Hoofdstuk 18 deel 5

Hoofdstuk 18 Kansverdelingen en toetsen van hypothesen.

Paragraaf 18.1: Binomiale kansexperimenten.

Binompdf(n,p,k) = P (bij precies)
Binomcdf(n.p,k) = P (bij evenveel en minder); cumulatieve kans.

Vb 8 x draaien op een schijf met 5 vakjes waarvan 2 met een 3 er in. Kans op 5x een 3 draaien is (8 boven 5) * 0.4^5*0.6^3 = 0.124

Meer dan 4x succes = 1-(kans op 4 of minder)
Tussen 3 en 10x succes = (kans op 9x of minder) – (kans op 3x of minder).

Verwachtingswaarde E(Z)=n*p .

Standaardafwijking = √np(1-p)

Paragraaf 18.2 De Normale Verdeling.

Opp onder normaalkromme = normalcdf(linkergrens, rechtergrens, gemiddelde, standaardafwijking)

Bv gevraagd kans op minstens 4 pakken minder dan 250 gram wegen, bij een gegeven normaalkromme, met standaardafwijking en gemiddelde

Dan eerst opp uitrekenen wat gevraagd is, in bovenstaande geval dus opp links van 250 gram (minder) = de kans op 1 pak minder dan 250 gram
Daarna met binomcdf kans berekenen van 4 of minder.

Voor elk tweetal toevalsvariabelen geldt:
μverschil = μx- μy
μsom = μx + μy

Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen geldt:

Standaardafwsom = standaardafwijkingverschil = √standaardafwx² + standaardafwy²

Paragraaf 18.3 De wortel N-wet

Bij S=X+X+X+X+X+….+X enz is μsom = n (aantal termen) * μx
En de standaardafw = √n * standaardafwx

Wortel N-wet μxgemiddeld = μx en de standaardafwijkingxgemiddeld = standaardafwijkingx/√n

Paragraaf 18.4 Beslissingen op grond van een steekproef.

Twee veronderstellingen: H0 (de nulhypothese)  H1 (de alternatieve hypothese).

Beslissingsvoorschrift: bij welke meetresultaten wordt tot bijstelling overgegaan?
Significantieniveau: Kans dat H0 ten onrechte verworpen wordt. (= H0 is waar en op grond van het beslissingsvoorschrift en het steekproefresultaat wordt H0 verworpen.).
Bijvoorbeeld Verwerp H0 als xgem kleiner of gelijk aan 599 is of groter of gelijk aan 601. Met gemiddelde = 600 en gemstandaardafwijking = 4/√25
Dan significantieniveau: 2*normalcdf(-10^99, 599,600, 4/√25).
H0 verworpen? Dan wijkt steekproefgem significant af.
Overschrijdingskans van het steekproefresultaat = kans op dat steekproefresultaat of op een uitkomst die meer afwijkt vh gemiddelde dat je verwacht als H0 waar is.

Bij H0 μx = μ0 en H1 μx = niet gelijk aan μ0 is de overschrijdingskans van k
Gelijk aan P(xgem is kleiner of gelijk aan k) als k is kleiner dan μ0
Gelijk aan P(xgem is groter of gelijk aan k) als k is groter dan μ0.

Is de overschrijdingskans van k kleiner of gelijk aan (1/2)ά dan wordt H0 verworpen.

Paragraaf 18.5 Eenzijdig en tweezijdig toetsen.

Tweezijdige toets: H1 μx = niet gelijk aan μ0
Linkszijdige toets: H1 μx = kleiner dan μ0
Rechtszijdige toets H1 μx = groter dan μ0

Linkszijdig: verwerp H0 als xgem is kleiner of gelijk aan g

Rechtszijdig: verwerp H0 als xgem is groter of gelijk aan g

Linkszijdig: overschrijdingskans steekproefresultaat k gelijk aan P(xgem is kleiner of gelijk aan k). Verwerp H0 als P(xgem is kleiner of gelijk aan k) is kleiner of gelijk aan ά.

Rechtszijdig: overschrijdingskans steekproefresultaat k gelijk aan P(xgem is groter of gelijk aan k). Verwerp H0 als P(xgem is groter of gelijk aan k) is groter of gelijk aan ά.

Het toetsen van hypothesen.

Formuleer H0 en H1 en vermeld het significantieniveau ά

Als steekproefresultaat bekend dan bereken overschrijdingskans en beantwoord de gestelde vraag.

Als steekproefresultaat niet bekend dan stel het beslissingsvoorschrift op en beantwoord de gestelde vraag.

H0 is hypothese die in twijfel wordt getrokken,
H0 moet altijd enkelvoudig zijn dus μx = μ0.

Een toets is nooit 100% zeker daarvoor moet de hele populatie onderzocht worden.