Fibonacci en de Gulden Snede

Over Fibonacci

Leonardo Pisano oftewel Leonardo van Pisa is veel beter bekend onder zijn bijnaam Fibonacci. Hij kreeg die naam omdat hij zoon van Guilielmo, een lid van de familie Bonacci, was. Hij werd geboren in 1170 in Italië, waarschijnlijk in Pisa, maar opgevoed in Noord-Afrika omdat zijn vader Guilielmo daar diplomaat was. Guilielmo vertegenwoordigde de kooplieden van de Republiek Pisa in Bugia (het huidige Bejaia), een handelsstad aan de Middellandse Zee in het tegenwoordige Algerije. Over Fibonacci's jeugd is weinig bekend. Hij leerde wiskunde in Bugia en reisde veel rond met zijn vader waarbij hij de wiskundige kennis van landen zoals Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en de Provence (Frankrijk) bestudeerde. Hij leerde onder andere werken met de Indische symbolen voor getallen (die wij eigenlijk nog steeds hanteren: 1, 2, ..., 9) en hun positiestelsel.

Omstreeks 1200 hield het reizen op en keerde Fibonacci terug naar Pisa. Daar schreef hij een aantal belangrijke werken waarin hij de wiskundige kennis van diverse beschavingen, waaronder ook de Arabische en de Indische wiskunde, deed herleven in West-Europa. Dit waren handgeschreven teksten want de boekdrukkunst was nog niet uitgevonden. Gelukkig zijn een aantal van zijn belangrijkste werken bewaard gebleven: 'Liber Abaci' (uit 1202), 'Practica geometriae' (uit 1220), 'Flos' (uit 1225) en 'Liber quadratorum'. Maar andere boeken van zijn hand, zoals 'Di minor guisa' over handelsrekenen en zijn commentaar op boek X van Euklides' Elementen (met een rekenkundige benadering van de irrationale getallen), zijn verloren gegaan. Deze boeken werden erg bekend onder Fibonacci's tijdgenoten. Hij beschreef daarin de wiskundige kennis op een zodanige wijze dat ze meteen toepasbaar was en lette niet al te veel op abstracte stellingen. En dat maakte ze voor die tijd ongewoon populair. Zelfs zo bekend dat de Duitse keizer (tevens de keizer van het Heilige Roomse Rijk) Frederik II ervan hoorde. Met name de geleerden aan het hof van Frederik II, zoals Michael Scotus de astroloog, Theororus de hoffilosoof en Dominicus Hispanus, Frederik bewogen om Fibonacci te ontmoeten toen zijn hof bijeen kwam in Pisa omstreeks 1225.

Johannes van Palermo, die ook tot Frederik's hof behoorde, legde Fibonacci een aantal wiskundige problemen voor. Daarvan wist hij er een drietal op te lossen. De oplossing presenteerde hij in zijn boek 'Flos' dat hij Frederik II aanbood.
Maar van de periode na 1228 is maar weinig meer bekend over het leven van Fibonacci. Hij lijkt in Pisa te zijn gebleven en zich bezig te hebben gehouden met het geven van adviezen over het onderwijs aan de burgers van Pisa gezien het salaris dat hem in 1240 op grond daarvan werd toegekend.Omstreeks 1250 is hij vermoedelijk in Pisa overleden.

Fibonacci's invloed op de geschiedenis van de wiskunde wordt veelal onderschat.
Van directe betekenis was natuurlijk zijn invoering van de Hindoe-Arabische notatie voor getallen: de negen cijfers, de nul en het positiestelsel in zijn 'Liber Abaci'. Verder maakte hij West-Europa bekend met de wiskundige methoden uit de Hindoe-Arabische culturen en wist ze toe te passen op problemen uit het dagelijkse leven.
Maar misschien nog veel belangrijker is het feit dat zijn boeken de leerboeken waren voor rekenmeesters en landmeters en voor veel toekomstige wiskundigen.
Maar veel van zijn werk in de getallentheorie raakte in de vergetelheid en werd pas driehonderd jaar later weer ontdekt door Maurolico. En zijn letteraanduiding voor een algemeen getal (een coëfficiënt) werd pas weer in de tijd van Vieta ontdekt en verbeterd.

