Inhoud:
- Inleiding
- Hoofdstuk 1 p
- Hoofdstuk 2 De geschiedenis van p
- Hoofdstuk 3 De methode van Archimedes
- Hoofdstuk 4 Formules waar p bij wordt gebruikt
- Hoofdstuk 5 Verschillende manieren waarop p benaderd kan worden
- Hoofdstuk 6 Weetjes
- Conclusie
- Logboek
- Bronvermelding
Inleiding
Wij (Cleo, Koosje en Anke) hebben gekozen om onze wiskunde PO over het getal p te doen. Wij zullen nu een korte uitleg geven over het getal p:
Bij een cirkel is de omtrek ongeveer 3,14 keer de diameter. Voor elke cirkel, hoe groot of hoe klein ook, geldt dit. Volgens nauwkeurige berekeningen is: Omtrek cirkel = 3,141592653589793238… x diameter
Voor het getal en de formule gebruiken we de Griekse letter p.
p spreek je uit als Pi.
Hoofdstuk 1 p
Definitie van p: Het getal p is het getal dat we krijgen wanneer we de omtrek van een cirkel delen door de diameter van die cirkel.
De notatie p is afkomstig van de beroemde wiskundige Euler, die gebruikte de letter p rond 1750. Hij gebruikte deze Griekse letter 'p', om het woord perimeter mee aan te duiden, wat omtrek betekend.
p is irrationeel. Dat wil zeggen dat je p niet kunt uitdrukken in een formule met getallen. We hebben wel formules waarmee je p kunt benaderen, deze worden genoemd in hoofdstuk 5.
Hoofdstuk 2 De geschiedenis van het getal p
Al eeuwen lang zijn ze bezig om de waarde van p te kunnen berekenen, dit was namelijk in de antieke oudheid al van belang voor bouwwerken en constructies met cirkelvormige delen.
-Als waarde van p gebruikten de Babyloniers 3?, deze informatie vond men op een 4000 jaar oud kleitablet.
-De Egyptenaren gebruikten vermoedelijk de waarde (16/9)^2 = 3,16049…, dit bleek uit een Egyptisch manuscript, genaamd Rhind Papyrus uit 1650 v.Chr.
Maar vooral belangrijk voor de ontwikkeling van p is de methode van Archimedes geweest (278-212 v.Chr.). Tot aan de zeventiende eeuw was deze methode vrijwel de enige manier waar p mee berekend kon worden. In hoofdstuk 3 zullen we daar verder op ingaan.
Ludolph Van Ceulen besteedde een groot deel van zijn leven aan de berekening van p, zijn benadering tot op 35 cijfers verkreeg hij met behulp
van veelzijden met 262 zijden. Op zijn grafsteen in de Pieterskerk in Leiden werd het getal dat hij berekende gegraveerd. Het getal p wordt soms ook Ludolphs constante genoemd.
Dit is een plaatje van de tekst op van Ceulen's grafsteen, afkomstig van
een reisverslag van de Engelsman Sir Philip Skippon (1641-1691).
Hoofdstuk 3 De methode van Archimedes
Archimedes heeft een methode gevonden om p te berekenen met cirkels. Dit heet de cirkelmethode. Hij doet dat door gelijkmatige veelhoeken te maken. Hieronder zie je verschillende voorbeelden met 5, 12 en 96 hoeken. Je ziet dat de veelhoek met 96 hoeken al zeer veel op een cirkel begint te lijken.
N is het aantal hoeken.
Als een cirkel een diameter van 1 heeft, is de omtrek p. Dat maken wij op uit de al eerder genoemde definitie: 'p is het getal dat we krijgen wanneer we de omtrek van een cirkel delen door de diameter van die cirkel.'
Voor elke waarde van N is er een ingeschreven regelmatige N-hoek en een ongeschreven regelmatige N-hoek. Aan de hand van deze plaatjes zal dat duidelijk worden:
Bij de 6-hoek zie je duidelijk de ingeschreven en de ongeschreven regelmatige N-hoeken. Bij de ingeschreven veelhoek zijn de hoekpunten op de cirkel, bij de ongeschreven veelhoek raken juist de zijden de cirkel.
De omtrek van de ingeschreven veelhoek is PN en van de ongeschreven is dat QN.
Dus: PN < p < QN.
Als het aantal hoeken toeneemt, neemt de ruimte tussen PN en QN steeds meer af en komen steeds dichter bij p te liggen.
Om p te berekenen gebruikte Archimedes regelmatig een 96-hoek en dan was zijn resultaat dat p tussen 3.1408 en 3.1429 lag. Het is logisch dat je p nauwkeuriger kan berekenen als je N groter neemt.
Hoofdstuk 4 Formules waar p bij wordt gebruikt
Het getal p wordt vooral gebruikt om de omtrek en oppervlakte van een cirkel te berekenen:
-Omtrek = p x diameter = 2 x p x straal.
-Oppervlakte = ¼ x p x diameter² = p x straal²
Maar p komt in nog veel meer andere formules voor die te maken hebben met cirkels en bollen. Zoals:
-Het oppervlak van een cirkelschijf met straal r is gelijk aan pr^2.
-Het oppervlak van een bol met straal r is 4pr^2. De inhoud van een bol met straal r is gelijk aan 4/3pr^3.
Hoofdstuk 5 Verschillende manieren waarop p benaderd kan worden
Het is door de jaren heen steeds makkelijker geworden om het getal p te berekenen, dit komt grotendeels door het uitvinden van de rekenmachine en de computer.
Verschillende manieren waarop p berekend kan worden:
1 De formule van Viète (een Franse wiskundige die leefde van 1540-1603):
Dit is een voorbeeld van een oneindig product. Hopelijk is met de eerste drie factoren het patroon van de daaropvolgende factoren ook duidelijk.
Een nadeel van deze benadering is dat je de hele tijd moet worteltrekken.
2 = v2 x v2 + v2 x v2 + v2 + v2 x . . .
p 2 2 2
Je moet eerst het product van de eerste twee factoren berekenen, dan van de eerste drie, dan de eerste vier etc. Dan zie je dat de achtereenvolgende antwoorden langzamerhand richting 2 gaan.
In deze tabel zie je dat de 'N-de factor' steeds dichterbij 1 komt. Als je de waarde van 2 (˜ 0,636619772) vergelijkt met de laatste waarde van het 'product van de eerste n factoren' zie je dat de eerste 6 decimalen overeenkomen.
2 De formule van Wallis ( 1616-1703):
p = 2 x 2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 6 x . . .
1 x 3 3 x 5 5 x 7
Deze formule is ontdekt na de formule van Archimedes. Deze heeft als voordeel dat je niet telkens hoeft wortel te trekken. Het berekenen gaat echter wel heel langzaam, je moet namelijk duizenden vermenigvuldigingen uitvoeren om een benadering van p tot op drie cijfers achter de komma te krijgen. Helaas is de formule van Wallis volkomen ongeschikt om p te berekenen. Het probleem is de ontzettend langzame convergentie, dus het berekenen duurt erg lang.
3 De formule van Leibniz ( 1646-1716):
p = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - . . .
4 1 3 5 7 9
Deze formule wordt toegeschreven aan Leibniz maar blijkt eerder te zijn ontdekt door James Gregory (1638- 1675).
Leibniz is, samen met Newton, de grondlegger van de differentiaal- en integraalrekening. Helaas is deze formule bijna onbruikbaar om p te benaderen omdat je duizenden berekeningen moet uitvoeren om p tot op drie cijfers achter de komma te benaderen.
Hoofdstuk 6 Weetjes
De oude Grieken gebruikten het symbool p om het getal 80 voor te stellen.
Er is geen nul in de eerste 31 decimalen van p.
De eerste 39 decimalen van p volstaan om de diameter van een cirkel ter
grootte van het heelal op een diameter van een proton na te kunnen berekenen.
De kans dat twee grote willekeurig gekozen gehele getallen geen gemeenschappelijke factor hebben is 6/p 2.
Conclusie
Nu we dit verslag hebben gemaakt en ons hebben verdiept in het getal p, beseffen we iets meer wat voor rol wiskunde gespeeld heeft door de eeuwen heen. Het is een heel belangrijk getal geweest, zowel voor de Egyptenaren en de Babyloniers van toen als voor de wiskundigen van nu. Pi helpt ons dingen berekenen waar we anders geen formule voor uit zouden kunnen vinden. Het is een zeer fascinerend getal doordat het oneindig veel decimalen heeft. Het is ook een veel besproken en onderzocht getal door de jaren heen. Nu dus ook weer door ons.
Logboek
Anke:
Ik heb voordat we bij elkaar kwamen om gezamenlijk aan de PO te werken in de mediatheek en bibliotheek in Hilversum gezocht en informatie van internet gehaald. Tijdens de bijeenkomsten hebben we eigenlijk alle hoofdstukken samen gemaakt. We hebben aan het begin van alle bijeenkomsten alle informatie doorgenomen die we nog niet kenden. En vervolgens hebben we de taken verdeeld en allemaal een apart hoofdstuk uitgewerkt. Hierbij heb ik het meest aan hoofdstuk 1 (het getal p) en hoofdstuk 2 (de geschiedenis van het getal p).
Koosje:
Net zoals Anke heb ik ook informatie verzameld, vooral uit de encyclopedie en het internet. Ik heb me tijdens de bijeenkomsten het meest geconcentreerd op Hoofdstuk 2 (de geschiedenis van het getal p) en het gebruik van het getal p.
Cleo:
Evenals Anke en Koosje heb ik informatie gezocht in de bibliotheek in Laren en op het internet. Tijdens de bijeenkomsten heb ik het meest gedaan aan de formules en de geschiedenis en de weetjes.
De meeste hoofdstukken hebben echter we gezamenlijk gedaan.
Bronvermelding
Boeken:
- Pi, Frits Beukers, Utrecht Epsilon uitgaven 2000;
- Microsoft Encarta; Winkler Prins Encyclopedie;
- Getal en Ruimte 2HV1, educatieve partners Nederland, Houten.
Website's:
www.werkstuknetwerk.nl/cgi-bin/externelink.cgi?delink=http://users.pandora.b
e/koen.beek/
www.scholieren.com
www.collegenet.nl
- Inleiding
- Hoofdstuk 1 p
- Hoofdstuk 2 De geschiedenis van p
- Hoofdstuk 3 De methode van Archimedes
- Hoofdstuk 4 Formules waar p bij wordt gebruikt
- Hoofdstuk 5 Verschillende manieren waarop p benaderd kan worden
- Hoofdstuk 6 Weetjes
- Conclusie
- Logboek
- Bronvermelding
Inleiding
Wij (Cleo, Koosje en Anke) hebben gekozen om onze wiskunde PO over het getal p te doen. Wij zullen nu een korte uitleg geven over het getal p:
Bij een cirkel is de omtrek ongeveer 3,14 keer de diameter. Voor elke cirkel, hoe groot of hoe klein ook, geldt dit. Volgens nauwkeurige berekeningen is: Omtrek cirkel = 3,141592653589793238… x diameter
p spreek je uit als Pi.
Hoofdstuk 1 p
Definitie van p: Het getal p is het getal dat we krijgen wanneer we de omtrek van een cirkel delen door de diameter van die cirkel.
De notatie p is afkomstig van de beroemde wiskundige Euler, die gebruikte de letter p rond 1750. Hij gebruikte deze Griekse letter 'p', om het woord perimeter mee aan te duiden, wat omtrek betekend.
p is irrationeel. Dat wil zeggen dat je p niet kunt uitdrukken in een formule met getallen. We hebben wel formules waarmee je p kunt benaderen, deze worden genoemd in hoofdstuk 5.
Hoofdstuk 2 De geschiedenis van het getal p
Al eeuwen lang zijn ze bezig om de waarde van p te kunnen berekenen, dit was namelijk in de antieke oudheid al van belang voor bouwwerken en constructies met cirkelvormige delen.
-Als waarde van p gebruikten de Babyloniers 3?, deze informatie vond men op een 4000 jaar oud kleitablet.
-De Egyptenaren gebruikten vermoedelijk de waarde (16/9)^2 = 3,16049…, dit bleek uit een Egyptisch manuscript, genaamd Rhind Papyrus uit 1650 v.Chr.
Maar vooral belangrijk voor de ontwikkeling van p is de methode van Archimedes geweest (278-212 v.Chr.). Tot aan de zeventiende eeuw was deze methode vrijwel de enige manier waar p mee berekend kon worden. In hoofdstuk 3 zullen we daar verder op ingaan.
van veelzijden met 262 zijden. Op zijn grafsteen in de Pieterskerk in Leiden werd het getal dat hij berekende gegraveerd. Het getal p wordt soms ook Ludolphs constante genoemd.
Dit is een plaatje van de tekst op van Ceulen's grafsteen, afkomstig van
een reisverslag van de Engelsman Sir Philip Skippon (1641-1691).
Hoofdstuk 3 De methode van Archimedes
Archimedes heeft een methode gevonden om p te berekenen met cirkels. Dit heet de cirkelmethode. Hij doet dat door gelijkmatige veelhoeken te maken. Hieronder zie je verschillende voorbeelden met 5, 12 en 96 hoeken. Je ziet dat de veelhoek met 96 hoeken al zeer veel op een cirkel begint te lijken.
N is het aantal hoeken.
Als een cirkel een diameter van 1 heeft, is de omtrek p. Dat maken wij op uit de al eerder genoemde definitie: 'p is het getal dat we krijgen wanneer we de omtrek van een cirkel delen door de diameter van die cirkel.'
Voor elke waarde van N is er een ingeschreven regelmatige N-hoek en een ongeschreven regelmatige N-hoek. Aan de hand van deze plaatjes zal dat duidelijk worden:
Bij de 6-hoek zie je duidelijk de ingeschreven en de ongeschreven regelmatige N-hoeken. Bij de ingeschreven veelhoek zijn de hoekpunten op de cirkel, bij de ongeschreven veelhoek raken juist de zijden de cirkel.
De omtrek van de ingeschreven veelhoek is PN en van de ongeschreven is dat QN.
Als het aantal hoeken toeneemt, neemt de ruimte tussen PN en QN steeds meer af en komen steeds dichter bij p te liggen.
Om p te berekenen gebruikte Archimedes regelmatig een 96-hoek en dan was zijn resultaat dat p tussen 3.1408 en 3.1429 lag. Het is logisch dat je p nauwkeuriger kan berekenen als je N groter neemt.
Hoofdstuk 4 Formules waar p bij wordt gebruikt
Het getal p wordt vooral gebruikt om de omtrek en oppervlakte van een cirkel te berekenen:
-Omtrek = p x diameter = 2 x p x straal.
-Oppervlakte = ¼ x p x diameter² = p x straal²
Maar p komt in nog veel meer andere formules voor die te maken hebben met cirkels en bollen. Zoals:
-Het oppervlak van een cirkelschijf met straal r is gelijk aan pr^2.
-Het oppervlak van een bol met straal r is 4pr^2. De inhoud van een bol met straal r is gelijk aan 4/3pr^3.
Hoofdstuk 5 Verschillende manieren waarop p benaderd kan worden
Het is door de jaren heen steeds makkelijker geworden om het getal p te berekenen, dit komt grotendeels door het uitvinden van de rekenmachine en de computer.
Verschillende manieren waarop p berekend kan worden:
1 De formule van Viète (een Franse wiskundige die leefde van 1540-1603):
Dit is een voorbeeld van een oneindig product. Hopelijk is met de eerste drie factoren het patroon van de daaropvolgende factoren ook duidelijk.
Een nadeel van deze benadering is dat je de hele tijd moet worteltrekken.
2 = v2 x v2 + v2 x v2 + v2 + v2 x . . .
p 2 2 2
Je moet eerst het product van de eerste twee factoren berekenen, dan van de eerste drie, dan de eerste vier etc. Dan zie je dat de achtereenvolgende antwoorden langzamerhand richting 2 gaan.
In deze tabel zie je dat de 'N-de factor' steeds dichterbij 1 komt. Als je de waarde van 2 (˜ 0,636619772) vergelijkt met de laatste waarde van het 'product van de eerste n factoren' zie je dat de eerste 6 decimalen overeenkomen.
2 De formule van Wallis ( 1616-1703):
p = 2 x 2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 6 x . . .
1 x 3 3 x 5 5 x 7
Deze formule is ontdekt na de formule van Archimedes. Deze heeft als voordeel dat je niet telkens hoeft wortel te trekken. Het berekenen gaat echter wel heel langzaam, je moet namelijk duizenden vermenigvuldigingen uitvoeren om een benadering van p tot op drie cijfers achter de komma te krijgen. Helaas is de formule van Wallis volkomen ongeschikt om p te berekenen. Het probleem is de ontzettend langzame convergentie, dus het berekenen duurt erg lang.
3 De formule van Leibniz ( 1646-1716):
p = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - . . .
Deze formule wordt toegeschreven aan Leibniz maar blijkt eerder te zijn ontdekt door James Gregory (1638- 1675).
Leibniz is, samen met Newton, de grondlegger van de differentiaal- en integraalrekening. Helaas is deze formule bijna onbruikbaar om p te benaderen omdat je duizenden berekeningen moet uitvoeren om p tot op drie cijfers achter de komma te benaderen.
Hoofdstuk 6 Weetjes
De oude Grieken gebruikten het symbool p om het getal 80 voor te stellen.
Er is geen nul in de eerste 31 decimalen van p.
De eerste 39 decimalen van p volstaan om de diameter van een cirkel ter
grootte van het heelal op een diameter van een proton na te kunnen berekenen.
De kans dat twee grote willekeurig gekozen gehele getallen geen gemeenschappelijke factor hebben is 6/p 2.
Conclusie
Nu we dit verslag hebben gemaakt en ons hebben verdiept in het getal p, beseffen we iets meer wat voor rol wiskunde gespeeld heeft door de eeuwen heen. Het is een heel belangrijk getal geweest, zowel voor de Egyptenaren en de Babyloniers van toen als voor de wiskundigen van nu. Pi helpt ons dingen berekenen waar we anders geen formule voor uit zouden kunnen vinden. Het is een zeer fascinerend getal doordat het oneindig veel decimalen heeft. Het is ook een veel besproken en onderzocht getal door de jaren heen. Nu dus ook weer door ons.
Logboek
Anke:
Koosje:
Net zoals Anke heb ik ook informatie verzameld, vooral uit de encyclopedie en het internet. Ik heb me tijdens de bijeenkomsten het meest geconcentreerd op Hoofdstuk 2 (de geschiedenis van het getal p) en het gebruik van het getal p.
Cleo:
Evenals Anke en Koosje heb ik informatie gezocht in de bibliotheek in Laren en op het internet. Tijdens de bijeenkomsten heb ik het meest gedaan aan de formules en de geschiedenis en de weetjes.
De meeste hoofdstukken hebben echter we gezamenlijk gedaan.
Bronvermelding
Boeken:
- Pi, Frits Beukers, Utrecht Epsilon uitgaven 2000;
- Microsoft Encarta; Winkler Prins Encyclopedie;
- Getal en Ruimte 2HV1, educatieve partners Nederland, Houten.
Website's:
www.werkstuknetwerk.nl/cgi-bin/externelink.cgi?delink=http://users.pandora.b
e/koen.beek/
www.scholieren.com
www.collegenet.nl
REACTIES
:name
:name
:comment
1 seconde geleden