Hoofdstuk 2, Beweging

§ 2.1 Onderzoek naar bewegingen
Stroboscoop en stroboscopische foto
Een stroboscoop is een lamp die in een vast ritme korte lichtflitsen uitzendt. Het aantal flitsen per seconden is zelf in te stellen. Een stroboscopische foto van een bewegend voorwerp maak je door de sluiter van het fototoestel open te zetten bij een stroboscopische verlichting. Zo wordt bij iedere flits een afbeelding van het bewegende voorwerp vastgelegd. Op die manier krijg je een foto met meerdere beeldjes van het voorwerp. Om te bepalen hoe groot de afstand (die het voorwerp af heeft gelegd) in werkelijkheid is, is het nodig ook een liniaal op de foto te zetten. Ook moet je registreren hoeveel flitsen de stroboscoop per seconden uitzond tijdens het maken van de foto, zodat je weet hoeveel tijd er tussen de beeldjes zit.
Videometen (videocamera + computer)
Een videofilm bestaat uit vele losse plaatsjes van bewegende voorwerpen. Voor videometen laat je de computer het filmpje inlezen en geef je op ieder plaatje afzonderlijk een bepaald punt aan van het voorwerp waarvan je de beweging wilt meten (in ieder plaatje hetzelfde punt van het voorwerp). De computer legt dan van elk plaatje de tijd en de plaats van het gemarkeerde voorwerp vast.

Daarmee kun je de computer bijvoorbeeld een (plaats, tijd)-diagram laten maken.
Als je het filmpje met de puntjes af laat spelen zie je een spoor van puntjes. Als je in elk beeldje een stip aan zou geven, zou je de stipjes niet goed van elkaar kunnen onderscheiden. Het is daarom ook goed als je bijvoorbeeld per seconde maar 2 beeldjes gebruikt.

Ultrasone plaatssensor
Een ultrasone plaatssensor gebruikt ultrasone geluidspulsen om een veel keren snel achter elkaar de plaats van een voorwerp te bepalen. De zender zendt snel achter elkaar korte pulsen uit die tegen het voorwerp komen en weer terugkaatsen naar de ontvanger. Deze ontvangt de signalen en registreert de tijd die verstreken is tussen het zenden en ontvangen van de puls. Met de verstreken tijd en de geluidssnelheid wordt vervolgens de afstand tussen sensor en voorwerp berekend. De gegevens kunnen door een grafische rekenmachine of computer worden verwerkt tot bijvoorbeeld een (plaats, tijd)-diagram. De tijd tussen het zenden van een puls mag niet kleiner zijn dan de tijd tussen het zenden en opvangen van dezelfde puls.

Lasergun
Een lasergun werkt volgens hetzelfde principe als een ultrasone plaatssensor. Enig verschil is dat de lasergun niet geluid maar Infrarode straling gebruikt voor zenden en ontvangen. Licht is namelijk sneller dan geluid en zo kan de snelheid van een snel bewegend voorwerp vaker berekend worden, waardoor precieser het gemiddelde berekend kan worden. Dit is handig bij bijvoorbeeld het meten van de gem. snelheid van een auto.
(snelheid geluid in lucht: 3,43E2 m/s bij 20 °C ; snelheid infrarode straling in lucht: 3,00E8 m/s bij 20 °C)

Radar
Radar is de afkorting van ‘Radio Detection and Ranging’(opsporing en plaatsbepaling met radiogolven).
Een radar zendt pulsen elektromagnetische straling uit. Licht, infrarode straling en radiogolven zijn allemaal elektromagnetische straling. Radar wordt in bijvoorbeeld flitspalen gebruikt om de snelheid van auto’s te meten.

