Hoofstuk 8 en 9

Natuurkunde samenvatting P4

• 8.1 Trillingen

Slingeren, trillen en frequentie

Als je schommelt, ga je heen en weer rond de ruststand van de schommel: de evenwichtsstand. De afstand tot de evenwichtsstand is de uitwijking u. ln de uiterste stand keer je om. De maximale uitwijking die je dan hebt, heet de amplitude A. Een veer met een gewicht eraan gaat omhoog en omlaag door de evenwichtsstand. Er is één complete trilling gemaakt als de veer vanuit de evenwichtstand een uitwijking heeft gemaakt en nog een keer door de evenwichtstand gaat en dan nog een uitwijking tot dat hij weer bij de evenwichtsstand komt. De duur van één trilling heet trillingstijd, ook wel periode genoemd. Het aantal trillingen per seconde heet de frequentie. De frequentie is het omgekeerde van de trillingstijd. Er geldt:                       

Hertz (Hz) is de eenheid van frequentie.

De eenheid hertz is hetzelfde als 1/s, oftewel s^-1.     

Trillingen bekijken

Trillingen geef je weer in een oscillogram. Je een oscillogram maken met een oscilloscoop of een computer. Een cardiogram geeft de elektrische trillingen van je hart weer. Een tijdschaal van 2,0 ms/div betekent dat elk hokje overeenkomt met een tijd van 2,0 ms.

• 8.2 Trilling en kracht

De amplitude van een trilling neemt af door luchtweerstand en wrijving. In de evenwichtsstand is de grootste snelheid en in de omkeerpunten is de snelheid nul. Bij een trilling werkt er altijd een kracht in de richting van de evenwichtsstand. Voor een veer geldt dat de kracht recht evenredig is met de uitwijking. Dit is de wet van Hooke. In formulevorm:   Hierbij is C de veerconstante. Hoe stugger de veer, hoe groter de C. De eenheid van C is N/m.

Als de kracht recht evenredig is met de uitwijking is er sprake van een harmonische trilling. Er is een terugdrijvende kracht in de richting van de evenwichtsstand die evenredig is met de uitwijking. In formulevorm: Als je de amplitude van de slinger verandert, dan verandert de trillingstijd niet. Dit is een eigenschap van een harmonische trilling.

Model???

De trillingstijd van een veer

De trillingstijd van een massa aan een veer bereken je met:   Hierin is T de trillingstijd in s, m de massa in kg en C de veerconstante in N/m. De trillingstijd en frequentie zijn constant voor een massa aan een veer. Die frequentie heet

• 8.3 Trillen en meetrillen

Trillen, energie en demping

Bij een trilling wordt voortdurend bewegingsenergie omgezet in veerenergie en omgekeerd.

In de uiterste stand is er geen bewegingsenergie en is er alleen nog maar veerenergie. De veerenergie is dan maximaal. Voor de maximale veerenergie geldt:

Demping is dat de veerenergie afneemt doordat de wrijving wordt omgezet in warmte. Daardoor neemt de amplitude af.

Resonantie

Als een voorwerp in trilling wordt gebracht met precies zijn eigenfrequentie, kan het heftig gaan trillen. Dit verschijnsel heet resonantie.

• 8.4 Fase en snelheid

Fase en gereduceerde fase

De fase geeft aan hoeveel trillingen zijn uitgevoerd. De fase kun je uitrekenen door de tijd vanaf het begin te delen door de trillingstijd. Het symbool voor de fase is de Griekse letter φ.

De fase is na één volledige trilling. De gereduceerde fase is de fase min het hele aantal trillingen.

