Fibonacci: getallen en gulden snede

Inleiding
Dit werkstuk wordt gemaakt door vier personen.
Ze gaat over de getallen van Fibonacci in de natuur en een geschreven spreekbeurt over Fibonacci en de gulden snede. Ook staan er de opdrachten in die je in je werkstuk moest verwerken.
Fibonacci heeft veel proeven gedaan met planten en dieren. Zoals de spiralen onderzoeken van de volgorde van kersentakken en de gulden snede in de bloemblaadjes van Duizendblad, Jacobs Kruiskruit, Asters, zonnebloemen enz. Bij de dieren de voortplanting bij konijnen.
De laatste bloem wordt besproken in dit werkstuk. Ook wie en wat Fibonacci en de gulden snede zijn worden uitvoerig besproken.

Fibonacci-rijen.

Opdracht 1.
Aan het begin van maand 3 heb je 2 volwassen paren en 1 onvolwassen paar. De 2 volwassen paren krijgen ieder een onvolwassen paar kinderen. Dus:
2 volwassen paren + 2 onvolwassen paren = 4 paren
4 volwassen paren en kinderparen + inmiddels volwassen geworden paar = 5 paren.

Opdracht 2.

Opdracht 3.
a) n 0 1 2 3 4 5 6
F 1 1 2 3 5 8 13
b/c) De 2 voorafgaande cijfers bij elkaar optellen.
d) n 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
F 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
e) Bij ongeveer 30 maanden.
Opdracht 4.
a) Factoren zijn van links naar rechts: ´1; ´2; ´1,5; ´1,33; ´1,6; ´1,63; ´1,618; ´1,618; ´1,618; ´1,618; ´1,618; ´1,618; ´1,618; ´1,618; ´1,618; ´1,618.
b) Bij bijna allemaal is de factor ´1,618.
c) De factor is 1,618. Wil je het uitrekenen, dan moet je 1,618n doen. Je doet tot de macht n, omdat het een exponentiële formule is.
d) 1,61829 = 1149150,74.
Ja, de schatting van 3 e moet van 30 naar 29.

Opdracht 5.
1x1 2x2
1x1

5x5
3x3

8x8

Opdracht 6.
a) De getallen van een zijde van een rechthoek ´1,618 is ongeveer de andere zijde.
b) Rechthoek. Deling
1 cm bij 2 cm. 2 :1 = 2
2 cm bij 3 cm. 3 :2 = 1,5
3 cm bij 5 cm. 5 :3 = 1,67
5 cm bij 8 cm. 8 :5 = 1,6
8 cm bij 13 cm. 13:8 = 1,625

Opdracht 7.
a) 5 ´ 1,618033989 » 8,1
b) DA= 5cm AP= 5÷ 1,1618» 3
AB= 5x 1,1618 PB= 8- 3= 5
c) 5 / 3= 1,67

Opdracht 8.
a) -
b) Ja, het takje is nog te jong om al een nieuwe zijtak te krijgen. Het takje is nog niet sterk genoeg.

Opdracht 9.
222,5÷ 137,5= 1,618
360÷ 222,5= 1,618

Opdracht C

Fibonacci getallen en de Gulden Snede

Wij doen onze spreekbeurt over fibonacci getallen en de gulden snede. Wij willen het eerst gaan hebben over de Fibonacci getallen. Daarover hebben wij onszelf een paar vragen gesteld. Dat zijn:
- Wie was Fibonacci?
- Wat heeft Fibonacci te maken met wiskunde?
- Wat is het verband tussen Fibonacci en de Gulden Snede?
- Wat is de Gulden Snede?
- Welke wiskundige vergelijking hoort bij de Gulden Snede?
- De eerste berekening van de Gulden Snede.
- De Gulden Rechthoek.
- De Gulden Snede in de natuur.
- Nog wat om te weten over de Gulden Snede.

Wie was Fibonacci?