§ 2.2 Eenparige beweging (deel 1)
De eenparig rechtlijnige beweging
Voor gemiddelde snelheid geldt: gemiddelde snelheid= verplaatsing / benodigde tijd

Als een voorwerp langs een rechte lijn beweegt en de snelheid constant is, spreek je van een eenparig rechtlijnige beweging.
Het (plaats, tijd)-diagram
Het functievoorschrift voor een (plaats, tijd)-diagram is: x(t)=v · t
De tijd (s) plaats je horizontaal, de plaats (m) zet je verticaal.
Het (snelheid, tijd)-diagram
De tijd (s) plaats je horizontaal, de snelheid (m/s) zet je verticaal.
D.m.v. de ‘oppervlaktemethode’ kun je de verplaatsing (m) berekenen. (Oppervlakte = verplaatsing (m))
Eenparige beweging  Eenparige snelheid  rechte lijn  opp. = rechthoek  oppervlakte = lengte x hoogte
Van kilometer per uur naar meter per seconde
Altijd m/s gebruiken bij natuurkunde.
1 km/h = 1000m / 3600s = 1 / 3,6m/s
Bv: 54km/h = 54 / 3,6 = 15m/s

§ 2.3 Plaats, verplaatsing en afgelegde weg
Plaats en verplaatsing
Δx = xeind - xbegin
Verplaatsing heeft een bepaalde grootte en richting.
Een grootheid die grootte en richting heeft = vectorgrootheid
Een negatieve verplaatsing betekent dat x afneemt.

Verplaatsing en afgelegde weg
Verplaatsing is de kortst mogelijke afstand in m tussen begin en eindpunt en een vector gericht van begin- naar eindpunt.
Afgelegde weg is de werkelijk afgelegde afstand (dus omkeren ed. reken je hier ook bij).
‘Speed’ en ‘velocity’
In dagelijks leven: speed.
In dit hoofdstuk: velocity
1. Bij speed wordt gedacht aan: gemiddelde snelheid = afgelegde weg / tijd
2. Bij velocity wordt gedacht aan: gemiddelde snelheid = verplaatsing / tijd
Gebruik de tweede.

Verplaatsing en snelheid zijn vectorgrootheden.

Zie tabel 35-A1 in BINAS voor de natuurkundeformules.
§ 2.4 Eenparige beweging (deel 2)

Berekenen van benodigde tijd en afstand voor een inhaalmanoeuvre.

Als snelheden van a en b bekend zijn en beiden dezelfde richting op bewegen:

a) Na hoeveel seconden passeert a b?
1. (plaats, tijd)-diagram tekenen. Snijpunt = punt waarop a b inhaalt.

2. t van snijpunt aflezen.

b) Hoe lang duurt de inhaalmanoeuvre?
1. Eindpunt inhaalmanoeuvre in diagram aangeven (bijv. met verticale lijn).
2. t van eindpunt aflezen.

c) Welke afstand is nodig voor de inhaalmanoeuvre?
1. x van eindpunt aflezen.

Als c a en b tegemoet komt en snelheden bekend zijn:

a) Is a weer op tijd op de rechterweghelft terug?
1. Eisen stellen: benodigde tijd voor de manoeuvre moet kleiner zijn dan de benodigde tijd om bij c te komen;
het punt waarop a en c elkaar tegenkomen hoort bij het snijpunt van hun grafieken;
snelheden en beginposities van a en b bekend zijn, dus kun je een (plaats, tijd)-diagram tekenen.
2. (plaats, tijd)-diagram tekenen.
3. t van snijpunt aflezen.
4. t inhaalmanoeuvre – t ontmoeting a en c.

5. conclusie : Negatief getal  niet op tijd terug. Positief getal  op tijd terug.
Relatieve snelheid
1. vrel = va - vb = snelheid a ten opzichte van b
2. Δx = vrel · Δt
3. Δt = Δx / vrel
4. Δxrel = Δxa + Δxb-extra
5. xinhaalmanoeuvre = vtov de weg · tinhaalmanoeuvre

Als snelheden van a en b bekend zijn en beiden dezelfde richting op bewegen:

a) Na hoeveel seconden passeert a b? (M.b.v. relatieve snelheid)
1. Breken de relatieve snelheid. (gebruik formule 1)
2. Bereken de tijd die a nodig heeft om bij b te komen. (gebruik formule 2 en stel vanuit deze formule 3 samen)

b) Hoe lang duurt de inhaalmanoeuvre? (M.b.v. relatieve verplaatsing)
1. Bereken de relatieve verplaatsing (gebruik formule 4).
2. Bereken de duur van de inhaalmanoeuvre (gebruik formule 3).


c) Welke afstand is nodig voor de inhaalmanoeuvre?
1. Bereken de afstand die nodig is voor de inhaalmanoeuvre (gebruik formule 5).

