Dit profielwerkstuk hebben we gemaakt voor het vak Wiskunde. Het onderwerp dat we hebben gekozen is: ‘De geschiedenis van de Griekse Wiskunde’.
We willen het juist over dit gedeelte van de wiskunde hebben omdat er veel over te vertellen is en we er waarschijnlijk wel veertig uur mee bezig zijn
Bij dit onderwerp stellen we een onderzoeksvraag, namelijk:
'Wat heeft de Griekse Wiskunde voor de geschiedenis betekend en welke wiskundigen speelden hierbij een rol?'
We zullen het gaan hebben over de volgende wiskundigen:
Pythagoras;
Eudoxus;
Euclides;
Thales;
Archimedes;
Aristoteles.
In de conclusie zullen we antwoord gaan geven op de hoofdvraag.
Archimedes
Archimedes werd geboren in Syracuse op Sicilië in 287 v.C. en stierf daar 212 v.C. Archimedes is de grootste Griekse wiskundige en heeft volgens de overlevering in Alexandrië gestudeerd. Ook heeft hij in Syracuse als adviseur aan het hof van Hiero II gewerkt. Hij is een van de weinige wetenschappelijke persoonlijkheden van de Oudheid waarvan redelijk veel van zijn biografie bekend is. Zo zegt Vitruvius dat hij, nadat hij in het bad de zgn. wet van Archimedes over ingedompelde lichamen had gevonden, ongekleed naar huis liep, roepend: ‘Heurèka’ (Ik heb het gevonden).
Plutarchus en anderen vermeldden dat hij gedurende het beleg van Syracuse door de Romeinen (214–212) oorlogsmachines samenstelde (o.a. grote katapulten en brandspiegels, zij het dat het bericht over de brandspiegels waarschijnlijk onjuist is) en dat hij bij de inneming van de stad door een soldaat werd gedood, ondanks het bevel van de Romeinse bevelhebber Marcellus hem te sparen. Maar het maken van machines verachtte hij, omdat hij 'al zijn ambitie bewaarde voor die speculaties welker schoonheid en subtiliteit met geen gewone behoeften des levens vermengd zijn’ (Plutarchus). We kunnen onder de ‘wet van Archimedes’ dus verstaan: Een voorwerp in een vloeistof weegt zoveel minder als het gewicht van de hoeveelheid vloeistof die door het voorwerp is verplaatst. Een lichaam, dat geheel of gedeeltelijk in een vloeistof is gedompeld, ondervindt een opwaartse kracht, gelijk aan het gewicht van de verplaatste vloeistof. Hierdoor vermindert het gewicht van het lichaam (schijnbaar) evenveel als de verplaatste vloeistof weegt.
Bij elk drijvend lichaam, zoals een schip, maar ook bij de luchtballon en het luchtschip, vindt deze wetmatigheid haar toepassing.
Archimedes verenigde in zijn werk de strengheid van het Grieks meetkundige denken met de rekenvaardigheid van de Oosterse wiskunde. Zijn betekenis ligt in de eerste plaats in zijn behandeling van vraagstukken die nu tot de integraalrekening worden gerekend. In het boek Over de bol en de cilinder bewees hij o.a. dat de inhoud van de bol gelijk is aan B van die van de omschreven cilinder. In Over conoïden en sferoïden (twee boeken) bewees hij vele stellingen over inhouden van omwentelingsoppervlakken van kegelsneden. In Over spiralen vindt men theorema's over raaklijnen aan en oppervlakken gevormd door de spiraal van Archimedes.
Archimedes is één van de grondleggers van de statica van vaste en vloeibare lichamen. In zijn twee boeken Over het evenwicht van vlakken vinden wij de wet van de hefboom en beschouwingen over zwaartepunten; in zijn twee boeken Over drijvende lichamen wordt niet alleen de ‘wet van Archimedes’ afgeleid, maar ook een aantal eigenschappen over het gedrag van omwentelingsparaboloïden die in een vloeistof zijn gedompeld. In de Zandrekening wordt een methode gegeven om grote getallen uit te drukken; zijn methode is decimaal. Aan Archimedes wordt ook het ‘veeprobleem’ toegeschreven: de vergelijking x2-Ay2 = 1 als A = 4729494. Deze kan met kettingbreuken worden opgelost. In zijn bewijzen van theorema's die wij nu in de integraalrekening behandelen, gebruikt hij een indirecte methode, die op Eudoxus teruggaat en waarbij een stelling dat O = C (bijv. het oppervlak O van een bol = 4 keer het oppervlak van een grote cirkel) bewezen wordt door aan te tonen dat O < C en O > C tot absurditeiten voeren. Wij weten ook door een brief aan zijn vriend Eratosthenes dat hij zijn resultaten eerst op meer gevoelsmatige wijze heeft gevonden; deze brief is pas in 1906 in Constantinopel teruggevonden en onder de naam De Methode gepubliceerd. Aan Archimedes zijn ook verscheidene uitvindingen toegeschreven, o.a. de schroef van Archimedes.
Met zijn onderzoekingen over de hefboom is zijn (onderstelde) gezegde verbonden: ‘Geef mij een standplaats en ik kan de aarde bewegen’ (dos moi pou sto kai kino tèn gèn). Ook wordt aan hem een planetarium toegeschreven, waarvan men bij Cicero een beschrijving vindt.
Aristoteles
Zijn leven
Artistoteles werd geboren in 384 v. Chr. in Stagirus. Op 17 jarige leeftijd ging hij naar Athene om te studeren aan de Academie van Plato. Hij bleef daar twintig jaar en hij was in die tijd voortdurend in gesprek met Plato. In 348 v. Chr, na Plato's overlijden, vertrok Aristoteles uit Athene naar Assos, waar hij daar een afdeling van de Academie oprichtte.
In 343 v. Chr. nodigde Philippus van Macedonië hem uit de opvoeding van zijn zoon Alexander de Grote op zich te nemen. Toen die in 336 v Chr. de troon besteeg keerde Aristoteles eerst uit Macedonië terug naar zijn geboorteplaats Stagira. In een jaar stichtte hij in Athene een eigen school, namelijk de Peripatetische School.
Alexander de Grote's dood in 323 v Chr. riep heftige reacties op die Aristoteles aanzette Athene te verlaten. Op een landgoed dat aan zijn moeder had toebehoord te Chalcis bracht hij zijn laatste levensjaar door. Hij stierf daar in 322 v Chr.
Zijn Werken
Veel titels van zijn geschreven stukken zijn niet bekend, maar we weten wel dat we met iemand te maken hebben die van bijna alle kennisgebieden afweet. Van sommige vakgebieden, zoals de logica, heeft Aristoteles de basis gelegd. In de loop der tijd heeft men deze werken in bepaalde vakjes ingedeeld. Een veel voorkomende indeling in de oudheid is bijvoorbeeld de volgende: logische werken, ethische werken en biologische/natuurwetenschappelijke werken. Aristoteles zelf hanteert soms de volgende indeling: theoretisch, 'poëtisch' en praktisch. Aristoteles werken waren meer wetenschappelijke, analytische teksten, maar daarnaast schreef Aristoteles ook dialogen over de oudheid, maar helaas alleen in stukjes bewaard gebleven zijn. Men zegt dat Sulla de verhalen mee heeft genomen naar Rome, en dat Andronicus van Rhodos ze heeft uitgegeven in de 1e eeuw v.Chr.
In 1495 zijn de werken van Aristoteles uitgegeven door Manutius, een Venetiaan, maar later bracht de Duitser Immanuel Bekker in 1831/1843/1837 een nieuwe uitgave van Aristoteles op de markt. Na Bekker zijn de teksten nog wel aanzienlijk verbeterd, maar in grote lijnen heeft hij voor de standaarduitgave gezorgd. Aristoteles’ teksten zijn in de loop der jaren in hoofdstukken en boeken ingedeeld.
Ook zijn er een aantal werken, die op naam van Aristoteles zijn overgeleverd, maar niet door hem geschreven zijn.
Zijn denken
Twintig jaar lang bij Plato heeft grote invloed gehad op Aristoteles' denken. Er was wel een tegenstelling: Plato was 'idealistisch' en Aristoteles 'realistisch'. Plato neemt aan dat eeuwige, onveranderlijke ideeën of vormen als de ware werkelijkheid achter, en ten grondslag liggend aan, de veranderlijke schijnwereld waarin wij leven. Aristoteles daarentegen was geïnteresseerd in de door Plato als schijnwereld aangemerkte natuur zelf, met haar processen van groei, wording, verandering, verschijnen en verdwijnen.
Aristoteles zoekt de ware wereld in de materiële wereld. Aristoteles zegt dat de eerste filosofie, of te wel de natuurfilosofie gaat over 'het zijnde als zijnde'.
De natuurfilosofie gaat over de materiële werkelijkheid (natuur, wereld). Dit houdt in dat zij ontstaat en vergaat, geboren wordt en sterft, verschijnt en verdwijnt. Hoe dit allemaal mogelijk is kun je te weten komen via de theorie van Aristoteles. Dit werd hylemorfisme genoemd, een theorie van stof (in het Grieks: hylè) en vorm (in het Grieks: morphè)
Volgens Aristoteles liggen aan iedere eenheid, aan ieder ding, twee principes ten grondslag: 'stof' en 'vorm'. Door een specifieke 'vorm' krijgt 'stof' aanzien. Tegelijk is de stof iets anders. De stof neemt dan nieuwe bijwerking aan. Anders dan bij Plato ligt het vormbeginsel van een ding volgens Aristoteles niet 'achter', maar 'in' dat ding.
De ethiek en de politiek vormen het tweede belangrijke aandachtsveld van Aristoteles' filosofie. Iedere mens is een wezen van mogelijkheden. Zijn leven bestaat uit zijn vrijheid.
Tot het vermogen van zijn levensmogelijkheden komt een mens door oefening en training, waarin hij zich levenshoudingen aanleert.
Hier gaat het dus bij Aristoteles over het realiseren.
De politieke filosofie van Aristoteles is behalve een uiteenzetting over de beste politieke wet, vooral om de vrijheid en de gelijkheid van alle burgers. Zijn ideeën over politiek en ethiek hebben nog steeds veel invloed.
Analytica
Het is belangrijk om te weten dat Aristoteles zijn leer van redeneringen en hun geldigheid en vormen niet ‘logica’, maar ‘analytica’ noemt. Er is ook een werk dat zo heet en is verdeeld in twee delen: Analytica Priora en Analytica Posteriora. Het eerstgenoemde werk behandelt het technische gedeelte omtrent redeneringen, het tweede werk gaat meer over wetenschappelijke redeneringen en methodologie.
In het vervolg zullen wij kort een aantal zaken noemen, die te maken hebben met de analytica, de logica. De redeneringen, waar Aristoteles zich mee bezig houdt, noemt hij ‘syllogismen’. Bijgevolg spreekt men wel eens van ‘Aristoteles’syllogistiek’. Een syllogisme bestaat uit twee premissen en een conclusie. Later is men de eerste premisse wel ‘Maior’ en de tweede ‘Minor’ gaan noemen.
Syllogisme
Premisse 1 (Maior)
Premisse 2 (Minor)
Conclusie
Binnen de moderne logica maakt men een onderscheid tussen premissen en assumpties (aannames), waarbij als premisse datgene geldt, waarop de conclusie uiteindelijk gebaseerd is, en als assumptie geldt datgene, wat gebruikt wordt om op weg naar de conclusie bepaalde afleidingen te maken vanuit de premissen, maar die voor de conclusie weer komen te vervallen. Dit alles noem ik alleen. Het zal hieronder verder geen rol spelen.