Leonardo Pisano was de zoon van de koopman Bonacci. Hij werd geboren rond 1175 in Pisa. Hij leefde ongeveer van 1175 tot 1250. Hij reisde met zijn vader af en toe met mee naar bijvoorbeeld Egypte, Syrië, en Frankrijk. Hij leerde daar wiskunde op de manier van de Arabieren. In 1202 schreef hij een boek waarin hij allerlei problemen uit het dagelijkse leven oploste. Zo stond ook in zijn boek, Liber Abaci, het probleem van de konijntjes opgelost. Hij schreef ook (met de hand) het boek ‘Liber Quadratorum’. Dat was ongeveer in het jaar 1225. Die boeken werden vaak gebruikt als leerboeken voor wetenschappers die daar mee te maken hadden. Hij werd erg bekend, zelfs tot aan het of van keizer Frederik II, die keizer was van het Heilige Roomse Rijk.
Ook in de biografie van Leonardo Pisano werd hij ook vaak ‘Fillius Bonacci’ (= zoon van goedzak) genoemd. Dat is later Fibonacci geworden en zo is hij nu bekend.
Een deel van de rij van Fibonacci is:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
De getallen van Fibonacci staan in verband met de Gulden Snede. Hoe ze met elkaar in verband staan wordt later besproken.

Wat heeft Fibonacci te maken met wiskunde?

Fibonacci is voor de wiskunde erg belangrijk geweest. Hij heeft bijvoorbeeld de Hindoe-Arabische getaltekens ingevoerd in West- Europa. Daarmee konden bijvoorbeeld lineaire vergelijkingen opgelost worden.
Ook heeft hij gezorgd voor de invoer van de getallenrij van Fibonacci. Die getallen kan je krijgen door de twee voorgaande getallen bij elkaar op te tellen. Dus 2+ 3= 5 en 5+ 3= 8 en 8+ 5= 13. Niet alleen daarvoor heeft hij gezorgd. Hij heeft ook voor de breuken gezorgd.

Wat is het verband tussen Fibonacci en de Gulden Snede?

Het verband tussen Fibonacci en de Gulden Snede is als volgt. Als je in de rij van Fibonacci de getallen door elkaar deelt krijg je elke keer ongeveer 1,618 eruit. Bij de Gulden Snede is de factor ook elke keer 1,618.
Wat is de gulden snede?

De Gulden Snede is een populaire benaming voor een speciaal verhoudingsgetal, waarover veel verhalen de ronde doen.
Zo zou het menselijke oog een voorkeur hebben voor voorwerpen die, qua onderlinge verhoudingen zoals lengte: breedte, in verhouding staan met de Gulden Snede.

De Gulden Snede heeft oneindig veel cijfers.
De Gulden Snede heeft ook een eigen symbool, namelijk de j.
Dit spreek je uit als "fie", het is de Griekse letter phi.
Het exacte getal phi op een aantal decimalen
j = 1,6180339887498948482…
De wiskundige vergelijking voor phi is:
½(1+Ö5)

Het is een klassieke opvatting dat de Gulden Snede "mooie" verhoudingen geeft. De Grieken baseerden de ontwerpen van gebouwen op de Gulden Snede. Later kwam dit opnieuw in de mode in de Renaissance, en ook nu zijn er nog kunstenaars en architecten die de Gulden Snede bij de vormgeving van hun werk toepassen.
De gulden Snede heeft ook verschillende Wiskundige eigenschappen:
1. De Gulden Snede leidt tot een gelijkvormige vlakverdeling.
2. De Gulden Snede blijkt voor te komen in figuren met vijfvoudige symmetrie.
3. De Gulden Snede is de verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonacci.
4. De Gulden Snede heeft een unieke vertegenwoordiging als voortgezette breuk.
De Gulden Snede is dus een getal dat met een formule uitgerekend kan worden.

Welke Wiskundige vergelijking hoort bij de Gulden Snede?

De gulden snede noemt men een verdeling van een lijnstuk AB in twee delen: AP en PB.
Het grootste stuk AP is middenevenredig, tussen het kleinste stuk BP en de gehele lijn AB en daarom is het AP²=AB x BP uit welke de deelverhouding ½(-1+v5) voortkomt.
De oude Grieken bestudeerden deze deelverhouding met grote belangstelling en ook later hebben veel wiskundigen zich er mee beziggehouden. De gulden snede is ontleend aan de verhoudingen van het menselijke lichaam en aan die in dieren, bloemen, planten, kristallen enz.

De eerste berekening van de Gulden Snede:

In Griekenland was het altijd al gebruikelijk om, vooral de tempels, via een bepaald meetkundig systeem te bouwen.
Toen de wiskunde zich beter ontwikkelde, werden ook deze meetkundige systemen steeds ingewikkelder.
Tempels werden altijd al gebouwd met een bepaalde lengt en breedte verhouding, tijdens de 4e eeuw voor Christus werd deze verhouding vastgelegd.
Dit deed men niet met getallen. Men had daar een systeem voor gevonden.
Dit is de ideale rechthoek.
Zijn lengte is de diameter van een halve cirkel en zijn breedte is de zijde van het ingeschreven (grootst mogelijke) vierkant in deze halve cirkel.

De volgende dingen zijn later bekend gemaakt als de Gulden Snede:
ten eerste de verhoudingsformule
M : m = totaal : M en ten tweede het getal zelf
½ (1+Ö5) = 1,618

De Gulden Rechthoek:

Als je van een grote rechthoek (ABCD) een vierkantje afhaalt (ABEF), moet de verhouding lengte : breedte van de grote rechthoek (ABCD) dezelfde zijn als lengte : breedte van de kleine rechthoek.
Dan is deze verhouding overeenkomstig met het getal phi, en is er sprake van een Gulden Rechthoek.
Lengte grote rechthoek : breedte grote rechthoek =
lengte kleine rechthoek : breedte kleine rechthoek
In dit vierkant is dat dus:
AD : AB = EF : DE
Omdat AB = EF = AE en AD = AE + DE, kun je ook schrijven (AB + DE) : AB = AB : DE
Als AB = x en DE = y dan is de formule:
(x+y) : x = x : y
Als je verder gaat rekenen kom je erop uit dat de verhoudingen precies kloppen volgens de gulden snede. Je kunt dan oneindig doorgaan je krijgt dan een oneindige delingsreeks in de gulden rechthoek.
Als je deze reeks volgt, krijg je een logaritmische spiraal.
Deze spiraal zie je veel terug in de natuur, bijvoorbeeld in schelpen.

De Gulden Snede in de Natuur:

De Gulden Snede verhouding komt veel voor in de natuur.
Het menselijke lichaam is volledig in te delen volgens Gulden Snede verhoudingen.
Een aantal andere voorbeelden van het voorkomen van de Gulden Snede in de natuur: veel planten dragen hun zaden in slingerende, spiraalvormige patronen.
Dit is goed te zien in rijpe zonnebloemen.

Je kunt hoeken meten op twee manieren, de interne en de externe hoek.
De verhouding tussen deze twee hoeken verklaart het verband tussen de zonnebloemzaadjes en de Gulden Snede.
Als de interne hoek 137,5° is, dan is de externe hoek:
360° - 137,5° = 222,5°.
Externe hoek : interne hoek = M : m
222,5 : 137,5 = 1,618
Een hoek van 137,5° wordt daarom een Gulden Hoek genoemd.

Bepaalde schelpen delen hun kamers in met de j-verhouding. De schelp Nautilus pompilius is hier een goed voorbeeld van. Naarmate het dier groter wordt, maakt het steeds grotere kamers in zijn schelp, terwijl het de kleinere kamers afsluit. De relatieve volumes van de opeenvolgende kamers verhouden zich volgens de Gulden Verhouding. De schelp heeft de vorm van een logaritmische spiraal. Deze spiraal zit ook in de Gulden Rechthoek.

Nog wat om te weten over de gulden snede:

Architectuur: het Parthenon

De Grieken kenden het magische verschijnsel van de Gulden Snede al.
De Griekse wiskundige Euclides noemde het in zijn geschriften, al deed hij geen verwijzingen naar de architectuur.
Toch is het waarschijnlijk dat de Grieken de Gulden Snede veel toepasten in hun architectuur en beeldhouwkunst.
Het bekendste voorbeeld hiervan is het Parthenon.

Het is niet zeker dat de Grieken de Gulden Snede expres gebruikten. Er zijn voor- en tegenstanders van deze theorie. Het expres gebruik van de Gulden Snede in de architectuur is pas zeker vanaf de ontwerpen van Le Corbusier.

Het Parthenon is een oude Griekse tempel, gewijd aan Athena, godin van de wijsheid en beschermster van de stad Athene.
Het staat op de Akropolis, de tempelberg in Athene.
Het Parthenon is ontworpen volgens wiskundige principes door Iktinos en Kallikrates.
De bouw duurde van 477 tot 438 voor Christus. De tempel is gebouwd in Dorische stijl en heeft een grondoppervlak van 69,5 bij 30,5 meter.
De zuilen zijn 10,4 meter hoog en 1,9 meter in diameter.

Stel dat je aan de onderkant van de tempel, langs de ingang, cijfers zou neerzetten.
Neem nummer 1 als de uiterst linkse kant, nummer 2 als de linkerkant van de ingang (links van zuil nummer 4), nummer 3 als de rechterkant van de ingang (rechts van zuil nummer 5), en nummer 4 als de uiterst rechtse kant.
Merk even op dat lengte 12 even lang is als lengte 34, en dat lengte 13 even lang is als lengte 24.
Je kunt nu stellen dat
23 : 12 = 12 : 13 en 34 : 13 = 13 : 14
Oftewel:
m : M = M : totaal
Dit is zo ongeveer de letterlijke definitie van de Gulden Snede.
De Gulden Snede verhouding is o.a. ook herkenbaar in de verhoudingen tussen de ‘vakjes’ in de fries.

Opdracht E

De spiralen van zonnebloempitten:
Als je goed kijkt naar de zaden van een zonnebloem zie je dat ze spiraalsgewijs in het hart van de bloem staan. Dat zie je goed bij het plaatje hieronder.

Waarom de zaden zo zitten zal ik uitleggen. Stel, je bent zonnebloem, en je begint tot bloei te komen. Je denkt na over de eeuwigheid en het nageslacht, en je beseft dat de tijd is aangebroken om zonnepitten te maken. Je groeit van binnen uit, en je weet dat de oudste zonnepitten naar buiten worden gedrukt door de jongste. Hoe ga je de nieuwe zonnepitten plaatsen ten opzichte van elkaar? Twee verschillende ideeën komen bij je op:
1. Je plaatst elke nieuwe zonnepit zo ver mogelijk weg van zijn voorganger. Je draait dus telkens over 180° twee opeenvolgende pitten staan diametraal tegenover elkaar.
Rampspoed! Dit gaat helemaal fout. De zonnepitten groeien nu naar buiten in twee rijen die precies tegenover elkaar staan. Zo krijg je nooit een fatsoenlijke ronde bloembodem. Je hebt een beter plan nodig.
4. Je draait telkens over de Gulden Hoek, 360° - 137,5 = 222,5°. Je krijgt dan zo’n soort ruimtelijke verdeling.
Nu zijn we er. Dit is wat een zonnebloem ook werkelijk doet. Hoe dat genetisch bepaald wordt is een tweede, maar het geometrische voordeel van de Gulden Hoek is meer dan een speculatie: in 1993 werd door Couder en Douady aangetoond dat de oppervlakte van de zonnebloem het best wordt benut als de nieuwe zonnepitten onder de Gulden Hoek worden geplaatst. In plaats van 222,5° kun je overigens ook 137,5° nemen (360° – 222,5°), dat maakt eigenlijk geen verschil uit.
Hier zie je schematisch hoe de pitten van een zonnebloem zitten. Als je een poosje kijkt lijkt het of het begint te draaien. Daarom noemen ze het ook spiraalsgewijs.

Conclusie:

De pitten groeien van binnen uit. De jongste duwen de ouderen naar buiten. Ze draaien over de Gulden Hoek dat is 360° – 137,5 = 222,5°.Je kunt ook 137,5° nemen (360° - 222,5°) dat maakt niet uit. Ze zitten dus allemaal spiraalsgewijs bij elkaar. Met de spiralen kan je zowel linksom als rechtsom mee gaan. De Gulden Snede heeft een formule die bij heel veel dingen toegepast kan worden zoals in de natuur en bij bijna elk vak op school heeft de Gulden Snede wel iets te maken.