Archimedes

MOTIVATIE De Wet van Archimedes was mij al bekend en toen mijn vader vertelde dat Archimedes nog meer had uit gevonden en had bedacht, leek het mij wel leuk om dat verder uit te zoeken. Ik ben al lange tijd gefascineerd door Archimedes omdat hij als eerste nadacht over waarom het water stijgt als je er in gaat staan terwijl er voor Archimedes al duizenden misschien miljoenen mensen in bad zijn gestapt. Hij is de enige van de zovele mensen die zich afvroeg waarom het water stijgt als je in bad gaat staan, hij moet dus ongelofelijk geniaal zijn geweest. Op school hebben we de wet zelf behandeld maar er werd niet bij verteld wie de wet had uitgevonden en bedacht had, wat ik best jammer vind omdat zulke weetjes leuk zijn om te weten en om te onthouden. Vandaar dat ik Archimedes als onderwerp heb uitgekozen. VRAAGSTELLING De Hoofdvraag: I. Waarom is Archimedes zo belangrijk voor de wis- en natuurkunde? De Deelvragen: II. Wie is Archimedes? III. Wat houdt de wet van Archimedes in? IV. Hoe heeft Archimedes zijn wet bedacht? V. Wat is het runderenprobleem? VI. Waarom heeft Archimedes het runderenprobleem bedacht? VII. Wat bedacht Archimedes nog meer?
INDELING Als allereerste een inleiding waarna ik, om de hoofdvraag te kunnen beantwoorden, het leven van Archimedes ga beschrijven, hierna ga ik de Wet van Archimedes uitleggen met het bijhorende verhaal. De Schroef van Archimedes komt hierna aan de orde. Vervolgens komen de verhandelingen en theorieën van Archimedes, waarin de boeken van Archimedes en een beroemde uitspraak van Archimedes ter sprake komen. Ik zal ook nog de Wraak van Archimedes uitleggen. Daarna het Beleg van Syracuse. Tenslotte komt de conclusie waar ik antwoord geef op de hoofdvraag en natuurlijk ook op de deelvragen. Als laatste komt de bibliografie. INLEIDING Er zat meer verbeelding in het hoofd van
Archimedes dan in dat van Homerus
Voltaire
Toen Isaac Newton zijn beroemde maar al te bescheiden uitspraak `Wanneer ik verder heb gezien dan anderen, dan komt dat doordat ik op de schouders van reuzen heb kunnen staan` deed, had hij ongetwijfeld Archimedes voor ogen, de grootste wiskundige van de klassieke oudheid. Archimedes was echter ook een mechanisch genie: één van zijn vele uitvindingen was de tonmolen, beter bekent als de schroef van Archimedes, een spiraalvormige waterpomp voor irrigatiedoeleinden. Hoewel er weinig bekend is over Archimedes` leven of over zijn beoordeling van zijn eigen werk, vermoeden de meeste geleerden dat hij zijn theoretisch-wiskundige ontdekkingen waardevoller vond dan zijn praktische uitvindingen. Zo schrijft Plutarchus:’Hij wijdde zijn oprechte inspanningen uitsluitend aan onderwerpen waarvan de charme en subtiliteit niet door de eisen van het noodzakelijke bezoedeld worden. Andere commentaren voegen hieraan toe dat hij zelfs in zijn werk aan hefbomen, katrollen en andere machines meer streefde naar algemene mechanische principes dan naar praktische toepassingen. Het zal altijd wel onduidelijk blijven in hoeverre Archimedes de theorie boven de praktijk verkoos. Maar het lijdt geen twijfel dat zijn werk een spanning vertoont tussen theorie en toepassing, een spanning die tweeëntwintig eeuwen later in de wiskunde nog steeds onmiskenbaar is. LEVEN Archimedes is, geboren in Syracuse, Sicilië, 287 v.C. – 212 v. C. , de grootste Griekse wiskundige en natuurkundige. Hij was de zoon van de astronoom Phidas. Archimedes heeft volgens de overlevering in Alexandrië gestudeerd en heeft verder in Syracuse als adviseur aan het hof van Hiero II vertoefd met wie hij een vriendschapsrelatie had. Hij is een van de weinige wetenschappelijke persoonlijkheden van de Oudheid van wier leven enige details zijn overgeleverd hoewel er niks met zekerheid aan hem kan worden toegeschreven. WET VAN ARCHIMEDES Een van de eerste natuurwetten die wetenschappelijk zijn afgeleid: een geheel of gedeeltelijk in een vloeistof gedompeld lichaam ondervindt van de vloeistof een opwaartse kracht die gelijk is aan het gewicht van de door het lichaam verplaatste hoeveelheid vloeistof. Hierdoor vermindert het gewicht van het lichaam (schijnbaar) evenveel als de verplaatste vloeistof weegt. Hoe Archimedes deze wet