Als concreet voorbeeld van een syllogisme kom je vaak het volgende tegen:
Voorbeeld 1
Alle mensen zijn sterfelijk (Maior)
Socrates is een mens (Minor)
Socrates is sterfelijk (Conclusie)
Er zijn echter goede gronden om dit voorbeeld niet als een Aristotelisch voorbeeld te beschouwen. Aristoteles zelf laat op een gegeven moment zelfs premissen zoals de Minor hierboven met opzet buiten beschouwing.
Tussen de Maior en de Minor in het bovenstaande voorbeeld is er een belangrijk verschil, want de termen uit de Maior (resp. ‘mens’ & ‘sterfelijk’) zijn algemene termen. Het onderwerp van de Minor, te weten ‘Socrates’, is echter een eigennaam en per definitie geen algemene term. Voor Aristoteles is het dus van belang om algemene termen te gebruiken. Ons voorbeeld wordt dan bijvoorbeeld:
Voorbeeld 2
Alle mensen zijn sterfelijk (Maior)
Alle Grieken zijn mensen (Minor)
Alle Grieken zijn sterfelijk (Conclusie)
Toch heb ik hierboven nog niets gezegd over twee andere woorden die in de premissen voorkomen, namelijk ‘alle’ en ‘zijn’. Laat over het woord ‘alle’ het volgende gezegd zijn.
Volgens Aristoteles zijn er bij redeneringen met algemene termen andere bepalende termen nodig die duidelijk maken of bijvoorbeeld de hele groep sterfelijken ook mens is. Misschien zijn alleen maar sommige sterfelijken mens? Een woord als ‘alle’ wordt nu ook wel ‘kwantor
(Eng. quantifier)’ genoemd. Tussen alle kwantoren bestaan onderlinge relaties die als volgt in een diagram gezet kunnen worden:
Diagram (logisch kwadraat)
A contrair E
subaltern subaltern
I subcontrair O
Legenda:
A – alle (universeel bevestigend)
E – geen (universeel ontkennend)
I – sommige wel (particulier bevestigend)
O – sommige niet (particulier ontkennend)
Het bovenstaande schema gaat dus uitsluitend over de relaties tussen de kwantoren, die in een premisse staan met een onderwerp en een naamwoordelijk deel van het gezegde. Als voorbeelden van A, E,I en O-premissen kun je de volgende noemen:
A: Alle mensen zijn sterfelijk
E: Geen mens is sterfelijk
I: sommige mensen zijn sterfelijk
O: sommige mensen zijn niet sterfelijk
In plaats van te spreken van een premisse met een onderwerp en een naamwoordelijk deel van het gezegde spreekt men ook wel van ‘Subject’ en ‘Predicaat’. Dus nu kunnen we voorbeeld 2 nu als volgt afkorten:
Voorbeeld 2 (schematisch)
MaP (Maior)
SaM (Minor)
SaP (Conclusie)
De scherpe lezer valt op dat de term ‘mens’ in beide premissen voorkomt, maar niet in de conclusie. Termen die op deze manier functioneren noemt men in navolging van Aristoteles zelf “Midden(term)”.
De wiskundigen onder ons zullen vermoeden dat er veel verschillende mogelijkheden zijn, want kan je niet ook i.p.v. ons voorbeeld van net het volgende hebben:
PaM of MaP of PaM of etc.
SaM SiM MiS
SaP SiP SiP
Uitgebreid hierop ingaan zou teveel tijd vergen, maar de wiskundigen hebben gelijk. Er zijn veel mogelijkheden en variaties. Als je puur en alleen kijkt naar de lijnen die de ‘Middentermen’ ten opzichte van elkaar kunnen maken kom je op vier manieren uit. Deze staan ook wel als ‘de vier figuren’ bekend:
Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4
M_P P_M M_P P_M
S_M S_M M_S M_S
Verder kun je ook kijken naar de kleine lettertjes (= de kwantoren) in de premissen en de conclusie: “a,a,a” of “a,i,i” etc. Deze heten in het Engels “Moods”, wij zouden misschien wel van “redeneringsstructuur” kunnen spreken. In de Middeleeuwen heeft men geheugensteuntjes verzonnen: Barbara, Darii etc.
Tenslotte nog het volgende. Niet elke ‘Mood’ is mogelijk in elke figuur. Binnen de eerste figuur zijn alleen Barbara, Celarent, Darii, en Ferio geldige redeneringsstructuren. Voor het testen van de geldigheid bestaan er verschillende manieren, maar dit laat ik hier achterwege. Tenslotte, je kunt niet zomaar een premisse converteren:
SaP --> PaS --> SaP
Stel we nemen S = sterfelijken en P = mens, dan betekent SaP “Alle sterfelijken zijn mens” en PaS “Alle mensen zijn sterfelijken”. Hoewel PaS wel waar is, is zijn omgekeerde variant SaP niet waar. Hier is conversie dus niet zonder meer toegestaan. Ik laat het aan de lezer over om uit te zoeken wat de termen bij en in het diagram (zie boven ‘logisch kwadraat’)staan, betekenen.
Belangrijke termen:
Analytica
Conclusie
Conversie
Figuur
Geldigheid
Kwantor
Maior
Midden(term)
Minor
Mood
Predicaat
Premisse
Redeneringsstructuur
Subject
Syllogisme
Euclides was een Grieks wiskundige van omstreeks 300 v.Chr. Over zijn leven is vrijwel niets bekend. Hij was pensionaris van het Museum van Alexandrië en leefde dus op kosten van Koning Ptolemeos I "Soter", een wapenbroeder van Alexander de Grote en na zijn dood koning van Egypte. Alle kennis van de Griekse tijd was in de grote Bibliotheek van Alexandrië beschikbaar.
