Het getal Pi

Inleiding

De definitie van π is de verhouding van de omtrek tot de diameter van een perfecte cirkel. Over de laatste 4000 jaar werd naar de numerieke waarde van dit getal gezocht, in 1999 werden de eerste 206 biljoen cijfers na de komma berekend. Bij onderzoek van deze cijfers kon men geen structuur vinden, toch is π overal om ons heen aanwezig.

Nog 122 keer slapen en dan is het π-dag. Deze jaarlijkse feestdag vindt plaats op 14 maart (3.14), toevallig ook de verjaardag van Einstein. De feestelijkheden beginnen stipt om 1 uur 59. Er zijn π-liederen, π-spelletjes, allemaal georganiseerd door het Exploratorium van San Francisco.

π wordt ook Archimedes' constante (in Engelstalige landen) of Ludolphs constante (in Duitstalige landen) genoemd.

Geschiedenis

De eerste waardes van π, waaronder de bijbelse waarde van 3, zijn bijna zeker gevonden door metingen.
Lange tijd werd er van uitgegaan dat Babyloniërs in Mesopotanië voor de oppervlakte van een cirkel drie keer het kwadraat van de straal namen. In 1936 echter heeft men in Susa, een paar honderd kilometer van Babylon, een aantal kleitabletten gevonden waar vanuit één van deze kleitabletten kan worden afgeleid dat de schrijver de waarde 3 1/8 heeft gebruikt om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. In het Egyptische Rhind Papyrus, van ongeveer 1650 BC werd 4(8/9)2 = 3.16 gebruikt als waarde voor π. In de Bijbeltekst uit 1 Koningen 7:23 (''tien el van rand tot rand, terwijl een meetsnoer van dertig el het rondom kon omspannen'') wordt het metaalwerk van de tempel van Salomo's paleis beschreven waarbij 3 als waarde van π wordt genomen.
2000 BC Babyloniërs 3 1/8
1650 BC Egypte 3.16
1200 BC China 3
550 BC Bijbel 3

Inmiddels weten we dankzij computerberekeningen de exacte waarde van π, namelijk: 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164…

Formules om π te berekenen

Er zijn verschillende methodes om π te berekenen, hieronder
staan er 2:

De naald van Buffon:
· Neem een tafel met parallelle lijnen op een afstand d van elkaar
en een naald met lengte L. Indien je de naald laat vallen kan deze
wel of niet een lijn op de tafel kruisen. De kans dat de naald een
lijn kruist = 2·L
· Indien men de naald dus N keer laat vallen en ze de lijnen M keer kruist dan is p @ 2·L·N/d·M (als d en L even groot zijn dan blijft enkel 2N/M over !)

Monte Carlo methode:
· x,y Î ]-1,1[ Þ P( (x2 + y2) < 1 ) = p/4
· indien men N keer een getal x en y kiest tussen -1 en 1 en daarbij x2 + y2 M keer kleiner is dan 1 kan is p @ 4·M/N

Toepassingen van π

π wordt in het dagelijkse leven veel gebruikt. Zelfs bij het bereiden van een pizza. Om de omtrek van een cirkel te kunnen berekenen is namelijk het getal nodig. Voor de juiste omtrek van een pizza moet dus de volgende formule gebruikt worden:
Omtrek cirkel = diameter x π
Ook andere dingen, zoals de oppervlakte van een cirkel, kunnen met π berekend worden.
De andere meest bekende formules waarin π wordt gebruikt, zijn:
Oppervlakte cirkel = πr²
Oppervlakte bol = 4πr²
Oppervlakte kegelmantel = πrR
Oppervlakte cilindermantel = 2πrh
Inhoud cilinder = πr²h
Inhoud kegel = 1/3 πr²h
Inhoud bol = 4/3 πr²
Met deze formules zijn al heel wat dingen te berekenen. Daarom is π een onmisbaar getal in de meetkunde, en dus ook in de bouw. Voor ontwerpen zoals bijvoorbeeld de koepel op de Taj Mahal is het getal ook gebruikt, om de lading beton te berekenen. De meest algemene toepassing van π ligt in de bouw.
Een andere toepassing zou dan bijvoorbeeld die pizza zijn. Maar ook vele andere dingen. Bijvoorbeeld bootjes van een wildwaterbaan. Die moeten ook een goede oppervlakte hebben, en dat moet ook goed worden opgemeten. Eigenlijk zijn het kleine dingetjes, waarvoor π toch van belang is, en daardoor zijn er heel veel toepassingen waarin p wordt gebruikt.

Bronnen

- http://wiskunde.pagina.nl
- Het boek: Getal & Ruimte 2H

Conclusie

π is een getal met een geschiedenis waarin de exacte waarde gevonden probeert te worden. Zelfs met de nieuwste technologie is deze waarde nog niet gevonden, omdat het een getal is dat ver na de komma nog door gaat tot een oneindig lang getal!
Dit neemt niet weg dat je met je rekenmachientje niet de omtrek kan uitrekenen, want het getal is lang genoeg voor precieze berekeningen.