ontdekte, wordt met dit verhaal beschreven: Koning Hiero had een goudsmid een bekende hoeveelheid goud (met gewicht W) gegeven om er een kroon van te maken. Nadat Hieron de kroon ontvangen had, gaf hij Archimedes de opdracht na te gaan of de kroon al het goud bevatte, of dat de smid misschien wat goud had vervangen door een goedkoper metaal. Volgens Vitruvius, de gevierde Romeinse architect uit de eerste eeuw voor Christus, kwam Archimedes, terwijl hij over het probleem nadacht toevallig in het badhuis terecht. Toen hij plaatsnam in de tobbe, viel het hem op dat de hoeveelheid water die over de badrand klotste, gelijk was aan de ondergedompelde hoeveelheid Archimedes. Dit inspireerde hem tot een methode voor het oplossen van het probleem. Hij aarzelde geen moment, maar sprong verheugd uit bad, en naakt naar huis rennend, riep hij uit dat hij gevonden had wat hij zocht. Want onder het rennen, riep hij herhaaldelijk in het Grieks heurika, heurika (Eureka, eureka, of: ik heb gevonden, ik heb gevonden). Wat had hij gevonden? Archimedes besefte dat aangezien goud het dichtste metaal is, een zuiver gouden kroon iets minder volume zou innemen dat een versneden gouden kroon van hetzelfde gewicht. Hij vulde een vat tot aan de rand van het water, en legde er een stuk goud met het gewicht W in. Hij verzamelde het over de rand gelopen water, dat hetzelfde volume had als het goud. Vervolgens vulde hij nog een vat met water en legde daar de te onderzoeken kroon in. Inderdaad verplaatste de kroon een groter volume aan water, ten bewijze van het feit dat de doortrapte goudsmid koning Hiero had bedrogen.
SCHROEF VAN ARCHIMEDES Een aan Archimedes toegeschreven werktuig waarmee water omhoog gepompt kan worden. Het bestaat uit een wijde buis, waarin een schroefblad aangebracht is. Door draaiing van de schroef wordt het water omhoog gebracht. De schroefpomp is een moderne uitvoering hiervan. Een dergelijk werktuig werd echter reeds eerder in Egypte voor irrigatiedoeleinden gebruikt dus deze uitvinding is ten onrechte aan Archimedes toegeschreven. VERHANDELINGEN EN THEORIEËN VAN ARCHIMEDES Archimedes verenigde in zijn werk de strengheid van het Grieks meetkundige denken met de rekenvaardigheid van de Oosterse wiskunde. Zijn betekenis ligt in de eerste plaats in zijn behandeling van vraagstukken die nu tot de integraalrekening worden gerekend. In de verhandeling Over de bol en de cilinder bewees hij o.a. dat de inhoud van de bol gelijk is aan ⅔ van die van de omschreven cilinder. In Over conoïden en sferoïden (twee boeken) bewees hij vele stellingen over inhouden van omwentelingsoppervlakken van kegelsneden. In Over spiralen vindt men theorema's over raaklijnen aan en oppervlakken gevormd door de spiraal van Archimedes. Zijn bekendste verhandeling is Cirkelmeting, waarin hij door de berekening van de omtrekken van de ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken van 96 zijden
bewijst dat 310/71< _ < 31/7
Archimedes is een van de grondleggers van de statica van vaste en vloeibare lichamen. In zijn twee boeken Over het evenwicht van vlakken vinden wij de wet van de hefboom en beschouwingen over zwaartepunten; in zijn twee boeken Over drijvende lichamen wordt niet alleen de ‘wet van Archimedes’ afgeleid, doch ook een aantal eigenschappen over het gedrag van omwentelingsparaboloïden die in een vloeistof zijn gedompeld. In de Zandrekening wordt een methode gegeven om grote getallen uit te drukken; zijn methode is decimaal en berust op eenheden van hogere orde eerste orde van 1 tot 108, tweede orde van 108 tot 1016, enz. die hij octaden noemt en een octade van octaden (1064) een periode noemt. Aan Archimedes wordt ook het ‘runderenprobleem’ toegeschreven, dat tot de onbepaalde vergelijking x2-Ay2 = 1, A = 4729494 voert, die met kettingbreuken wordt behandeld, en de bepaling van de dertien zgn. halfregelmatige lichamen (Archimedische lichamen). De bewijzen van Archimedes zijn scherp. In zijn bewijzen van theorema's die wij thans in de integraalrekening behandelen, gebruikt hij een indirecte methode, die op Eudoxus teruggaat en waarbij een stelling dat O = C (bijv. het oppervlak O van een bol = 4 keer het oppervlak van een grote