Euclides besteedde veel van zijn tijd aan het maken van een overzicht van de toen bekende wiskunde in 13 boeken, die bekend zijn als "De elementen van Euclides”. Deze elementen zullen we later behandelen. Daarin werd vanuit 5 vaste aannames alle wiskunde systematisch afgeleid. 2000 jaar lang was dit één van de belangrijkste prestaties van de mensheid
"De Elementen van Euclides” is in het Nederlands vertaald door prof. Dijksterhuis.
Het belang van Alexandrië
Euclides leefde op het hoogtepunt van de Griekse beschaving. Alexander de Grote had een groot deel van de beschaafde wereld (alleen India en China niet) aan de Griekse macht onderworpen; na zijn dood regeerden zijn wapenbroeders over delen van zijn Rijk. Alexandrië in Egypte was één van de steden die door Alexander waren gesticht en groeide uit tot een middelpunt van de Griekse wereld in die tijd.
Over Euclides
Over Euclides is niets meer bekend dan dat hij werkte in het Museum en de Grote Bibliotheek van Alexandrië in de tijd van koning Ptolemeos. Hij stichtte er een soort school voor het bestuderen van de wiskunde. En hij verzamelde alle in die tijd beschikbare wiskundige kennis in 13 boeken: "De Elementen" van Euclides. Daartoe maakte hij gebruik van het werk van andere wiskundigen, zoals Hippokratos van Chios, Theaethetos en Eudoxos. Euclides bedacht eigenlijk weinig nieuws, hij bracht alleen systeem in de beschikbare kennis.
Beroemd is zijn antwoord op een vraag van Ptolemeos of die wiskunde nu niet sneller te leren zou zijn dan door het doorworstelen van die 13 boeken: "Er is geen koninklijke weg naar de wiskunde."
Een andere vraag die hem volgens de overlevering werd gesteld is wat voor nut die wiskunde nu allemaal heeft. Waarop Euclides zou hebben geantwoord: "Geef die man drie geldstukken, hij wil per sé voordeel halen uit wat hij heeft geleerd."
De Elementen
Wellicht op de Bijbel van de Christenen na het meest gelezen boek ter wereld, bestaat uit 13 delen. Vanuit slechts 5 postulaten (voor vaststaand aangenomen uitspraken) worden er met behulp van 130 definities wel 465 stellingen in bewezen! 2000 jaar lang was dit hét wiskundeboek. Er bestaat een Nederlandse vertaling van "De Elementen van Euclides " van de hand van prof. Dijksterhuis.
De opbouw van "De Elementen" is als volgt:
· Allereerst worden in elk van de 13 boeken allerlei begrippen nauwkeurig omschreven. Elk boek begint met een lijst van definities.
Daarna worden van het deel van de wiskunde waar het betreffende boek over gaat stellingen geformuleerd en bewezen.
· In het eerste boek worden vooraf de 5 beroemde wiskundige postulaten (soms worden die ook wel axioma's genoemd) geformuleerd:
1. Door twee punten gaat een rechte lijn.
2. Een deel van een rechte lijn kan tot in het oneindigeworden verlengd.
3. Vanuit ieder willekeurig punt kan een cirkel met een willekeurige straal worden getrokken waarvan dit punt het middelpunt is.
4. Alle rechte hoeken zijn gelijk.
5. Door een punt in een plat vlak dat buiten een gegeven lijn l ligt, kan slechts één lijn worden getrokken die parallel loopt aan l.
Van alle daarin gebruikte begrippen gaf Euclides eerst een nauwkeurige omschrijving, een definitie. De laatst van deze postulaten - het parallellenpostulaat - is duizenden jaren lang onderwerp van discussie geweest, tot in de 19e eeuw een aantal wiskundigen een nieuwe wiskunde opbouwden waarin dit postulaat werd aangepast, de niet-euclidische meetkunde.
· In het eerste boek worden ook vooraf wat meer filosofische uitgangspunten geformuleerd, zoals:
· Als twee dingen beide gelijk zijn aan een derde ding, zijn al die dingen aan elkaar gelijk.
· Als er aan (van) twee gelijke dingen bij beide een gelijk ding wordt toegevoegd (weggehaald), zijn de twee nieuwe dingen ook gelijk.
· Dingen die met elkaar samenvallen zijn gelijk.
· Een deel is kleiner dan het geheel.
en zo nog een stuk of wat uitspraken.
· Op basis van die vijf postulaten en de filosofische uitgangspunten wordt vervolgens eigenlijk alle kennis op het gebied van de vlakke (euclidische) meetkunde, de rekenkunde en tenslotte de ruimtelijke (euclidische) meetkunde netjes in 465 stellingen bewezen.
De volgende onderwerpen kwamen in "De Elementen" van Euclides aan bod:
· Boeken I, II, III, IV:
De bekende vlakke meetkunde.
· Boek V:
Het werken met verhoudingen (van lijnstukken).
· Boek VI:
Het werken met verhoudingen in de vlakke meetkunde.
· Boeken VII, VIII en IX:
De theorie van getallen en rekenkunde, steeds vanuit een meetkundige opbouw.
· Boek X:
De invoering van verenigbare en onverenigbare getallen, waarbij de Grieken getallen als de wortel uit 2 (die niet als verhouding van gehele getallen ziijn te schrijven) onverenigbaar noemden.
· Boek XI:
De bekende ruimtemeetkunde.
Boeken XII en XIII: Bevatten de bekende uitputtingsmethode van Eudoxus om de oppervlakte van een cirkel en de inhoud van een bol te bepalen. In deze boeken worden allerlei methoden voor berekeningen aan vlakke en ruimtelijke figuren in stellingen uiteen gezet.
