Differentieren (deel 1)

Inleiding
Differentieren ... afleiden ... Wat is het? Waarvoor wordt het gebruikt? Differentieren kent tal van toepassingen in vele domeinen (o.a wiskunde, economie, chemie, ...) en wordt daarom ook heel veel gebruikt. Vermits er nogal dikwijls moeilijkheden met differentieren worden ondervonden is het handig om eens een verder kijkje te nemen.

Definitie
We zeggen dat een functie [latex]f[/latex] afleidbaar is als de limiet:

[latex]lim_{h to 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex] bestaat. In dat geval noteren we deze waarde [latex]f'(a)[/latex] en noemen we dit de afgeleide van [latex]f[/latex] in (het punt) [latex]a[/latex].

In woorden komt de definitie van een afgeleide kortweg neer op een maat voor de verandering die een functie ondergaat (zie: meetkundige betekenis).

Notatie
Er zijn verschillende manieren om de afgeleide functie van een functie voor te stellen.

Beschouw een functie [latex]f[/latex], de afgeleide functie van [latex]f[/latex] wordt genoteerd als:

- [latex]f'[/latex]

- [latex]Df[/latex]

- [latex]frac{df}{dx}[/latex]

Opmerking:

(a) De laatste notatie wordt de notatie van Leibniz genoemd. Dikwijls wordt deze notatie verkeerd geinterpreteerd en beschouwt men dit als een quotient van twee afgeleiden.

De notatie moet echter gelezen worden als: de eerste afgeleide van de functie [latex]f[/latex] naar de variabele [latex]x[/latex].

(b)Merk op dat er hier gesproken wordt over de eerste afgeleide. Later komen we terug op hogere afgeleiden.

Voorbeelden
We bekijken enkele voorbeelden waarbij we de formele limietdefinitie van de afgeleide functie toepassen. (De notaties voor afgeleiden zullen verschillend gebruikt worden, zo wordt je gemakkelijker vertrouwd met die notaties)

(a) De afgeleide van [latex[f(x)=x[/latex]

We vetrekken vanuit de algemene definitie:

[latex]f'(x)=lim_{h to 0} frac{(x+h)-x}{h}=lim_{h to 0} frac{h}{h}= lim_{h to 0} 1=1[/latex]

Bijgevolg besluiten we: [latex]frac{df(x)}{dx}=1[/tex]

(b)De afgeleide van [latex]f(x)=x^2[/latex]:

[latex]f'(x)=lim_{h to 0} frac{(x+h)^2-x^2}{h}=lim_{h to 0} frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=lim_{h to 0} frac{h(2x+h)}{h}=lim_{h to 0} (2x+h)=2x[/latex]

De afgeleide van [latex]f(x)=x^n[/latex]
Het is niet alleen belangrijk om te weten wat de afgeleide van deze functie juist, maar ook om te bekijken hoe die tot stand is gekomen. We maken weer gebruik van de algemene definitie.

Algemeen:

[latex]D(x^n)=ncdotx^{n-1}[/latex]

Bewijs

We vetrekken vanuit de definitie:

[latex]lim_{h to 0} frac{(x+h)^n-x^n}{h}[/latex]

Om [latex](x+h)^n[/latex] te berekenen, maken we gebruik van het binomium van Newton, er geldt:

[latex](x+h)^n=sum_{k=0}^{n}binom {n}{k} x^{n-k}h^k[/latex]

Uitschrijven van de eerste drie termen en de laatste term geeft:

[latex](x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+frac{n.(n-1).x^{n-2}.h^2}{2}+...+h^n[/latex]

We substitueren terug in de limiet en krijgen zo:

[latex]lim_{h to 0} frac{[x^n+nx^{n-1}h+frac{n.(n-1).x^{n-2}.h^2}{2}+...+h^2]-x^n}{h}[/latex]

[latex]lim_{h to 0} frac{nx^{n-1}h}{h}+frac{n.(n-1).x^{n-2}.h^2}{2h}+...+frac{h^2}{h}[/latex]

Vermits de limiet van een som gelijk is aan de limiet van de afzonderlijke termen krijgen we:

[latex]lim_{h to 0} frac{n.x^{n-1}.h}{h}+lim_{h to 0}frac{n.(n-1).x^{n-2}.h^2}{2h}+...+lim_{h to 0} frac{h^2}{h}[/latex]

Vermits elke andere term van het binomium hetzelfde uitzicht heeft als:

[latex]frac{n(n-1).x^{n-2}.h^2}{2}[/latex]

En bovendien:

[latex]lim_{h to 0}frac{n.(n-1)x^{n-2}.h^2}{2}=0[/latex] zal de limiet van de overige termen ook gelijk worden aan 0.

We krijgen dus als limietwaarde:

[latex]lim_{ h to 0} frac{n.x^{n-1}.h}{h}=lim_{h to 0} n.x^{n-1}=n.x^{n-1}[/latex]

Voorbeelden
Bereken de afgeleide van volgende functies:

(a) [latex]f(x)=x^4[/latex]

[latex]f'(x)=4x^3[/latex$

(b) [latex]f(x)=sqrt[3]{x^2}[/latex]

We schrijven eerst [latex]f(x)=sqrt[3]{x^2}=x^{frac{2}{3}}

Bijgevolg:

[latex]f'(x)=frac{2}{3}.x^{-frac{1}{3}}=frac{2}{3x^{frac{1}{3}}[/latex]

Indien er positieve reacties komen zal het volgende deel waarbij we dieper zullen ingaan op de meetkundige betekenis en het berekenen van afgeleiden (o.a kettingregel e.d) volgen.