Hoofdstuk S1-S3

Hoofdstukken S1+S2+S3 - 4HAVO

Een boomdiagram = een manier om alle mogelijkheden bij een telprobleem weer te geven.
Bij elke keuze hoort een aantal takken. Bij elke tak wordt de betreffende keuze genoteerd.
Elke route van het beginpunt naar een eindpunt is een mogelijkheid bij een telprobleem.
Zo’n route wordt ook wel volgorde of rangschikking genoemd.
De routes hoeven bij een boomdiagram echter niet altijd even lang te zijn.

Op de volgende manier maak je een boomdiagram:

1. zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen. Deze takken vertrekken uit het beginpunt.
2. zet de keuzemogelijkheden langs de takken.
3. bij elk resultaat van de eerste keuze volgt eventueel een tweede keuze.
Zoek uit hoeveel takken daarbij horen.
4. teken de takken die horen bij de tweede keuze en zet de keuzemogelijkheden erbij.
5.doe hetzelfde voor elke volgende keuze.

Kansen kun je op verschillende manieren aangeven:
Dit kan bijvoorbeeld in procenten.
Voorbeeld: De kans dat jij een rode bal pakt is 13%
Dit kan echter ook met breuken
Voorbeeld: De kans dat jij een rode bal pakt is 13/100
Het kan ook anders.
Voorbeeld: De kans dat jij een rode bal pakt is 13 op 100
Het kan ook met getallen tussen 0 en 1
Voorbeeld: De kans dat jij een rode bal pakt is 0.13

Je hebt 2 manieren om kansen te vinden:
1. Door te redeneren: dit is een weetkans/theoretische kans.
2. Door het uitvoeren van een experiment: dit is een zweetkans/experimentele kans.


Voor kansen is vaak een speciale notatie gebruikelijk:
Bij dobbelstenen:
eerst 2 ogen gooien en daarna 3 ogen gooien wordt als volgt genoteerd:
P(2,3)

Als in een boomdiagram bij de takken de kansen geschreven worden, spreek je van en kansboom.

Hoe maak je bij een kansprobleem gebruik van een kansboom?
1. teken een kansboom met alle volgorden en zet bij elke tak de bijbehorende keuze.
2. zet bij elke tak de bijbehorende kans.
3. bereken de kans op een bepaalde volgorde door de kansen bij de takken van die volgorde met elkaar te vermenigvuldigen.

Let op! Voor alle kansproblemen geldt dat de som van de kansen op de afzonderlijke volgorden 0 is.





Soms zijn er meer volgorden die bijdragen tot een gevraagde kans:
De gevraagde kans is dan de som van de kansen op de afzonderlijke volgorden.
Belangrijk is of de situatie verandert door een bepaalde keuze te maken.

Bijvoorbeeld als je uit een vaas een knikker pakt, die niet teruglegt en weer een knikker pakt.
De verschillende kansen zijn dan veranderd.

Het is niet altijd eenvoudig om een experimentele kans te maken.
Dit komt omdat deze vaak te ingewikkeld zijn om uit te voeren.
Door het experiment na te bootsen kun je uitzoeken hoe groot de kans is.
Een ander woord dat vaak gebruikt wordt voor simuleren is nabootsen.

Experimenten kun je goed simuleren met toevalsgetallen.
Toevalsgetallen = Dat zijn de getallen waarvan de cijfers in willekeurige volgorde staan.
Je kunt toevalsgetallen eventueel maken met een kanstol.
Daar staan de cijfers van 0 tot en met 9 op en al die cijfers hebben dezelfde kans.

Aantal decimalen: mode float 3
_ _ _ _ _ _ _ _ _ : math PRB rand



Een rooster = een handig model voor telproblemen waarbij je steeds uit 2 alternatieven moet kiezen.
Je kunt dan makkelijk nagaan hoeveel stappen er moeten worden gezet naar een bepaald punt. Zo kun je dus eigenlijk telproblemen simuleren

Een omgekeerd rooster wordt wel de driehoek van Pascal genoemd.


Hoe gebruik je de driehoek van Pascal?

1 stel vast wat de 2 alternatieven zijn.
2 ga na hoe vaak elk van de alternatieven voorkomt.
3 maak in een rooster of in de driehoek van Pascal het aantal stappen dat daarbij hoort.
4 lees het aantal routes naar dat punt af.

Ook bij het berekenen van kansen kun je rooster heel goed gebruiken.

Hoe kun je met behulp van een rooster de kans op een bepaalde uitslag berekenen?

1 teken in een rooster 1 route die bij die uitslag hoort.
2 bereken de kans op die route.
3 bereken het aantal routes naar die uitslag.
4 de kans op de uitslag naar is het aantal routes maal de kans op 1 zo’n route.

Het product 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 heet 6-faculteit en wordt als 6! Genoteerd.
Er is afgesproken dat 0! = 1

Een faculteitsboom = een boomdiagram waarbij na elke keuze het aantal mogelijkheden dus ook het aantal takken 1 minder is.


permutatie. = Een ander woord voor volgorde.

Bij een permutatie van 3 uit 10 maak je een selectie van drie dingen uit 10 dingen.
Daarbij is zowel wat er gekozen wordt als de volgorde van belang.
Het aantal permutaties van 3 uit 10 is 10 * 9 * 8.
Op veel grafische rekenmachines tref je de notatie nPr aan.
Dit berekent het aantal permutaties van r uit n.
Het aantal permutaties van r uit n is: n!
(n-r)!

op je rekenmachine: nPr, dus n – nPr – r


machtsboom = Een boomdiagram waar bij elke keuze het aantal takken hetzelfde blijft.
Het aantal mogelijke routes neemt na elke keuze toe volgens een macht.

Bij een combinatie is alleen de keuze van belang en de volgorde niet.
Bijvoorbeeld bij een combinatie van 3 uit 10 maak je dus een selectie van drie dingen uit 10 dingen waarbij
Het aantal combinaties wordt genoteerd als: 3
10


Je kunt het als volgt berekenen:

het aantal combinaties van r uit n is:

op je rekenmachine: nCr, dus n – nCr – r

Er is afgesproken dat 0! = 1

Er zijn dus verschillende hulpmiddelen om een telprobleem op te lossen.

Hoe pak je een telprobleem aan?

1 ga na of je bij het probleem een boomdiagram, faculteitsboom, machtsboom of rooster kunt maken.
2 teken het diagram of een deel ervan.
3 tel het aantal routes.

Bij het tellen kun je gebruik maken van:
1. Faculteiten bij faculteitsbomen.
2. Machten bij machtsbomen.
3. Combinaties bij roosters.

Hoe bereken je de kans op een gebeurtenis waarbij alle routes dezelfde kans hebben?

1 bereken het aantal volgorden
2 bereken de kans op een van die volgorden
3 de gevraagde kans krijg je door het aantal volgorden te vermenigvuldigen met de kans op een van die volgorden.

Twee manieren om te trekken zijn daarbij belangrijk:


Trekken met terugleggen = Bij elke trekken zijn de opeenvolgende kansen onveranderd.

Trekken zonder terugleggen = Door elke trekking veranderen de opeenvolgende kansen langs de takken.

Twee knikkers tegelijk pakken komt op hetzelfde neer als twee knikkers trekken zonder terugleggen.