Rij van Fibonacci

De manier waarop de rij van Fibonacci gedefinieerd is, is een voorbeeld van wat we in de wiskunde een recursieve definitie noemen. Dit betekent dat we de elementen vastleggen op basis van een of meer voorgaande elementen; dit leidt tot een differentievergelijking. Het ne getal van Fibonacci wordt zo gegeven door:

Makkelijker gezegd: Het ne getal wordt gegeven door de 2 vorige getallen bij elkaar op te tellen. Je kan het ne getal dus berekenen door de som van de vorige 2 getallen te nemen.

De eerste twee elementen zijn per definitie 0 en 1. Ook andere waarden voor de eerste twee elementen zijn mogelijk, maar leveren een andere rij.

Veel differentievergelijkingen hebben geen gesloten uitdrukking of expliciet voorschrift, waarmee het ne element enkel aan de hand van het getal n bepaald kan worden. Voor de rij van Fibonacci bestaat een dergelijke uitdrukking wel, namelijk:

Bovenstaande formule, voor het eerst gepubliceerd in 1730 door Abraham de Moivre, is op het eerste zicht opvallend omdat fn een geheel getal is, terwijl de formule wortels bevat.
Het is ook mogelijk om de formule voor de n-de term uit de reeks uit te drukken in de gulden snede:
hierin is de gulden snede

Het konijnenprobleem

Fibonacci zocht de oplossing voor het zogenaamde “konijnenpaar”-probleem. Hij zette 2 konijnen, een mannetje en een vrouwtje, bij elkaar in een afgesloten hok. In de eerste maand heb je dus één paar. Er gaan geen konijnen dood en elk konijnenpaar krijgt elke maand een mannetje en een vrouwtje.Als een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar voortbrengt, dat na twee maanden zelf ook weer een nieuw konijnenpaar voortbrengt, hoeveel konijnenparen heb je dan na verloop van tijd, verondersteld dat ze alle in leven blijven?

Je krijgt het volgende resultaat:

• Januari: 1
• Februari: 2 februari/januari => 2/1 = 2
• Maart: 3 maart/februari => 3/2 = 1,5
• April: 5 april/maart => 5/3 = 1,666667
• Mei: 8 mei/april => 8/5 = 1,6
• Juni: 13 juni/mei => 13/8 = 1,625
• Juli: 21 juli/juni => 21/13 = 1,615385
• Augustus: 34 augustus/juli => 34/21 = 1,619048
• September: 55 september/augustus => 55/34 = 1,617647
• Oktober: 89 oktober/september => 89/55 = 1,618182
• November: 144 november/oktober => 144/89 = 1,617977
• December: 233 December/november => 233/144 = 1,618056

Zoals te zien is heeft deze reeks heeft een zeer interessante eigenschap. Wanneer je twee opeenvolgende termen door elkaar deelt, benadert de uitkomst de Gulden Snede, ook wel de Gulden Verhouding genoemd; 1 : 0,618.

De gulden snede

Over het ontstaan van de Gulden Snede is weinig bekend, dus exacte jaartallen of een specifieke ontdekker van de Gulden Snede is waarschijnlijk ook niet aan te wijzen. Vele boeken over de verering van de Gulden Snede gaan terug op de Griekse wiskundige en filosoof Pythagoras uit de zesde eeuw voor Christus. Hij heeft zelf geen geschriften nagelaten, maar bekend is wel dat hij wiskundige inzichten verbond met een getallenmystiek die rekenkundige vormen bezat.

De eerste concrete verwijzing naar de Gulden Snede vinden we rond 300 voor Christus bij Euclides. Euclides beschrijft een groot aantal bijzondere wiskundige eigenschappen van deze verhouding. Vele Griekse bouwwerken blijken de menselijke verhoudingen te bevatten, een mooi voorbeeld is het Parthenon in Athene, Griekenland. De belangrijkste verhouding is de afstand van de voet tot aan de navel vergeleken met de totale lengte van een mens, dit is dus 1 : 1,618. Dit is het meest opvallende en waarschijnlijk belangrijkste element van de Gulden Snede.

In het werk van Vitruvius De Architectura is er geen bijzondere rol voor de Gulden Snede weggelegd, maar juist wel voor de verhoudingen van het menselijk lichaam. Niet die verhouding maar de proporties van het menselijk lichaam worden door Vitruvius als maatgevend voor de architectuur aanbevolen.

Pas in de periode van de Renaissance wordt de Gulden Snede weer interessant. In 1509 publiceert de Italiaanse monnik Pacioli zijn werk Divina Proportione, geïllustreerd door Leonardo da Vinci. In dit werk komen veel eigenschappen aan bod die in verband worden gebracht met een aantal stereometrische figuren. Deze eigenschap heet dan ook nog niet zo, Pacioli noemt haar ‘de goddelijke verhouding’, omdat zij volgens hem een aantal eigenschappen met God gemeen heeft.

In de Renaissance worden veel bouw- en kunstwerken vervaardigd die volledig op de Gulden Snede gebaseerd zijn. Met name de Romeinse bouwstijl is sterk gebaseerd op de Gulden Snede, en ook het werk van Vitruvius wordt veelvuldig gebruikt bij de bouw van verschillende gebouwen. Maar pas veel later in 1835 duikt de term ‘Gulden Snede’ voor het eerst op in een wiskundeboek van een zekere Martin Ohm, wiens broer nog altijd voortleeft in de wet van de elektrische weerstand die hij ontdekte. Zo rond die tijd breekt de bloeitijd voor de Gulden Snede aan.

Ongeveer twintig jaar later publiceert de Duitse filosoof Adolf Zeising zijn Neue Lehre von den Proportionen des Menslichen körpers waarin hij het menselijk lichaam tot in de details volgens de Gulden Snede verdeeld. Maar daar laat hij het niet bij, het hele dierenrijk volgens hem door de Gulden Snede beheerst.

Ook recent onderzoek leverde soms uiteenlopende resultaten op. Bij een onderzoek waarbij mensen werd gevraagd te kiezen tussen een schilderij volgens de Gulden Snede of een tweede schilderij zonder deze verhoudingen, kwam het schilderij met de Gulden Snede minder vaak naar voren, terwijl eenzelfde onderzoek toegespitst op rechthoeken weer heel andere resultaten opleverde.

Tot aan het eind van de 18e eeuw werd door verschillende volken een maatsysteem gebruikt, dat gebaseerd was op het menselijk lichaam. Pas tijdens de Franse Revolutie kwam er een einde aan deze ‘levende’ maar niet altijd nauwkeurige tweedimensionale maatsystemen. Er werd toen gekozen voor een abstracte maateenheid, namelijk de meter, een veertigmiljoenste deel van de equator.
Vanaf die tijd is men dus gaan werken met een zogenaamde standaardisatie, toch gebruiken ook hedendaagse kunstenaars nog veelvuldig gebruik van deze ‘goddelijke verhouding’, zoals hij ook wel genoemd wordt.

Definitie Gulden Snede

Gulden Snede : (Lat.: sectio aurea; proportio divina) mathematische verdeling berustend op het probleem om een lijn zodanig in twee ongelijke stukken te verdelen, dat het grootste deel middelevenredig is tussen het kleinste deel en de gehele lijn.
De Gulden Snede wordt meestal ingevoerd aan de hand van de verdeling van een lijnstuk in twee gedeelten.

Het lijnstuk AB (waarvan we de lengte 1 nemen) wordt in tweeën gedeeld door een punt M, zodat de verhouding MB : AM gelijk is aan de verhouding AM : AB. De lengte van AM noemen we x.

Met de abc-formule vinden we x = (–1 + wortel 5)/2 = 0.618 of x = (–1 – wortel 5)/2 = –1.618. We weten dat de oplossing een positief getal moet zijn, dus alleen x = (–1 + wortel 5)/2 voldoet. Het getal (–1 + wortel 5)/2 noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede weer met de Griekse letter Phi. Met een rekenmachine vind je dat Phi = 0,61803398875.

Fibonacci en de Gulden Snede in de natuur

Leonardo Fibonacci leefde vóór Da Vinci. Hij ontdekte dat planten volgens een bepaald patroon groeien dat overeen zou komen met wiskundige regels en patronen. De bladeren van de planten groeien in series van 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… . Hij merkte ook op dat sommige planten enkel een vast aantal bloembladeren hadden, maar dit aantal kwam altijd overeen met deze reeks.

Waarom blijkt de natuur te 'kiezen' voor de verhoudingen volgens het getal phi en pi en volgt de natuur geen andere vorm voor dichte en efficiënte stapeling? We zullen het voorbeeld uitwerken met de zaden. De meeste plantenzaden zijn rond. Als we die zaden in een omhulsel, een vrucht, willen verpakken, dan zal de dichtste pakking worden verkregen door een zogenoemde hexagonale stapeling. Maar in de natuur wordt dit niet gevolgd en volgt de zaadrangschikking het patroon naar het model van Fibonacci. Als men een hexagonale stapeling bekijkt, moeten we dat vergelijken met de stapeling van blikken in een kartonnen doos. De blikken staan in rijen naast elkaar, zodat de volgende rij weer in de holten van de voorgaande geplaatst kan worden. Elk blik wordt steeds omgeven door zes andere blikken. Een stapeling van zaden zal in een dergelijke rangschikking nooit kunnen groeien. Wanneer dat wel het geval is, zal bij onregelmatige groei het ene zaad het andere verdrukken of, erger nog, bij gelijkmatige groei zullen alle zaden elkaar verdrukken. Zaden worden in een hexagonale stapeling dus niet optimaal gevormd. In een stapeling volgens het model van Fibonacci, waarbij elk zaad dus phi gedraaid ten opzichte van het voorgaande zaad groeit, zal geen enkel zaad het andere verdringen en dus ongehinderd kunnen groeien.

Het konijnenvoorbeeld dat we gaven komt wel uit de natuur, maar is nogal onwaarschijnlijk. Het is alleen een goed middel om te laten zien hoe de Fibonacci reeks in elkaar zit. Het is niet realistisch dat een paar konijnen élke maand één mannetje en één vrouwtje werpt, waardoor de kans dat dit daadwerkelijk zal voorkomen in de natuur maar erg klein is. Er zijn echter wel realistische voorbeelden van de Fibonacci reeks in de natuur, onder andere bij insecten. Een voorbeeld is het voorgeslacht van een dar, dat is een mannetjes bij. Een dar heeft namelijk alleen een moeder, zij wordt de koningin genoemd. Hij heeft twee grootouders, drie overgrootouder, vijf betovergrootouders en ga zo maar door.

Ook bij bloeiwijzen en vruchten vinden we de reeks van Fibonacci terug. Heeft u wel eens naar de bloemen in een grote zonnebloem gekeken? De kleine bloemen lijken in spiralen gerangschikt te zijn. Je kunt één spiraal naar rechts volgen, maar ook één naar links. Tel je het aantal spiralen die naar rechts buigen en tel je diegene, die naar links buigen, dan kom je op verschillende aantallen uit. De twee getallen, die je vindt, blijken getallen uit de reeks van Fibonacci te zijn!. Hetzelfde vinden we bij de zaden in een vrucht. Een mooi voorbeeld, waarbij men de aanwezigheid van twee verschillende waarden voor het aantal spiralen kan nagaan, bijvoorbeeld een dennenappel.

