Wiskundig verband tussen weerstand van een NTC en de temperatuur

Hoofdstuk: Versnellen en afbuigen

Gemaakt door:

Klas:

6Anat1 

Docent:

Datum:

10-10-2022 en

13-10-2022

Inleiding

Iedereen heeft waarschijnlijk wel eens een weerstandsthermometer gezien, maar waarom deze nou zo’n precieze temperatuur geeft is misschien nog niet helemaal duidelijk. Dit is geheel te danken aan de NTC-weerstand waardoor de thermometer een significante meting geeft, ofwel een onmisbaar component. Wij (Boudewijn en Ingmar) hebben de opdracht gekregen te gaan kijken naar de weerstand van een NTC in verband met verschillende temperaturen. Hiermee hopen wij een wiskundig verband te vinden tussen de weerstand en temperatuur. 

Inhoudsopgave

Inleiding 2

Inhoudsopgave 2

Literatuuronderzoek 3

Algemene begrippen 3

Formules 5

Onderzoeksvraag 6

Hypothese 6

Verantwoording 6

Werkwijze/ methode 7

Benodigdheden 7

Proefopstelling 7

Proefomschrijving 8

Resultaten 8

Verwerking 10

Coördinatentransformatie 10

Coördinatentransformatie op eigen meetresultaten 11

Nabespreking 13

Conclusie 13

Discussie 13

Extra opdracht 14

Bronnen 14

Evaluatie 14

Literatuuronderzoek

Algemene begrippen

Weerstand

Een weerstand is een elektrisch component met als eigenschap elektrische weerstand. De weerstand heeft als functie de doorgang van de stroom binnen een stroomkring te bemoeilijken, ofwel weerstand bieden en geleidbaarheid verminderen. Weerstand wordt uitgedrukt in de SI-eenheid Ohm met het symbool omega:

Afbeelding 3: Eenheid van weerstand, omega.

Je kunt de weerstand afleiden door middel van de wet van Ohm, deze formule legt de relatie tussen spanning, weerstand en stroomsterkte volgens de volgende formule:

U=IR

U = Spanning (V)

I = Stroomsterkte (A)

R = Weerstand (Ω)

Naast het elektrische component kan de weerstand ook afhangen van de volgende eigenschappen van de stroomdraad:

• Dwarsdoorsneden: De weerstand is omgekeerd evenredig met de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de draad.
• Materiaal: Hoe goed of slecht een materiaal geleidt, wordt aangegeven met soortelijke warmte. Koper geleidt bijvoorbeeld beter dan nichroom.
• Temperatuur: Bij hogere temperatuur bewegen de deeltjes sneller waardoor de weerstand dan kleiner is. 

Halfgeleider

Halfgeleiders zijn materialen die in zuivere vorm de stroom maar een klein beetje geleiden. Ze hebben maar weinig vrije elektronen. Door toevoeging van een kleine concentratie andere atomen kan het aantal vrije elektronen groter of kleiner worden gemaakt. Daarmee kan de weerstand en de stroomsterkte worden beïnvloed.

Een andere manier om in halfgeleidend materiaal het aantal vrije elektronen te vergroten is door energie toe te voegen (bijvoorbeeld de temperatuur verhogen). Bij een hogere temperatuur neemt het aantal vrije elektronen in de halfgeleider toe, de geleidbaarheid wordt groter en de weerstand neemt af, de stroom neemt dus toe.

NTC-weerstand

De afkorting NTC staat voor negatieve temperatuur coëfficiënt. Een NTC is een soort weerstand waarvan de waarde daalt zodra de temperatuur toeneemt. Ofwel: hoe hoger de temperatuur, hoe lager de weerstand. Voor de NTC waarbij je het verband tussen temperatuur en weerstand uitzoekt komt de volgende vorm als het goed is naar voren:

Afbeelding 4: Verband tussen de weerstand van de NTC en de temperatuur.

Je ziet duidelijk dat de weerstand afneemt als de temperatuur toeneemt. 