Fasehoek en plaatsfunctie

Voor de fasehoek a kun je schrijven:     Je kunt het verband tussen de fasehoek en de uitwijking weergeven met de plaatsfunctie: u(t) = A x sin (a), met A de amplitude. Als je de fasehoek in graden noteert geldt er dus:

Met de fasehoek in radialen (vaakst):

De snelheid bij het trillen

De formule voor de maximale snelheid van een trillend voorwerp is:     of

• 9.1 Lopende golven

Golven

Een hand beweegt het touw in verticale richting op en neer. Daardoor loopt er een golf door het touw naar rechts. Je hand  is de bron van de golf. Ieder punt van het touw volgt de beweging van de hand. Aan de rechterkant zie je een berg voorop lopen. Dus is de hand begonnen met omhoog te bewegen. Het punt van het touw waar de golf net is aangekomen, het de ‘kop’ van de golf. Dit punt heeft nog niet getrild. De knoop in het touw heeft één keer omhoog en één keer naar beneden bewogen. De knoop heeft één volledige trilling uitgevoerd. De afstand die een golf in één trillingstijd aflegt is de golflengte, λ (labda). De golfsnelheid is de golflengte gedeeld door de trillingstijd. In formule: V = λ / T. Omdat geldt T = 1 / f, mag je ook schrijven:

Geluidsgolven

Geluid ontstaat doordat een bron gaat trillen. De lucht naast de bron wordt samengeperst en weer uitgerekt. Deze verdichtingen en verdunningen worden doorgegeven: je hebt een geluidsgolf. Buiten de dampkring kan geluid zich niet verplaatsen. Geluid heeft dus een stof nodig waardoor de geluidsgolven zich voortplanten. De lucht trilt in dezelfde richting als de richting waarin de golf zich voorplant. Je noemt zo’n golf een longitudinale golf. Bij een golf in een touw trillen de deeltjes in een richting loodrecht op de voortplantingsrichting van de golf. Je ziet bergen en dalen. Dat hee een transversale golf. Geluidsgolven planten zich voort met de geluidssnelheid, die afhangt van het materiaal en de temperatuur (Binas). De frequentie van de trilling bepaalt de toonhoogte. Het menselijk gehoor is gevoelig voor frequenties van ongeveer 20 Hz tot 20 kHz.

Golven en faseverschil

Het punt P begint Δt later te trillen, want de golf moet eerst nog naar P toe bewegen. P ligt dus in fase achter bij de bron.
De (u,t)-grafiek van P is de paarse lijn. De afstand tussen p en de bron is Δx. Die afstand, uitgedrukt in golflengtes, is het faseverschil tussen punt P en de bron.

In formulevorm:        

P moet even (Δt) op de golf wachten, dus geldt ook:

• 9.2 Staande golven

Interferentie en staande golven

Als twee golven elkaar ontmoeten, worden de uitwijkingen bij elkaar opgeteld. Dan wordt bijvoorbeeld bij een touw wordt de uitwijking een hele grote berg in plaats van twee kleine bergjes (blauw C). Als een golfberg en een golfdal met dezelfde amplitude elkaar ontmoeten, is er even geen golf meer te zien (rood C). De positieve en negatieve uitwijkingen heffen elkaar op. Het verschijnsel dat golven elkaar beïnvloeden, heet interferentie.

Je ziet in het plaatje hierboven dat enkele punten van de snaar niet trillen. Dit zijn de knopen. Enkele punten trillen maximaal, de buiken. Dit patroon van knopen en buiken blijft steeds aanwezig bij die frequentie van het trilapparaatje. In de snaar is een staande golf ontstaan. De staande golf die je ziet, ontstaat door interferentie van de heen en weer lopende golven in de snaar. In de knopen is dan de som van al die uitwijkingen van de afzonderlijke golven nul. In de buiken is de amplitude maximaal. De staande golven ontstaan alleen bij bepaalde frequenties. Verhoog je de frequentie van het trilapparaatje een beetje dan zie je dat het patroon verdwijnt. De snaar komt alleen bij bepaalde frequenties in resonantie. Deze frequenties zijn de eigenfrequenties van de snaar.

Verband tussen snaarlengte en golflengte

De eigenfrequenties van een snaar zijn de grondtoon en de boventonen. De grondtoon is de laagst mogelijke toon. Er past dan een halve golflengte op de snaar. Bij de eerste boventoon past één golflengte op de snaar, omdat de frequentie twee keer zo groot is. De golflengte is dan twee keer zo klein. In formulevorm:   n = 1,2,3 enz.

Blaasinstrumenten

Hoe voller een flesje, hoe hoger de toon. Doordat je in het flesje blaast, ontstaan er staande golven. Je hebt weer een patroon van buiken en knopen. Bij open uiteinden vind je altijd een buik en bij gesloten uiteinden een knoop. In het geval van één open uiteinde is de lengte van de buis gelijk aan een oneven aantal maal de kwart golflengte. In formulevorm:   n = 1,2,3 enz.

Voor de situatie met twee open uiteinden kun je dezelfde formule gebruiken als bij de snaar.

• 9.3 Elektromagnetisch spectrum

Straling van de zon

De straling van de zon bestaat uit elektromagnetische golven. Ze hebben geen tussenstof nodig; ze gaan door vacuüm. Alle elektromagnetische golven planten zich voort met de lichtsnelheid c. In vacuüm is deze snelheid 3,0 x10⁸ m/s. In materie is de lichtsnelheid kleiner. Het verband tussen frequentie en golflengte wordt gegeven door:

Het elektromagnetisch spectrum

Elk voorwerp zendt elektromagnetische straling uit. Hoe hoger de temperatuur, des te groter is het vermogen en des te kleiner is de gemiddelde golflengte van de uitgezonden straling.

Radiogolven hebben golflengtes van 1 mm tot vele kilometers. Radiogolven worden gebruikt voor allerlei vormen van communicatie, zoals radio, televisie, gsm en UMTS. Ze worden opgewekt door wisselstromen. De kortste radiogolven zijn microgolven. Die worden gebruikt in de magnetron en bij radar.

Infrarode straling heeft een golflengte tussen 750 nm en 1 mm. Omdat warme voorwerpen vooral infrarode straling uitzenden, heet die ook wel warmtestraling. Toepassingen vind je bij fotografie, afstandsbedieningen en warmtelampen.

Zichtbaar licht zit in het gebied van 400 nm (violet) tot 750 nm (rood).
Ultraviolette straling vind je tussen 10 en 400 nm. Het is de straling waar je bruin van wordt. Te veel uv-straling kan je huid verbranden en huidkanker veroorzaken.

Röntgenstraling heeft golflengtes tussen 0,002 en 10 nm.

Gammastraling heeft golflengtes onder de 0,002 nm en wordt uitgezonden door radioactieve stoffen. De laatste twee soorten straling worden veel toegepast in medisch en technisch onderzoek.

De hele reeks van elektromagnetische golven, van radiogolven tot gammastraling, heet het elektromagnetisch spectrum.

Het zichtbare licht

Een klein deel van het elektromagnetisch spectrum is zichtbaar. In het zichtbare deel van het spectrum kun je de kleuren van de regenboog onderscheiden: rood, oranje, geel, groen, blauw en violet. Deze kleuren maak je zichtbaar met een prisma. Licht dat van de ene stof naar de andere gaat, krijgt een andere snelheid. Dan verandert wel de golflengte, maar niet de frequentie. De frequentie bepaalt de kleur van het licht. Het witte licht van de zon kun je met een prisma uiteen laten vallen in de zes basiskleuren waardoor de elektromagnetische golven worden gerangschikt op golflengte: aan het ene uiteinde het rode licht met de grootste golflengte en aan de andere kant het violette licht met de kleinste golflengte. Voeg je al die kleuren samen dan krijg je weer wit licht.

• 9.4 Dataverkeer

Analoge en digitale informatie

Bij communicatie gaat informatie van een zender naar een ontvanger. Bij een geluidsgolf is het hoe hoger de toon, des te groter de frequentie van de golf is. Hoe luider de toon, des te groter de amplitude. De frequentie en amplitude kunnen elke waarde aannemen. We noemen het signaal continu. De weergave van het signaal is analoog. Bij morsecode moet de zender eerst woorden vertalen in morsecodes en de ontvanger vertaalt de codes weer in woorden. Een punt staat voor een kort signaal en een streep voor een lang signaal. Het signaal kan niet elke waarde aannemen. Zo’n signaal heet een discreet signaal. De weergave is digitaal.

