Cardano

De formule

x^3+mx=n

We nemen bijvoorbeeld (a-b) +3ab(a-b) =a^3 -b^3
Dan zijn 3ab =n en a^3 +b^3 =n dan is a-b de oplossing van x^3+mx= n
Nu is b =m/3a dus a^3 –m^3 /27a^3 =n
d.w.z. a^6-na^3 -m^3 /27a^3 =0.
Het is een kwadratische deling in a, dus a kun je oplossen door de kwadratische formule te gebruiken. B kun je vinden door m/3a.
Kortom de oplossing tot de formule is a-b

Als je de formule van Cardano en de methode van vierdegraadsvergelijkingen combineert, dan kom je op de methode om zesdegraadsvergelijkingen op te lossen.
Bijvoorbeeld:


x^6+9 =12x²
x^6 -12x² +9 = 0

stel: x²=p

p³ -12p +9 =0


a b c d
1 0 -12 9
3 3 9 -9
1 3 -3 0

Bij a
3*1=3

Bij b
0+3=3

Bij c
3*3=9
-12+9=0

Bij d
-3*3= -9
-9+9=0


dus (p-3)*(p² +3p -3)

p= 3 of p² +3p –3 =0

a=1
b=3
c=-3

Door de abc formule kun je uitrekenen dat p=0,8 of p=-3,8

dus p=0,8 of p=-3,8 of p= 3

x kan verkregen worden door wortel p te berekenen. Omdat je –3,8 niet kan berekenen krijg je dus 4 antwoorden.

wortel 0,8= -0,89 of 0,89
wortel 3= -2,11 of 2,11

Vierdegraadsvergelijkingen

Nadat Cardano zelf de derdegraadsvergelijkingen had opgelost moedigde hijj zijn student Ferrari aan om te proberen vierdegraadsvergelijkingen op te gaan lossen.

Het lukte Ferrari om een aantal formues op te lossen. Die zijn allemaal gepubliceert on Arts Magna, Cardano’s boek. Hier is zijn oplossing voor x^4 +px^2 +qx +r =0

x^4 +2px^2 + p^2 = px^2 –qx –r +p^2
(x^2 +p)^2 =px^2 –qx –r +p^2

(x^2 +p +y)^2 =px^2 –qx –r +p^2 +2y(x^2 +p)+ y^2
= (p +2y)x^2 –qx + (p^2 –r + 2py + y^2)

(-q)^2 – 4(p +2y) (p^2 – r +2py +y^2) =0

(q^2 – 4p^3 + pr) + (-16p^2 + 8r) y – 20 py^2 – 8y^3 =0

Sinds men al wist hoe je derdegraadsvergelijkingen moest uitrekenen had Ferrari bij deze als eerste een vierdegraatsvergelijking uitegerekend.

Problemen bij het oplossen van een derdegraads vergelijking.

Cardano merkte iets raars op tijdens het gebruiken van de formule op sommige derdegraadsvergelijkingen. Bij het oplossen van x^3 =15x +4 kwam hij op sommige andwoorden als wortel-121. Cardano wist dat je geen wortel kon trekken van een negatief getal, maar hij wist ook dat het andwoord van de som 4 was. Hij schreef naar Targatiala op 4 augustus 1539 in een tervergeefse poging te vragen of hij de oplossing hiervan wist.

In het boek Arts Magna geeft Cardano een berekening met ‘complexe nummers’ om een gelijk probleem op te lossen, maar hij begreep zijn eigen berekingen niet echt, waar hij van beweert:

‘It is as subtile as usless’

Hij spreekt in zijn boek dan ook verschillend over de ‘true solution’ en de ‘fictious solution’. Hij had nog niet door dat oneven vergeijkingen misschien wel negatief konden zijn.

Geralimo Cardano was het onwettige kind van Fazio Cardano en Chiara Michera. zijn vader was een advocaat in Milaan maar was zo goed in wiskunde dat Leonardo da Vinci hem vaak vragen stellen over ruimtemeetkunde. naast dat haar advocaat was gaf hij ook les meer ruimtemeetkunde aan de universiteit van Pavia. wanneer hij zo’n 50 jaar was, ontmoette Fazio Chiara, in jonge weduwe met drie kinderen.

