Verpakkingen

Inhoud: De algemene formule van de inhoud van een piramide geldt als volgt: 1/3 * oppervlakte grondvlak * hoogte. Met de hoogte bedoelen we hier d. Deze staat hierboven beschreven en in het tekeningetje getekend hoe hij loopt. d is weer te berekenen met de appendix: let wel op dat in dit geval de basis x is en de schuine lijn is h. De inhoud wordt dus: 1/3 * x * x * d, dus 1/3x2d. tetraëder

Opp: 2xh Inh: 1/6xhd

We noemen de ribben van het lichaam (gelijkzijdige driehoeken, maar dat hebben we niet zo getekend omdat het dan te onduidelijk werd) x, we noemen de lijn in het grondvlak die van een punt van de gelijkzijdige driehoek naar het midden van de tegenoverliggende ribbe (x) loopt h, dit is de hoogte ven de gelijkzijdige driehoek, en als laatste noemen we de denkbeeldige lijn die loopt van het midden van het grondvlak (ook het midden van h) naar de top van de tetraëder d.

Oppervlakte: We moeten wederom de oppervlaktes van de 4 vlakken bij elkaar optellen. Aangezien alle vlakken gelijke gelijkzijdige driehoeken zijn is het niet zo moeilijk: ½ * basis * hoogte dus 4 * ½ * x * h Dus de oppervlakte van de hele tetraëder is dus: 2xh

Inhoud: De inhoud wordt bij een piramide, wat ook staat bij de berekening van de inhoud van de 4-zijdige piramide, met de formule: 1/3 * oppervlakte grondvlak * hoogte. De oppervlakte van het grondvlak hebben we hierboven al berekend: ½xh. De hoogte hebben we d genoemd, voor de berekening van h en d: zie de berekening van de inhoud van de 4-zijdige piramide en de appendix De formule wordt dus: 1/3 * ½ * x * h * d. Dit wordt: 1/6xhd.

Cilinder Opp: 2pr2 + 2prh Inh: pr2h

De hoogte van de cilinder noemen we h, en de straal r. de straal loopt vanaf het midden van de cirkelrechtstreeks naar de buitenkant van de cilinder.

Oppervlakte: Voor de oppervlakte moeten we de boven- en de onderkant (twee maal dezelfde cirkel) van de cilinder optellen bij de oppervlakte van de mantel: als je de cilinder in de lengte op h doorsnijdt en daarna de mantel uitvouwt, krijg je een rechthoek, en de oppervlakte van deze rechthoek uitrekenen is dan niet meer zo moeilijk. De breedte van de rechthoek is h, de lengte van de rechthoek is de omtrek van de cirkel aan de onder- en bovenkant van de cilinder. De omtrek van een cirkel bereken je met de formule: 2pr. De oppervlakte van de mantel wordt dan: h * 2pr. De oppervlakte van de onder- en bovenkant van de cilinder bereken je met de formule: pr2. Je hebt twee cirkels dus: 2pr2. De hele oppervlakte wordt dan: 2pr2 + 2prh.

Inhoud: De inhoud van een cilinder bereken je met dezelfde formule als die van de prisma: oppervlakte grondvlak * hoogte. De oppervlakte van het grondvlak hebben we hierboven al gegeven: pr2. De hoogte blijft gewoon h. De formule voor de inhoud wordt dus: pr2 * h dus: pr2h.

Kegel

Opp: pr2 + pry Inh: 1/3pr2h
De kegel heeft niet zoveel ribben die je moet benoemen. Allereerst is er het grondvlak: een cirkel, waarvan we de straal r noemen. De schuin lopende lijn van het grondvlak naar de top noemen we y, dit is de ‘beschrijvende lijn’. De hoogte (vanaf het beginpunt van de straal tot aan de top) noemen we h.

Oppervlakte: De mantel, als je hem openknipt en uitrolt, is een onvolledige cirkel. Volgens de stelling van Pythagoras is y = Ö( r2 + h2). De formule van de oppervlakte van de mantel is: pry. De oppervlakte van het grondvlak is: pr2. Samen is dat dus: pr2 + pry.

