Inleiding
De term ‘wiskunde’ is al eeuwen lang niet meer weg te denken uit ons leven. Wiskunde is de benaming van de wetenschap die zich met de eigenschappen van grootheden als zelfstandige gegevens bezighoudt (ook wel ‘mathematica’ genoemd). Maar men moet weten, dat voordat deze term is bedacht, er ook al overal om ons heen sprake was van ‘wiskunde’. Wiskunde heeft eigenlijk altijd al bestaan, voordat de mens zich erin interesseerde. Men heeft bijvoorbeeld formules bedacht, die terugslaan op het ontstaan van de Aarde. De natuur zit vol met wiskundige verhoudingen. En zo zijn er nog veel meer voorbeelden te noemen.
Wanneer de mens zich precies begon te interesseren in het werken met getallen, formules, grootheden, enzovoorts, is niet precies bekend. Wel weten we, dat dit voor grote gevolgen heeft geleid. Men kan bijvoorbeeld denken aan de Griekse filosoof Pythagoras, geboren rond 570/580 voor Christus, en zijn wereldberoemde ‘stelling van Pythagoras’, die het verband verklaart tussen zijden van een rechthoekige driehoek. Een ander voorbeeld is het tweetal 16e eeuwse Italiaanse geleerden Copernicus, die beweerde dat de zon níet om de Aarde heen draait, en Galilei, die dit inderdaad heeft bewezen; heel wat wiskundige berekeningen kwamen hieraan te pas! En ook hier zijn nog zeel veel voorbeelden te noemen; wiskunde heeft al eeuwenlang voor zowel belangrijke verklaringen, als kleinere ontdekkingen gezorgd.
Zoals eerder vermeld, bestaan er in de natuur al heel lang bepaalde wiskundige verhoudingen. Na inmiddels al vele onderzoeken hiernaar heeft men onder andere de ‘Gulden Snede’ ontdekt. De Gulden Snede is een verhoudingsgetal dat al 2,5 duizend jaar een belangrijke plaats heeft in de wiskunde, en met name in de meetkunde. Het getal blijkt hele bijzondere rekenkundige eigenschappen te hebben, die men in verband heeft kunnen brengen met een andere wiskundige term; de Rij van Fibonacci. Ook de Rij van Fibonacci vinden we regelmatig terug in de natuur, en in de kunst.
Wat de Gulden Snede en de Rij van Fibonacci precies inhouden, zal ik in dit werkstuk gaan uitleggen. Hierna zal ik me gaan verdiepen in het verband tussen deze twee termen, en waar we enige toepassingen van dit verband kunnen terugvinden. Het werkstuk bestaat uit een hoofdvraag, de probleemstelling, en verscheidene deelvragen om het antwoord op te bouwen.
De opzet luidt als volgt:
Wat is het verband tussen de Gulden Snede en de Rij van Fibonacci, en waar vinden we dit verband terug?
Deelvragen:
1- Wat is de Gulden Snede?
2- Hoe wordt de Gulden Snede toegepast in de wiskunde?
3- Wat is de Rij van Fibonacci?
4- Wat is het verband tussen de Gulden Snede en de Rij van Fibonacci?
5- Waar vinden we toepassingen van de rij van Fibonacci en de Gulden Snede terug?
Ik hoop aan het eind van deze praktische opdracht tot een helder en doelmatig antwoord
Te komen, waarmee de lezer hiervan alles goed kan begrijpen. Zelf zal ik er ook het een en ander van opsteken, want dit onderwerp is een kleine uitdaging, omdat ik wiskunde a heb, en dit me best een b-onderwerp lijkt.
1. Wat is de Gulden Snede?
In dit hoofdstuk geef ik een uitgebreide uitleg betreft de Gulden Snede. Met behulp van voorbeelden, experimenten en concrete formules moet dit begrip voor iedereen begrijpbaar worden.
1.1 - De Gulden Snede
Bij het begrip Gulden Snede gaat het over een bijzondere wijze van verdeling van een lijnstuk in twee stukken. De Gulden Snede is een verhouding die men op de volgende manier kan berekenen: als men een lijnstuk, bijvoorbeeld een lat, op een willekeurige plaats doorsnijdt, dan ontstaan twee stukken die in de regel niet even lang zijn. Tussen de lengtes van deze twee nieuwe stukken, bestaat (uiteraard) een bepaalde verhouding.
Stel: men verdeelt een lat van 1 meter in twee stukken van 30 cm en 70 cm. De verhouding van het kleinste stuk tot het grootste stuk is hier dus 30 : 70, is 1 : 2,333.
