H5: telproblemen

Hoofdstuk 5: Telproblemen

Voorkennis: Tabellen en diagrammen

Telproblemen moet je systematisch aanpakken. Dit kan dmv een tabel of boomdiagram. Als je een boomdiagram maakt, kijk je eerst hoeveel stappen er zijn en hoeveel takken er bij elke stap horen. Bij elke keuze hoort een tak.

Als in elke stap het aantal mogelijkheden even groot is, kun je het totale aantal volgordes met een macht berekenen. Bijvoorbeeld: bij vijf worpen met een munt zijn er in totaal 2x2x2x2x2 = 25 volgordes mogelijk.

5.1 Machtsbomen faculteitsbomen

Een machtsboom is een boomdiagram waarin het aantal takken gelijk blijft, bij elke stap blijven dezelfde keuzes mogelijk. Het aantal volgorde (routes) kun je berekenen met een macht.

Een faculteitsboom is een boomdiagram waarbij na elke stap het aantal keuzes, en dus ook het aantal takken, één minder is. Het totaal aantal volgorden is dan een product van de vorm: n x (n-1) x (n-3) à 3 x 2 x 1

Dit product heet n faculteit en wordt genoteerd als n!

5.2 Permuitaties en combinaties

Een ander woord voor volgorde is permutatie. Bij een permutatie van 3 uit 10 maak je een selectie van drie dingen uit tien dingen waarbij de volgorde van het drietal van belang is. Het aantal permutaties van 3 uit 10 is gelijk aan 10 x 9 x 8. Je kunt dat ook schrijven als .

De algemene formule voor het aantal permutaties van r uit n  is:  .

Je schrijft dit als volgt in je rekenmachine: 10 nPr 3 (=720)

Een selectie van drie dingen die je uit tien verschillende dingen kunt kiezen heet een combinatie van 3 uit 10. In zo’n combinatie is de volgorde niet van belang. De 3 x 2 x 1 volgordes van de drie gekozen dingen tellen dus als dezelfde combinatie. Het aantal combinaties wordt genoteerd als: ( ). Dat getal kun je als volgt berekenen: 10 x 9 x 8 / 3 x 2 x 1 , wat je ook kunt schrijven als . De algemene formule voor het aantal combinaties van r uit n is gelijk aan:

Je schrijft dit als volgt in je rekenmachine: 10 nCr 3 (=120)

5.3 Tellen met een rooster

Een roosterdiagram is een handig model voor telproblemen waarbij je steeds uit twee alternatieven moet kiezen. Een kortste route in een rooster bestaat uit een aantal stappen n. Daarvan worden er r stappen horizontaal gezet en de overige n – r stappen verticaal. Het aantal kortste routes is dus gelijk aan het aantal verschillende rijtjes van n stappen waarbij je r keer een stap naar rechts doet. Dit aantal is gelijk aan ()

Als je het aantal kortste routes van punt A naar punt B en van punt B naar punt C weet, dan vind je het aantal routes van punt A naar punt C via punt B door die aantallen routes te vermenigvuldigen. Immers elke route van A naar B past bij elke route van B naar C.

5.4 Kies het goede telmodel

Hoe pak je een telprobleem aan?

1. Ga na of je bij het telprobleem een boomdiagram, een rooster, een tabel of een schematische tekening kunt maken:

• Is er bij iedere volgende stap één keuze minder? à faculteitsboom
• Blijft elke volgende stap het aantal keuzes gelijk? à machtsboom
• Kun je bij elke stap steeds uit dezelfde 2 alternatieven kiezen? à rooster

1. Teken het diagram of een gedeelte ervan
2. Tel het aantal mogelijkheden. Bij het tellen kun je gebruik maken van:

• Permutaties (bij faculteitsbomen)
• Machten (bij machtsbomen)
• Combinaties (bij roosters)

Telmodellen combineren

Er zijn telproblemen waarbij je het aantal mogelijkheden telt door verschillende telmodellen te combineren.

Voorbeeldopgave

Oplossing

Uit een groep van twintig leerlingen (8 jongens, 12 meisjes) worden 2 meisjes en 2 jongens gekozen voor 4 rollen van een musical.

Hoeveel verschillende rolverdelingen zijn er mogelijk als elke gekozen leerling elk van de 4 rollen zou mogen kiezen?

Je kunt 2 meisjes en 2 jongens op () x () = 66 x 28 = 1848 manieren kiezen uit de groep van 20. Elk gekozen viertal kan vervolgens de rollen op 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 manieren verdelen. Het aantal mogelijke rolverdelingen is dus gelijk aan: 4! () x () = 24 x 1448 = 44352