Verder zie je de rij van Fibonacci terug in bloemen, bijvoorbeeld de Lychnis Coronaria. Bij deze bloem groeit eerst één bloem, daarna twee blaadjes, weer daarna drie en vervolgens 5/8/13 blaadjes. Kortom, volgens de reeks van Fibonacci.

Er zijn ook andere bloemen waarin de Fibonacci reeks naar voren komt, onder andere de Iris (3 bloemblaadjes), Boterbloem (5 blaadjes), Delphinium (8 blaadjes), Afrikaantje(13 bloemblaadjes) en Aster (21 blaadjes). Zoals je ziet is het aantal blaadjes allemaal Fibonaccigetallen.
Bladeren van planten groeien bijna allemaal in een bepaalde hoek, de Gulden Hoek, die weer afgeleid is van Fibonaccigetallen. Doordat bladeren in deze hoek groeien liggen ze zo min mogelijk in elkaars schaduw en is hun lichtontvangst optimaal.

We gaan weer kijken naar de vaste hoek bij de vorming van bladgroeipunten. De wiskundigen Douady en Couder hebben in 1993 bewezen, dat een vaste hoek tussen 2 groeipunten een optimale spreiding van bladeren/zaden/bloemen kan verzorgen als deze objecten naar buiten groeien. Deze hoek blijkt vaak 222,492 ° te zijn. We kunnen ook zeggen, dat de hoek 360 °- 222,5 ° = 137,5 ° is. Als we 222,45 delen door 360, dan komen we uit op 0,618034, oftewel de Gulden Verhouding. Deze hoek van 222,5 ° blijkt een ideale hoek te zijn voor de rangschikking van bladeren rondom een stengel. Met rationele getallen, zoals 0,5 of 0,6, zouden de bladeren boven elkaar komen te staan. Ook bij getallen als 0,42 0f 0,67 blijkt de ordening van bladeren over de ruimte niet optimaal te zijn
Zowel de Gulden Snede als de Reeks van Fibonacci zie je in heel veel vormen in de natuur terug, dat is geen toeval. Het komt door de manier waarop cellen groeien en elkaar steeds verder van de kern wegduwen. Dat gebeurt op een manier waarop de cellen zo min mogelijk ruimte innemen. Als dit zich blijft herhalen krijg je een spiraal motief. Bekijk maar eens hoe pitten in een zonnebloem zijn geordend. Of hoe de schubben van een dennenappel spiraalsgewijs zijn gestapeld. En hoe bladeren bij een aantal planten steeds onder eenzelfde vaste hoek van ongeveer φ x 360° = 222,5° ten opzichte van elkaar zijn verdraaid.

Een zonnebloem heeft zijn zaden niet zomaar gerangschikt. Tel maar eens het aantal spiralen linksom en rechtsom. Dat zijn er afhankelijk van de soort zonnebloem 34 en 55, 55 en 89, 89 en 144 en ga zo maar verder. Misschien is het je opgevallen dat het steeds 2 opeenvolgende Fibonacci-getallen zijn.
Bij een zonnebloem komt een nieuwe pit aan de zijkant van de kern. Als daar al een oude pit zit wordt hij naar buiten gedrukt. Hoe krijg je op deze manier zoveel mogelijk pitten in een mooie ronde zonnebloem? Je draait telkens over de Gulden hoek,φ x 360° = 222,5°.
Je kunt echter met het blote oog niet goed zien dat de zonnebloem zo is verdeeld, want hij wordt afgeleid door andere spiralen. De getallen van Fibonacci kun je ook in andere dingen uit de natuur terug vinden.

Nautilus Pompilius

Bepaalde schelpen delen hun kamers in met de phi-verhouding. De schelp Nautilus pompilius is hier een goed voorbeeld van. Naarmate het dier groter wordt, maakt het steeds grotere kamers in zijn schelp, terwijl het de kleinere kamers afsluit. De relatieve volumes van de opeenvolgende kamers verhouden zich volgens de Gulden Verhouding. De schelp heeft de vorm van een logaritmische spiraal. Deze spiraal zit ook in de Gulden Rechthoek.

De Gulden Snede in de natuurkunde

De Gulden Snede heeft in de natuurkunde niet een heel belangrijke rol gespeeld, tenminste niet zo belangrijk als het getal P. De Gulden Snede heeft wel een betekenis in de theorie van dynamische systemen en chaotisch gedrag. In de 17e eeuw ontdekte Christiaan Huygens zijn golftheorie van licht, zijn ontdekking van de ringen van Saturnus en zijn uitvinding van de slingerklok. Die slingerklok is heel interessant voor de Gulden Snede. Huygens ontdekte dat als twee klokken naast elkaar hingen aan een niet al te stevige wand, ze de neiging hadden gelijk te gaan lopen. Ze beïnvloeden elkaar dus. We gaan hier niet in op de oorzaak, maar wel het gevolg. De klokken gaan samen lopen, ook al zijn de trillingstijden van de afzonderlijke klokken een fractie anders. Dat verschijnsel heet ‘mode locking’. Mode locking treedt niet alleen op bij de frequentie waarmee een systeem in trilling is, maar ook bij veelvouden van die frequentie. Voor Huygens betekent dit dat de slingertijden ook in elkaar gekoppeld kunnen raken in een verhouding van 1:3 of 3:5. De afstand van de klokken ten opzichte van elkaar heeft invloed op deze gebeurtenis. Hoe dichter de klokken bij elkaar staan, des te eerder het verschijnsel optreedt.

Mode locking treedt ook op bij de beweging van bepaalde hemellichamen in ons zonnestelsel. Een bekend voorbeeld is de beweging van Pluto en Neptunus. De omloopstijden van deze planeten om de zon verhouden zich als 3 : 2 als gevolg van de aantrekking van Neptunus op Pluto. Men spreekt in dit verband ook wel van resonanties.

Maar wat heeft dit allemaal dan te maken met De Gulden Snede? De theorie van dit soort aan elkaar gekoppelde systemen komt de Gulden Snede voor als de verhouding tussen twee frequenties waarbij mode locking het moeilijkst optreedt. Als de koppeling tussen twee systemen sterker gemaakt wordt is de kans groter dat ze gevangen worden door een rationeel getal. Daardoor zal er bijna altijd mode locking komen. Behalve bij φ of Φ. De Gulden Snede is een verhouding die zich door alle getallen het minst laat beïnvloeden. Als je dus mode locking wilt voorkomen moet je de verhouding kiezen volgens de Gulden Snede.

Gulden Snede in de architectuur

Piramides werden door de oude Egyptenaren gebruikt als begraafplaats voor de farao. De farao werd in zijn eigen piramide begraven en nam veel van zijn rijkdom mee het graf in. De bouw van deze piramides nam jaren in beslag. Hoe machtiger de farao, hoe groter de piramide hij voor zichzelf liet bouwen. Bijna alle piramides zijn gebouwd tussen 2700 en 1700 v. Chr. Een aantal piramides is nog overgebleven en deze zijn dan ook een gewild onderzoeksobject voor archeologen. Helaas zijn veel piramides geplunderd, of gedeeltelijk afgebroken voor bouwmateriaal.
Naast de schat aan historisch materiaal, bieden ze ook mogelijkheden tot wiskundig onderzoek. Zo blijkt ook de Gulden Snede een rol te spelen in de architectuur van sommige piramides. Een goed voorbeeld daarvan is de Grote Piramide in Gizeh, gebouwd rond 2500 v. Chr.

De hellingshoek die de schuine vlakken van deze piramide maken, is 51,85 graden.
Wanneer we een dwarsdoorsnede van de piramide maken, op deze manier:

dan krijgen we de volgende driehoek:

Hierin is alfa 51,85 graden. Wanneer we nu een schuine zijde lengte 1 geven, dan kun je uitrekenen dat de horizontale zijde – dat is de halve breedte van de piramide – lengte Phi heeft. De Gulden Snede komt dus terug in het ontwerp van de piramides in Egypte.
Is dit toeval? Daarnaar kunnen we natuurlijk alleen raden. Er zijn wetenschappers die denken dat wanneer deze manier van bouwen werd gebruikt, de piramides beter bestand waren tegen aardbevingen. Het kan heel goed zijn dat deze piramide daarom bewaard is gebleven.

Het Parthenon

Is het bij de Egyptenaren twijfelachtig of ze de Gulden Snede kenden, de Griek Euclides kende dit getal zeker. Het komt voor in zijn geschriften. (Overigens krijgt het getal pas rond 1835 de naam Gulden Snede). Euclides doet in zijn werken geen verwijzingen naar de architectuur. Toch is de Gulden Snede door de Grieken toegepast in hun bouwwerken en steenhouwwerk. Het mooiste voorbeeld vind je waarschijnlijk nog wel in het Parthenon.
Het Parthenon is een oude Griekse Tempel, gewijd aan Athene, de godin van de wijsheid. Het stond op de Akropolis, de tempelberg in Athene. Er is nu nog een ruïne van over. De tempel is ontworpen door Ictinus en Callicrates, volgens wiskundige principes. Het beeldhouwwerk is gemaakt onder leiding van Phidias. Hij is degenen naar wie de Gulden Snede (Phi) genoemd is. Het is gebouwd van 477 tot 438 voor Chr. Deze tempel bestaat, zoals de meeste Griekse tempels, uit een zuilenrij, met daarop een dak. De driehoekige voorkant van zo’n dak heet een timpaan, de rand van het dak de fries. Het Parthenon is een tempel in dorische stijl. Het meest kenmerkend aan die stijl zijn de eenvoudige zuilen die gebruikt werden.
De afmetingen van de tempel zijn ongeveer 30m bij 70m.
Wanneer we kijken naar de voorkant van het gebouw, zien we dat bepaalde verhoudingen van afmetingen de Gulden Snede zijn. Deze zijn aangegeven is het volgende plaatje.

Gulden Snede in de kunst

Ook in de kunst heeft de Gulden Snede lange tijd een belangrijke rol gespeeld. Vooral in de Renaissance, waarin met name de klassieke beschaving ‘wedergeboren’ moest worden. Daarom moesten gebouwen volgens een universele maatvoering worden gebouwd. De gulden snede werd hierbij gezien als een universeel schoonheidsideaal. De grondslag hiervoor werd gelegd door Pacioli (zie voetnoot 2), die diverse ‘goddelijke’ eigenschappen er aan toekende.
Maar naast diverse voorbeelden uit de architectuur (b)lijkt de gulden snede ook meerdere keren op te duiken in de schilderkunst (bijv. ‘de Nachtwacht’ of ‘Mona Lisa’). Vaak staan belangwekkende punten in zulke schilderijen op ‘gulden-snede-verhoudingen’ van het schilderij (dus net iets over de helft).

Overigens hoeft de Gulden Snede niet eens opzettelijk in een schilderij te zijn verwerkt, uit onderzoek is ook gebleken dat er een soort ‘natuurlijke’ voorkeur is voor de gulden verhouding (mensen vinden bijv. een rechthoek van 2 bij 3 te ‘vierkant’ en een rechthoek van 1 bij 2 te ‘langwerpig’).

Het is in de 19e eeuw dat er een ware cultus ontstaat rond de gulden snede. Men meende de verhouding werkelijk overal in te herkennen. Rond 1850 publiceert de Duitse filosoof Adolf Zeising zijn Neue Lehre von den Proporionen des menschlichen Körpers, waarin hij het menselijk lichaam tot in details volgens de Gulden Snede verdeeld ziet.

De Gulden Rechthoek

De gulden snede maakt een bijzondere vlakverdeling mogelijk, namelijk één waarbij uitsluitend vierkanten van verschillende grootte worden gebruikt. Kijk eens naar het plaatje hieronder. We beginnen met een rechthoek met lengte 1 +  en breedte 1. We knippen aan de linkerkant een vierkant met zijde 1 weg, en houden rechts een rechthoek met lengte 1 en breedte  over. Is nu  gelijk aan de gulden snede (  0,61803... ), dan is de kleinere rechthoek gelijkvormig met zijn voorganger! Een rechthoek met deze lengte-breedteverhouding noemen we een gulden rechthoek

De kleinere gulden rechthoek kunnen we wéér verdelen in een vierkant (met zijde ) en een nog kleinere gulden rechthoek (met lengte  en breedte 2). Op deze manier kun je telkens kleinere vierkanten afsplitsen, tot je uiteindelijk een microscoop nodig hebt om de kleinste vierkantjes nog te kunnen zien.
Het valt op dat in de figuur de spiraal door een aantal hoekpunten van de vierkanten is getekend. Deze spiraal is logaritmisch: de hoek die de spiraal maakt met een cirkel om het accumulatiepunt is overal hetzelfde. Logaritmische spiralen komen in de natuur vaak voor als er sprake is van een gelijkvormige groei; bekende voorbeelden zijn de rangschikking van zonnepitten in een zonnebloem en de schelp van de nautilus. De logaritmische spiraal in het plaatje hierboven is een bijzonder geval: de spiraal van Fibonacci. Bij de spiraal van Fibonacci is de hoek tussen de spiraal en een cirkel met het accumulatiepunt als middelpunt altijd gelijk aan 17,032.

Enkele kleine feitjes over de Gulden Snede
- De verdeling tussen goede en slechte eigenschappen bij de hoofdpersonen in de sprookjes van Grimm is evenredig met de Gulden Snede.
- Het kruis van Christus was ontworpen volgens de Gulden Snede.
- In de boekdrukkunst wordt de bladspiegel (lengte en breedte van een bladzijde) bepaald door de verhouding tot de grootte van het bedrukte gedeelte (zetspiegel).Ook hier speelt de Gulden Snede dus een grote belangrijke rol.

Materiaalpagina

Als één van de opdrachten op de website van de rijksuniversiteit Groningen stond: “Bezoek de sites die op de materiaalpagina vermeld staan. Schrijf je ondervindingen op.”

Het allereerst wat ik moet mededelen is dat een groot aantal van de links het niet meer deden, of dat er naar pagina’s werd gelinkt, waar niets over Fibonacci en/of de gulden snede te vinden was.

Wat me na het maken van dit werkstuk en het bekijken van die links opviel was dat er veel meer schuilt achter de rij van Fibonacci en achter de gulden snede dan dat je als eerste zou denken. Wie had er verwacht dat er achter dat rijtje getallen en het getal Phi zoveel zou zitten. Het is te zien in de natuur, het komt terug in de architectuur en er zijn zelfs tijden dat men er compleet door geobsedeerd was.

Conclusie

Het maken van dit werkstuk heeft me absoluut meer moeite gekost dan dat ik aanvankelijk dacht. Het onderwerp bleek vrij lastig te zijn, en dan met name de Gulden Snede heeft me heel wat uren werk gekost. De rij van Fibonacci vond ik een stuk makkelijker te begrijpen. Ook het verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci zette ik zonder problemen op papier.

Met de toepassingen ben ik toch ook wel een paar uren bezig geweest op het internet. Voor iedere paragraaf ging ik op zoek naar de bekendste en beste voorbeelden, en dan ook nog overzichtelijk en duidelijk beschreven.

Ik kan absoluut zeggen dat mijn onderwerpskeuze niet verkeerd is gemaakt; ondanks de pittige achtergrond van de Gulden Snede, ben ik blij dat ik me niet heb hoeven bezighouden met kansberekeningen; een concreet, al eeuwenlang vastgelegd onderwerp heeft absoluut mijn voorkeur.