Geschiedenis van pi, getal nul, romeinse cijfers

Geschiedenis van Pi

Pi is een mysterieus getal. Al eeuwenlang hebben mensen geprobeerd om het getal pi helemaal uit te rekenen. Eerst waren geleerden er hun hele leven mee bezig, tegenwoordig is dat gemakkelijker met computers te berekenen. Toch is het getal nog steeds niet helemaal uitgerekend, men vraagt zich nu wel eens af of er ooit nog een eind aan gaat komen. Maar laten we eerst eens kijken naar waar pi begonnen is.
Het woord pi is afgeleid van het Griekse woord Perimetron, wat ‘omtrek’ in het Grieks betekent. En het teken voor Pi is p. Pi wordt dan ook het meest gebruikt om de omtrek van een cirkel uit te rekenen. De formules voor de omtrek van een cirkel - pi maal de middellijn - kent iedereen waarschijnlijk wel uit zijn schooltijd. Later is ontdekt dat je met pi ook de oppervlakte kan uitrekenen met de formule pi maal de straal in het kwadraat. Maar voor dat we hier achter zijn gekomen, hebben vele geleerden hun leven gewijd aan dit wiskundige raadsel.

Het alleroudste document dat is gevonden met een berekening van pi is gevonden in Egypte. Het was geschreven in hiëroglyfen. Dit stuk is geschreven in 1850 v. Chr. en was een praktisch handboek van A’hmose. Dat was de schrijver van dit boekje. Naast praktische dingen stonden er ook wiskundige problemen in. Daarbij stond zijn manier om een cirkel uit te rekenen. Hij gebruikte de berekening = ( 8/9 d) in het kwadraat. De d is daarbij de diameter. Als je dat omrekent naar onze formules was die : (16/9) en dat in het kwadraat = 3,16. Deze waarde was dan wel niet precies, maar hij was voldoende om te gebruiken bij praktische behoeften.
Omdat de cirkel een veel voorkomende figuur is, vind je het getal voor pi ook in het oude testament. In 1 Koningen 7 vers 23, staat dat in de tempel van Salomo een bad van gietijzer gemaakt werd. Dit bad was ''tien el van rand tot rand, terwijl een meetsnoer van dertig el het rondom kon omspannen''. Als we aannemen dat het bad cirkelvormig was, dan was de omtrek dus 3 maal de middellijn, dus p = 3. Ook werd de waarde pi = 3 gevonden in een klassiek Chinees boek, getiteld ‘Wiskunde in negen hoofdstukken.’ Maar men is er niet achter gekomen waarom men dit getal gebruikte.
In dezelfde tijd waren er ook al betere benaderingen bekend, in Babylon gebruikte men al een nauwkeuriger getal voor pi. Lange tijd werd er van uitgegaan dat Babyloniërs in Mesopotanië voor de oppervlakte van een cirkel drie keer het kwadraat van de straal namen. In 1936 echter heeft men in Susa, een paar honderd kilometer van Babylon, een aantal kleitabletten gevonden waar vanuit één van deze kleitabletten kan worden afgeleid dat de schrijver de waarde 3 1/8 heeft gebruikt om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. Maar een echte berekening voor die gedachte had men eigenlijk nog niet. Men gebruikte dit getal wel, maar waarom was nooit wiskundig uitgelegd.
Later in de Griekse oudheid heeft Archimedes, die leefde in Griekenland van 287 tot 212 v.Chr., benaderingen van pi wel uitgerekend. Zijn idee is heel eenvoudig uit te leggen. Kies een cirkel van middellijn 1, de omtrek heeft dan lengte pi. We kunnen die omtrek van de cirkel zelf niet direct uitrekenen. Archimedes kon echter wel de omtrek van de ingeschreven regelmatige zeshoek uitrekenen, die is 3. De cirkel is langer dan die ingeschreven zeshoek, en dus is pi groter dan 3. Archimedes laat nu ook zien, hoe je, uitgaande van de zeshoek ook de ingeschreven twaalfhoek kunt berekenen. Die ligt al dichter bij pi. Hij verdubbelt het aantal zijden dan nog drie keer, dan krijgt hij een 96 hoek, die je in een plaatje al bijna niet meer van een cirkel kunt onderscheiden. Van die 96-hoek kan hij de omtrek uitrekenen, en daaruit krijgt hij dat pi groter is dan 3 10/71. Op dezelfde manier werkt hij met een omgeschreven 96-hoek, en hij vindt Pi kleiner dan 3 1/7, dat is de benadering van school. We hebben nu pi in 2 decimalen nauwkeurig. Deze berekening was in die tijd heel knap, want men moest zich in die tijd bedienen met het moeilijke Griekse rekensysteem.
Op een tekening kan je beter zien dat hoe meer hoeken je neemt, de veelhoek steeds meer op een cirkel gaat lijken. Hieronder staat een tekening.
Voor alle duidelijkheid: de letters hebben voor ons verhaal geen betekenis. De berekeningen van Archimedes zijn allemaal gaat en deels gevonden in geschriften die hij bijhield, vandaar dat men zo goed weet hoe zijn berekeningen in zijn werk gaan. Maar er waren ook andere aanwijzingen waar aan je kan zien dat er meer geleerden waren die bezig waren met hetzelfde vraagstuk als Archimedes. Zo heeft Volksrepubliek China ooit een zegel gehad waar de geleerde Chang Heng op staat. Op deze zegel staat ook zijn benadering voor pi. Deze geleerde leefde van 78 tot 139 n. Chr. , dus zijn berekening kwam na die van Archimedes. Maar hij zal daar waarschijnlijk niks van geweten hebben. Zijn berekening voor Pi was : Ö 10 = 3.162 Maar aangezien die van Archimedes beter was blijft deze er recordhouder ‘meeste cijfers achter de komma’ mee.
Hoelang Archimedes hiermee recordhouder is geweest, is niet bekend, maar tussen 400 en 500 n. Chr. werd er in India een manier bedacht waarmee pi vier getallen achter de komma kreeg. De Wiskundige Aryabhatta had de waarde van Pi berekend met 62832/20000, met als uitkomst 3,1416. Rond dezelfde tijd werd er ergens anders alweer een nieuwe waarde voor pi bedacht.
De Chinese geleerde Tsoe ( 430- 501) had twee waarden voor Pi gevonden. Eentje daarvan had Archimedes eigenlijk zelf ook al bedacht, dus dit leverde niet zoveel bijzonders op. Dat was de waarde 22/7. Deze werd door de geleerde de onnauwkeurige waarde genoemd. Maar zijn tweede waarde was veel nauwkeuriger. Deze zorgde ervoor dat het getal Pi nu 6 getallen achter de komma kreeg. Hij deed 355/113 = 3,1415929 en dit is juist tot 6 decimalen.
Meer dan 6 eeuwen nadat er in India de 4 decimalen werden uitgerekend kwam een andere geleerde uit India met twee andere waardes. Deze geleerde heette Bhaskara( 1114- 1185) en hij had een waarde die beter voor het gewone werk gebruikt kon worden. Deze waarde was 3927/1250. deze werd in diverse landen gebruikt, maar er kwamen geen getallen meer achter de komma bij met deze waarde.

Het duurde veel langer voordat de berekening van pi van de Chinese werd overtroffen. De waarde pi kreeg pas in 1400 meer getallen achter de komma. De berekening van pi kende nu 16 getallen achter de komma. Deze waarde was uitgerekend door Al-Kashi. Hij was een Perzische geleerde, die stierf in 1436. Hij had deze 16 decimalen berekend met behulp van de berekeningen van Archimedes. Hij werkte deze berekeningen verder uit. Hij vermenigvuldigde die 96-hoek van Archimedes nog 23 keer. Hij kreeg daaruit een ingeschreven 805 miljoen 306 duizend 368 hoek. Dan krijg je een figuur die nog meer heel weinig verschilt van een echte cirkel. De berekening is gigantisch lang, en je kunt je afvragen waarom iemand pi zo nauwkeurig wil berekenen. Al-Kashi wilde dit, omdat hij de omtrek van de baan van Saturnus tot op een haarbreedte nauwkeurig kon uitrekenen (uitgaande van de veronderstelling dat de afstand correct bekend was). Het idee was dus pi zo nauwkeurig uit te rekenen dat dit voor altijd genoeg zou zijn.
In Duitsland werd de waarde van Tsoe ( dat was 355/113) pas gevonden in 1573 door Valenthin Otho. Dat is dus 1000 jaar later dan Tsoe zelf deed. Ook in Nederland werden de waardes van pi pas veel later gevonden door berekeningen. De Nederlander Adriaen Anthonis-zoon was burgemeester van Alkmaar en leefde van 1543 tot 1620. Zijn berekening is hetzelfde als Tsoe al eens eerder had berekend. De zoon van Adriaen heeft de berekeningen van zijn vader gepubliceerd, vandaar dat veel mensen wel denken dat hij de bedenker van die waarde was in Nederland.
In 1674 kwamen Gregory en Leibniz met een fraaie reeksformule voor pi. p/4 = 1- 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 - 1/11 ……………..
De reeks is goed te onthouden vanwege de simpele regelmaat. Maar later bleek dat deze benadering een hele slechte is.
Pi in decimalen
In Holland publiceerde Ludolph van Ceulen in 1596 pi in 20 decimalen in zijn boek 'Van den circkel'. Later verbeterde hij zijn eigen record. Nu had pi 35 decimalen. Dit getal van Pi in 35 decimalen kon men lezen op zijn eigen grafsteen, maar deze is helaas in de loop van de tijd verloren gegaan.
Maar drie eeuwen later was men niet meer tevreden met enkele tientallen decimalen. William Shanks uit Engeland had in 1873 voor pi 707 decimalen. Hij had er 15 jaar over gedaan om al die decimalen uit te rekenen en eigenlijk deels voor niets, want in 1946 vond D.F. Ferguson een fout in Shanks resultaat. Shank was namelijk bij het 528ste getal de fout in gegaan. In 1947 werd door Ferguson pi in 710 decimalen gepubliceerd.
Maar hij was niet lang de recordhouder. Ongeveer tegelijkertijd publiceerde de Amerikaan Wrech Jr. pi in 808 decimalen! Maar lang duurde de vreugde van Wrech Jr. niet. Weer had Ferguson de fout gevonden. Wrech Jr. was in de 723ste decimaal de fout ingegaan.
Wrech Jr. en Ferguson besloten om samen te werken. Samen publiceerden zij pi met de gecorrigeerde 808 decimalen.
In 1949 bleek dat men de 808 decimalen niet genoeg vond. Met liet toen namelijk in het research laboratorium van het Amerikaanse leger in Aberdeen de elektronische rekenmachine (de ENIAC) het werk doen. Na dat de ENIAC 70 uren lang heeft zitten ratelen om het nieuwe pi getal uit te rekenen kwam er een getal uit met 2035 decimalen. Het getal was zo groot omdat men namelijk met heel veel decimalen wilde experimenteren en tegelijk het resultaat van Ferguson-Wrench controleren.
Maar met de steeds grotere invoer van computers werd het bereken steeds weer makkelijker en sneller. Tevens in 1949 werd er met de computer in 70 uur 2037 decimalen achter de komma uitgerekend. In 1958 werden dat er 10.000 in 1,7 uur en in 1961 werd er 8,4 uur overgedaan om 100.000 getallen achter de komma te berekenen. Tevens in 1973 werd het getal weer uitgebreid. Over de nu tellende 1.000.000 decimalen werd nu 23,3 uur gedaan.

En steeds overtreffen geleerden elkaar weer met nieuwe decimalen. Rond 1983 stond het record van aantal decimalen achter de komma op 16 miljoen cijfers. Dit in een tijd van 30 uur en de rekentijd per decimaal van 0.007 seconde.
Maar het zijn in deze tijd geen wiskundige geleerden meer die het werk doen. Rond 1986 heeft de supercomputer Cray-2 het wereldrecord verbeterd. Het record is nu 29.360.128 decimalen. Als je al deze getallen zou willen uitprinten op papier zou je daar 10 jaar mee bezig zijn. Terwijl de computer er maar 28 uur overdeed om het getal uit te rekenen.
Maar ook dit record werd weer verbeterd. In Japan is een laboratorium waar ze er lol in hebben zoveel mogelijk decimalen uit te rekenen. Aan de universiteit van Tokio zijn de Japanner Kanada en zijn staf al twintig jaar lang een nieuw decimaal uit te rekenen zodat ze die achter de lange rij decimalen te zetten. Hun laatste record staat op 206.158.430.000 decimalen. Die decimalenkennis is volstrekt, volkomen en volmaakt overbodig.
Maar ondanks al deze gekte om het werkelijke cijfer van pi, gebruikt men op scholen gewoon 3. 1415925. Het is niet nodig om precies het hele getal te gebruiken. Want voor praktische redenen heb je aan deze 7 decimalen meer dan voldoende.