cirkel) bewezen wordt door aan te tonen dat O < C en O > C tot absurditeiten voeren. Uit een brief aan zijn vriend Eratosthenes (Die bepaalde o.a. de omtrek van de aarde) is bekend dat hij zijn resultaten eerst op meer intuïtieve wijze heeft gevonden; deze brief is pas in 1906 in Constantinopel teruggevonden en onder de naam De Methode gepubliceerd. Aan Archimedes zijn ook verscheidene uitvindingen toegeschreven. Met zijn onderzoekingen over de hefboom is zijn (veronderstelde) gezegde verbonden: ‘Geef mij een standplaats en ik kan de aarde bewegen’ (dos moi pou sto kai kino tèn gèn). Hiero zou hem gevraagd hebben om een voorbeeld van zijn bewering dat een zeer groot gewicht door een klein gewicht zou kunnen worden verplaatst. Archimedes zou toen een mechanisme van hefbomen of katrollen hebben ontworpen waarmee een volgeladen schip met handkracht door het water getrokken kon worden. Hoewel de overlevering in deze vorm puur fantasie is, is de grondslag ervan waarschijnlijk juist. Ook wordt aan hem een planetarium toegeschreven, waarvan men bij Cicero een beschrijving vindt. DE WRAAK VAN ARCHIMEDES In de derde eeuw voor Christus kon Apollonius van Perga niet weten wat hem – en vele toekomstige generaties wiskundigen – te wachten stond toen hij nietsvermoedend een verbetering aanbracht in Archimedes’ werk over grote getallen. ‘Ik zal je laten zien wie er hier iets van grote getallen weet’, moet Archimedes gedacht hebben en uit wraak – naar men zegt – bedacht hij een rekenkundig probleem over grazende runderen waarvan de oplossing zúlke grote getallen vergt dat het pas onlangs is opgelost. Bovendien werd het niet opgelost door een mens, maar door een machine: de snelste computer ter wereld. Het bedenken van het waanzinnig moeilijke runderenprobleem was maar één van de vele ongelooflijke prestaties die Archimedes in zijn eigen tijd een legendarische reputatie bezorgden. Was Archimedes echt de eerste die het probleem opstelde? Of Archimedes het nu wel of niet bedacht heeft in een nijdige bui – het staat vast dat hij aan het probleem gewerkt heeft, en het is dus minstens tweeëntwintighonderd jaar oud. Het runderenprobleem: “Bereken, o vriend,” zo begint het probleem, “de kudde runderen van de zon. Richt uw geest daarop, zo u enige wijsheid bezit. Bereken het aantal dat eenmaal op vlakten van het Siciliaanse eiland Trinacria {Sicilië zelf} graasde, en dat naar kleur was ingedeeld in vier kudden: een melkwitte, een zwarte, een gele en een gevlekte kudde. Het aantal stieren vormde in elke kudde een meerderheid, en de betrekkingen tussen hen was: I. Witte stieren = gele stieren+{1/2 + 1/3} zwarte stieren. II. Zwarte stieren = gele stieren+{1/4+1/5} gevlekte stieren. III. Gevlekte stieren = gele stieren+{1/6+1/7} witte stieren. IV. Witte koeien = {1/3+1/4} zwarte runderen. V. Zwarte koeien = {1/4+1/5} gevlekte runderen. VI. Gevlekte koeien = {1/5+1/6} gele runderen
VII. Gele koeien = {1/6+1/7} witte runderen “Vriend, indien u het aantal stieren en koeien in elke kudde kunt geven,” gaat het probleem verder, “bent u alwetend noch onbekwaam inzake getallen, maar kunt u nog niet tot de wijzen gerekend worden.” Er zijn oneindig veel oplossingen, en de kleinste daarvan betreft een totale kudde van 50.389.083 stuks vee, een aantal dat op Siciliës 2.573.225 hectare riant zou kunnen grazen. Maar Archimedes liet het daar niet bij. Hij maakte het probleem veel moeilijker door twee extra voorwaarden op te leggen aan het aantal stieren. : VIII. Witte stieren + zwarte stieren = een vierkantsgetal

IX. Gevlekte stieren + gele stieren = een driehoeksgetal. “Wanneer u het totale aantal van de kudde berekend hebt, o vriend”, zo besluit het probleem, ‘schrijdt dan voort als een veroveraar en weest er zeker van de u uzelf zeer vaardig betoond hebt in de wetenschap der getallen.” In 1880 toonde een Duitse onderzoeker na veel langdradig rekenwerk aan dat de kleinste kudde die aan alle acht voorwaarden voldoet een 206.545-cijferig getal was dat begon met 776. HET BELEG VAN SYRACUSE Plutarchus en anderen vermeldden dat hij gedurende het beleg van Syracuse door de Romeinen (214–212) oorlogsmachines samenstelde (o.a. grote katapulten en brandspiegels, zij het dat het bericht over de brandspiegels waarschijnlijk onjuist is) en dat hij bij de inneming van de stad door een soldaat werd gedood, ondanks het bevel van de Romeinse bevelhebber Marcellus hem te sparen. Doch het maken van machines verachtte hij, daar hij ‘al zijn ambitie bewaarde voor die speculaties welker schoonheid en subtiliteit met geen gewone behoeften des levens vermengd zijn’ (Plutarchus). Het verhaal over het beleg van Syracuse gaat als volgt: Toen de Romeinse generaal Marcellus in 212 voor Christus de haven van Syracuse op Sicilië blokkeerde, deed Hieron, de koning van de stad, een beroep op Archimedes om de zestig vijandelijke schepen te verdrijven. Archimedes had zojuist de hefboom uitgevonden (de aanleiding voor zijn beroemde uitspraak: Geef me een staanplaats en ik breng de aarde in beweging), en hij combineerde hefbomen en katrollen bij het bouwen van enorme kranen die de schepen van de indringers de haven uit moesten hijsen. Tijdens de slag werden de kranen ondersteund door katapults en een stelsel van gebogen spiegels die het zonlicht op de schepen richtten, zodat deze vlam vatte. De Romeinse vloot werd verwoest. Marcellus zei: “Laat ons niet langer strijden tegen dit geometrisch monster dat onze schepen als kommen gebruikt om zeewater te scheppen.” Archimedes was ongetwijfeld een genie op het gebied van mechanica. Het is goed mogelijk dat Archimedes machtige katapults ontwierp die projectielen van 25 kilo 100 meter ver weg konden slingeren. Maar recente onderzoekingen in de geschiedenis van de technologie sluiten de mogelijkheid uit dat Archimedes kranen bouwde die vijandelijke schepen uit zee trokken. De bron voor deze mythe is misschien zijn uitvinding van een kraanachtig apparaat dat de eigen {stilliggende} schepen aan land hees. Drie jaar lang hield Archimedes de vijand tegen. Maar toen de inwoners van Syracuse een religieuze plechtigheid vierden, beklommen Romeinse soldaten ’s nachts de stadsmuren en openden ze de poorten. Tegen de troepen die de stad binnenstormden zei Marcellus: ‘Laat niemand Archimedes geweld aandoen. Deze man zal onze persoonlijke gast zijn.” Een van Marcellus’ manschappen trof Archimedes op een pleintje, waar Archimedes geometrische figuren in het zand aan het tekenen was. De soldaat vergat zijn orders en trok zijn zwaard. ”Vriend”, vroeg Archimedes,”laat me, voordat je me doodt, eerst deze cirkel afmaken”. De soldaat wachtte niet. Terwijl hij stierf zei Archimedes: “Ze hebben mijn lichaam weggenomen, maar ik zal mijn geest wegnemen”. In overeenstemming met Archimedes’ wens werd op zijn grafsteen een bol binnen een cilinder afgebeeld – als symbool voor zijn trotse ontdekking dat het volume van een bol twee derde is van het volume van de kleinste cilinder die eromheen past. Het verhaal van Archimedes` dood berust misschien op waarheid, al zijn de aan hem toegeschreven woorden twijfelachtig. Cicero, de grote Romeinse redenaar, zag Archimedes` graf in 75 v.C., en vermeldt de afbeelding van de bol binnen de cilinder. CONCLUSIE Archimedes is een belangrijk persoon voor de wis- en natuurkunde omdat hij de grondlegger was van vele nog steeds geldende wetten en stellingen. Bijvoorbeeld de wet over gedeeltelijke of gehele ondergedompelde lichamen. Uit het feit dat Archimedes tweeëntwintighonderd jaar later nog steeds erg bekend is, kan ik concluderen dat Archimedes een speciaal persoon moet zijn geweest en het nog steeds is. Doordat Archimedes nadacht over onderwerpen waar de wetenschappers van tegenwoordig ook over nadenken, staat hij bekend als een slim en belangrijk persoon. Archimedes was in staat om iets nieuws te bedenken met beperkte middelen. Hij was ook erg origineel, hij dacht over dingen na waar mensen voor hem nog nooit over na hadden gedacht. Hij was de eerste die fundamentele dingen heeft bedacht en heeft opgeschreven. Hij heeft nagedacht over alledaagse dingen waarom iets zo is en er een toepasbare theorie bij bedacht. Wij weten tegenwoordig allemaal dat als je in bad gaat zitten dat het water stijgt maar wij denken niet er over na waarom en waardoor dat gebeurd terwijl Archimedes er tweeëntwintighonderd jaar geleden over nadacht en er ook een antwoord op kon vinden.