Fractalen

Voorwoord

Wij kregen de opdracht van onze leerkracht wiskunde om een taak te maken over moderne wiskunde. Het onderwerp van die moderne wiskunde was Fractalen. De inleiding die we kregen bij fractalen was een clipje. Een filmpje waarop we een mandelbrot fractaal zagen die steeds meer werd ingezoomd op het deuntje van Jonathan Coulton namelijk “mandelbrot set” http://youtube.com/watch?v=gEw8xpb1aRA. Na weken van onderzoek is dit ons resultaat:

Escher

Leven
Mauritz Cornelis Escher (17/06/1898-27/03/1972) is geboren in Leeuwenaarden, Nederland, als jongste zoon van waterbouwkundig ingenieur George Arnold Escher en diens tweede vrouw, Sarah Gleichman. In 1903 verhuisde de familie naar Arnhem, waar Mauk(zo stond hij bekend bij zijn familie) ging studeren. hij was heel goed in tekenen, maar de rest van zijn resultaten waren maar pover. Escher studeerde af in 1922 met een diploma sierende kunsten op zak. Hij reisde regelmatig naar spanjeen vooral naar italie, waar hij zijn toekomstige vrouw, Jetta Umiker ontmoette. Ze kregen 3 zonen, George, Arthur en Jan. In 1937 verhuisde hij met zijn gezin naar Ukkel, na eerst 2 jaar in Zwitserland gewoond te hebben. In 1941 verhuisde hij terug naar zijn geboorteland, in Baarn, daar verbleef hij tot 1970. Dat was een periode waarhij onafgebroken tekeningen maakte, uitgezonderd van 2 operaties. Zijn vrouw had het niet zo goed in Baarn en verhuisde in 1968 terug naar Zwitserland. In 1970 ging Escher naar een rusthuis voor bejaarde kunstenaars waar hij zijn eigen atelier had. 2 jaar later stierf hij.

Zijn werk

Escher staat bekend om zijn onmogelijke werken zoals: Klimmen en Dalen en Relativiteit, maar ook om zijn metamorphoses, zoals Metamorphose I, II en III, Lucht en Water I en Reptielen.
Escher illustreerde ook boeken, ontwierp tapijten, postzegels en wandschilderingen. Hij werd gefascineerd door geometrische figuren van de wand -en vloermozaïeken in het Alhambra, een veertiende-eeuws kasteel in Granada, Spanje, dat hij in 1922 bezocht. Hij maakte dan ook vele symmetrische tekeningen waarin 1 figuur op verschillende wijzen in elkaar paste.(vele voorbeelden vindt u op:
http://www.mcescher.com/Gallery/gallery-symmetry.htm)

Fractalen in de natuur

Fractalen vind je bijna overal in de natuur.
Kijk maar eens op een landkaart naar de kust van Noorwegen. Op de kaart zie je een grillige kustlijn met veel inhammen, maar wanneer je inzoomt op de kaart zie je in die grillige inhammen weer grimmige inhammen. En dit blijft maar doorgaan terwijl je inzoomt.

Ook in de natuur om ons heen vind je heel vaak fractalen. Een varen is hiervan een mooi voorbeeld. De varenrand is een mooi patroon met vele inhammetjes. Maar wanner je dichter naar deze inhammetjes kijkt, zie je dat deze inhammetjes, weer eens inhammetjes hebben enz.

Nog een paar andere voorbeelden zijn takjes van een boom of een blad van een boom. Ook een sneeuwvlokje is zo een bekend voorbeeld.

Besluit over fractalen in de natuur
Met het blote oog kunnen we waarnemen dat fractalen toch wel vrij veel voorkomen in de natuur, alleen is het fysisch onmogelijk dat ze tot in het oneindige door blijven herhalen. Ze kunnen lang blijven herhalen, maar als we op atomair niveau hebben ingezoomd, gelden er andere regels. Als je bijvoorbeeld op het varenblad blijft inzoomen, krijg je op een gegeven moment atomen, die kunnen onmogelijk dezelfde vorm hebben als de rand van het varenblad.

Fractalen aan de hand van de site
Wat zijn fractalen?
Defenitie
Fractalen zijn meetkundige figuren in eindeloze herhaling. Ze vertonen een zelfgelijkvormigheid. Dit wil zeggen dat er steeds ongeveer dezelfde vorm terug is te zien als men op de figuur inzoomt. Een voorbeeld uit de natuur is een wolk die bestaat uit flarden op flarden die er steeds ongeveer hetzelfde uitzien. Fractalen komen zeer vaak voor in de natuur. Chaotische en ingewikkelde figuren uit de natuur kunnen zo wiskundig berekend en weergegeven worden.
Fractalen kunnen geconstrueerd worden in het complexe vlak, hierbij wordt een complexe rij gevormd waarbij de punten met elkaar verbonden worden. Door de formule veel te herhalen of te itereren, bekomt men mooie figuren: fractalen.

