Pi (3,14)

Voorwoord:

Eerst wisten we nog niet welk onderwerp we zouden kiezen, we vonden het allebei namelijk onderwerpen die ons totaal niet interesseerden, maar na verloop van tijd werden we het allebei eens dat de gulden snede en pi ons meer trokken dan het andere onderwerp. Wij weten eerlijk gezegd nog niet wat ons te wachten staat maar dat zullen we gauw genoeg onder vinden.

Wij hebben de gouden snede en pi gekozen omdat we er wel iets van wisten, maar het was al weer aardig is weggezakt. Wij hopen met behulp van dit werkstuk iets meer over de onderwerpen te weten te komen.

Bouwkunde
Pi word het vaak gebruikt in de bouwkunde, bij ontwerpen, bijvoorbeeld door architecten. Het wordt dan gebruikt als het gaat om ronde vormen die verwerkt zijn in het ontwerp. Met behulp van pi kunnen ze dan de omtrek berekenen en de oppervlakte. Pi is hier erg handig bij omdat ze zo bijvoorbeeld weten hoeveel stenen ze moeten kopen om een cirkel te maken en zodat ze niet voor onnodige risico’s komen te staan. (bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde))

Gebouwen uit de oudheid
Bij een bepaalde bouwstijl uit de oudheid werd gebruik gemaakt van de gulden snede waar ook het getal pi is bij betrokken, die stijl is namelijk: gotiek. Voorbeelden van dat soort gebouwen zijn het Parthenon op de Akropolis, het theater van Epidaurus (hier zie je de verhouding goed tussen de hoger en de wat lager gelegen tribunes) en het kathedraal van Laon.(bron:

Schilderkunst
Bij de schilderkunst zie je dat pi niet vaak voorkomt, de gulden snede komt echter wel vaak in de schilderkunst voor.

Geschiedenis
In de Griekse oudheid heeft Archimedes benaderingen van pi uitgerekend. Zijn idee is in moderne woorden heel eenvoudig uit te leggen. Kies een cirkel van middellijn 1, de omtrek heeft dan lengte pi. Je kan die omtrek van de cirkel zelf niet zomaar uitrekenen. Archimedes kon echter wel de omtrek van de ingeschreven regelmatige zeshoek uitrekenen, die is 3. De cirkel is langer dan die ingeschreven zeshoek, en dus moet pi groter zijn dan 3. Archimedes laat nu ook zien, hoe je uitgaande van de zeshoek ook de ingeschreven twaalfhoek kunt berekenen. Die ligt al dichter bij pi. Hij verdubbelt het aantal zijden dan nog drie keer, dan krijgt hij een 96 hoek, die je in een plaatje al bijna niet meer van een cirkel kunt onderscheiden. Van die 96-hoek kan hij de omtrek uitrekenen, en daaruit krijgt hij dat pi groter is dan 3 10/71. Op dezelfde manier werkt hij met een omgeschreven 96-hoek, en hij vindt pi kleiner dan 3 1/7, dat is ook de benadering die ze op school gebruiken.
Archimedes was in zijn tijd recordhouder met zijn twee decimalen. Hoelang Archimedes hiermee recordhouder bleef is niet bekend. Maar in India had men 500 na Christus pi in al 4 decimalen uitgerekend. Ook in China hadden ze zo rond dezelfde tijd een breuk voor pi gevonden te hebben, dat was 355/113, en die is nauwkeurig genoeg voor 6 decimalen. Diezelfde breuk is in de 17e eeuw opnieuw uitgevonden door de burgemeester van Alkmaar, de heer Adriaan Metius.
Met pi in 6 decimalen bleven de Chinezen recordhouders tot het jaar 1400 na Christus. Toen berekende de Perzische wiskundige al-Kashi pi in 16 decimalen. Dit deed hij door middel van het idee van Archimedes nog verder uit te werken. Al-Kashi verdubbelde de ingeschreven 96-hoek van Archimedes nog 23 keer. Hij kreeg daaruit een ingeschreven 805 miljoen 306 duizend 368 hoek, die nog maar heel weinig van de cirkel normale cirkel verschilt. De berekening is gigantisch lang, je vraagt je dan ook af waarom iemand dit zo graag wil weten van pi. De reden van al-Kashi was dat hij, de omtrek van de baan van Saturnus tot op een haarbreedte nauwkeurig zou kunnen uitrekenen (uitgaande van de veronderstelling dat de afstand correct bekend was). Zijn bedoeling was dus om pi zo nauwkeurig uit te rekenen dat dit voor altijd genoeg zou zijn.

Het record van Al-Kashi bleef net geen twee eeuwen staan, want het werd verbeterd door Ludolf van Ceulen, een Nederlander van Duitse afkomst. Deze berekende in 1596 twintig decimalen, en voor zijn dood nog 15 decimalen meer. Ludolf van Ceulen gebruikte nog dezelfde methode als die van Archimedes en al-Kashi, maar in de 17e eeuw zijn in Europa met nieuwe wiskunde nog snellere methodes gevonden om decimalen van pi uit te rekenen . In de jaren 40 van deze eeuw waren er ongeveer 1000 bekend. Door de komst van de computer kon men er nog meer berekenen, en met de tegenwoordige supercomputers hebben ze al een paar miljard decimalen gevonden.
Je kan je nu gaan afvragen of de berekening ooit af is. Het antwoord is nee; want het is namelijk aangetoond dat pi niet precies een breuk kan zijn. Dit weten we al sinds 1882, dat pi een transcendent getal is. (bron:http://www.math.uu.nl/people/hogend/pi.html en encyclopedie: De kleine winkler prins)

