Differentiaalrekeningen (Netwerk)

Domein differentiaalrekening

* De gemiddelde helling van de grafiek f(x) op het interval [a, b] is gelijk aan het differentiequotiënt op dat interval:

De eventuele helling A kun je benaderen door de gemiddelde helling over een klein interval te nemen.

* De helling in een punt kan ook exact berekent worden door de lengte van het interval waarover we de gemiddelde helling berekenen, varabel te maken. De notatie voor dit differentiaalquotiënt is:

of

De waarde wordt bepaald als geldt ?x = h en als wel h naar 0 naderen:

f(1 + h)

? voorbeeld

Bereken de helling van de grafiek f(x) = 2x2 in het punt (1,2).

f(1 + h) = 2(1 + h)2 = 2 + 4h + 2h2
f(1) = 2
?y = f(1 + h) - f(1) = 4h + 2h2
4 + 2h

Laat h naar 0 naderen: = 4, oftewel:
= 4

* Voor het differentiëren van een functie bestaan uiteraard regels, we beginnen met de machtsfunctie:

f(x) = xn ? f’(x) = nxn-1

De notatie:

(xn) = nxn-1

? voorbeeld

f(x) = x7 ? f’(x) = 7x6

De notatie:

(x7) = 7x6

* Er bestaat een natuurlijke groeifactor waarvoor geldt cg = 1, in de wiskunde noemen we dat getal e. De afgeleide van ex is gelijke aan de functie zelf:

f(x) = ex ? f’(x) = ex

* De oplossing van de vergelijking ex = a is x = elog a, elog is de natuurlijke logaritme ln.

x = elog a ? x = ln a

* De factor cg in de afgeleide f(x) = gx is gelijk aan ln g.

f(x) = gx ? f’(x) = ln g . gx

De notatie:

ln g . gx

? voorbeeld

f(x) = 3-x ? f’(x) = ln3-1 . (3-1)x ˜ -1,10 . 3-x

* De natuurlijke logaritme is uiteraard ook te differentiëren:

f(x) = ln x ? f’(x) =

De notatie:

* Voor logaritmen met grondtal g geldt;

. ln x

f(x) = g log x ? f’(x) = . =

? voorbeeld

f(x) = ? f’(x) = . ˜

* De afgeleide verandert niet bij een verticale verschuiving, maar verandert wel bij een horizontale verschuiving.

verticale verschuiving

g(x) = f(x) + c ? g’(x) = f’(x)

horizontale verschuiving

g(x) = f(x + c) ? g’(x) = f’(x + c)

* Door elke functiewaarde van een functie f met een constant getal te vermenigvuldigen, ontstaat een nieuwe functie g.

g(x) = f(x) . c ? g’(x) = f’(x) . c

Voor de afgeleide van g(x) = f(cx) geldt:

g(x) = f(cx) ? g’(x) = f’(cx) . c

* Ook belangrijke regels voor het combineren van functies zijn de somregel, de productregel en de quotiëntregel.

somregel

s(x) = f(x) + g(x) ? s’(x) = f’(x) + g’(x)

productregel

p(x) = f(x) . g(x) ? p’(x) = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)

quotiëntregel

?

* De regel voor de machtsfuncties geldt uiteraard ook voor negatieve exponenten.

? voorbeeld

Differentieer f(x) =

Schrijf de functie f(x) in de vorm xn.

f(x) = =

f’(x) = . –2 . x –3 ? f’(x) =

* De regel voor machtsfuncties geldt ook voor gebroken exponenten.

? voorbeeld

Differentieer f(x) =

Schrijf de functie f(x) in de vorm xn.

f(x) = =

f’(x) = ? f’(x) =

* Met de kettingfunctie kun je moeilijke differentiaalrekeningen oplossen.

x f ? u g ? y

Met dit functieschema berekenen we eerst u = f(x), daarna y = g(u) = g(f(x))

* De kettingfunctie is te differentiëren met de kettingregel

h(x) = g(f(x)) ? h’(x) = g’(f(x)) . f’(x)

De notatie:

? voorbeeld

Differentieer f(x) = (3x2 – 2x)3

u = 3x2 – 2x
y = u3

= 6x – 2 en = 3u2

f’(x) = .

f’(x) = 3u2(6x – 2) ? f’(x) = 3(3x2 – 2x) 2(6x – 2)

* Als je wil bepalen of een functie stijgt, neutraal blijft of daalt op een bepaald interval, dan moet je de nulpunten bepalen van de afgeleide. Als de afgeleide positief is dan stijgt de functie op dat interval en als de afgeleide negatief is op dat interval dan daalt de functie.

? voorbeeld

f(x) = x3 – 6x2 + 9x ? f’(x) = 3(x – 1)(x – 3)

De nulpunten zijn 1 en 3.

voor x < 1 is f’(x) positief, f stijgt.
voor 1 < x < 3 is f’(x) negatief, f daalt.
voor x > 3 is f’(x) positief, f stijgt.

* Een functie heeft een maximum en een minimum, dit zijn de extremen van de functie.
Als een stijging van f overgaat in een daling (maximum), dan wisselt f’(x) daar van teken.

? voorbeeld

f(x) = x4 – 4x3 ? f’(x) = 4x2(x – 3)

De nulpunten van f’(x) zijn 0 en 3. Alleen bij x = 3 wisselt f’(x) van teken (parabool).
f’ heeft een minimum f(3) = – 27

* Als de stijging van een functie steeds kleiner wordt (afnemende stijging), dan is de afgeleide van de hellingfunctie negatief. De afgeleide van de hellingfunctie heet de tweede afgeleide van f.

f’(x) = xn ? f’’(x) = nxn-1

De notatie:

f’’(x) of f(x).

? voorbeeld

f(x) = ln x ? f’(x) =
f’’(x) = - 1 . x –2 ? f’’(x) =

* Als de afgeleide functie stijgt op een bepaald interval, dan noemen we de functie daar bol. Als de afgeleide functie daalt op een bepaald interval, dan noemen we de functie daar hol. Als de functie bol is, dan is de tweede afgeleide positief; bij een holle situatie dan is de tweede afgeleide negatief. De overgang van bol naar hol noemen we een buigpunt.

Als f’’(p) = 0 en f’’(x) wisselt van teken voor x = p, dan heeft de grafiek van f een buigpunt P(p, f(p)).

? voorbeeld

f(x) = x3 – 3x2 ? f’(x) = 3x2 – 6x

f’’(x) = 6x – 6

Het nulpunt van f’’ is 1.
f’’(1) = 0 en wisselt bij x = 1 van teken; f(x) = – 2

De grafiek van f heeft een buigpunt met de coördinaten (1, – 2).

* Het veranderen van de snelheid wordt versnellen of vertragen genoemd. De snelheidsfunctie is de afgeleide van de plaatsfunctie.

v(t) = x’(t)

De notatie:

v =

De versnellingsfunctie is de afgeleide van de snelheidsformule

a(t) = v’(t)

De notatie:

a =

De versnellingsfunctie is de tweede afgeleide van de plaatsfunctie.

a(t) = x’’(t)

De notatie:

a =

? voorbeeld

x(t) = 20t – 3t2 m/s
v(t) = x’(t) = 20 – 6t m/s
a(t) = v’(t) = – 6 m/s2

Er is dus een vertraging van 6 m/s2.