Tegelijk staan beide stukken in een bepaalde verhouding tot de oorspronkelijke lengte.
In ons voorbeeld verhoudt het kleinste stuk zich tot de gehele lengte als 30 : 100, of 1 : 3.333.
Het grootste stuk verhoudt zich tot de gehele lengte als 70 : 100, of 1 : 1.429. Hierbij merken we op: 1.429 is kleiner dan 2.333.
Stel: men verdeelt dezelfde lat van 1 meter in twee stukken van 55 en 45 cm. De verhouding van het kleinste stuk tot het grootste is dan 45 : 55, is 1 : 1.222.
De verhouding van het grootste stuk tot de gehele lengte is hier 55: 100, is 1: 1.818.
Hierbij merken we op: 1.818 is groter dan 1.182.
Uit bovenstaande voorbeelden van verschillende lengtes van de twee stukken, kan dus verwacht worden dat er een bepaalde verdeling bestaat, waarbij de verhouding van het kleinste stuk tot het grootste stuk gelijk is aan de verhouding van het grootste stuk tot de gehele lengte. Deze verhouding wordt de Gulden Snede genoemd.
Met behulp van de volgende tabel ga ik op zoek naar de gezochte verdeling van de lat van 1 meter, ik onderzoek dus bij welke verdeling de Gulden Snede – verhouding optreedt.
Kortste
helft (cm) Langste
helft (cm) Verhouding helften Verhouding grootste helft tot gehele lengte Groter of kleiner dan verhouding helften?
30 70 1 : 2,33333 1 : 1.42857 kleiner
45 55 1: 1.22222 1 : 1.81818 groter
40 60 1 : 1.5000 1 : 1.66667 groter
35 65 1 : 1.85714 1 : 1.53846 kleiner
37 63 1: 1.70270 1 : 1.58730 kleiner
38 62 1 : 1.63158 1 : 1. 61290 kleiner
38.2 61.8 1 : 1.61780 1 : 1.61812 groter
38.1 61.9 1 : 1.62467 1 : 1.61550 kleiner
38.15 61.85 1 : 1.62123 1 : 1.61681 kleiner
38.17 61.83 1 : 1.61986 1 : 1.61734 kleiner
38.18 61.82 1 : 1.61917 1 : 1.61760 kleiner
38.19 61.81 1 : 1.61849 1 : 1.61786 kleiner
38.195 61.805 1 : 1.61814 1 : 1.61799 kleiner
38.197 61.803 1 : 1.61801 1 : 1.61804 groter
38.196 61.804 1 : 1.61808 1 : 1.61801 kleiner
38.1965 61.8035 1 : 1.61804 1 : 1.61803 kleiner
38.1967 61.8033 1 : 1.61803 1 : 1.61804 groter
38.1966 61.8034 1 : 1.61803 1 : 1.61803 gelijk
Uit de tabel is de gezochte verhouding gebleken : 1 : 1.61803 . Deze verhouding is dus de Gulden Snede.
1.2 - De letter
De Gulden Snede wordt in de wiskunde aangeduid met een bepaald verhoudingsgetal.
In plaats van het gevonden getal 1.61803 gebruikt men een bepaalde formule, die als volgt uitgelegd dient te worden:
Als voorbeeld nemen we een lijnstuk van lengte 1. Dit is lijnstuk AB. AB wordt in twee stukken verdeeld door punt M, zodanig, dat de verhouding MB : AM gelijk is aan de verhouding van AM : AB. We noemen hierbij de lengte van AM x.
De situatie geschetst:
A M B
|____________________|___________|
x 1-x
Anders gezegd, is volgens de Gulden Snede de verhouding 1-x : x is gelijk aan x : 1.
Oftewel:
1-x = x
x 1
Als we nu kruislings vermenigvuldigen, krijgen we: 1-x = x² .
Herleiden geeft: x² + x – 1 = 0
Met de abc-formule ( x = -b - D of x = -b + D met D = b² + 4ac )
2ac 2ac
vinden we: x = (-1 - 5) / 2 -1.61803 of x= (-1 + 5) / 2 0.61803 .
Omdat x hier positief behoort te zijn, is het laatste antwoord het juiste antwoord.
Dit is dus x = (-1 + 5) / 2 x = ½ (-1 + 5) .
Dit laatste getal noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede aan met de Griekse letter . Als we berekenen, krijgen we dus 0.61803. De Gulden Snede heeft de eigenschap dat 1/ = 1 + . Dit getal wordt soms ook de Gulden Snede genoemd; ik duidt 1 + aan met ; dus 1.61803.