Charia werd zwanger, maar voor ze ging bevallen kwam de pest in Milaan, en ging zenaar een klein stadje buiten Milaan, voor haar veiligheid. Cardano werd daar geboren, maar nog geen paar dagen later kreeg zijn moeder te horen dat haar andere drie kinderen waren overleden aan de plaag in Milaan. zijn vader en moeder leeft nog apart voor een aantal jaren, maar later trouwden ze.

Cardano werd eerst zijn vaders assistant, maar na een paar jaar verlangde toch om te gaan studeren. na ruzie met zijn vader, stond zijn vader het eindelijk toe dat hij aan de universiteit van Pavia medicijnen ging studeren, in plaats van rechten.

Cardan haalde zijn doctoraal in medicijnen in 1525 en probeerde om bij het college van dokters in Milaan te komen. het college wilde hem niet aannemen, omdat hij zo’n moeilijk man was. De ontdekking van zijn onwettige geboorte gaf hen een reden om hem af te wijzen.

in 1531 trouwde Cardano met Lucia. Sinds toen ging het alleen maar slechter met
hun. Uiteindelijk belandden ze in een armenhuis in Milaan.
Gelukkig kon Cardanom de vroegere plek als een leraar wiskunde van zijn vader overnemen. In zijn vrije tijd deed hij ook nog wat aan geneeskunde, en door een paar wonderlijke genezingen, groeide zijn reputatie als dokter. naar een hoop druk van zijn bewonderaars, werken hij uiteindelijk vier jaar later toegelaten tot het college van dokters. hetzelfde jaar werden zijn eerste twee boeken over wiskunde gepubliceerd.

In 1539 benaderde Cardano Tartagiala die een wiskundewedstrijd had gewonnen, door derdegraads vergelijkingen op te lossen. Cardano haalde hem over om de methode te vertellen. Tartaiga stemde eindelijk toe nadat hij een eed had afgelegd. Cardano zou de methode niet publiceren voordat Tartagia dat had gedaan.


Cardano bleef zes jaar lang de wiskunde bestuderen, hij probeerde derde- en vierdegraadsvergelijkingen op te lossen.
Een van de problemen die Cardano tegen kwam was dat hij negatieve getallen had die hij moest worteltrekken om een andwoord te krijgen, en hij wist dat het andwoord een gewoon positief getal moest zijn.
Tartagia, die hij geschreven had over het probleem, beweerde dat zijn methodes gewoon compleet fout waren.

In 1542 stopte hij met het geven van wiskunde, zijn post werd vervult door Ferrari, die later de vierdegraads vergelijking oplost.

In 1545 publiceerde Cardano zijn grootste werk, Arts Magna. Hierin geeft hij de methodes om derde en vierdegraads vergelijkingen op te lossen. In 1543 had hij ontdekt dat Tartagia niet de eerste was die de derdegraads vergelijking had opgelost. Daarom vond hij dat hij het wel kon publiceren, ondanks zijn eed.

In 1970 werd Cardano schuldig bevonden aan de aanklacht van ketterij. Hij zou een heel boek hebben geschreven over Nero, een martelaar. Nadat hij zichzelf ondschuldig had bewezen werd hij wer vrij gelaten.
Hij werd wel verboden om nog verdere boeken te publiceren.

Nadat hij vrijgelaten was vertrok Cardano naar Rome, waar hij onverwacht erg warm werd ontvangen. Hij kreeg meteen een lidmaatschap van aan het college van dokters en de paus, die hem had vergeven, gunde hem woonplaats. Dit is ongeveer wanner hij zijn autobiografie schreef. Hij werd ongeveer 50 jaar later voor het eerst gepubliceerd.

Er is beweerd dat Cardano de exacte datum van zijn overlijden wist te voorspellen. Anderen beweren dat hij toen gewoon zelfmoord had gepleegd. Op 21 serptember 1576 overleed Giralimo Cardano.