Over het leven van Eudoxus
Eudoxus was een Griekse wiskundige uit de stad Cnidos (in het huidige Turkije, vlak tegenover het Griekse eiland Samos). Hij leefde van 408 - 355 v.Chr. en reisde in zijn jonge jaren naar Tarentum waar hij studeerde bij de Pythagoreërs, volgelingen van het gedachtengoed van de wiskundige Pythagoras. Ook studeerde hij enkele maanden filosofie bij Plato in Athene en ging hij een jaar naar het Egyptische Heliopolis waar hij bij de priesters van de farao de astronomie beoefende.
Daarna keerde hij terug naar Klein-Azië naar de stad Cyzicos, waar hij een eigen school stichtte die nogal bekend werd. Samen met een aantal volgelingen ging hij in 368 v.Chr. nog een keer naar Athene om Plato te bezoeken. Eudoxus had geen hoge pet op van Plato's analytische vermogens en Plato op zijn beurt was niet erg ingenomen met Eudoxus' populariteit.
Uiteindelijk ging Eudoxus terug naar zijn geboortestad Cnidos waar hij een baan in het ambtelijk apparaat van het stadsbestuur kreeg. Kennelijk had hij daar tijd genoeg voor verdere studie in de wiskunde en de astronomie en hij publiceerde er veel van zijn ideeën. Hij bleef er tot zijn dood.
Zijn belangrijkste bijdrage op het gebied van de wiskunde is het bedenken van de uitputtingsmethode, een manier om de oppervlakte en de inhoud van allerlei voorwerpen te benaderen. Het was eigenlijk een voorloper van het integreren, wat pas veel later (in de 17de en de 18de eeuw een wiskundige basis kreeg).
De bloei van de Griekse beschaving in Eudoxus' tijd
In de periode van 600 - 300 v.Chr. bloeide de Griekse beschaving als nooit tevoren. Er ontstonden in Griekenland en de westkust van Klein-Azië steden waarin de burgers een grote welvaart kenden (het burgerschap was lang niet voor alle inwoners weggelegd, veel stedelingen waren in feite slaven (heloten). Vooral Athene was een belangrijke stad in die jaren. De grote wijsgeer Plato stichtte er zijn Academie.
Op het gebied van de wiskunde was het de tijd van de Pythgoreërs, de volgelingen van Pythgoras die rond 500 v.Chr. was overleden. Eudoxus' leermeester Archytas was één die Pythagoreërs en een vriend van Plato.
Deze welvarende Griekse steden stichtten dochtersteden bijvoorbeeld in Zuid-Italië en langs de kusten van de Zwarte Zee. Veel van die dochtersteden ontwikkelden zich ook tot eilanden van beschaving. De Griekse cultuur raakte zo over een groot gebied verspreid en de Grieken zelf (en met name ook hun geleerden) reisden vrijelijk binnen dat gebied van stad naar stad.
Wel kenden deze steden onderlinge rivaliteit. Bekend is die tussen Sparta en Athene, twee van de belangrijkste steden in die tijd, elk met een aantal bondgenoten. Deze steden voerden onderling strijd, onder andere in de Peloponnesische Oorlog (394 v.Chr.). Mede daarom werden de steden in de gebieden buiten Griekenland zelf langzamerhand belangrijker omdat zij hun krachten niet zoveel verspilden bij het oorlogvoeren. Belangrijke Griekse steden buiten Griekenland zelf waren Tarente en Syracuse (Zuid-Italië) en later Alexandrië in Egypte.
Over het werk van Eudoxus
Veel van Eudoxus wiskundige werk is terug te vinden in "De elementen" van Euclides. Het belangrijkste daarvan is:
· over de theorie van verhoudingen:
In de tijd van Eudoxus kende men geen getallen (zoals wortels) die alleen konden worden benaderd. Voor de wiskundigen uit die tijd bestonden er alleen gehele getallen (1, 2, 3, 4, ...) en verhoudingen van gehele getallen. Daarom was de studie van de eigenschappen en rekenregels van verhoudingen ook van groot belang. Een groot probleem was het bepalen van de lengte van de zijde van vierkant met oppervlakte 2. Wij kennen het getal √2 wel als oplossing, maar voor de Grieken was dit een onbegrijpelijk getal: ze konden het wel construeren (gewoon de zijde van een vierkantje met oppervlakte 2 tekenen), maar het niet als een verhouding van gehele getallen schrijven!
Eudoxus werk over verhoudingen is terug te vinden in boek V van 'De elementen' van Euklides. Daarin beschrijft hij een methode om met irrationale getallen te werken. Hij beschouwde die getallen als 'onverenigbare' lijnstukken, die wel konden worden geconstrueerd maar niet exact worden bepaald als de verhouding van twee (gehele) getallen. Als lijnstukken konden ze wel met elkaar worden vergeleken, kon er mee worden 'gerekend'.
Dit was een heel belangrijke stap vooruit, want nu waren de Grieken in staat om de getaltheorie verder te ontwikkelen, zij het op een volledig meetkundige basis.
· de uitputtingsmethode:
Uitgaande van eerdere ideeën van Antiphones ontwikkelde Eudoxus de uitputtingsmethode om de oppervlakte van een cirkel zo nauwkeurig mogelijk te bepalen. Zijn nette, systematische onderbouwing van de methode is onderwerp van boek XII van "De Elementen" van Euklides.
Daarin wordt bewezen dat het verschil tussen de oppervlakte van een cirkel en dat van een regelmatige n-hoek waarvan de hoekpunten op die cirkel liggen zo klein kan worden gemaakt als je maar wilt, als n maar groot genoeg wordt gemaakt. Voor de oppervlakte van een regelmatige n-hoek met de hoekpunten op een cirkel geldt:
Stel dat n=5 en r=2, dan rekenen we dit uit met de grafische rekenmachine: (½x5) x sin(360:5) x 2^2 = 2,5
Voor een cirkel met een straal van 1 levert dit een keurige benadering op van pi.
Eudoxus paste vergelijkbare methoden toe om aan te tonen dat:
· de inhoud van een piramide met een vierkant grondvlak precies het derde deel is van een balk met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte;
· de inhoud van een kegel met een cirkelvormig grondvlak precies het derde deel is van een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte;
· enzovoorts...