Pi, welk getal precies?
3,
141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944
592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647
093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559
644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165
271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360
011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953
092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724
891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737

190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901
224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960
864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951
059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035
261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532
171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863
278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891
249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855
889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012
858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379
774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104
752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263
914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030

286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955
321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426
542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192
173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468
438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184
272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383
827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896
084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945
047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645
995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620
522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203
496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387
410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991
855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222
626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700

129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506
016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116

En dit is nog niet eens de helft van alle cijfers achter de komma!

De geschiedenis van het getal 0

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Met deze tien cijfers kunnen we alle getallen schrijven. Men staat er eigenlijk niet meer bij stil dat dit systeem heel bijzonder is. Het getallensysteem dat wij hanteren noemt men het positiesysteem. Dit systeem is veel handiger dan andere systemen die in de geschiedenis gebruikt zijn.
Het positiesysteem komt uit India. Het is daar in de 5de eeuw na Christus ontstaan uit een ouder systeem, het Brahmi-systeem.

Het Brahmi-systeem had al de cijfers 1 tot en met 9, maar nog geen 0. Voor 10 was er een apart cijfer, een cirkel met twee pootjes, en voor 20 was er weer een apart cijfer voor. Zo waren er ook speciale tekens voor 100 en 1000. Dit systeem is dus erg lastig voor grote getallen. Maar daar hadden ze in die tijd niet zo veel last van, want in het dagelijks leven in de oudheid en in de middeleeuwen waren de getallen vaak niet groter dan 10.000. Alleen in de sterrenkunde waren er grotere getallen nodig. In de 5de eeuw na Christus is een onbekende Indiase sterrenkundige op het idee gekomen om het Brahmi-systeem te wijzigen. Hij voerde een symbool voor 0 in. Nu kon je de cijfers 1 tot en met 9 ook voor tientallen, honderdtallen, duizendtallen enz. gebruiken. In plaats van het speciale symbool voor 10, wat een cirkel met twee pootjes was, komt er nu een 1 met een 0 erachter. Men hoefde nu dus nooit meer nieuwe tekens uit te vinden maar kunt de cijfers 1 tot en met 9 en de 0 steeds opnieuw gebruiken.

We gebruiken de 'nul' eigenlijk op twee manieren. De ene manier is de 'nul' een getal om 'geen' aan te duiden in ons positiestelsel. Het getal 216 is een heel ander getal dan het getal 2016. De tweede manier is gewoon als 0 zoals in een telefoonnummer. Er zijn naast deze twee gebruiken nog verschillende aspecten in het gebruik van het getal nul, namelijk: de opvatting, de notatie en het naamwoord.

Hoe de Indiase sterrenkundige op het idee is gekomen om een 0 toe te voegen, hebben de moderne historici verschillende theorieën over. Ook vraagt men zich af of er invloed uit andere culturen geweest is.

Volgens sommige historici is dit niet het geval. Zij denken dat het van het Sanskrit, de heilige taal in India, is afgeleid. Zo werden getallen als 104 geschreven als een woord voor 1, gevolgd door het woord 'leeg', gevolgd door een woord voor vier. Zo hoefde de Indiase sterrenkundige alleen maar deze woorden door symbolen te vervangen.
In de 5de eeuw na Christus kwamen dit soort woordgetallen in het Sanskrit vooral voor in teksten over sterrenkunde. In die tijd was er in India opbloei van de sterrenkunde. De opbloei was geïnspireerd door de sterrenkunde van het oude Babylon en Griekenland.