Het binaire getallenstelstel

De informatie die in een geheugencel past is 0 of 1. Een getal in het binaire getallenstelsel bestaat alleen uit enen en nullen, bijvoorbeeld 100111. De plaats van het cijfer is bepalend voor de waarde. 4985 betekent 4 x 10³ + 9 x 10² + 8 x 10¹ + 5 x 10⁰. (10⁰ = 1). Zo betekent het getal 100111:

1 x 2⁵ + 0 x 2⁴ + 0 x 2³ + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 39.

Bij het omrekenen van binair naar decimaal is het handig gebruik te maken van een tabel zoals hieronder:

Ook in omgekeerde richting gebruik je de tabel. Wat is bijvoorbeeld de binaire schrijfwijze van het decimale 119?

De grootste 2-macht die in 119 past is 64. Dus daar komt een 1 te staan. Nu blijft er nog over: 119 – 64 = 55. De grootste 2-macht die in 55 past is 32. 55 – 32 = 23. Enzovoort. Je krijgt dan:

Er geldt dus 119_(decimaal) = 1110111_(binair).

Van analoog naar digitaal

Het linker plaatje is een analoge trilling. Als je dit signaal gaat digitaliseren, kun je bijvoorbeeld 50 maal per seconde kijken welke digitale code het dichtst bij de werkelijke ligt. Dat zie je in het rechter figuur. Het resultaat is een trapgrafiek, die de continue grafiek schoksgewijs volgt. Het binaire resultaat van de omzetting vind je door de binaire codes achter elkaar te plaatsen: 011 101 111 110 101 011 etc. In dit voorbeeld is 50 maal per seconde de waarde van het signaal gecodeerd. Deze frequentie is de bemonsteringsfrequentie. Er zijn steeds 3 bits (de getallen 1 of 0) vastgelegd, dus in totaal zijn dat 3 x 50 = 150 bits per seconde opgenomen. Dit is de bitrate ofwel datatransfer rate. Je vindt de datatransfer rate door het aantal bits te vermenigvuldigen met de bemonsteringsfrequentie. 3 Bits is eigenlijk te weinig, want dan gaat er veel van het oorspronkelijke signaal verloren. Door meer bits per monster te nemen en de bemonsteringsfrequentie veel groter te maken, wordt het digitale signaal vrijwel identiek aan het oorspronkelijke signaal. Als het signaal doorgestuurd wordt via een zender, dan is het aantal bits dat per seconde verzonden wordt gelijk aan de datatransfer rate.

Het dataverkeer

Radio, televisie en je mobiel gebruiken radiogolven om informatie over te dragen. De radiogolf zelf is de drager van de informatie: de draaggolf. De informatie is opgeslagen in trillingen en de golven geven deze trillingen door. Amplitude-modulatie, kortweg AM is een vorm van dataverkeer. Als je bijvoorbeeld een draaggolf hebt met een frequentie van 800 kHz en dar moet een toon van 1000 Hz in worden opgeslagen, dan kun je de amplitude van de draaggolf 1000 maal per seconde groter en kleiner maken.

Het is ook mogelijk om de frequentie van de draaggolf te variëren.  Nu varieert niet de amplitude van de draaggolf met het signaal, maar de frequentie.

Als twee zenders op dezelfde frequentie uitzenden, krijgt de ontvanger een gestoord signaal. Dat is niet de bedoeling. Daarom zijn er duidelijk afspraken gemaakt over de bandbreedte die een zender tot zijn beschikking heeft. Dat is niet alleen de frequentie van de draaggolf, maar ook nog een gebied daaromheen. Bij digitaal dataverkeer is de benodigde bandbreedte veel kleiner. Toch is het voor een goede ontvangst van belang dat er voldoende scheiding tussen de verschillende zendfrequenties is. Dit wordt kanaalscheiding genoemd.