Hoofdstuk 8, Bewegen in functies

Samenvatting hoofdstuk 8: Bewegen in functies
8.2: Het plaats-tijd diagram De plaats, symbool ( x ), is de afstand tot een zelfgekozen nul-punt, de oorsprong. De verplaatsing ( s ), in een bepaalde tijdsduur ( Dt ), is de verandering van plaats in die tijdsduur ( Dx ). Deze bereken je met de formule: s = vgem * Dt
De steilheid van een snijlijn stelt de gemiddelde snelheid in een bepaalde tijdsduur voor. De snelheid op een tijdstip in een s-t diagram, is de steilheid van de raaklijn op het gekozen tijdstip. De afgeleide van het s-t diagram is het v-t diagram. Informatie uit een plaats-tijd diagram
Uit een plaats-tijd diagram kun je de volgende informatie halen: -de plaats op een bepaald tijdstip -de verplaatsing in een bepaalde tijdsduur ( Ds / Dt ) -de gemiddelde snelheid in een periode ( snijlijn ) -de snelheid op een bepaald tijdstip ( raaklijn )
8.3 : Het snelheid-tijd diagram Bij eenparige rechtlijnige bewegingen is de verplaatsing s ( of Dx ) te berekenen uit de snelheid en de tijd. Er geldt : s = v * t
In het snelheid-tijd diagram is de verplaatsing tussen twee tijdstippen het oppervlak tussen de grafiek en de horizontale tijd-as tussen de betreffende tijdstippen. Verplaatsing bij een versnelde beweging in een v-t diagram
Bij een eenparig versnelde beweging vanuit stilstand is de gemiddelde snelheid de helft van de eindsnelheid. In het v-t diagram is de verpaatsing gelijk aan het oppervlak onder de grafiek van de gemiddelde snelheid. Je kunt de verplaatsing bij een eenparig versnelde beweging ook rechtstreeks uit het oppervlak van de driehoek onder de grafiek bepalen. Verplaatsing bij een willekeurige beweging
In elk v-t diagram komt de verplaatsing in een tijdsduur overeen met het oppervlak onder de grafiek. Bij een willekeurige beweging is dit een schatting. Versnelling
Bij bewegingen waarbij de snelheid gelijkmatig verandert, is de versnelling constant. Er geldt : a = Dv / Dt
De versnelling op een tijdstip vind je door de steilheid van de raaklijn in het v-t diagram te bepalen. Informatie uit een snelheid-tijd diagram
Uit een snelheid-tijd diagram kun je de volgende informatie halen: -de snelheid op een bepaald tijdstip -de versnelling ( steilheid raaklijn ) -de verplaatsing (oppervlak onder grafiek) -de gemiddelde snelheid 8.4: Bewegingsvergelijkingen Eenparige beweging
De resulterende kracht is gelijk aan nul, de snelheid is constant. De grafiek in het s-t diagram is een schuine rechte door de oorsprong. De grafiek in het v-t diagram is een horizontale rechte. De snelheidsfunctie bij een eenparige versnelde beweging
De resulterende kracht is constant, maar niet gelijk aan nul, de versnelling is constant. De snelheidsfunctie voor een eenparig versnelde beweging met beginsnelheid 0, heeft als voorschrift: v(t) = a * t

De grafiek in het v-t diagram is een schuine rechte door de oorsprong. De plaatsfunctie bij een eenparig versnelde beweging
Het voorschrift van de plaatsfunctie heeft de gedaante: x(t) = ½ a * t2
De grafiek in het s-t diagram of x-t diagram is een deel van een parabool. Voor de bewegingsvergelijkingen geldt het volgende: -de snelheidsfunctie is de afgeleide van de plaatsfunctie -de plaatsfunctie is de primitieve van de snelheidsfunctie 8.5 De harmonische trilling Voor de plaatsfunctie van een harmonisch trillend voorwerp geldt: u(t) = A sin ( 2p*t / T ) of
u(t) = A sin ( 2p * f * t ) Snelheid van een harmonisch trillend punt
Je kunt de snelheid vinden door een raaklijn te tekenen. De snelheid is het grootst als het trillend punt door de evenwichtsstand gaat. Het heeft de snelheid: vmax = 2p * A / T
De snelheid is 0 als het punt in de uiterste stand is. Energiesoorten bij een harmonische trilling
Een massa-veer systeem heeft twee soorten energie: bewegingsenergie en veerenergie. De grootte van beide energieën varieert. De veerenergie is maximaal in de uiterste standen, en 0 in de evenwichtsstand. De kinetische energie is maximaal in de evenwichtsstand, en 0 in de uiterste standen. Tijdens de trilling wordt voortdurend veerenergie omgezet in kinetische energie, en andersom. Een energiesoort waaruit bewegingsenergie kan ontstaan, wordt potentiële energie genoemd. Veerenergie is een vorm van potentiële energie. De som van de kinetische en potentiële energie is de trillingsenergie en is constant. Voor de trillingsenergie, de maximale potentiële energie en maximale kinetische energie van een voorwerp aan een trillende veer geldt: E(t) = Ev,max = ½ C * A2 = Ek,max = ½ m * vmax2
Met E(t): de totale trillingsenergie op tijdstip t in J Ev,max : de maximale veerenergie in J C : veerconstante in N/m A : amplitudo in m Ek,max : maximale kinetische energie in J m : massa in kg vmax : maximale snelheid van het voorwerp in m/s
8.6: Vallen Vrije val
Voor een vrije val gelden de bewegingsvergelijkingen: s(t) = ½ g * t2
v(t) = g * t
als de vrije val uit stilstand begint. Wrijving
De wrijvingskracht is qua richting tegengesteld aan de zwaartekracht. Als de wrijvingskracht gelijk is aan de zwaartekracht, bevindt het voorwerp zich in de eindfase. Hierbij is de snelheid constant (het is een eenparige beweging). Valbeweging met wrijving
In een v-t diagram van een val met wrijving kun je drie gedeelten onderscheiden: -na de start neemt de snelheid rechtevenredig toe met de tijd (wrijving is nog te verwaarlozen). De versnelling is gelijk aan g. -daarna neemt de snelheid nog toe, maar minder dan bij een vrije val: de lijn in het diagram buigt af. -vanaf een bepaalde tijd neemt de snelheid niet meer toe, en is de wrijvingskracht gelijk aan de zwaartekracht. De lijn in het v-t diagram wordt horizontaal. Formules hoofdstuk 8
s = vgem * Dt
s = v * t
a = Dv / Dt
v(t) = a * t
x(t) = ½ a * t2
u(t) = A sin ( 2p*t / T ) u(t) = A sin ( 2p * f * t ) vmax = 2p * A / T
E(t) = Ev,max = ½ C * A2 = Ek,max = ½ m * vmax2
s(t) = ½ g * t2
v(t) = g * t s(t) : de plaats op tijdstip t in m
v(t) : de snelheid op tijdstip t in m/s
v : de constante snelheid in m/s
t : het tijdstip in s
a : versnelling in m/s2
T : trillingstijd in s
f : frequentie in Hz
g : valversnelling ( 9.81 m/s2 ) E(t): de totale trillingsenergie op tijdstip t in J

Ev,max : de maximale veerenergie in J
C : veerconstante in N/m
A : amplitudo in m
Ek,max : maximale kinetische energie in J
m : massa in kg
vmax : maximale snelheid van het voorwerp in m/s