De Griekse en Babylonische sterrenkundigen in de oudheid rekenden in een zestigtallig positiestelsel. Zij hadden al een symbool voor de nul. De Grieken schreven de getallen 1 tot en met 59 met de letters van hun alfabet. Zo was 1 alfa 2 beta, 10 iota, 20 kappa. Voor het getal 60 schreven zij 'alfa' gevolgd door een rondje. Dat rondje was een afkorting van het woord "ouden" wat 'niets' betekende. De Indiase sterrenkundigen moeten met dit systeem bekend geweest zijn. Logisch is dus dat de Indiase sterrenkundige de 'nul' hiervan heeft afgeleid. Waarschijnlijk vond hij een positiestelsel wel heel handig, maar het Griekse zestigtalligstelsel te ingewikkeld. Zo heeft hij er een tientalligstelsel gemaakt en heeft hij voor de cijfers 1 tot en met 9 het Brahmi-systeem gebruikt. Zo hoefde hij alleen nog maar een teken voor de 'nul' toe te voegen.

Het Indiase systeem verspreidde zich naar China en de Arabische wereld. Van daaruit heeft het de gehele wereld veroverd. De herkomst van ons getallenschrift en het belang van de nul daarin blijkt nog steeds uit ons woord "cijfer": dit is rechtstreeks afkomstig uit de Arabische benaming van de nul, "sifr", die op haar beurt weer een vertaling is van de Sanskrit-term "soenja" (nul, leegte).

Tegenwoordig spreekt men niet meer van 'Indiase cijfers', maar wordt het nu vaak het 'Arabische' getallenschrift genoemd. Dit komt doordat wij het van de Arabieren hebben overgenomen. De Arabieren spreken dan ook niet van de 'Arabische', maar van de 'Hindoe' getallen.

Het getal nul heeft in de oudheid voor veel oplossingen gezorgd, maar ook voor problemen. Twee jaar geleden nog. Overal op de wereld vierde men op 1 januari 2000 het nieuwe millennium. Eigenlijk vierde men toen dat er 1999 jaar voorbij waren. Nog steeds blijken veel mensen het niet te snappen dat we pas in de 21ste eeuw op 1 januari 2001 het derde millennium in zijn gegaan. De 'nul' veroorzaakt nog steeds problemen!

De geschiedenis van de Romeinse cijfers
Het getallenstelsel van de Romeinen is waarschijnlijk ontstaan als een telsysteem voor de herders, die op een kerfstok bijhielden of ze wel met al hun schapen terug thuis waren gekomen. Later werden deze kerfstreepjes letters die uit het Romeinse alfabet werden overgenomen. Maar toch bleef dit getallenstelsel een primitief systeem. Toch wel verwonderlijk als je bedenkt welk een hoog niveau de Romeinse beschaving bereikte.
Het maken van voor ons eenvoudige berekeningen als vermenigvuldigingen en delingen, was met Romeinse getallen een hopeloze opgave. Eigenlijk werd het alleen gebruikt voor notaties en gebeurden berekeningen met een 'abacus' of rekentafel.

Op de eerste plaats was het rekenen met aldus genoteerde getallen geen kleinigheid. Een eenvoudige vermenigvuldiging was al een karwei voor deskundigen om van delingen maar te zwijgen. Een tweede nadeel betrof het feit dat het aantal verschillende tekens moest worden uitgebreid naarmate men grotere getallen wilde weergeven. Toch werd dit systeem in Europa nog tot in de Middeleeuwen algemeen heel veel gebruikt.
Oorspronkelijk waren de romeinse cijfers dus kerfstreepjes. Ze zijn dus niet gebaseerd op de beginletters van woorden, zoals sommigen denken. De Romeinen kenden ook alleen maar hoofdletters(kapitalen). Maar soms vind je bijvoorbeeld bij een paginanummering, ook wel Romeinse getallen in kleine letters. De Romeinen gebruikten volgende cijfers:
M = 1000, D = 500, C = 100, L = 50, ,X = 10
V = 5, I = 1
De V en U werden bij de Romeinen hetzelfde geschreven. Net zoals de I en de J. vandaar dat je in oude geschriften die letters soms ook tegen komt.
De latere Romeinen gebruikten geen aparte karakters voor de cijfers, maar leenden een aantal letters uit het gewone alfabet. Maar in een inscriptie van omstreeks 170 vóór Christus, gevonden in het Zuid-Italiaanse Lucania, zien we voor het getal '50' nog een naar beneden wijzend pijltje in plaats van de letter L.
Wel werkt het Romeinse cijfersysteem anders. Bij ons betekenen de cijfers 777 op iedere plek weer wat anders. Want van links naar rechts is dat 7, 70 ,700. Bij de Romeinen was dat anders. Daar betekent bij bijvoorbeeld het getal CCC, elke C honderd. Bij dit Romeinse getallenstelsel tel je die 3 C’s bij elkaar op en dan krijg je 300 als uitkomst. Dit betekent dus dat alle getallen positief zijn en getallen achter de komma komen niet voor.
Maar om de notering vorm wat korter te maken, voegden ze later aan het systeem een subtractief element toe: als een kleinere waarde voor een grotere staat, moet je de kleinere aftrekken. Een voorbeeld hiervan is:
‘IX’ : 10 – 1= 9, ‘IV’ : 5 – 1 = 4, 'CM': 1000 - 100 = 900
Je mag bij de Romeinse getallen ook nooit een zelfde letter meer dan drie keer na elkaar gebruiken. Bijvoorbeeld: 4 moet je als IV noteren en niet als IIII. De notering van IIII komt toch wel heel vaak voor, maar mag eigenlijk niet. Het is immers de oudste vorm, die door de nieuwere (IV) is verdrongen.
Zeker als het om grote getallen gaat, hebben de Romeinen vele dingen bij bedacht. Een paar voorbeelden hiervan zijn:


De eerste hiervan is een andere schrijfwijze voor het getal duizend en de tweede aan andere schrijfwijze voor 5000. De schrijfwijze voor 1.000 is eigenlijk een stilering van een cirkel (= twee gespiegelde C's) met een verticale streep in het midden. Twee concentrische cirkels stonden dan voor 10.000 en drie voor 100.000. (Theoretisch kun je zo nog grotere veelvouden van 1.000 weergeven. Maar in de praktijk gebeurde dat niet omdat de getalwaarde van een dergelijke notering niet goed meer in één oogopslag te lezen is.) Halve cirkels (een I met rechts daarvan één of meer C's in spiegelschrift) geven aan dat je het zo verkregen getal door twee moet delen. (Zo kun je ook de 'D' voor 500 beschouwen als een halve duizend in deze notering.)
Het derde en vierde getal betekenen 12.000 en 30.000.000. Het horizontale streepje geeft aan dat je het getal eronder met 1.000 moet vermenigvuldigen. Staat het getal in een niet gesloten rechthoek, dan moet je het met 100.000 vermenigvuldigen. Zelfs combinaties waren mogelijk: als je het 3de getal hierboven vlak achter het 4de zou schrijven, krijg je de Romeinse notering voor 30.012.000. Dat een dergelijke schrijfwijze verwarring kan scheppen en aanleiding kan geven tot interpretatiefouten, spreekt vanzelf. Zo zou keizer Tiberius aan de latere keizer Galba ooit 500.000 in plaats van 50.000.000 sestertiën hebben uitbetaald omdat het bedrag in het legaat was aangeduid als

De streepjes aan de zijkanten waren zo kort dat Tiberius ze niet als verticale lijnen wilde zien, maar als begin- en eindpunt van de horizontale streep.

Conclusie

Archimedes was de grondlegger van het idee hoe je pi moest berekenen. Later berekenden steeds meer wiskundige geleerden meer decimalen achter de komma. In deze tijd met computers gaat het steeds sneller om nog meer getallen achter de komma uit te rekenen. Maar men gebruikt voor pi gewoon het getal 3. 1415925.
Een ander bijzonder getal is het getal ‘nul’. Deze werd 500 jaar na Christus het eerst gebruikt door een onbekende sterrenkundige uit India. Hij wijzigde het Brahmi-systeem door er een ‘nul’ aan toe te voegen. Nu gebruikt men overal het positiesysteem, wat afgeleid is uit het Brahmi-systeem. Vanuit India heeft dit zich naar China en de Arabische wereld verspreid. Vanuit de Arabische wereld heeft het de Westerse wereld bereikt.
De Romeinen hadden een ander getallenstelsel dan wij kennen. Zij gebruikten voor getallen letters. Het Romeinse getallenstelsel is ontstaan als een telsysteem voor herders. Het was heel moeilijk om de Romeinse getallen te vermenigvuldigen of te delen. Een tweede nadeel betrof het feit dat het aantal verschillende tekens moest worden uitgebreid naarmate men grotere getallen wilde weergeven. Toch werd dit systeem in Europa tot in de Middeleeuwen algemeen heel veel gebruikt.