Gulden Snede

1. Wat is de Gulden Snede?

De Gulden Snede is een getal die zorgt voor een verhouding die een beeld weergeeft wat lijkt alsof alles “klopt”. Als je dit na gaat rekenen is dit ook zo, maar hierop kom ik later terug.
De Grieken ontwierpen al gebouwen gebaseerd op de Gulden Snede. Later kwam de Gulden Snede ook terug in de Renaissance en ook vandaag de dag zijn er nog genoeg kunstenaars en architecten die de Gulden Snede toepassen.
De wiskunde eigenschappen van de Gulden Snede zijn hieronder op een rijtje gezet:
1. De Gulden Snede leidt tot een gelijkvormige vlakverdeling
2. De Gulden Snede blijkt voor te komen in figuren met vijfvoudige symmetrie.
3. De Gulden Snede is de verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonnaci.
4. De Gulden Snede heeft een unieke representatie als voortgezette breuk.
De Gulden Snede is dus een getal dat met een formule uitgerekend kan worden. De Gulden Snede wordt aangegeven met de Griekse letter φ(Phi). Deze letter staat gelijk aan het getal 1.61803398875. Dit getal wordt ook later nog weer uitgelegd.

2. De mens als duimstok

Tijdens de Renaissance is de bloei van het natuurwetenschappelijk onderzoek 1 van de belangrijkste kenmerken geworden. Al vanaf de prehistorie heeft de mens zich beziggehouden met vormen en vormgeving. Van daaruit is het zo doorgegroeid dat de mens het ideale beeld zocht in de natuur. Door alle volken van de oudheid heen werd, onafhankelijk van elkaar, een maatsysteem gehanteerd dat gebaseerd was op het menselijk lichaam.

3. Wat heeft de Gulden Snede voor invloed op de kunst?

De Gulden Snede speelt een belangrijke rol in de kunst. Neem als voorbeeld de oude Egyptenaren, zij bouwden vroeger een piramide als graf voor hun farao, dit duurde meestal een aantal jaren. De meeste piramides zijn door de loop der jaren al verwoest, maar bij sommige is nog wiskundig onderzoek kunnen doen. Uit dat onderzoek bleek dat er bij sommige van de piramides gebruik werd gemaakt van de Gulden Snede. Één van deze piramides is de grote piramide is Gizeh, deze werd rond 2500 voor Christus. Bij deze piramide zijn de meningen van de wetenschappers over verdeeld.
Een ander voorbeeld is het Parthenon. De Griek Euclides heeft hierbij zeker gebruik gemaakt van de Gulden Snede, want hierover heeft hij geschreven in de geschriften. De Gulden Snede is door de Grieken vaak toegepast in hun bouwwerken en steenhouwwerk. Het Parthenon is een oude Griekse tempel. Er is nu niet veel meer van over, op een ruïne na. Deze tempel is ontworpen door Callicrates en gemaakt onder leiding van Phidias (hiernaar is dan ook Phi naar vernoemd) de Gulden Snede is hier op verschillende plaatsen terug te vinden.
Maar niet alleen de Grieken hebben de Gulden Snede ontdekt, er zijn nog veel meer kunstenaars geweest die de Gulden Snede hebben gebruikt voor de verhoudingen in hun kunst. En dit dan voornamelijk in de Renaissance, omdat er toen veel aandacht aan de details werd besteed, dus ook aan de verhouding. In de Renaissance zie je veel horizontale lijnen in de gebouwen waardoor ze er massief en gesloten uitzien.
Na de Renaissance kwam er een nieuwe stroming in de kunst, de Romantiek. In de Romantiek kreeg de Gulden Snede pas echt haar naam. (1835) Men kon de Gulden Snede overal in herkennen. Er zijn dan ook kunstenaars die hun inspiratie opdeden aan de Gulden Snede. Bij de voorgaande kunstenaars weten we niet of ze bewust de Gulden Snede hebben gebruikt of dat dit bij toeval is gebeurd. Daarentegen heeft Le Corbusier, ofwel Charles Edouard Jeanneret, weldegelijk bewust gekozen voor het gebruik van de Gulden Snede. Hij heft het ‘modulair systeem’ontworpen, gebaseerd op de maten van het menselijk lichaam in de Gulden Snede. Volgens hem zou de navel het menselijk lichaam in tweeën splitsen die dan weer als verhouding de Gulden Snede hebben.

