A2

Samenvatting A2
•    Recht evenredig
Bij een stapgrootte van y hoort een constante eerste augmentatie van x
•    Omgekeerd evenredig
Bij een x maal grotere augmentatie van y hoort een maal kleinere augmentatie van x en vice versa.
•    Bij een exponentieel verband is de vorm van de grafiek afhankelijk van de grootte van de exponent.

Functies kun je herkennen aan:
•    De regelmaat in de tabel
•    De vorm van de grafiek
•    De vorm van de formule

Lineair    Kwadratisch    Exponentieel    Hyperbolisch
1e verandering constant    2e verandering constant (∆y)    Groeifactor constant    Product xy constant
Rechte lijn    Parabool    Kromme    Hyperbool
y = gx+b    y = g^a+b    y = b*g^x (machtsfunctie)     y= 8/x+b

•    Functies met een positieve exponent in de noemer vallen onder de gebroken functies. Een dergelijke functie is te schrijven als een machtsfunctie met een negatieve exponent.
is te schrijven als 64*x^-3
•    Door in een formule een reeks constanten te definiëren, kunnen er grafiekenbundels ontstaan.
•    In een functie met twee variabelen kun je in een tabel equivalente output verbinden middels een isolijn. Het is tevens mogelijk om in een grafiek twee variabelen middels een isolijn te verbinden als de waarden daarvan over de isolijn dezelfde output produceren.
•    Het is ook mogelijk om een functie van twee variabelen in beeld te brengen met een ruimtelijke grafiek. Breng hiertoe de twee variabelen aan op x,y en de daaraan gerelateerde output op z.

•    De gemiddelde verandering van y op een stap van x is equivalent aan

Dit quotiënt is equivalent aan het hellingsgetal (mits lineair verband).
•    Onder marginaal verstaan we de meerwaarde per eenheid. Deze augmentatie is equivalent aan het differentiequotiënt van de toegenomen eenheid.
•    Het hellingsgetal van de raaklijn in een punt geeft de veranderingssnelheid van y aan voor de daaraan gerelateerde waarde van x.

•    Met behulp van de afgeleide kun je de exacte waarde van de veranderingssnelheid in ieder punt van de grafiek berekenen. Voor het vinden van de hellingfunctie of afgeleide functie geldt de volgende regel voor machtsfuncties:

Vergeet niet om eerst gebroken functies te converteren naar machtsfuncties met een negatieve exponent!
•    Onder differentiëren verstaan we het berekenen van een afgeleide. Bij een veeltermfunctie zoals   mag je dat term voor term doen.
•    De winst van een bedrijf is equivalent aan  .
Bij 4 exemplaren    W = 208
Bij 5 exemplaren    W = 250
Marginale winst 5e    ∆W = 42
•    De afgeleide kostenfunctie is een goede indicatie van de marginale kosten (idem andere marginale grootheden).
Als de winst van een bedrijf wordt gegeven door  , dan mag de marginale winst worden benaderd met  . Als je de marginale winst van het 4000ste exemplaar wilt weten, vul je simpelweg 4000 in bij q.
•    Je kan een extreem van een functie controleren door te verifiëren of de afgeleide voor dat punt nul is.
•    In twee van de vier gevallen hebben de reeksen geen extreem, waardoor je hem niet met ‘=0 kunt verifiëren. Je zult dus altijd moeten kijken waarmee je te doen hebt door een grafiek te tekenen.
•    Als het gaat om het vinden van een extreem, spreek je van een optimaliseringsprobleem. Als in een dergelijk geval een formule is gegeven, kun je het probleem op twee manieren oplossen:
o    Zoek een extreem in de tabel en/of de grafiek en verifieer het punt door te kijken of de afgeleide daarvan nul is.
o    Bereken de nulpunten van de afgeleide en kijk welk punt in de grafiek een extreem oplevert.

•    Indien geen formule gegeven is, moet je deze eerst zelf formuleren.
o    Casus: Een producent heeft geen vraag als hij 10 per eenheid vraagt. Als hij de kwantiteit met 1 verlaagt, stijgt de vraag met 90 per week. Bij welke prijs is zijn opbrengst het hoogst?
o    Het verband tussen p en A is   (A is vraag, p is prijs)
Voor de opbrengst geldt dus:

o    De afgeleide is  met p=5 als nulpunt.
o    Conclusie: Hoogste opbrengst bij een prijs van 5.
•    Bij volkomen concurrentie ligt de prijs vast. Er is sprake van een lineair verband van TO.
•    Bij een monopolie is de prijs afhankelijk van het aanbod. Het verband TO is doorgaans kwadratisch.
•    Kostenfuncties hebben volgens de wet van ++ en - - meeropbrengsten aanvankelijk een afnemende-, maar daarna een toenemende kostenpost. Daarom gebruikt men vaak een derdegraadsfunctie om de totalekostenfunctie TK te modelleren.

•    Zoals eerder vermeld kun je een marginale grootheid benaderen met een afgeleide functie. In het economische vakgebied geldt 
•    Bij volkomen concurrentie geldt doorgaans  . Bij monopolie is de MO-lijn doorgaans twee keer zo steil als de GO-lijn.
•    Als de gemiddelde voorraad over een jaar equivalent is aan 0,5q en de opslagkosten 0,5 per eenheid per jaar bedragen, kun je de totale voorraadkosten benaderen met  .
•    Je kunt de totale instelkosten over een jaar benaderen met:

•    Je kunt vervolgens de optimale seriegrootte berekenen door de somformule van de voorraadkosten en instelkosten op te stellen en van de afgeleide daarvan het nulpunt te berekenen.

