartoe eerst, gewoon door proberen waar Y1 ongeveer gelijk is aan 0,001. Je kunt bijvoorbeeld t = 20 invullen in de formule, je vindt dan ongeveer 0,025. Dat is nog te veel. Je probeert nu bijvorbeeld t = 30, je vindt ongeveer 0,0014. No steeds te veel. Je probeert bijvoorbeeld t = 35, je vindt ongeveer 0,00034. Dat is iets te weinig. Maar je weet in elk geval nu dat je voor de X-waarden van je windowinstellingen bjivoorbeeld X tussen 30 en 35 kunt kiezen. Neem nu dus de juiste windowinstellingen en bepaal het snijpunt van de twee grafieken met 'interzect'. f. Lees uit de grafiek af dat deze steeds minder steil loopt. Conclusie de snelheid waarmee de hoeveelheid gif afneemt wordt steeds kleiner. g. De vraag is dus: benader op de (hopelijk) inmiddels bekende manier de helling in het punt met (in dit geval) t = 0. Om die helling te berekenen nemen we twee punten vlak bij elkaar op de grafiek. Het eerste punt is het punt met t = 0. V is dan gelijk aan V(0) = 8. Voor het tweede punt nemen we t = 0,001. V is dan gelijk aan
V(0,001) = De helling in (0,8) is dan ongeveer

Een negatief getal, wat ook is te verwachten want de grafiek daalt. Conclusie: het gif neemt op t = 0 met ongeveer 2,3 kg per minuut af. Opgave 22 a. zie antwoordenboek
b. Voor f(x) en g(x) geldt dat de x-as een horizontale asymptoot is omdat als x heel negatief wordt f(x) en g(x) steeds dichter bij 0 komen te liggen. Neem bijvoorbeeld x = -100, dan wordt f(x) gelijk aan en dat is gelijk aan , een heel klein getal dat heel dicht bij 0 ligt. Voor h(x), k(x) en m(x) geldt dat ze heel klein worden als x heel groot wordt. c. Neem bijvoorbeeld f(x). We nemen een ander punt vlak bij (0,1) maar iest verder op de grafiek van f(x), bijvoorbeeld het punt met x-coordinaat 0,001. De y-coordinaat van dat punt is dan dus . Nu berekenen we de helling: De helling van g in het punt (0,1) bereken je op de zelfde manier, je komt dan uit op ongeveer 0,5. d. Zie antwoordenboekje. Opgave 24 a. Zie antwoordenboek
b. Fout in antwoordenboek!! Antwoord moet zijn: c. Zie antwoordenboek Opgave 27 Maak gebruik van: Opgave 28 Je moet de formule van de functie eerst in de juiste (standaard)vorm schrijven: Aan deze vorm kun je zien dat de beginwaarde 0,25 is en de groeifactor 0,5. Opgave 29 a. Toets de twee functies in je rekenmachine en gebruik de functie 'intersect' voor het vinden van het snijpunt. b. Zie antwordenboek
c. Zie antwoordenboek Opgave 31 Per half etmaal, dat is dus 12 uur, verdwijnt er 7/8, dus blijft er per etmaal 1/8 over. Dat betekent dus dat de groeifactor per 12 uur gelijk is aan 1/8. Je zou nu een formule kunne opstellen voor de hoeveelheid eau de toilette: We willen de halveringstijd weten, dus we willen weten wanneer de helft van de oorspronkelijke hoeveelheid is overgebleven. Dus: De groeifactor was per 12 uur, dus t = 1/3 betekent een 1/3 van 12 uur ofwel 4 uur Opgave 33 a. Bedenk bij het plotten dat je aan de formule kunt zien dat de grafiek

dalend is, want de groeifactor is kleiner dan 0, en dat de beginhoeveelheid gelijk is aan 1000. Je kunt dus voor de y-waarden op je rekenmachine kiezen voor y tussen bijvoorbeeld 0 en 1000, of, om de grafiek wat meerruimte te geven, voor y tiussen bijvoorbeeld -100 en 1200. b. Doe dit met de functie 'intersect'. Opgave 34 Doe dit steeds met behulp van je rekenmachine, door eerst de bijbehorende vergelijking op te lossen en vervolgens de oplossing af te lezen. Voorbeeld aan de hand van opgave a: Dus we lossen eerst op: De oplossing is exact te bepalen: Plot nu de grafieken van en
Je leest dan af dat x>-1 de oplossing is van en dus ook de oplossing is van