4. Tempietto van Bramante

Tot de 15e eeuw was er geen enkel gebouw, dat meer aan de Gulden Snede voldeed dan dit tempeltje. Het stond in de kloostertuin van de San Pietro in Rome. Het is rond 1500 gebouwd op de plek waar Petrus gekruisigd is.
De naam van dit tempeltje is ‘De Tempietto’. Als we gaan kijken naar de Gulden Snede is dit gebouw is het goed te zien dat het op verschillende punten is toegepast:
De hoogte, breedte en diepte zijn perfect op elkaar afgestemd. De diepte en breedte zijn gelijk omdat het tempeltje rond is. Maar als je goed kijkt naa de hoogte in verhouding tot de breedte zie je op het eerste oog dat het gewoon klopt.
Als je verder gaat kijken zie je dat door de verhouden 2:3:5 van de hoogte het er heel mooi uitziet. Het koepeltje is het laagste en zo wordt het van boven naar beneden steeds iets groter, wat ook weer een vorm is van piramidebouw.
Doordat de zuilen Dorisch zijn, zorgt dit er al voor dat het strak oogt. De zuilen staan op een kleine verhoging waardoor ze even hoog staan als de beneden verdieping en ze even lang zijn.

5. De Gulden Snede in de schilderkunst

Maar uiteraard is de Gulden Snede niet alleen terug te vinden in de architectuur, ook in de schilderkunst is vaak de Gulden Snede terug te vinden. Volgens wetenschappers is dit niet altijd expres gedaan, het blijkt ook een soort natuurlijke voorkeur te zijn. Dit is bijvoorbeeld zo in de Mona Lisa(rechts hieronder) en in de Nachtwacht(links hieronder). Hier is goed de ‘Gulden Snede-verhouding’ te zien(net iets over de helft).

Maar 1 van de bekendste ‘Gulden snede-verhoudingen’ is toch wel die van Leonardo da Vinci. Leonardo Da Vinci heeft deze tekening gebaseerd op Romeinse militair en architect Marcus Vitruvius Pollio, hij is vooral bekend doordat hij de auteur is van een standaardwerk over de bouwkunst. Leonardo Da Vinci heeft zijn stellingen (dat zowel lengte, breedte, hoogte en de diepte van een gebouw de menselijke maat ofwel de verhoudingen van het menselijk lichaam dienen te weerspiegelen) overgenomen in deze tekening genaamd Uomini universali.
Uit deze tekening blijkt dat het menselijk lichaam zowel in een cirkel als in een vierkant past.
De verhoudingen van de gulden snede zijn hier duidelijk te zien: de afstand tussen het hoofd en het middel verhoudt zich tot de afstand van het midden tot de voeten zoals deze zich verhoudt tot de totale lichaamslengte. Voor de renaissance, toen de mens als maat van alle dingen werd opgevat, was deze weergave van een getalsverhouding typerend.

De tekening hieronder wijkt enigszins af van die van Leonardo da Vinci, deze heeft namelijk de tekening zo gemaakt dat de mens in zowel een cirkel als in een vierkant staat (Homo ad circulem et quadratum). Hier staat de man in een pentragram.