Uitleg
Itereren

Fractalen begint bij itereren. Dit is een getal nemen, dit kwadrateren en de uitkomst daarvan weer kwadrateren enz. Bijvoorbeeld beginnen bij 2, gekwadrateerd is dit 4. Het kwadraat van 4 is 16. 16 gekwadrateerd geeft 256, enz.
Dit proces kan je makkelijk weergeven op een parabool met functie y = x² en de rechte y = x. Men trekt een verticale lijn vanuit het begingetal tot aan de parabool, hierna een horizontale lijn naar de rechte, weer een verticale naar de parabool enz.
Wanneer men begint met een getal tussen -1 en 1 zal de uitkomst naar 0 gaan, dan noemt men 0 de aantrekker. Wanneer men een getal kleiner dan -1 of groter dan 1 gaan naar oneindig.

Parabool

Hierna gaat men de parabool verschuiven naar boven of beneden om te kijken wat er nu gebeurd. Door de verschuiving naar boven of beneden wordt het voorschrift van de parabool y = x² + c. We nemen als voorbeeld de parabool y = x² - 0,5. Wanneer we dan beginnen bij x = 1 zien we dat de aantrekker dit keer het snijpunt van de parabool en de diagonaal is. Ook het andere snijpunt heeft een betekenis. Wanneer de startwaarde van x rechts van dit snijpunt ligt, itereren we naar oneindig.

Men kan de parabool ook laten verschuiven naar -1. Dan wordt het voorschrift van deze parabool y = x² - 1. Bij deze parabool is ook iets speciaal, wanneer we itereren bij deze functie, gaan we niet naar 1 vast punt maar blijft het springen tussen 0 en -1. Wanneer men bij itereren blijft springen van het ene punt naar het andere, noemt men dit een dubbele aantrekker.

Wanneer de c kleiner is al -2 of groter als 0,25 zal er geen aantrekker zijn maar zal alles itereren naar oneindig. Wanneer de c dan tussen -0,75 en 0,25 is, zal er maar 1 aantrekker zijn. Een dubbele aantrekker vind je dan weer wanneer de c tussen -0,75 en -1,25 ligt. Een nog lagere c zal een vierdubbele aantrekker geven, dit is wel een klein gebiedje, en een nog kleiner en lager gebiedje zal een achtdubbele aantrekker geven. Wanneer men nog een beetje lager gaat, gaat men iets vreemd zien, wanneer men gaat itereren zal men geen duidelijke aantrekker vinden en zal men geen enkele regelmaat meer herkennen. Dit noemt men chaotisch gedrag. In dit chaotisch gedrag heeft men een vreemde aantrekker, dit is een aantrekker die er wel is, maar niet duidelijk is. Maar tussen deze chaosgebieden zijn toch gebieden te vinden waar een bepaalde aantrekker(s) te vinden is(zijn).

Feigenbaum en chaos

Dit is allemaal weergegeven in de Feigenbaum. De Feigenbaum is zelf een fractaal want als men steeds inzoomt zal mee steeds hetzelfde tegenkomen.
In deze Feigenbaum treed er chaos op, maar wat is nu chaos?
Een simpele definitie is: een chaotisch proces is een proces dat we niet kunnen voorspellen wat er gaat gebeuren.
Bij de Feigenbaum kan men alles nog steeds goed voorspellen tot de splitsing. Maar vanaf de c-waarde -1,401155... kan men helemaal niet meer voorspellen. Tussen deze chaos gebieden zijn toch nog een paar periodes waar het dan ineens weer voorspelbaar is.
In de chaotische gebieden gaan we op de parabool geen specifieke aantrekker meer hebben maar gaat de x-waarde vele sprongen maken. Je moet je startwaarde dus heel nauwkeurig kiezen want keuze van de startwaarde is heel gevoelig.
Deze chaos vind je vaak in de natuur terug, denk maar aan de luchtdruk, de temperatuur... Het weer voorspellen is heel moeilijk omdat er zo'n chaotisch gedrag is in de atmosfeer.
De gevoeligheid van de startwaarde is in praktijk de onvoorspelbaarheid. Bijvoorbeeld bij het weer, hoe goed je ook probeert van bij de exacte begintemperatuur te beginnen, nog steeds blijft er chaos.

Complexe getallen

Om fractalen te kunnen snappen moet men ook nog een anders soort getallen kennen dan natuurlijke, gehele, rationale en reële getallen. De nieuwe soort getallen gaat men complexe getallen noemen. Zij kunnen een oplossing geven voor V(x²) = -2.
Complexe getallen gaan niet meer op 1 rechte liggen maar in een vlak met een x-as en een y-as. Op de x-as komen de reële delen en op de y-as de imaginaire delen. De reële delen zal men ook aanduiden met Re(c) en de imaginaire met Im(c). Een complex getal zal steeds deze vorm hebben: y = Re(c) + Im(c) i. Deze i staat voor V(-1).
Let bij complexe getallen wel op dat je de reële en de imaginaire as niet verwisseld met de x en de y-as!