De tegenhanger van de NTC-weerstand is een PTC-weerstand, dit is namelijk juist een weerstand met een positieve temperatuur coëfficiënt. Beide weerstanden zijn wel een thermistor, een elektrische weerstand (component) waarvan de elektrische weerstand afhankelijk is van de temperatuur. 

De NTC is een zogeheten halfgeleider-component. Toepassingen van NTC-weerstanden zijn het gebruik in digitale thermometers en in elektrische schakelingen.

Temperatuuralarm

Een temperatuuralarm is al met de meest eenvoudige onderdelen te creëren. Wanneer de temperatuur binnen de meter te hoog wordt, gaat er een soort alarm lampje branden. De algemene basis van deze schakeling wordt gevormd door een NTC: een weerstand met een negatieve temperatuur coëfficiënt. 

Werking: 

In een bekerglas zit koud water. Wanneer er met een waterkoker heet water wordt toegevoegd, gaat het alarm ledje branden. Dit temperatuuralarm is een erg handige toepassing om bijvoorbeeld niet boven kritische temperaturen te komen bij bijvoorbeeld een onderzoek.

Afbeelding 5: Temperatuuralarm

Werking van een LED

Het alarmlicht dat in deze schakeling gebruikt wordt is een LED, een light emitting diode. Een LED is een element in een schakeling die de stroom alleen in een bepaalde richting doorlaat. Als de spanning boven een bepaalde waarde komt, gaat er een stroom lopen. Deze waarde wordt de omslag spanning genoemd. Wanneer de spanning onder de omslag spanning blijft, loopt er helemaal geen stroom. Je kunt de omslag spanning van een LED bepalen door te meten. 

De schakeling als spanningsdeler

Behalve de hierboven genoemde NTC en LED zijn er ook nog een regelbare weerstanden. Aan de schakeling hieronder zie je dat de spanning verdeeld wordt over de NTC en de regelbare weerstand. Als de regelbare weerstand een heel grote waarde heeft in vergelijking met de NTC, staat er op dat deel van de schakeling een hoge spanning. Dat betekent dat de LED dan ook een hoge spanning krijgt en dus zal gaan branden. Wanneer de regelbare weerstand een lage waarde heeft, is er onvoldoende spanning om de LED te laten branden.

Afbeelding 6: Het schakeling schema van de temperatuurlamp.

Formules

We hebben de volgende formules gebruikt bij het practicum

U=IR

U = Spanning (V)

I = Stroomsterkte (A)

R = Weerstand (Ω)

De vergelijking van Arrhenius geeft het verband tussen weerstand en temperatuur:

R=AeBT

Hierin is:

R = de weerstand in (Ω)

A = een constante in (Ω)

e = de wiskundige constante e

B = een constante in (K)

T = de absolute temperatuur in (K)

Onderzoeksvraag

Hoofdvraag:

Wat is een wiskundig verband tussen de weerstand van een NTC en zijn temperatuur?

Subvraag:

Wat gebeurt er met de weerstand als de temperatuur stijgt?

Hypothese

Hoofdvraag:

Wij verwachten een exponentieel verband. 

Subvraag:

Wij verwachten zodra de temperatuur stijgt de weerstand omlaag gaat.

Verantwoording

Hoofdvraag:

Wij verwachten dit aangezien wij in de theorie hebben geleerd dat het verband tussen de weerstand en temperatuur bij een NTC volgens de formule van de Arrhenius werkt (een exponentiële functie). De weerstand wordt hoogstwaarschijnlijk steeds lager naarmate de temperatuur stijgt. We verwachten dat de stijging van de geleidbaarheid naarmate de temperatuur stijgt steeds groter wordt. 

Subvraag:

De reden dat wij dit denken heeft de volgende argumenten:

• In het literatuuronderzoek is naar voren gekomen dat het simpelweg een feit is dat zodra de temperatuur stijgt de weerstand van een NTC afneemt. 
• We kunnen constateren dat door de hogere temperatuur de deeltjes sneller gaan bewegen en dus makkelijker door de weerstand komen. Zo komen er meer vrije elektronen in de halfgeleider (in de geval de NTC).
• De naamgeving van NTC (negative temperature coefficient) geeft al veel weg over de uitkomst. Hetzelfde geldt voor de tegenhanger van de NTC: de PTC.