Maar Leonardo da Vinci heeft vraagtekens gezet bij deze tekening. Vooral bij de lente van de voet, die volgens de metrologische conventie van de antieken 1/6 van de lichaamshoofte bedraagt. Hij stelde zelf de maat namelijk op 1/7 en liet daarmee de conventies van Vitrivius twaalftallige stelsel los. Voor het middenpunt naam hij voor de ‘homo ad circulum’ de navel maar voor de ‘homo ad quadratum’de schaamstreek.
De Vitruviusman van Leonarde wordt vaak gebruikt om de Gulden Snede aan te duiden, er is geen bewijs dat Leonardo zich ook daadwerkelijk bewust was van de relatie tussen het pentagon/pentagram en de gulden snede. De pentagramverwijzing is mogelijkerwijs een verwarring met de pentagram-man van Agrippa.

6. Piet Mondriaan

Mondriaans gebruik van weinig kleur en zijn op het eerste oog eenvoudig lijkende schilderijen bewijzen zelf als je beter kijkt het tegendeel. Bij 1 van zijn sterkste, meest uitdagende werken is dan ook Fox trot A.
In dit schilderij is geen symmetrie, maar een evenwicht en wel het evenwicht van de Gulden Snede. Het effect wordt gelegd door drie rechte zwarte lijnen op een witte ondergrond. Het lijkt een zo simpel schilderwerk, maar hoe langer je kijkt hoe complexer het werk wordt. Het lijkt namelijk of de drie zwarte lijnen onder de rand van het schilderij door lopen. Dit doordat ze deze rand snijden. Maar ook het feit dat de lijnen niet alle drie even breed zijn zet je aan het denken.
Maar als je dan beter kijkt zie je dat het evenwicht wordt bereikt door o.a. de rechter verticale lijn, die de diagonale randen in tweeën deelt.
Doordat er geen middelpunt in dit schilderij is, verzwakt het ook niet naar buiten toe, wat weer zorgt voor een soort speciaals effect als je er beter naar kijkt.

Charles Bouleau heeft de verborgen interne structuur van vele tientallen schilderijen vanaf de Middeleeuwen tot heden bestudeerd.
In zijn boek 'Charpentes, la géométrie secrète des peintres' (Edition du Seuil, 1963) besteedt hij op de laatste bladzijden ook aandacht aan Mondriaan. Bouleau heeft drie composities van Mondriaan onderzocht op de gulden-snede-verhouding. Ik neem hieruit enkele afbeeldingen over.

Bij Tableau 1 construeert Bouleau in het vierkant ABCD (zie figuur 1) op de diagonaal AC het punt S zodat SC : AS = AS : AC. Met AS als zijde construeert hij een nieuw vierkant en past daar dezelfde verdeling toe op de diagonaal. Na 45 ° draaien en in elkaar schuiven vindt hij de rechts afgebeelde constructie. Hij merkt nog op dat de diktes van de zwarte lijnen zich verhouden als 3, 4 en 5

Het tweede doek dat hij onderzoekt geeft Bouleau de naam Compositie met twee lijnen, dat in het Stedelijk Museum in Amsterdam zou moeten hangen. Dit schilderij komt echter niet voor in de grote overzichtscatalogus van 1994. Vermoedelijk bedoelt Bouleau Compositie met twee zwarte lijnen, 1931, dat wel in Amsterdam hangt.
Bouleau heeft het, heel onzorgvuldig, in spiegelbeeld afgedrukt.
Het doek wordt gevormd door vierkant ABCD. Hierin tekent Bouleau de middenparallellen (zie figuur 2). Het lijnstuk AE is het grootste segment van een gulden-snede-verhouding, het kleinste is EF. Hij construeert een vierkant met zijde A'F met de lengte A'E' ( = AE) + E'F. Als we de twee vierkanten over elkaar schuiven vinden we volgens Bouleau het ontwerp van Mondriaans compositie.
Hij suggereert dat Mondriaan ook zo gewerkt heeft, want in zijn uitleg zegt hij: "Om het tweede vierkant in het eerste te plaatsen legt Mondriaan de gulden sneden E' en E'' op de diagonalen van het grote vierkant (....). Hij heeft dan zijn schema vastgelegd.".
Een grote vergissing!