Later ging Archimedes met dergelijke berekeningen door, onder andere in zijn werk "Over de bol en de cilinder".
· over de verdubbeling van de kubus;
Omdat Archytas al heel erg was geïnteresseerd in het klassieke probleem van de verdubbeling van de kubus, heeft ook Eudoxus (zijn leerling) zich daar veel mee bezig gehouden. Waarschijnlijk heeft Eudoxus dat probleem opgelost met behulp van een speciale kromme. Deze oplossing is echter verloren gegaan.
Verder hield Eudoxus zich bezig met de astrnomie.
Hij heeft bij Cnidos een observatorium gebouwd waar vandaan hij de ster Canopus bestudeerde. Op grond van diverse waarnemingen daar schreef hij boeken als 'De Spiegel' en de 'Phaenomena' en 'Over snelheid', boeken die overigens verloren zijn gegaan.
In zijn wereldbeeld bewogen de planeten op boloppervlakken met de aarde in het centrum die ten opzichte van elkaar draaiden. Deze gedachten zijn afkomstig van de Pythagoreërs, waarschijnlijk via zijn leermeester Archytas. Omdat de assen waaromheen de bollen draaiden niet vast lagen, maar zelf ook weer bewogen, bewogen de planeten vanuit de aarde gezien in ingewikkelde banen. Eudoxus hield zich bezig met het beschrijven van de constructie van die banen. Voor Eudoxus was dit wereldbeeld waarschijnlijk slechts een model, want de banen die er uit voortvloeiden strookten niet met zijn observaties.
Merkwaardig genoeg dachten latere filosofen als bijvoorbeeld Aristoteles dat Eudoxus hiermee de werkelijke situatie had beschreven.
Tenslotte heeft Eudoxus een boek over geografie geschreven, dat heette 'Een tocht om de aarde'. Hoewel ook dit boek verloren is geraakt, wordt het regelmatig aangehaald in andere geschriften. Het bestond uit 7 delen waarin Eudoxus de hem bekende volkeren (onder andere de Egyptenaren) beschreef en hun politieke systemen, hun geschiedenis en hun achtergronden. Het laatste deel was een verhandeling over de Pythagoreërs in Zuid-Italië.
Pythagoras was de eerste echte wiskundige en verder een bekend filosoof met een eigen 'school'. Hij leefde in de zesde eeuw v. Chr. (± 580 - 500) en is afkomstig van het Griekse eiland Samos. Rond 520 v. Chr. verhuisde hij naar Croton (het huidige Crotone in Zuid-Italië), waar hij zijn beroemde filosofische school stichtte. Pythagoras’ volgelingen (die 'mathematikoi' werden genoemd) kregen van hemzelf les. Hij leerde bijvoorbeeld dat achter alles een wiskundige gedachte zat. Pythagoras en de 'Pythagoreërs' waren daarbij voornamelijk geïnteresseerd is de begrippen getal, figuur en bewijs. Zij behandelden die voor het eerst als abstracte begrippen. Over echt wiskundig werk van Pythagoras zelf is weinig bekend. Met de stelling van Pythagoras wordt bedoeld dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken.
Pythagoras geloofde in reïncarnatie. Pythagoras wist zeker, dat hij in zijn vorige levens Hetalides, daarna Euphorbos, toen Hermotimo en ten slotte Pyrrus heette. Tussen de verschillende reïncarnaties door was zijn ziel ook nog in dieren en zelf in planten overgegaan. Pythagoras was niet de enige die over verschillende verschijningen sprak: een aantal latere biografen vertelden dat Pythagoras opnieuw gereïncarneerd zou zijn in Periander, toen in het lichaam van een man die ook Hetalides heette, en ten slotte in Alcô. Die laatste was een vrouw. De reïncarnatiecyclus zou 216 jaar geduurd hebben, zodat zijn laatste verschijning op aarde in 1810 na Christus was.
Pythagoras was de zoon van de juwelier Mnesarchus en werd in 570 voor Christus geboren op het Griekse eiland Samos geboren. Hij volgde de verplichte schoolopleiding bij de grote Pherecydes. Hij leerde hem wonderen verrichten. Toen Pherecydes stierf, wilde Pythagoras zich verdiepen in de wiskunde, dus hij besloot om naar Eqypte te emigreren. Hier wendde hij zich tot de Egyptische priesters. Aangekomen in Egypte ging van alles mis. De priesters uit Heliopolis verklaarden dat ze voor een zo glorieuze leerling niet goed genoeg waren en schoven hem door naar de oudere en eerbiedwaardigere priesters in Memphis. Deze schoven hem op hun beurt door naar de priesters van Thebe, de verschrikkelijke Diopoliten. Omdat zij de laatste in de rij waren, en hem dus niet verder konden schuiven, gaven ze hem een extreem zwaar examen. Maar Pythagoras overwon op briljante wijze elk obstakel, zodat hij ten slotte zelfs de bewondering afdwong van zijn kwelgeesten. Toen de zaken er zo voorstonden, konden ze niets anders meer doen dan hem in hun midden opnemen en hem alles laten weten van de mysteries.
Na Egypte ging hij een wereldreis maken. Men zegt dat hij leerling in de sterrenkunde bij de Chaldeeërs, als leerling in de logistiek en meetkunde bij de Phoeniciërs en als leerling in de mystieke riten bij de Magiërs was.