Werkwijze/ methode

Benodigdheden

1. NTC, een soort weerstand waarvan de waarde daalt zodra de temperatuur toeneemt.
2. Voedingskast, levert de elektrische energie. 
3. Bekerglas, hierin hangt de NTC.
   1. Ijsblokjes, deze zijn gebruikt om het water mee af te koelen.
4. Kokend en koud water
5. Spanningsmeter, meet de elektrische spanning.
6. Stroommeter, meet de sterkte van de elektrische stroom. 
7. Thermometer, meet de temperatuur van het water waar de NTC in hangt. 
8. Lampje 6 Volt, 0,5A, het lampje dient als weerstand in de serie met de NTC.
9. 6 Aansluitsnoertjes, wordt gebruikt om de componenten te verbinden in het elektrisch schema. 

Proefopstelling

Afbeelding 7: proefopstelling

Hierboven is de proefopstelling te zien. Alle nummers komen overeen met de nummers van de benodigdheden. De ampèremeter is in serie geschakeld, de voltmeter is parallel geschakeld. Doordat de voltmeter parallel is geschakeld wordt de spanning gemeten over de NTC. 

Afbeelding 8: Proefopstelling in een echte situatie uitgebeeld

Proefomschrijving

Maak als eerste de opstelling, maak deze na vanaf het gegeven stroomschema (zie proefopstelling). Vul het bekerglas met de NTC-weerstand met water tot de NTC-weerstand compleet in het water ligt en voeg aan dit bekerglas een ijsklontje en een thermometer toe. Zodra de thermometer 5 graden celsius meet haal je het ijsklontje uit het water. Stel de spanningsbron in op 10 volt, laat de thermometer in het water liggen om de temperatuur te blijven controleren. Zet nadat je dit hebt gedaan de spanningsbron aan en laat de stroom lopen, neem de meetwaarden van de voltmeter (over de weerstand) en ampèremeter over, noteer deze waarden in de tabel. Zet nu de spanningsbron uit. Zorg voor de tweede meting dat de temperatuur omhoog gaat met 5 graden. Doe dit door warm water toe te voegen aan het water dat in het bakje zit waar de NTC in ligt. Neem net zoals bij de vorige meting de waarden van de volt- en ampèremeter over. Noteer deze waarden in een tabel zoals hieronder weergeven:

Tabel 1: Voorbeeld van een tabel voor je eigen meetresultaten

Herhaal dit proces tot de temperatuur van het water een waarde van 85 graden celsius behaald heeft en je dus in totaal 17 metingen hebt. Als je een zo goed mogelijk resultaat wilt hebben wordt aangeraden de proef nogmaals of zelfs meerdere keren te doen, hierdoor wordt de steekproefgrootte hoger en worden eventuele rare meetresultaten uitgesloten. Bereken vervolgens de weerstand, deze is te bepalen met de formule U=IR. Hierbij is U de spanning, I de stroomsterkte en R de weerstand. De formule is om te schrijven tot R=U/I. Reken alle weerstanden uit bij elke meting. Noteer alle waarden in een tabel en maak een grafiek van de weerstand uitgezet tegen de temperatuur. Gebruik voor het zoeken naar een wiskundig verband de coördinatentransformatie (zie hieronder meer). 

Resultaten

We hebben de volgende resultaten verworven tijdens het onderzoek. We hebben gekozen twee metingen te doen zodat wij weten of de meetresultaten overeenkomen. We hebben de weerstand berekend door de formule: R=U/I

Meting 1:

Tabel 2: Meetwaarden van de eerste meting

Hierbij hoort de volgende grafiek waarbij de temperatuur tegen de weerstand is opgesteld:

Afbeelding 9: Grafiek meting 2

Meting 2:

Tabel 3: Meetwaarden van de eerste meting

Hierbij hoort de volgende grafiek waarbij de temperatuur tegen de weerstand is opgesteld:

Afbeelding 10: Grafiek meting 2

Er is te zien dat de grafieken heel erg op elkaar lijken en de resultaten dus hoogstwaarschijnlijk correct zijn. We hebben besloten verder te gaan met meting 2 aangezien we hierbij meer content zijn over de vorm van de grafiek.