Als c a en b tegemoet komt en snelheden bekend zijn:

a) Is a weer op tijd op de rechterweghelft terug?
1. Bereken de relatieve snelheid van a t.o.v. c.
2. Bereken de tijd die de a nodig heeft om bij c te komen (gebruik formule 3).

Snelheid en relatieve snelheid
De grootte van een snelheid van een voorwerp kan alleen bepaald worden ten opzichte van iets anders.
Vaak is dit ten opzichte van het aardoppervlak (die draait ook om zijn as! Met 2,8 · 10² m/s).
Wanneer niet vermeld wordt ten opzichte waarvan een voorwerp beweegt, moet je aannemen dat de snelheid ten opzichte van het aardoppervlak wordt bedoeld.

§ 2.5 Snelheid op een tijdstip
Nogmaals gemiddelde snelheid
Als de grafiek in een (plaats, tijd)-diagram steeds steiler loopt, betekent dit dat het voorwerp versnelt.

Als de grafiek in een (plaats, tijd)-diagram steeds minder steil loopt, betekent dit dat het voorwerp vertraagt.
Als je van zo’n grafiek de gemiddelde snelheid berekent, bereken je de snelheid van een stijl lopende lijn.
Snelheid op een tijdstip
De snelheid op een bepaald tijdstip is te bepalen door een raaklijn te tekenen die alléén het punt raakt waarvan je de snelheid wilt weten. Als hij door 2 punten gaat, kun je de gemiddelde snelheid tussen die twee punten berekenen.
1. Teken de raaklijn zo ver mogelijk door.
2. Gebruik de formule: vgem = Δx / Δt
Van (plaats, tijd)-diagram naar (snelheid, tijd)-diagram
Met de raaklijnmethode kun je van een (plaats, tijd)-diagram een (snelheid, tijd)-diagram maken.
Dit is wel tijdrovend (groot aantal raaklijnen tekenen en daarvan de steilheid bepalen).
Bij het bepalen van het globale verloop van een (snelheid, tijd)-diagram hoef je niet zo nauwkeurig te zijn.
Kijk dan gewoon goed naar het veranderen in steilheid van het (plaats, tijd)-diagram.
Van (snelheid, tijd)-diagram naar verplaatsing
Maak gebruik van de oppervlaktemethode.

Verdeel de opp. van de grafiek in rechthoeken en driehoeken.
Gebruik de formules: opp. rechthoek = lengte x breedte en opp. driehoek = ½ x lengte x breedte
Tel je uitkomsten bij elkaar op (tot de totale oppervlakte) en je krijgt de verplaatsing (m).
In werkelijkheid zal de snelheid niet zo verlopen dat je de opp. van de grafiek zo kunt verdelen.
De opp. blijft wel gelijk aan de verplaatsing.

§ 2.6 Eenparig versnelde beweging (deel 1)
Versnelling en vertraging
Toenemende snelheid = versnelde beweging.
Als dit gelijkmatig gebeurt  (snelheid, tijd)-grafiek een schuin oplopende rechte  eenparig versneld
Afnemende snelheid = vertraagde beweging.
Als dit gelijkmatig gebeurt  (snelheid, tijd)-grafiek een schuin aflopende rechte  eenparig vertraagd
Versnelling
Aangeven hoe sterk de snelheid met de tijd verandert  versnelling  a (van acceleratie)
Versnelling heeft een grootte en richting en is dus een vectorgrootheid.
Eenparig versnelde beweging: a = Δv / Δt  eenparig versneld vanuit stilstand: v(t) = a · t

De eenheid van a is m/s²
(versnelling, tijd)-diagram
Bij een eenparig versnelde beweging is de steilheid van de (snelheid, tijd)-grafiek gelijk aan de versnelling.
Als de grafiek geen rechte lijn is, gebruik je de raaklijnmethode om de versnelling te bepalen.
Gebruik de formule uit ‘Versnelling’.
Loopt de grafiek horizontaal, dan is de versnelling 0 m/s²
Is de versnelling negatief, dan noem je het vertraging.
Met de gegevens die je met deze eisen kunt berekenen, kun je een (versnelling, tijd)-diagram tekenen.