Inhoud: Weer geldt: inhoud = 1/3 * oppervlakte grondvlak * hoogte. Dus: 1/3 * pr2 * h wordt 1/3pr2h. De formules hierboven hebben we met het ‘polytechnisch zakboekje’ bepaald.

Dit wil je ook lezen:

Linda (27) werkt in de zorg: ‘Hier kun je het verschil maken’

Bol Opp: 4pr2 Inh: 4/3pr3

Bij de bol zijn er nog minder ‘lijnen’ die je kunt benoemen, namelijk maar één, en dat is de straal, die we natuurlijk weer r noemen. Dat maakt dat de formule er ook niet zo ingewikkeld uitziet.

Oppervlakte: De formule van de oppervlakte wordt dan ook: 4pr2.

Inhoud: De algemene formule van de inhoud van een bol ziet er als volgt uit: 4/3pr3. Met deze formules heeft het ‘polytechnisch zakboekje’ ons wat geholpen.

Opdracht 1 + 2

Afgeknotte cirkelkegel
Groene Zwitserse kaas
De volgende waarden heb ik allemaal opgemeten. R = straal grondvlak = 3,25 cm
r = straal bovenvlak = 2,5 cm
s = beschrijvende lijn = 7,5 cm
h = hoogte = 7 cm
De formules van de inhoud en oppervlakte van een afgeknotte cirkelkegel heb ik uit het polytechnisch zakboekje gehaald. De oppervlaktes heb ik eerst bij elkaar opgeteld en vervolgens bij elkaar opgeteld. Hoe economisch is deze verpakking?

Halve bol
Paturain kruidenkaas
r = straal = 4cm
Deze verpakking is een halve bol. Hiervoor heb ik dus de formule voor een bol *0,5 nodig. Ik heb voor de oppervlakte apart de oppervlakte voor het deksel uitgerekend. Die heb ik weer bij elkaar opgeteld.

Hoe economisch is deze verpakking?

Afgeknotte piramide
Goudkuipje

h = hoogte = 3cm
s = beschrijvende lijn = 3,5cm
dg = diameter grondvlak = 5,5cm
db = diameter bovenvlak = 6,5cm
rg = straal grondvlak = 2,75cm
rb = straal bovenvlak = 3,25cm
Wat was de hoogte als de piramide niet afgeknot was geweest? 3,25-2,75=0,5cm stijging per 3cm. 2,75: 0,5= 5,5
5,5*3=16,5 cm hoger. 16,5+3=19,5cm
Inhoud van de totale piramide: Inhoud van het gedeelte dat afgeknot is: Inhoud van goudkuipje is dan 275-166=109cm3. Hoe economisch is deze verpakking?

Combinatie van kegel en cilinder
fles coca cola
Ik heb de volgende maten gemeten : o = omtrek = 29,5cm
d = diameter = 9cm
r = straal = 4,5cm
ht = totale hoogte = 32cm
hc = hoogte cilinder = 21cm
hk = hoogte kegel = 11cm
s = beschrijvende lijn = 8cm
Ik heb de fles verdeeld in een cilinder onder en een kegel boven. Daarom heb ik veel losse berekeningen moeten maken, die ik later weer bij elkaar opgeteld heb.

De formules heb ik niet meer uitgeschreven, maar meteen ingevuld, omdat anders de formules te lang werden. Hoe economisch is deze verpakking?

Combinatie van piramide en cilinder
Maggi saus
De volgende maten heb ik gemeten: dg = diameter grondvlak = 4,5cm
rg = straal grondvlak = 2,25cm
db = diameter bovenkant piramide = 6cm
rb = straal bovenkant piramide = 3cm
dc = diameter cilinder = 2,5cm
rc = straal cilinder = 1,25cm
hc = hoogte cilinder = 5,5cm
hp = hoogte piramide = 8,5cm
s = beschrijvende lijn piramide = 9,5cm
3-2,25=0,75cm 0,75 in 8,5 cm Nog 2,25cm te gaan
2,25:0,75=3 3*8,5=25.5cm erbij
hoogte totale piramide=25,5+8,5=34cm
Ik heb het maggiflesje opgedeeld in een afgeknotte piramide en een cilinder. Die bereken ik afzonderlijk en tel ik daarna bij elkaar op.

Hoe economisch is deze verpakking?

Dit wil je ook lezen:

Simpel stappenplan voor betere wachtwoorden

cilinder met zeshoekig grondvlak
langnese bijenhoning

x = 3cm
r = straal = 2,25cm
h = hoogte = 8,5cm

Om de oppervlakte van 1 driehoek te bepalen, reken ik eerst de hoogte van de driehoek uit. Hiermee kan ik de oppervlakte berekenen. Hiermee bereken ik de oppervlakte van de zijkanten. Hoe economisch is deze verpakking?

Prisma
Toblerone

x = 6 cm
z = 30,6 cm
h = 5,2
Oppervlakte = xh + 3zy = 6 * 5,2 + 30,6 * 6 = 370,8 cm2 Inhoud= ½xhz = ½ * 6 * 5,2 * 30,6 = 477,36 cm3
Oppervlakte/inhoud = 0,78

Cilinder
Caotina-bus (Zwitserse chocolademelk)

h = 17,5
r = 4,8
Oppervlakte = 2pr2 + 2prh = 2p* 4,82 + 2p * 4,8 * 17,5 = 672,55 cm2
Inhoud = pr2h = p * 4,82 * 17,5 = 1266,70 cm3
Oppervlakte/inhoud = 0,53

Poedersuikerbus

r = 3 cm
h = 19,5 cm

Oppervlakte = 2pr2 + 2prh = 2p* 32 + 2p * 3 * 19,5 = 424,12 cm2
Inhoud = pr2h = p * 32 * 19,5 = 551,35 cm3

Oppervlakte/inhoud = 0,77

Tetraëder
Spelling-piramide

x = 11,5
h = 8,9
d = ½hÖ(3) (zie appendix)

Oppervlakte = 2xh = 2 * 11,5 * 8,9 = 204,70 cm2
Inhoud = 1/6xhd = 1/6 * 11,5 * 8,9 * ½ * 8,9 * Ö(3) = 131,48 cm3
Oppervlakte/inhoud = 1,56

Balk
Tea-for-one doosje

x = 6
y = 6,6
z = 12,2

Oppervlakte = 2xy + 2zy + 2xz = 2 * 6 * 6,6 + 2 * 12,2 * 6,6 + 2 * 6 * 12,2 = 386,64 cm2
Inhoud = xyz = 6 * 6,6 * 12,2 = 483,12 cm3
Oppervlakte/inhoud = 0,80

Pak hagelslag
x = 9,5
y = 16
z = 4

Oppervlakte = 2xy + 2zy + 2xz = 2 * 9,5 * 16 + 2 * 4 * 16 + 2 * 9,5 * 4 = 508,00 cm2
Inhoud = xyz = 9,5 * 16 * 4 = 608,00 cm3
Oppervlakte/inhoud = 0,84

Opdracht 3

Gegeven: Een cilinder heeft een inhoud van 1 liter (1000 cm2). Bereken de hoogte en de diameter waarbij een minimale hoeveelheid blik nodig is.

Uitwerking: De algemene formule voor de inhoud van een cilinder: inhoud cilinder = p*R2*H
De algemene formule voor het berekenen van de oppervlakte: oppervlakte cilinder = 2*p*R2+2*p*R*H

Hierin staat R voor de straal van de cirkel. De straal is de helft van de diameter. H staat voor de hoogte van de cilinder.

Ik weet de inhoud, dus dat kan ik invullen inde formule. 1000cm3 = p*R2*H
Ik kan deze formule uitdrukken in H. H = 1000/(p*R2) Dit kan ik invullen in de formule voor de oppervlakte, zodat ik daarin nog maar 2 onbekende heb. Oppervlakte cilinder = 2*p*R2+2*p*R*(1000)/(p*R2) Dit kan ik invullen in mijn GR, samen met de formule voor de hoogte. Ik kijk dat waar de oppervlakte van de cilinder het kleinst is als hij positief is. Dat is bij de top van deze dalparabool. Dit reken ik precies uit met calc > minimum. Dat is het punt: (553,58;5,419) De X-as geeft de oppervlakte aan, dus die is minimaal 553,58 cm2. De Y-as geeft de straal aan, dus die is 5,419 cm. Ik moet de diameter weten. diameter = 2*R = 2*5,419 = 10,838 cm
De hoogte bereken ik door R in de vullen in de formule voor de hoogte: hoogte = 1000/(p*R2) = 1000/(p*5,419 2) = 10,84 cm Opdracht 4
Tetraëder

Bij welke afmetingen is de oppervlakte zo klein mogelijk? Ik heb in ‘vademecum voor de wiskunde’ de formules voor een tetraëder gevonden: x = een rib van de tetraëder. Deze formules voer ik in op mijn GR. In de tabel zoek ik uit bij welke x de inhoud 1000cm3 is. Als de inhoud 1000cm3 is, is x = 20,397cm. Dan kijk ik wat de oppervlakte is bij dezelfde x. Dan is de oppervlakte 720,6cm2. Er is bij deze inhoud geen andere oppervlakte mogelijk, dus dit is ook meteen het antwoord op de vraag

Prisma

Dit wil je ook lezen:

Linda (27) werkt in de zorg: ‘Hier kun je het verschil maken’

We moeten berekenen wat een zo klein mogelijk oppervlak geeft bij een prisma met een inhoud van 1000 cm3.

Bij de ‘inleiding van de opdrachten’ staan de algemene formules van een prisma:

Oppervlakte = xh + 3 zy
Inhoud = ½ xhz

Bij de appendix staat dat h = ½ xÖ(3)

Inh = ½ xhz
Inh = ½ x * ½ x Ö(3) * z
1000 = ¼ x2 * z * Ö(3) 4000 = x2zÖ(3) z = 4000 / (x2Ö(3)) opp = x * h * 3xz
opp = x * ½ xÖ(3) + 3x * (4000/x2Ö(3)) opp = ½ x2Ö(3) + (3x * 4000) / ( x2Ö(3)) x is ongelijk aan 0 dus: opp = ½ x2Ö(3) + (3 * 4000) / (xÖ(3)) opp = ½ x2Ö(3) + 2000 / (xÖ(3)) Nu invoeren op GR en minimum zoeken:

x = 7,37
opp = 141,05
z = 4000 / (x2Ö(3)) z = 42,54
Conclusie

Hierin willen wij proberen antwoord te geven op de probleemstelling:

Hoe economisch is een verpakking van een bepaalde vorm?

We vergelijken daarom alle verpakkingen door de uit te rekenen hoeveel cm2 oppervlak elke verpakking per cm3 heeft. Hoe hoger dit getal, hoe oneconomischer de verpakking. Een afgeknotte cirkelkegel is heel erg oneconomisch. Met 4,66 is het de hoogste score. Ik denk dat deze vorm vooral wordt gebruikt om de aandacht van klanten te trekken en om er luxe ui te zien. Een halve bol is erg milieuvriendelijk. Met 0,94 is de oppervlakte zelfs kleiner dan de inhoud. Het is alleen geen handige vorm om overal toe te passen. Zo’n verpakking neemt ook meer ruimte in dat een zonder ronde vormen. De afgeknotte piramide zit in de middenmoot. Het is geen overdreven opvallende vorm, maar met 1,44 is het een redelijk economische verpakking. Een fles coca-cola is heel erg economisch. Het is een combinatie van een cilinder en een kegel die makkelijk is bij het inschenken van de cola. Dit lage getal heeft waarschijnlijk ook te maken met de grote inhoud, waardoor de oppervlakte ook in vergelijking kleiner is dan bij een kleinere fles cola. Een maggifles heeft een erg mooie vorm en met 1 als eindresultaat is het ook erg economisch. Met 1,44 is de honingpot redelijk economisch en heet toch een aparte vorm. Een toblerone heeft een goede verpakking, want 0,78 is laag. Prisma’s zijn ook nog redelijk stapelbaar, dus over die vorm is nagedacht. Ook de coatine-bus en de poedersuikerbus, beide cilinders, scoren met 0,53 en 0,77 goed. Alleen lijkt mij deze vorm bij het instapelen erg onhandig. Een spelling-piramide is minder goed. Met 1,56 behoort het tot de slechtere. Een tetraëder is een leuke vorm om te zien,maar niet erg praktisch. Tea-for-one is als balk redelijk economisch met 0,84. het is alleen geen originele vorm en is duidelijk ontworpen voor het praktische gebruik en niet om de originaliteit.

We vergelijken daarom alle verpakkingen door de uit te rekenen hoeveel cm2 oppervlak elke verpakking per cm3 heeft. Hoe hoger dit getal, hoe oneconomischer de verpakking. Een afgeknotte cirkelkegel is heel erg oneconomisch. Met 4,66 is het de hoogste score. Ik denk dat deze vorm vooral wordt gebruikt om de aandacht van klanten te trekken en om er luxe ui te zien. Een halve bol is erg milieuvriendelijk. Met 0,94 is de oppervlakte zelfs kleiner dan de inhoud. Het is alleen geen handige vorm om overal toe te passen. Zo’n verpakking neemt ook meer ruimte in dat een zonder ronde vormen. De afgeknotte piramide zit in de middenmoot. Het is geen overdreven opvallende vorm, maar met 1,44 is het een redelijk economische verpakking. Een fles coca-cola is heel erg economisch. Het is een combinatie van een cilinder en een kegel die makkelijk is bij het inschenken van de cola. Dit lage getal heeft waarschijnlijk ook te maken met de grote inhoud, waardoor de oppervlakte ook in vergelijking kleiner is dan bij een kleinere fles cola. Een maggifles heeft een erg mooie vorm en met 1 als eindresultaat is het ook erg economisch. Met 1,44 is de honingpot redelijk economisch en heet toch een aparte vorm. Een toblerone heeft een goede verpakking, want 0,78 is laag. Prisma’s zijn ook nog redelijk stapelbaar, dus over die vorm is nagedacht. Ook de coatine-bus en de poedersuikerbus, beide cilinders, scoren met 0,53 en 0,77 goed. Alleen lijkt mij deze vorm bij het instapelen erg onhandig. Een spelling-piramide is minder goed. Met 1,56 behoort het tot de slechtere. Een tetraëder is een leuke vorm om te zien,maar niet erg praktisch. Tea-for-one is als balk redelijk economisch met 0,84. het is alleen geen originele vorm en is duidelijk ontworpen voor het praktische gebruik en niet om de originaliteit.

Appendix

Als het voorkomt dat men in het hiernaast staande geval h moet
weten, kan men die als volgt berekenen: y
De schuine hoek ( in dit geval y genoemd) wordt meestal h
berekend met de stelling van Pythagoras, wat het volgende
inhoudt (zie hiernaast) a2 + b2 = c2 . ½ x

Zo kunnen we verder gaan met het eerste geval: c b
We berekenen het eerst bij een gelijkzijdige driehoek: c2 = b2 + a2 a
x2 = h2 + (½x)2 x2 = h2 + ¼x
h2 + ¼x2 = x2 x
h2 = x2 – ¼x2
h2 = ¾x2
h = Ö(¾x2) x
h = Ö(3 * ¼x2) h = Ö(3 (½x)2) h = ½xÖ(3) opp. = basis * hoogte
opp. = ½ * h * x
opp. = ½ * ½xÖ(3) * x
opp. = ¼x2Ö(3)

Nu gaan we het berekenen bij een ongelijkzijdige driehoek: c2 = a2 + b2
y2 = (½x)2 + h2
h2 = y2 – ¼x2 h = Ö(y2 – ¼x2) opp. = ½ * Ö(y2 – ¼x2) * x y
opp. = ½x * Ö(y2 – ¼x2)

x
Bronvermelding & Literatuurlijst
Polytechnisch zakboekje
Vademecum van de wiskunde, Otto Teiler
Tabellen en formules, exacte vakken voor het MTO

Logboek: we hebben er per persoon ongeveer 25 uur aan besteed. In totaal dus 50 uur.