Verwerking

Coördinatentransformatie

De coördinatentransformatie is erg belangrijk om de evenredigheidsconstante uit te kunnen rekenen. Ook is de coördinatentransformatie handig als je een object in een coördinatenstelsel wil beschrijven in een ander stelsel. Bij de transformatie wil je een lineaire lijn krijgen, dit kan door de waardes in de tabel in verschillende formules toe te passen. Je moet de formule gebruiken waar de algemene grafiek op lijkt, dus als je een algemene grafiek hebt in de vorm van een wortelfunctie moet je het wortelverband gebruiken. 

Coördinatentransformatie op eigen meetresultaten

Wij zijn er dankzij de theorie achter gekomen dat het verband tussen de weerstand en de temperatuur bij een NTC-weerstand een exponentieel verband is.

Door middel van de formule van R=AeBT kun je het verband van Arrhenius testen. Deze formule moet je omschrijven naar y = ax + b want je wilt een lineaire lijn opstellen om het verband te bepalen:

Afbeelding 11, Omschrijving van R=AeBT naar y = ax + b

Doordat de bovenstaande formule omgeschreven is naar een lineaire functie geeft de volgende formule volgens de coördinatentransformatie het verband weer:

Ln (R) = B1T+Ln(A)

Waarbij:

R = de weerstand NTC in (Ω)

A = een constante in (Ω)

B = een constante in (K)

T = de temperatuur in (K)

Er is geen lineair verband tussen T en R. In de formule is te zien dat er wel een lineair verband is tussen Ln(R) en 1/T. 

Berekening:

Tabel 3, Berekeningen om tot de coördinatentransformatie te komen.

Om lineaire regressie te gebruiken op de data hebben we eerst de inverse genomen van de temperatuurmetingen en de natuurlijke logaritme van de weerstanden. Deze twee nieuwe datasets zouden een lineair verband moeten volgen wat we kunnen vinden met behulp van google spreadsheets. 

Afbeelding 12: coördinatentransformatie

Ln (R) = B1T+Ln(A)

Ln(R)=2400*1/T-2,56

-2,56=Ln(A)

A=e-2,56=0,077

B=2400

y=2400 x + 0,077

Nabespreking

Conclusie

• De heer Arrhenius had in dit geval gelijk met zijn formule om het verband weer te geven.

Verantwoording

• Er is naar voren gekomen bij onze verwerking dat het verband inderdaad overeenkomt met de door ons gevonden resultaten. R=AeBT is het verband van Arrhenius, door deze formule om te schrijven hebben wij de coördinatentransformatie kunnen toepassen. Dit hebben wij gedaan door de temperatuur (in Kelvin) te veranderen in 1T , van de weerstand hebben we de natuurlijke logaritme genomen. Onze temperatuur hebben we geplaatst op de x-as en de weerstand op de y-as. Hierdoor kregen wij een lineaire lijn van onze gevonden resultaten, dit betekent dat dit het juiste verband is tussen de temperatuur en weerstand van een NTC-weerstand. Van deze lineaire lijn hebben we ook een vergelijking op kunnen stellen namelijk: y=2400x+0,077. 

Discussie

De praktijk komt vrij goed overeen met de theorie die wij hebben gevonden. Zo wordt er daar gesteld dat de weerstand zal dalen als de temperatuur stijgt. De vorm van de gewenste grafiek (zie afbeelding 4) komt ook erg goed overeen met die van ons. Er zitten in de grafiek echter wel wat uitschieters. Voor deze uitschieters kunnen meerdere verklaringen zijn en dus ook meetfouten die wij hier zullen bespreken:

→ Temperatuurverschil, wij denken dat door het grote temperatuurverschil dat te sprake kwam bij de eerste paar metingen er wellicht verkeerde metingen gedaan zijn doordat de temperatuur te snel steeg en het dus zo kan zijn dat de waardes niet precies bij de gegeven temperatuur horen. Dit principe is bij beide grafieken ook goed waar te nemen.

→ Aflezen, doordat de gebruikte ampère- en voltmeters analoog werken kan het zo zijn dat de metingen niet altijd goed worden afgelezen en de resultaten dus niet altijd kloppen. 

→ Thermometers, de gebruikte thermometers zijn bij snelle temperatuurverschillen niet al te betrouwbaar dus kan het zo zijn dat er meetwaardes zijn ingevuld bij een verkeerde temperatuur.

Dit kunnen redenen zijn tot de rare vormen in de grafiek. Ondanks deze rarigheden zijn de waardes en de vormen nog steeds wel goed maar door bovenstaande redenen is de grafiek niet helemaal vloeiend. 

De volgende verbeteringen zouden kunnen worden doorgevoerd om bij een volgend onderzoek deze uitschieters te voorkomen:

→ Temperatuurverschil, laat het verschil in temperatuur langzamer verlopen door bijvoorbeeld water van 50 graden celsius te gebruiken in het begin in plaats van meteen kokend water. 

→ Aflezen, maak gebruik van digitale meters, deze zijn een stuk preciezer af te lezen. 

→ Thermometers, zorg hier wederom voor een langzamere temperatuurverandering

Extra opdracht

Een NTC kan worden gebruikt in een couveuse. In een couveuse worden zieke of te vroeg geboren baby’s gelegd. Hierdoor kunnen artsen ze observeren in een gecontroleerde omgeving. Voor de gezondheid van een zieke of te vroeg geboren baby is het belangrijk dat de temperatuur constant is. Daarom kan er gebruik worden gemaakt van een NTC. Door de NTC kan de temperatuur automatisch worden geregeld. Hierdoor hoeft een arts niet zelf met een thermometer de temperatuur meten en vervolgens de temperatuur aanpassen. 

Evaluatie

Ik heb heel erg genoten van dit PO.  Het begin, met de voorbereiding naar het practicum, sprak mij al heel erg aan doordat ik het heel erg interessant vond weer eens in het onderwerp van weerstanden (NTC-weerstanden om specifiek te zijn) te duiken. In het uitvoeren van de proef heb ik ook heel erg veel plezier gehad doordat het practicum variërend was en het leuk was de resultaten bijeen te zien komen. Bij het verwerken van de resultaten was het leuk wederom met de coördinatentransformatie te werken. Het omschrijven van de formule vond ik in het begin wel erg uitdagend.

Van het uitvoeren van de proef heb ik veel geleerd. Ik weet nu dat je soms bij zo een soort practicum sneller moet werken. Ik heb het practicum ook heel leuk gevonden. Ik vond dit een heel erg leuk PO. Ik vond het zoeken naar het verband tussen de NTC en de temperatuur heel erg interessant. Nadat we heel veel onderzoek hebben gedaan naar het verband is het gelukt. Het zoeken naar het verband was een uitdaging wat ik met Ingmar heb op kunnen lossen. Ook vond ik de extra opdracht heel erg leuk. Ik denk dat we een goede toepassing hebben gevonden van een NTC weerstand. 

Bronnen

Bronnen Literatuuronderzoek:

• Natuurkunde boek (4 VWO) - geraadpleegd op 9-10-2022
• Natuurkunde boek (6 VWO) - geraadpleegd op 9-10-2022
• https://www.natuurkunde.nl - geraadpleegd op 9-10-2022
• https://www.fluke.com/nl-nl/informatie/blog/elektrisch/wat-is-weerstand - geraadpleegd op 9-10-2022
• https://www.mvwautotechniek.nl/thermistor/ - geraadpleegd op 9-10-2022