Julia fractalen

Wat zijn nu juist (Julia) fractalen? We beginnen terug bij de fuctie y = x² + c waar we als startwaarde complexe getallen kunnen gebruiken.
We gaan eerst beginnen bij een reëel getal. Bv. c = 0. Toen we dat in het begin deden bij de reële getallen zagen we dat alle getallen tussen -1 en 1 aangetrokken werden naar 0. Blijkbaar worden ook alle complexe getallen tussen -1 en 1 aangetrokken door 0. Het vlak dat nu dus wordt aangetrokken tot 0 zal een cirkel worden.
Wanneer we c = -0,5 nemen, hadden we gezien dat getallen tussen -1,336 en 1,336 werden aangetrokken tot -0,336. Maar wanneer men nu naar de complexe getallen gaat kijken, ziet men dat het daar niet geld dat het tussen -1,336 en 1,336 wordt aangetrokken tot -0,336. Wanneer je dit gebied bekijkt krijg je een vlak met grillige randen.
Een andere c die we bekeken hadden was c = -1. Hier hadden we een dubbele aantrekker gevonden: 0 en -1. Wanneer we dit in het complexe vlak bekijken, zien we een figuur die op spruitjes lijken. Dit soort figuren wordt Julia fractalen genoemd naar een Franse wiskundige Gaston Julia. Hij was de eerste die hierin onderzoek deed in het begin van de vorige eeuw zonder computers.
Nu kunnen we Julia fractalen dus definieren. Julia fractalen zijn de gebieden van punten die in het complexe vlak voor een gegeven waarde van c, die bij itereren niet naar oneindig gaan.
Wanneer we voor c nu een complex getal nemen, zullen er vele grilligere figuren ontstaan en zullen de aantrekkers ook complexe getallen zijn.
Soms zien we ook afbeeldingen van fractalen met vele kleuren er rond. Die hebben ook een bepaalde betekenis. De zwarte gebieden zijn de Julia fractalen, die punten worden niet aangetrokken naar oneindig. De punten daarbuiten gaan dus allemaal naar oneindig maar het aantal maal itereren verschilt wel en daarvan zal de kleur dus afhangen.

Mandelbrot

Er is nog 1 probleem, niet voor alle c-waarden kan je een Julia fractaal verkrijgen. Daarom heeft men een Mandelbrot fractaal gemaakt. Dit is een fractaal die alle punten toont bij welke c-waarde er een Julia fractaal hoort. Deze fractaal is gemaakt door de Poolse wiskundige Benoit Mandelbrot in de jaren 70 van vorige eeuw. Hij bouwde voort op wat Julia gevonden had en in deze tijd begon men dat zelfs met de eerste computers te doen.
De Mandelbrotfractaal geeft voor elke c, met als startwaarde x = 0, weer of het itereert naar een aantrekker of naar oneindig. De punten met een aantrekken zijn zwart gekleurd, de punten die naar oneindig gaan zijn gekleurd door een het aantal iteraties die nodig zijn voor aan oneindig te komen.

Maar Mandelbrot blijft niet zo eenvoudig. De hoofdverzameling wordt ook het appelmannetje genoemd. Maar rond de hoofdverzameling zijn ook nog vele kleine dezelfde figuurtjes te vinden. Op het eerste zicht lijken die er gewoon te 'hangen' maar wanneer je de figuur inkleurt volgens de normale normen zie je dat die kleine figuurtjes zie je dat ze er toch niet hangen te 'zweven' maar via kleine draadjes aan de hoofdverzameling.
Die kleine figuurtjes moeten niet altijd gelijkvormig zijn, maar ze hebben wel steeds dezelfde vorm en deze figuurtjes vind je tot op c = -2 op de hoofdantenne.

Van chaos is in Mandelbrot niet veel te merken. Chaos is in Mandelbrot enkel in de lijn waarmee de kleiner Mandelbrotjes met elkaar zijn verbonden.

Zelf ontdekken: 3D-fractalen
Wat zijn 3D-fractalen?

We kennen nu fractalen, wat we zelf hebben ontdekt is dat er ook 3D-fractalen bestaan. Het is hetzelfde principe als de fractalen die we hierboven hebben gezien. Het enige verschil is dat we op een extra z-as krijgen, zodat het te itereren punt in 3D wordt omgevormd.

3D-fractalen in de wereld

Wat daarnet bij fractalen in de natuur hebben gezet, zijn eigenlijk 3D-fractalen. Rond 3D-fractalen worden ook wedstrijden georganiseerd, wie het mooiste fractaal maakt, wint de wedstrijd. De fractalen worden voorgesteld met een computerprogramma, want nabouwen is practisch onmogelijk. Al hebben we wel een voorbeeld van de driehoek van sierpinski, die van 2D naar 3D is omgezet.