Fractals

Fractale dimensies

Een punt heeft geen dimensies, geen hoogte, geen lengte en geen breedte.

Deze stip is natuurlijk veel te groot voor een punt. Maar we zullen ermee moeten leven, als we het erover eens zijn wat een punt echt is.
Een lijn heeft een dimensie - lengte. Het heeft geen breedte en diepte, maar oneindige lengte.

Dit model van een lijn is ook niet zo goed, maar totdat we leren een lijn met dikte 0 en oneindige lengte te tekenen, moet het maar goed genoeg zijn.
Een vlak heeft twee dimensies, lengte en breedte

Het is een perfect plat oppervlak dat zich naar beide kanten oneindig ver uitstrekt.
Ruimte, een gigantische lege doos, heeft drie dimensies – lengte, breedte en diepte die zich oneindig ver uitstrekken

Dit is natuurlijk geen goede voorstelling van 3D. Behalve dat hij oneindig zou moeten zijn, is het alleen maar een zeshoek getekend om je te laten denken dat het een doos is.
Fractals hebben een gebroken dimensie. Een fractal kan dimensie 1,7 of 2,3 hebben. Hoe dat kan? Dat gaan we nu uitzoeken.

Dit is wederom geen goed plaatje van een fractal. Het is alleen maar een benadering ervan. Echte fractals worden gevormd door een oneindig aantal stappen, in plaats van de drie van deze. We moeten dus onthouden dat er oneindig veel meer en kleinere driehoekjes zijn in de echte fractal, en onheindig veel gaten (de zwatre driehoekjes) tegelijkertijd.

Om te begrijpen hoe fractals een fractale dimensie kunnen hebben, moeten we vaststellen wat dimensie inhoudt. Neem een zelfgelijkend figuur zoals een lijnstuk, en verdubbel zijn lengte. Het verdubbelen geeft twee kopien van het originele lijnstuk.
Neem een ander zelfgelijkend figuur, dit keer een vierkant van één bij één. Vermenigvuldig alle lengtes met twee. Na verdubbeling krijg je vier kopieën.
Vervolgens neem je een kubus van één bij één bij één. Ook nu verdubbelen we alle lengtes. Het aantal kopieën dat we nu krijgen bedraagt acht.

We stoppen nu onze verkregen informatie in een tabel:
Figuur Dimensie Aantal kopieën
Lijnstuk 1 2 = 2 1
Vierkant 2 4 = 2 2
Kubus 3 8 = 2 3
Er lijkt een patroon te zijn. Het lijkt erop dat de dimensie de exponent is. Dus als we weten hoeveel kopieën er ontstaan, schrijven we dit als macht van twee met de exponent als dimensie.
Dit voegen we toe als een rij in de tabel, we nemen d voor dimensie, n voor het aantal kopie”en en x als de vergrotingsfactor:
Figuur Dimensie Aantal kopieën
Lijnstuk 1 2 = 2 1
Vierkant 2 4 = 2 2
Kubus 3 8 = 2 3
Willekeurig zelfgelijkend figuur d n = x d

Laten we dit nu gebruiken om de dimensie van deze driehoek te berekenen, de zogenaamde zeef van Sierpinski. Die als volgt is geconstrueerd. Neem een gelijkzijdige driehoek, teken alledrie de middenparalellen.Haal vervolgens het middelste driehoekje weg, je hebt nu nog drie kleinere driehoekjes over. Herhaal dit proces met de drie kleinere driehoekjes, enzovoorts.

Begin met een Sierpinski zeef met zijden van één. Verdubbel nu de lengtes. We hebben nu drie kopieën van het originele figuur. De zwarte driehoek in het midden telt niet mee, het is immmers een gat. Het maakt dus niet deel uit van de figuur.

Verdubbeling van de zijden levert drie kopieën. We pakken de tabel er weer bij en zetten hem erin. Er waren drie kopieën, dus als dimensie d is, dan is 2d =3 De dimensie is dus 2log 3 Dit is ongeveer 1.58
Figuur Dimensie Aantal kopieën
Lijnstuk 1 2 = 2 1
Sierpinski’s zeef 2log 3 3 = 2 d
Vierkant 2 4 = 2 2
Kubus 3 8 = 2 3
Willekeurig zelfgelijkend figuur d n = 2 d
Zo is het dus duidelijk dat fractals een gebroken dimensie kunnen hebben. De Serpienski zeef zit dus tussen een lijn en een oppervlak in.
We kunnen dit ook doen met een piramide volgens het Sierpinski-model. We verdubbelen de zijdes weer en tellen het nieuwe aantal kopieën:

Als we nu het aantal kopieen tellen komen we op vier. Als we dit invullen met n=xd kunnen we d uitrekenen. N= 4, dus d= 2log 4= 2 Deze figuur heeft dus een dimensie van twee, oftewel die van een vlakke figuur, terwijl hij lijkt te zijn opgebouwd uit drie dimensionale figuren. Fractals hoeven dus niet altijd een gebroken dimensie te hebben.