Het derde schilderij is de Broadway Boogie Woogie.
Door op het vierkant zowel horizontaal als verticaal zes maal achter elkaar de gulden-snede verhouding uit te zetten (Phi) vindt hij een raster dat de basis zou kunnen zijn voor deze compositie, het laatste voltooide werk van Mondriaan (zie figuur 3).

Het onderzoek van Bouleau getuigt van veel volharding en inventiviteit. Het kan ons attenderen op verborgen, mathematische schoonheid in het kunstwerk. Het bedenkelijke aan zo'n studie is dat de suggestie gewekt wordt, dat de kunstenaars zelf hun werk ook zo geconstrueerd hebben.
Mondriaan noemt zijn werk composities en niet constructies, en dat is veelzeggend.

7. Fibonnaci’s reeks

Fibonacci’s reeks staat ook wel bekend als “het konijntjesprobleem”. Dit is voor het eerst aan bod gekomen toen de wiskundige Leonardo Pisano in 1202 een boek schreef ( Liber Abaci ofwel Boek van het Telraam), waarin hij allerlei wiskundige problemen oplost waaronder dus het konijntjesprobleem.

Dit gaat als volgt:
Stel dat een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar op de wereld zet, en dat na 2 maanden ook dit paar geslachtsrijp is en ook hun elke maand een jong paar voortbrengen..
Als we ervan uitgaan dat ze allemaal blijven leven krijg je de volgende tabel:

Maand Aantal paren
1 1
2 1
3 2
4 (1+2) dus 3
5 (2+3) dus 5
6 (3+5) dus 8
7 (5+8) dus 13
8 (8+13) dus 21
9 (13+21) dus 34
10 (21+34) dus 55

Er is een heel simpel verband hierin te leggen, iedere maand is het namelijk zo dat het aantal paren de som is van de voorgaande 2. Dit kun je al zien in de bovenstaande tabel, de schuinsgedrukte optellingen zijn telkens de twee voorgaande getallen en de som van deze twee getallen maakt dan iedere keer het volgende antwoord.

Als je gaat kijken naar de getallen die je optelt tijdens de voorgaande reeks is het volgende verband met de Gulden Snede te vinden:

Maand Aantal paren
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5 5:3= 1,66667
6 8 8:5= 1,60000
7 13 13:8= 1,62500
8 21 21:13= 1,61538
9 34 34:21= 1,61905
10 55 55:34= 1,61765

De hierboven dikgedrukte getallen zijn opvallend omdat de grote Phi op 5 decimalen afgerond 1,61803 en hoe verder deze reeks van Fibonnaci gevolgd wordt des te meer gaat het kloppen met de grote Phi.

8. De Gulden Lijn

Als je het lijnstuk hierboven wilt verdelen op zo’n manier dat je de Gulden Snede zult verkrijgen moet op de volgende manier:

Ofwel:

De verhouding tussen a en b wordt aangeduid met φ (Phi).
Na het voorgaande volgt φ=1+1/ φ, oftewel de vierkantsvergelijking φ² - φ - 1 = 0, hieruit komt de positieve oplossing;

(naast de positieve oplossing is er ook altijd de negatieve oplossing en wel door -1/ φ)

9. De Gulden Rechthoek

Maar niet alleen door middel van een lijnstuk kun je de verhouding φ construeren, het kan ook door middel van een vierkant.
We nemen het vierkant ABCD. Door het midden van dit vierkant doen we een verticale lijn (EF). Als je nu een cirkel tekent (met je passer) met als middelpunt E en als straal EC dan komt er een 7e punt bij die het verlengde van lijn AEB is, hierop komt punt G. Dit is het snijpunt van je passer.

Nu lijkt te gelden:

Als je dan verder rekent krijg je het onderstaande: