Platonische lichamen

Deelvraag 1: Wat is de definitie van een Platonische Lichaam / Platonisch Veelvlak? De definitie: Een regelmatig veelvlak (Platonisch lichaam) is een veelvlak: • begrensd door congruente regelmatige veelhoeken • waarvan elk hoekpunt behoort tot evenveel zijvlakken
Omdat alle veelhoeken congruent zijn en in alle hoekpunten eenzelfde aantal zijvlakken samenkomen wordt een Platonisch lichaam bepaald door de volgende getallen
Tel het aantal zijden van de veelhoek P

Tel het aantal zijvlakken die samenkomen in één hoekpunt Q
Hier volgen nog enkele voorbeelden om de bovenstaande stellingen duidelijker te maken en meer vorm te geven. Zijvlak driehoek: het aantal zijden van een driehoek is P=3, het aantal zijvlakken die in 1 hoekpunt samenkomen moet minstens 3 zijn en hoogstens 5. Bij Q=3 krijg je een piramide, bij Q=4 krijg je een achtvlak ook wel Octaëder genoemd, bij Q=5 krijg je een twintigvlak dat Isocaëder wordt genoemd. Een ander zijvlak is het vierkant. Bij een vierkant is het aantal zijden P=4. Hier kunnen maar Q=3 aantal zijvlakken samenkomen in elk punt van het veelvlak. Dan ontstaat het zesvlak ofwel de kubus. Een ander zijvlak is het regelmatige vijfhoek met aantal zijden P=5. Hierbij moeten Q=3 zijvlakken samenkomen in een hoekpunt van het veelvlak. Als je jezelf afvraagt waarom bij bovengenoemde voorbeelden maar een bepaald aantal zijvlakken Q mogelijk zijn. Dan komt hier het antwoord. Bij andere aantallen van Q dan vallen de zijvlakken in hetzelfde vlak, en dan is het geen veelvlak meer. Deelvraag 2: Onderzoek welke platonische lichamen bestaan In totaal zijn er vijf regelmatige veelvlakken, ook wel Platonische lichamen genoemd: tetraeder, hexaeder, octaeder, dodecaeder en icosaeder. Tetraeder: Octaeder: Hexaeder: Dodecaeder: Isocaëder: Deelvraag 3: Waarom zijn er maar 5 Platonische Lichamen? De zijvlakken van een platonisch lichaam bestaat uit een aantal regelmatige en congruente veelhoek, waarbij elk hoekpunt altijd dezelfde aantal zijvlakken samen krijgt. Dan hoef je dus maar naar 1 hoekpunt te kijken om te weten hoe het bij alle hoeken zit. In 1 hoekpunt komen in ieder geval minimaal 3 zijvlakken bij elkaar. Je hebt verschillende mogelijkheden: 1. drie ribben per zijvlak: elk zijvlak bestaat dan uit gelijkzijdige driehoeken met uiteraard dan met hoeken van 60. Je kunt 3,4 of 5 zijvlakken per hoekpunt nemen, 6 is onmogelijk. A. met 3 zijvlakken per hoekpunt maakt een tetraëder B. met 4 zijvlakken per hoekpunt maakt een octaëder C. met 5 zijvlakken per hoekpunt maakt een isocaëder

2. vier ribben per hoekpunt: je kunt hier maar drie vlakken per hoekpunt nemen want 360º/4=90º. Dat maakt dan een kubus. 3. vijf ribben per hoekpunt: elk zijvlak is dan een vijfhoek met hoeken van 108º. Omdat 360°/108=3/1/3, kan je alleen 3 vlakken per hoekpunt nemen. Dat vormt dan dodecaëder. 4. zes of meer ribben per hoekpunt: elk zijvlak is dan een zeshoek met hoeken van 120 (of meer) en omdat 360/120° = 3. Hiermee kan je dus niks doen. Dus zoals je ziet zijn er maar 5 mogelijkheden. Deelvraag 4: Wat heeft Euler met Platonische Lichamen te maken? Euler heeft de formule gevonden voor platonische lichamen. Die formule geeft het verband weer tussen het aantal zijvlakken, hoekpunten en het aantal ribben in een platonisch lichaam. • het aantal zijvlakken z van een regelmatig veelvlak • het aantal hoekpunten h van een regelmatig veelvlak • het aantal ribben r van een regelmatig veelvlak
De formule staat bekend als de formule van Euler: h-r+z=2
Bewijs: Gegeven: Schlegeldiagram (platgeslagen kubus)van kubus: Te bewijzen: aantal hoekpunten – aantal ribben + aantal zijvlakken = 2
Bewijs 1: Stel dat je in de kubus 'lijnen' bijtekent: h-(r+1) + (z+1) = 2 h - r - 1+ z+1 = 2 h – r + z = 2
Bewijs 2: Stel dat je in de kubus 'lijnen' weglaat - a (buitenste lijnen) h-(r-1) + (z-1) = 2 h – r +1+z - 1=2 h – r + z = 2 --> b (binnenste lijnen) (h-1)-(r-1)+z=2 h - 1-r+1+z = 2 h – r + z = 2
Conclusie: Er verandert niets. Er blijft een driehoek over op het

einde--> 3-3+2=2 Deelvraag 5: Wat hebben Kepler, Escher en Archimedes met Platonische Lichamen te maken? Johannes Kepler: Kepler was een astronoom, die zich uiteraard bezig hield met de stand van planeten. Hij heeft jarenlang onderzoeken gedaan. Toen Tycho Brahe overleed, degene bij wie hij een jaar lang zijn assistent was, kreeg Kepler de nauwkeurige onderzoeken van Tycho Brahe in handen. Hiermee ging hij verder op onderzoek. Kepler zei dat de structuur van het Copernicaanse planetenstelsel in verband stond met de 5 regelmatige veelvlakken. Zo zou dus de baan van Saturnus buiten een kubus moeten liggen. De baan van Jupiter tussen die kubus en een viervlak. Mars lag in het midden van het viervlak en een twaalfvlak. De baan van de Aarde zou volgens Kepler net gedekt worden door dat twaalfvlak en een twinigvlak. En Venus zou dan weer in dat twintigvlak liggen, terwijl het een achtvlak omsloot, waarbinnen dan de baan van Mercurius ligt. Dit wist hij niet helemaal zeker. Maar hij had berekend dat dit snel waargenomen kon worden wanneer Venus en Mercurius de zon passeren. Zelf kon hij dit niet want hij overleed een jaar voor het moment van waarneming. Anderen hebben dus die waarneming gedaan en ze klopten nog ook. Maurits Cornelis Esher: Esher was geen wiskundige, sterker nog, hij begreep er bijna niks van. Hij kon wel heel goed tekenen. Hij was geïnteresseerd in de structuren van de dingen die hij wilde afbeelden. Escher had een enorme belangstelling voor en verwondering over kristallen. Dit hoeft ons niet te verbazen als we bedenken dat in kristallen mooie symmetrische `abstracte' structuren. In een aantal prenten verwerkte Escher de 5 platonische lichamen, de 26 archimedische lichamen en combinaties hiervan. Hij maakte hiermee prenten met gezichtsbedrog. Hij beelde 2d dingen af die eruit zien als 3d afbeeldingen. Hij zette hier dingen in waaraan dan de mensen kunnen zien dat de afbeelding niet als 3d is bedoeld. Ook tekende hij figuren die je alleen kon tekenen maar niet kon bouwen. Archimedes
Archimedische veelvlakken zijn ontworpen door (de naam zegt het al) Archimedes. Hij gebruikte een regelmatig viervlak. Hij knotte hier stukken van af. Hieruit ontstaan de Archimedische veelvlakken. Eigenschappen van zo’n veelvlak: • Het veelvlak is opgebouwd uit tenminste twee soorten regelmatige veelhoeken. • In elk hoekpunt komt dezelfde groepering van veelhoeken voor • Het is geen prisma of antiprisma. Een voorbeeld van een Archimedisch veelvlak kun je vinden op bijlage 1. Deelvraag 6: Teken de uitslagen van de 5 verschillende Platonische lichamen. Kubus en Tetraëder: Octaëder: Dodecaëder: Icosaëder: Deelvraag 7: Wat is dualiteit bij platonische veelvlakken? Dualiteit is dat bij 2 regelmatige veelvlakken die in elkaar zitten de hoekpunten en de zijvlakken op elkaar ‘vastzitten’. Voorbeeld: Als we een kubus hebben en we doen daar een octaeder in, dat komen de hoekpunten van de octaeder op de middens van de zijvlakken van de kubus. Dat geld ook andersom. Zoiets is dus Dualiteit. We noemen dan de kubus en de octaeder duale figuren. Je kunt ook zeggen dat je de octaeder kunt krijgen door de kubus te dualiseren. En omgekeerd kan dat dan natuurlijk ook. Zo kun je tetraëder dualiseren in een tetraëder, en dodecaëder in een isocaëder. Hieronder zie je dan de gedualiseerde kubus. Een octaeder in een kubus dus.
Deelvraag 8: Wat zijn rhombische veelvlakken? Rhombische veelvlakken hebben een nauw verband met elkaar. Er zijn in totaal drie verschillende rhombische veelvlakken. Deze vormen bestaan uit ruiten van een gelijke vorm en de hoek tussen de vlakken is altijd gelijk. Alleen op de hoekpunten komen een verschillend aantal vlakken samen. Zo heb je het rhomibisch twaalfvlak. Dit is het eerste echte rhombische veelvlak. De kubus hoort er ook bij, maar valt ook onder platonische veelvlakken. De twaalf ruiten van deze figuur maken onderling een hoek van 120º. Dat is precies 1/3 van 360º. De verhouding tussen de breedte en lengte is 1:√2. dit veelvlak is heel handig om te gebruiken om te stapelen. Zo heb je dan ook nog het rhombisch dertigvlak. Dit is het grootste rhombische veelvlak. De ruiten in dit vlak maken een hoek van 144 graden. De verhouding tussen de breedte en lengte van die ruiten zijn 1:1,618 (1:2sin54). Uit dit vlak kun je een isocaëder halen en dodecaëder halen. Conclusies We hebben nu heel wat over soorten veelvlakken. Het speciale aan deze veelvlakken is dat ze bestaan uit steeds dezelfde figuren. Neem bijvoorbeeld een kubus. Elk vlak bestaat uit een vierkant. We hebben geleerd dat je kunt dualiseren. Als je dan de kubus dualiseert krijg je het achtvlak. Dit kan met alle platonische veelvlakken. Er komt dan ook steeds een ander platonisch veelvlak uit. We hebben ook nog de archimedische veelvlakken. Deze bestaan uit meerdere platonische veelvlakken. Het zijn dan ook een soort ‘bouwsels’ van platonische veelvlakken. Ook nog hebben we de rhombische veelvlakken. Deze zijn niet regelmatig. Maar toch zijn deze heel speciaal omdat je er zo goed mee kunt ‘bouwen’. Ook weten we nu de regelmaat in de regelmatige veelvlakken en wie die heeft uitgevonden. Ook hebben we informatie over een aantal personen bij wie hun werk/onderzoeken als basis de platonische veelvlakken was. Wij hebben veel tijd in deze opdracht gestoken en we hopen nu dat we het dan ook goed hebben gemaakt. Hierna volgen nog de kleinigheden: bronnen, bijlagen en het logboek.