•    Bij telproblemen kun mogelijkheden inzichtelijker maken door:
o    Systematische notatie
o    Een boomdiagram te maken
o    De keuzeroutine in een wegendiagram te verwerken
•    Indien alle mogelijkheden even waarschijnlijk zijn, kun je kans op een bepaalde gebeurtenis calculeren d.m.v. tellen:

•    Meestal is visualiseren en calculeren voldoende. Casus: In een vaas zitten 3 witte en 2 zwarte ballen. Iemand trekt uit die vaas twee ballen zonder terugleggen.

•    Er zijn twee soorten rangschikkingen:
o    Permutatie    : Rangschikking zonder herhaling
    Het aantal permutaties van drie uit vier mogelijkheden is 4*3*2=24
    Met de faculteittoets kun je permutaties berekenen
23 uit 23 is 23! || 3 uit 23 is 23!/20!
    Als het gaat om zonder terugleggen en de volgorde, dan kan dat berekend worden met permutaties. Casus: De blauwe cijfers zijn decimalen, de rode cijfers hele getallen. Hoe groot is de kans dat er een correcte FLOAT ontstaat?

o    Combinatie    : Rangschikking met herhaling
    Het aantal combinaties van 4 uit 4 mogelijkheden is 4^4=256 of 
    Als er geen sprake is van terugleggen en de volgorde waarin, dan is de kans te berekenen met combinaties.

•    Bij een complexe casus is het eenvoudiger om een kansboom te maken. Casus: Iemand trekt uit een vaas met 20 witte en 10 zwarte ballen twee ballen zonder terugleggen. De kans op 1 witte bal is dan:

•    Als zelfs een kansboom te complex wordt, is het noodzakelijk kansen te vermenigvuldigen bij aan elkaar gekoppelde mogelijkheden (operator ‘en’) of kansen op te tellen bij van elkaar losstaande gebeurtenissen (operator ‘of’).
Casus: Iemand trekt uit een vaas met 20 witte en 10 zwarte ballen 4 ballen met terugleggen. De kans op ballen van dezelfde kleur (*) is dan:

•    Een dergelijke vergelijking kan erg complex worden doordat de vergelijking uit veel van elkaar losstaande mogelijkheden kan bestaan. In dat geval is het handiger eerst de kans te berekenen van de events waar niet naar gevraagd wordt (operator ‘hoogstens’ of  ‘minstens’). Hiertoe gebruik je de complementregel:

•    Bij een trekking met terugleggen van de drie ballen uit een vaas met 5 witte en 4 zwarte ballen geldt:

•    Bij veel kansproblemen gaat de voorkeur uit naar het modelleren van het probleem middels het vaasmodel. Het is (uiteraard) van belang of het om een trekking met – of zonder terugleggen gaat. Trekking van meerdere exemplaren in 1 greep is gelijk aan een reeks zonder terugleggen.
•    Met behulp van een frequentietabel kun je aan de hand van zowel absolute als relatieve frequenties een gemiddelde waarde berekenen. Hiertoe neem je de som van alle (waarde maal daaraan gerelateerde frequentie)  en deel je deze som door de som van de frequentie. De uitkomst is equivalent aan de verwachtingswaarde.

Waarde    -1        1        2        3
Rel.        125/216    75/216        15/216        1/216

•    Een binomiale kansboom splitst zich iedere keer in twee takken met telkens dezelfde twee kansen. Een dergelijke boom ontstaat bij een herhaald experiment met dezelfde kans op een mogelijkheid bij iedere poging (goed/fout,ja/nee). Hierbij spreek je van een binomiale kansverdeling.
•    Bij een binomiale kansverdeling is de verwachtingswaarde als volgt te berekenen:

•    Bij een binomiale verdeling in een ja-nee-rooster is de kans als volgt te berekenen:

•    Zoals eerder vermeld is een n keer herhaald experiment met telkens dezelfde kans p op succes een binomiaal experiment. Dit kan worden weergegeven in een ja-nee-rooster. Als X het aantal successen bij een experiment is, dan is de kans op k successen gelijk aan:

Casus: 4 wit en 3 zwart. Drie ballen met terugleggen. Er zijn vier mogelijkheden:
W=0;W=1;W=2;W=3;

De kans op twee witte ballen is:

•    Bij een binomiale verdeling wordt ook met cumulatieve kansen gerekend. In een cumulatief histogram met X=1, X=2 en X=3 en X>3 gelden de volgende regels:

•     Binomiale kansen kun je tevens vinden met een tabel. Voor de begrensde waarden vind je bijvoorbeeld de kans 0,8592.

•    Als je zonder terugleggen een steekproef neemt uit een relatief kleine populatie is er geen sprake van een binomiaal experiment
•    Als er daarentegen sprake is van een steekproef met een relatief grote populatie en terugleggen, dan is de kans op succes redelijk constant. Je kunt in dat geval binomiaal rekenen alsof er getrokken wordt met terugleggen.

Heuristieken
•    Vereenvoudiging
Een probleem analytisch uiteenzetten en het probleem onderverdelen in kleinere deelproblemen
•    Blikwisseling
Het probleem vanuit een ander perspectief bekijken