§ 2.7 Eenparig versnelde beweging (deel 2)
Het (plaats, tijd)-diagram
Formules die bij een eenparig versnelde beweging vanuit stilstand horen:
a = Δv / Δt
v(t) = a · t
x(t) = ½ · a · t²
De (plaats, tijd)-grafiek hiervan is een parabolische kromme.
De snelheid op een tijdstip kun je bepalen door een raaklijn te trekken aan de (plaats, tijd)-grafiek
en daarvan de steilheid te berekenen.

De (snelheid, tijd)-grafiek is een schuin oplopende rechte vanuit de oorsprong.
De oppervlakte = verplaatsing (Δx)
De steilheid van de (snelheid, tijd)-grafiek = versnelling (a)
Gemiddelde snelheid bij eenparig versnelde en vertraagde bewegingen
Omdat opp. onder de (snelheid, tijd)-grafiek = verplaatsing, geldt:
vgem = verplaatsing / tijd = oppervlakte / tijd
Maak bij een eenparig versnelde/vertraagde beweging een rechthoek van de oppervlakte (zie blz. 101).
Een lijn van de rechthoek zal precies door het midden van de lijn lopen
 Bij een eenparig versnelde/vertraagde beweging, geldt:
gemiddelde snelheid = snelheid in het midden van het tijdsinterval
 Voor de gem. snelheid v.e. eenparig versnelde/vertraagde beweging, geldt: vgem = vbegin + veind / 2
 Δx = vgem · Δt

§ 2.8 Het gebruik van formules en diagrammen
Voorbeeld 1 De start van een vliegtuig
a) Wat is de minimale lengte van de startbaan? (Methode 1)

1. Bereken de benodigde tijd (met: Δt = Δv / a).
2. Bereken de lengte van de startbaan (met: x(t) = ½ · a · t²).

b) Wat is de minimale lengte van de startbaan? (Methode 2)
1. Bereken de benodigde tijd (met: Δt = Δv / a).
2. Bereken de gemiddelde snelheid (met: vgem = (vbegin + veind) / 2).
3. Bereken de lengte van de startbaan (met: x(t) = vgem · Δt).
Voorbeeld 2 Het fotografisch bepalen van een versnelling
a) Wat is de versnelling van het karretje?
1. Bepaal de schaal van de foto.
De liniaal is in werkelijkheid 1m lang. Op de foto is deze 1205 pixels lang.
De pixels in de tabel (zie blz 107) moeten dus vermenigvuldigd worden met: 1 / 1205 = 8,299·10²
Zo krijg je de werkelijke afstand in m.
2. Bepaal de duur van een tijdsinterval.
Gebruik: t = 1 / aantal beeldjes per seconde
3. Bepaal de gemiddelde snelheid in een tijdsinterval.
Gebruik: vgem = Δx / Δt

4. Bepaal de versnelling.
Gebruik: a = Δv / Δt
Reactietijd, reactieafstand, remtijd, remafstand en stopafstand
De reactietijd is de tijd die verloopt tussen het doen van een waarneming en het actief worden van de remmen.
De reactieafstand is de afstand waarop de auto zich in de reactietijd verplaatst.
De remtijd is de tijd dat de auto aan het remmen is.
De remafstand is de afstand waarover de auto zich verplaatst tijdens het remmen.
De stopafstand is de totale afstand waarover de auto zich verplaatst vanaf het moment van de waarneming.

De stopafstand wordt in de praktijk vaak de remweg genoemd.
Voorbeeld 3 De twee-secondenregel
a) Bereken de afstand tussen de auto’s op het moment waarop A begint te remmen.
1. Bereken de snelheid van B in m/s (reken dus om van km/h naar m/s).
2. Bereken de afstand tussen de auto’s
(de auto’s zijn op ‘twee seconden afstand’, dus gebruik: xBA = vB · t met t = 2s).

b) Wat is de remafstand van A?