Definitie van p
De definitie van p is de verhouding van de omtrek tot de diameter van een perfecte cirkel. De laatste 4000 jaar werd er geprobeerd naar de numerieke waarde van dit getal gezocht, in 1999 werden de eerste 206 biljoen cijfers na de komma berekend! Bij onderzoek van deze cijfers kon de mens nog steeds geen structuur vinden.
Pi is ook irrationeel
Een irrationeel getal wil zeggen dat je het niet kunt uitdrukken met behulp van een breuk van twee gehele getallen

Pi is transcendentaal
Een transcendentaal getal is een getal waar geen oplossing (einde) van is met gehele getallen

Bewezen door Lindemann in 1882
Als je de middellijn van een cirkel weet, dan kan je de omtrek van die cirkel makkelijk uitrekenen. Ik heb namelijk geleerd dat de omtrek van een cirkel gelijk is aan de diameter maal pi. De aarde bijvoorbeeld, heeft bij de evenaar een middellijn van 12 756 340 meter. Dit vermenigvuldig je dan met pi en je hebt de omtrek van onze planeet. Maar dan weet je nog steeds niet hoe groot pi is.

Pi bewijzen
Je kunt het ongeveer bewijzen met een simpele berekening, wat trouwens ook een hele bekende en veel gebruikte berekening is: pi is ongeveer 22/7 dus 3,14. Een calculator is dan wel iets nauwkeuriger hiermee: die geeft bijvoorbeeld 3,141 592 654 aan. Toch ben je dan nog lang niet klaar mee want pi telt namelijk een oneindig aantal cijfers achter de komma, dit wordt ook wel een “ongrijpbaar getal” getal genoemd.

Pi is tastbaar maar tegelijkertijd ook weer ongrijpbaar en om die reden word pi ook wel \'transcendent\' (bovenzinnelijk of niet berekenbaar) genoemd. Pi is géén breuk van twee hele getallen en pi is géén oplossing van een algebraïsche vergelijking. Er is geen enkele manier om het getal exact te berekenen. Dat heeft wiskundigen er overigens nooit van weerhouden om het toch te proberen.

Een leuk weetje: De omtrek van de aarde is 12 756 340 meter maal pi. Dat is 40 075 kilometer, 224 meter, 3 centimeter en 0,069 millimeter. (bron: http://members.lycos.nl/getalpi/home.htm)

Middellijn= 7cm
omtrek= 22 cm

pi is dan: 22/7=3,14
of omtrek = middellijn maal pi
of middellijn is omtrek delen door pi
er zit dus een verband tussen middellijn omtrek en pi.

Wat kun je allemaal met pi:
- Je kan de omtrek berekenen van een ronde vorm, die moet wel echt rond zijn en niet ovaal. Dit kun je uitreken door de middellijn te vermenigvuldigen door pi, en dan heb je het oppervlakte.(bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Omtrek)
- Je kan ook de oppervlakte van een ronde vorm berekenen, dit doe je door straal(is van middenpunt naar de buitenkant) in het kwadraat en dat te vermenigvuldigen met pi.(bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Oppervlakte)
- Je kan ook de hoek in een cirkel uitrekenen. De formule om dit te berekenen is: 360° = 2p maal radiaal (radiaal is een Si-eenheid voor een hoek).(bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Hoek_%28meetkunde%29 en http://nl.wikipedia.org/wiki/Radiaal)
- ook kan je met behulp van pi de oppervlakte van een bol meten dit doe je met de formule: oppervlakte = 4 π r2 (r = straal) (bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Oppervlakte)
- ook kan je de inhoud van een bol berekenen met pi die doe je met de volgende formule: (4/3) π r3 (bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Inhoud)

Je ziet wel dat deze formules erg belangrijk zijn in het dagelijkse leven. Ze worden namelijk dagelijks gebruikt door ontwerpers van b.v. blikjes,wielen en van paintbal balletjes, om de inhoud bijvoorbeeld uit te rekenen enz.

De decimalen achter pi:
De meeste mensen weten dat pi 3,14 is en daar blijft het dan ook wel meestal bij. Als extraatje hebben we opgezocht welke cijfers er achter de komma nog meer komen, het wereldrecord staat echter op naam van Japanse wiskundigen: zij hebben pi tot wel 1,24 biljoen cijfers achter de komma uitgerekend. Ik heb het op het internet tot 49 980 cijfers achter de komma gevonden. Dit hebben we achterin het werkstuk bijgevoegd

Nawoord:
Wij dachten in het begin allebei hetzelfde, we vonden namelijk allebei de onderwerpen niks aan. Maar uiteindelijk zijn we toch blij dat we dit onderwerp hebben gekozen en niet het andere onderwerp.
We zijn met behulp van dit werkstuk toch weer een hoop te weten gekomen wat voor ons eerst nog onbekend was. De samenwerking is prima verlopen, en de verdeling van werk is ons ook goed afgegaan. Wat ons wel opviel is dat het nog niet echt makkelijk was om echt goede informatie over de gulden snede en pi te vinden, dat was ons wel pittig tegengevallen, maar uiteindelijk is het toch wel redelijk goed gekomen.