Toen hij zijn studiereis had voltooid, ging hij weer terug naar zijn vaderland: Griekenland. Maar op zijn veertigste koos hij weer voor de zee, en ging weer weg. Hij ging in Croton aan de Italiaanse kust van zee af. Hier nodigde de raad der ouden hem uit de jongeren toe te spreken over de Griekse wijsheid. Hij profiteerde daar natuurlijk van en hij richtte een bond op van driehonderd jongeren op om zo de macht in handen te krijgen. Pythagoras stichtte een school, of eigenlijk was het meer een sekte. Daar werden vreemde regels in acht genomen:
· Geen tuinbonen eten
· Geen brood eten
· Geen vuur met ijzer opporren
· Geen witte haan aanraken
· Geen hart eten
· Niet in een spiegel naast het licht kijken
· Als je van je bed opstaat niet de indruk van je lichaam achterlaten
· Als je de pot van het vuur haalt de as doorporren
Het lijken misschien hele onzinnige regels, maar er zat een verhaal achter. “Geen brood breken” kan je bijvoorbeeld uitleggen als: “niet van je vrienden scheiden”. En waarom haatte Pythagoras tuinbonen? Dit is ook weer zo'n rare regel. Aristoteles heeft gezegd dat dit was omdat ze zo op het mannelijk geslachtsorgaan lijken. Maar volgens anderen was het omdat hij al sinds zijn kindertijd allergisch was. Slechts enkele personen werden bij hem toegelaten. Zelfs zijn leerlingen mochten hem pas na vijf jaar studie zien. Pythagoras maakte van zijn leerlingen twee groepen: de mathematici, degenen aan wie het voorbehouden is de kennis deelmachtig te worden, en de acousmatici, degenen die alleen maar mochten toebehoren.
Om de beide groepen beter te kunnen onderscheiden, bedacht hij een speciale taal die alleen te begrijpen was voor de leerlingen van bepaalde groepen. Het waren getalcodes, symbolische boodschappen en andere dingen die erop gericht waren om de macht te bewaren.
Weggejaagd door de dorpelingen, die geen behoefte hadden aan veranderingen omdat ze tevreden waren, ging Pythagoras naar de tempel van de Muzen in Metapontum, en stierf daar een vrijwillige hongerdood omdat hij geen zin meer had om te leven.
Bewijs van de stelling van Pythagoras:
We zullen nu even uitleggen hoe de stelling van Pythagoras werkt. Om de stelling van Pythagoras te kunnen bewijzen, nemen we eerst een rechtbenige driehoek.
Deze driehoek kopiëren we drie keer, zodat we 4 gelijke driehoeken hebben.
Dan draaien we de driehoeken respectievelijk 0, 90, 180 en 270 graden.
Deze 4 driehoeken passen we zo in elkaar dat het een vierkant wordt.
Als de oppervlakte van het hele figuur willen berekenen, kunnen we dat op twee manieren doen:
· c × c = c2
· de oppervlakte van 4 driehoekjes + de oppervlakte van het witte vierkantje in het midden: de oppervlakte van 1 driehoekje is: 1/2 × a × b, maar we moeten het van 4 driehoekjes weten: dus 4 × 1/2 × a × b = 2ab. De oppervlakte van het witte vierkantje in het midden: (a-b) × (a-b) = (a-b)2 Dus de totale oppervlakte wordt dan: 2ab - (a-b)2
De ene oppervlakte is natuurlijk even groot als de andere oppervlakte, dus:
c2 = 2ab - (a-b)2
Als we dit uitwerken krijgen we:
· c2 = 2ab + (a-b)2
· c2 = 2ab + (a-b)(a-b)
· c2 = 2ab + a2 - ab - ab + b2
· c2 = 2ab + a2 - 2ab + b2
· c2 = a2 + 2ab - 2ab + b2
· c2 = a2 + b2
Thales van Milete leefde van 652 tot ongeveer 545 v. Chr.
Hij wordt algemeen beschouwd als eerste Europese wijsgeer en sinds Aristoteles als eerste natuurfilosoof. Van Thales en de andere eerste filosofen is weinig bekend. Wat er nu bekend is, is door de latere schrijvers bekend gemaakt met als belangrijkste persoon. Aristoteles. Deze heeft de eerste filosofen ook 'voorsocratici' als naam gegeven.
De voorsocratici zoeken in hun denkende vragen naar de oorsprong en het wezen van de wereld. Hiervoor moet naar hun opvatting een uniforme grond bestaan. Zo ziet Thales op de vraag naar de oorsprong van de wereld water als de stof die de wereld heeft voortgebracht, het is het ene waaruit al het andere voortkomt. Volgens Thales blijft bij elke verandering van de verschijnselen, water het gelijke en onveranderlijke, zodat alle veranderingen, al het overige zijnde daaruit kan worden verklaard.
Stelling van Thales
Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
Bewijs: zie figuur 1.
figuur 1 In deze figuur hebben we
- driehoek ABC waarvan hoek B recht is;
- m is de middelloodlijn van AB, n is de middelloodlijn van CB.
Omdat m evenwijdig is aan CB en door het midden gaat van AB, gaat m ook door het midden M van AC (stelling van de middenparallel; zie Opmerking).
Hetzelfde geldt voor de lijn n.
Voor het punt M geldt dus MA = MB en ook MC = MB.
M ligt dus op gelijke afstanden van A, B, C.
M is dus middelpunt van de omgeschreven cirkel driehoek ABC. ¨
Opmerking
Deze stelling is genoemd naar Thales van Milete (624-547 vC). Vermoedelijk is de omgekeerde stelling de oudste ("netjes") bewezen meetkunde-stelling.
figuur 2 De stelling die in het bewijs is aangegeven met "stelling van de middenparallel", wordt soms ook wel naar Thales genoemd, maar dan in een wat algemenere vorm:
Stelling
Evenwijdige lijnen snijden van twee lijnen evenredige stukken af. (zie figuur 2).
Stelling - omgekeerde stelling van Thales
Van een driehoek ABC waarvan AC de middellijn is van de omgeschreven cirkel, is hoek B recht
of ook wel
Een hoek beschreven in een halve cirkel is recht.
Bewijs: zie figuur 3.
figuur 3 In deze figuur is M het midden van het lijnstuk AC.
M is het middelpunt van de cirkel met straal MA.
Het punt B is een punt van deze cirkel. We zullen nu bewijzen dat hoek B een rechte hoek is.
Omdat MA = MB zijn de hoeken MAB en MBA gelijk.
Omdat MC = MB, zijn de hoeken MBC en MCB gelijk.
De som van deze hoeken is gelijk aan 180º. De hoeken MBA en MBC zijn dus samen 90º.
Met andere woorden, hoek B is een rechte hoek.¨
Opmerking
Deze laatste stelling komt voor als Propositie 31 in Boek III van de Elementen van Euclides van Alexandrië (~325 - ~265 vC):
Propositie 31
In een cirkel is de hoek in een halven cirkel een rechte, die in een grooter segment kleiner dan een rechte, die in een kleiner segment grooter dan een rechte. En ook is de hoek van het grootere segment grooter dan een rechte, de hoek van het kleinere segment kleiner dan een rechte.
Thales van Milete leefde van 652 tot ongeveer 545 v. Chr.
Hij wordt algemeen beschouwd als eerste Europese wijsgeer en sinds Aristoteles als eerste natuurfilosoof. Van Thales en de andere eerste filosofen is weinig bekend. Wat er nu bekend is, is door de latere schrijvers bekend gemaakt met als belangrijkste persoon. Aristoteles. Deze heeft de eerste filosofen ook 'voorsocratici' als naam gegeven.
De voorsocratici zoeken in hun denkende vragen naar de oorsprong en het wezen van de wereld. Hiervoor moet naar hun opvatting een uniforme grond bestaan. Zo ziet Thales op de vraag naar de oorsprong van de wereld water als de stof die de wereld heeft voortgebracht, het is het ene waaruit al het andere voortkomt. Volgens Thales blijft bij elke verandering van de verschijnselen, water het gelijke en onveranderlijke, zodat alle veranderingen, al het overige zijnde daaruit kan worden verklaard.
Stelling van Thales
Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
Bewijs: zie figuur 1.
figuur 1 In deze figuur hebben we
- driehoek ABC waarvan hoek B recht is;
- m is de middelloodlijn van AB, n is de middelloodlijn van CB.
Omdat m evenwijdig is aan CB en door het midden gaat van AB, gaat m ook door het midden M van AC (stelling van de middenparallel; zie Opmerking).
Hetzelfde geldt voor de lijn n.
Voor het punt M geldt dus MA = MB en ook MC = MB.
M ligt dus op gelijke afstanden van A, B, C.
M is dus middelpunt van de omgeschreven cirkel driehoek ABC. ¨
Opmerking
Deze stelling is genoemd naar Thales van Milete (624-547 vC). Vermoedelijk is de omgekeerde stelling de oudste ("netjes") bewezen meetkunde-stelling.
figuur 2 De stelling die in het bewijs is aangegeven met "stelling van de middenparallel", wordt soms ook wel naar Thales genoemd, maar dan in een wat algemenere vorm:
Stelling
Evenwijdige lijnen snijden van twee lijnen evenredige stukken af. (zie figuur 2).
Stelling - omgekeerde stelling van Thales
Van een driehoek ABC waarvan AC de middellijn is van de omgeschreven cirkel, is hoek B recht
of ook wel
Een hoek beschreven in een halve cirkel is recht.
Bewijs: zie figuur 3.
figuur 3 In deze figuur is M het midden van het lijnstuk AC.
M is het middelpunt van de cirkel met straal MA.
Het punt B is een punt van deze cirkel. We zullen nu bewijzen dat hoek B een rechte hoek is.
Omdat MA = MB zijn de hoeken MAB en MBA gelijk.
Omdat MC = MB, zijn de hoeken MBC en MCB gelijk.
De som van deze hoeken is gelijk aan 180º. De hoeken MBA en MBC zijn dus samen 90º.
Met andere woorden, hoek B is een rechte hoek.¨
Opmerking
Deze laatste stelling komt voor als Propositie 31 in Boek III van de Elementen van Euclides van Alexandrië (~325 - ~265 vC):
Propositie 31
In een cirkel is de hoek in een halven cirkel een rechte, die in een grooter segment kleiner dan een rechte, die in een kleiner segment grooter dan een rechte. En ook is de hoek van het grootere segment grooter dan een rechte, de hoek van het kleinere segment kleiner dan een rechte.
In deze conclusie geven we antwoord op de hoofdvraag. Tevens zullen we een nawoord schrijven. Onze hoofdvraag luidde:
‘Wat heeft de Griekse Wiskunde voor de geschiedenis betekend en welke wiskundigen speelden hierbij een rol?’
De Griekse wiskunde heeft veel betekend voor de wiskunde. Denk maar aan de stelling van Pythagoras, de wet van Archimedes en de elementen van Euclides. De wiskundigen die een rol speelden in de Griekse wiskunde zijn:
Pythagoras: de stelling van Pythagoras : c2 = a2 + b2
Euxodus; de belangrijkste formule is:
Euclides: de elementen
Thales: de stelling van Thales
Archimedes: de wet van Archimedes
Aristoteles: dialogen uit de oudheid werden door hem geschreven.
Wij hebben U anwoord gegeven op de hoofdvraag, waarbij ons profielwerkstuk als klaar kan worden beschouwd. We vonden het leuk om aan zo’n grote opdracht te werken en we hebben er dan ook veel tijd ingestoken. We zijn te weten gekomen dat niet alleen Pythagoras en Archimedes een grote bijdrage aan de wiskunde hebben geleverd, maar er nog veel meer Grieken belangrijk zijn geweest.
REACTIES
1 seconde geleden
L.
L.
hoi, veel informatie, oed gedaan!!!! I LOVE YOU
20 jaar geleden
AntwoordenS.
S.
doe normaal zo veel info da is kei goe!!
13 jaar geleden
Antwoorden