1. Bereken de remtijd van A (gebruik: trem,A = Δv / a).
2. Bereken de gemiddelde snelheid van A tijdens het remmen (eenparig, dus: vgem = (vbegin – veind) / 2).
3. Bereken de remafstand van A (gebruik: ΔxA = vgem,A · t)

c) Wat is de stopafstand van B?
1. Bepaal of bereken de beginsnelheid, de reactietijd en remtijd van B.
2. Teken het (snelheid, tijd)-diagram van de beweging van B (t=0 is het tijdstip waarop A begint te remmen).
3. Bepaal uit het diagram de stopafstand van B. (gebruik de oppervlaktemethode)

d) Wat is de afstand tussen A en B als ze beiden stilstaan?
1. Bereken de plaats van A als hij stilstaat
(plaats van A = afstand tussen A en B als A begint te remmen + remafstand A).
2. Bepaal de plaats van B als hij stilstaat (plaats van B = stopafstand).
3. Bereken de afstand tussen A en B als ze beiden stilstaan (ΔxBA = xA – xB).
§ 2.9 Vrije val
Bij een vrije val is de invloed van de luchtweerstand te verwaarlozen.
De vrije val verloopt voor alle voorwerpen op dezelfde manier.

Nader onderzoek van de vrije val
De valbeweging van een kogeltje is een eenparig versnelde beweging.
De versnelling bepaal je uit de steilheid van d rechte in het (snelheid, tijd)-diagram.
Er geldt: a = Δv / Δt  de valversnelling (m/s²)

De vrije val is een eenparig versnelde beweging
De valversnelling is voor alle voorwerpen even groot.
Voor valversnelling wordt het symbool g gebruikt in plaats van a.

Op de evenaar geldt: g = 9,78 m/s²
In Nederland geldt: g = 9,81 m/s²
Aan de Polen geldt: g = 9,83 m/s²
Valbeweging met luchtweerstand
Door luchtweerstand krijgt een voorwerp, dat op voldoende grote afstand valt, uiteindelijk een constante snelheid: de eindsnelheid
Deze hangt af van de massa, de vorm en de afmeting van het vallende voorwerp.
Zo is er bij lichte voorwerpen de meeste luchtweerstand en hebben deze de kleinste eindsnelheid.

§ 2.10 Afsluiting
Voor elk soort beweging geldt: de gemiddelde snelheid = verplaatsing / benodigde tijd

Met een (plaats, tijd)-grafiek kan je de snelheid op een tijdstip bepalen d.m.v. de raaklijnmethode.
Met een (snelheid, tijd)-grafiek kan je de verplaatsing in een tijdsinterval bepalen d.m.v. de oppervlaktemethode.

Als een voorwerp vrij valt is zijn beweging eenparig versneld.
De versnelling is de zwaartekrachtversnelling.

Een eenparig rechtlijnige beweging is een beweging met constante snelheid langs een rechte lijn.
De (plaats, tijd)-grafiek hiervan is een schuine rechte lijn.
De (snelheid, tijd)-grafiek hiervan is een rechte horizontale lijn (evenwijdig met de t-as dus).

Een eenparig versnelde rechtlijnige beweging is een beweging langs een rechte lijn met een constante versnelling.
De (plaats, tijd)-grafiek hiervan is een parabolische kromme.
De (snelheid, tijd)-grafiek hiervan is een rechte lijn. Hoe groter de versnelling, hoe steiler de lijn.
Gegevens die betrekking hebben op dit hoofdstuk
Verplaatsing s(t) = Δx(t) = x(t) – x(0)
Verplaatsing bij eenparige beweging x(t) = v · t
Verplaatsing bij willekeurige beweging Δx = vgem · Δt

Gemiddelde snelheid vgem = Δx / Δt
Gemiddelde versnelling a = Δv / Δt
Eenparig versnelde beweging zonder beginsnelheid x(t) = ½ · a · t²
Verticale verplaatsing bij een vrije val y(t) = ½ · a · t²
Gemiddelde snelheid voor een eenparig versnelde/vertraagde beweging vgem = (vbegin + veind) / 2

Alle formules, op de laatste na, staan in BINAS tabel 35 A1 Rechtlijnige beweging en tabel 35 A2 Horizontale worp.