2. Hoe wordt de Gulden Snede toegepast in de wiskunde?
In dit hoofdstuk ga ik in verschillende soorten figuren/constructies de Gulden Snede opsporen. Eerst zien we het figuur, vervolgens leg ik uit om welk bewijs het precies gaat, en daarna volgt een duidelijke, overzichtelijke uitleg, die het stapsgewijs voor iedere lezer goed te begrijpen moet maken.
2.1 - Het pentagram
Een zeer bekend, en betekenisvol symbool in o.a. de beeldende kunst, de literatuur, de filosofie, en uiteraard in de magie, is het pentagram. In de Middeleeuwen was deze vijfpuntige ster een symbool dat bescherming bood tegen heksen, boze geesten, enzovoorts. Dit figuur heeft echter ook voor de wiskunde een aanvoegende betekenis; het pentagram en het pentagon, de vijfhoek eromheen, zijn namelijk verbonden met de Gulden Snede.
De vijfpuntige ster is volledig regelmatig. Dit betekent dat vijfhoek ABCDE ook regelmatig moet zijn. Elke zijde is gelijk; AB = BC = CD = DE = EA. De lijnstukken die samen het pentagram vormen, zijn dus diagonalen van vijfhoek ABCDE. We kunnen gaan onderzoeken waar deze lijnstukken elkaar snijden.
Om een duidelijk beeld te schetsen, waarbij we ons realiseren dat de lijnstukken van het pentagram diagonalen vormen van een regelmatige vijfhoek, tekenen we nu slechts 3 diagonalen:
We zien in dit figuur drie verschillende lengtes; kleine (bijv. DS), grotere (bijv. AS) en de grootsten (bijv. AD). Als we de plaats willen weten waar de lijnstukken elkaar snijden, moeten we achter de verhouding tussen de lijnstukken komen, zoals de verhouding DS: SA, of AB: AD.
In het figuur is te zien, dat lijnstuk ED is evenwijdig aan lijnstuk AC. Lijnstuk AB is evenwijdig aan EC. Hieruit maken we op dat de driehoek ACS een vergroting is van driehoek DES. Anders gezegd:
ACS DES
Hieruit volgt, dat de verhouding DS:AS = de verhouding ED:AC. Omdat EC evenwijdig is aan AC, en AD evenwijdig is aan BC, constateren we dat vierhoek ABCS een parallellogram is; dus BC = AS en ACS = CAB.
Omdat DE = BC, is dus ook DE = AS. Oftewel:
Omdat ACD gelijkbenig is, én vanwege de symmetrie van de ster is ook AC = AD.
Dus: DS:AS = AS:AD = AB:AD
We hebben nu een belangrijk resultaat gekregen: de verhouding van de beide stukken waarin een diagonaal van de vijfhoek door een andere diagonaal in twee stukken verdeeld wordt, is gelijk aan de verhouding van een van de stukken van de diagonaal tot de gehele diagonaal. Oftewel: de verhouding van het kleinste stuk tot het grootste stuk = de verhouding van het grootste stuk tot de gehele diagonaal.
Nu kunnen we de lengte van de diagonalen bereken. We stellen de lengte van de zijden van de regelmatige vijfhoek gelijk aan 1. De lengte van een diagonaal noemen we D. We kunnen nu opstellen:
(D-1) : 1 = 1 : D
Hieruit volgt: D²-D-1 = 0. Wederom met de abc-formule vinden we:
D = ½ (1 + 5) 1.61803 ; en dat is . De verhouding van AS : AD is dus 1 : 1.61803.
Dit is dus de Gulden Snede!
2.2 - ‘Gulden constructies’
In de vorige paragraaf hebben we geconstateerd dat de diagonalen van een regelmatige vijfhoek elkaar verdelen volgens de verhouding die de Gulden Snede wordt genoemd. Maar zijn we ook in staat om een lijnstuk slechts met een passer en een liniaal te verdelen volgens de Gulden Snede? Dit gaan we uitproberen, met behulp van een klassieke constructie: een tekening waarbij we alleen gebruik maken van een passer en een liniaal, zonder merktekens (zoals de oude Grieken dit deden, vandaar de naam ‘klassiek’). Een probleem hierbij is echter, dat de verhouding wordt uitgedrukt door een irrationaal getal: een getal dat niet als een breuk (teller/noemer) geschreven kan worden: namelijk ½ (1 + 5).
Figuur 1:
We gaan nu aan de hand van deze klassieke constructie bewijzen dat de verhouding BS : AS = de verhouding AS : AB (dus kleinste stuk : grootste stuk = grootste stuk : gehele lijnstuk Gulden Snede).
We noemen lijnstuk AB = x.
BC is de halve lengte van AB, dus BC = ½ x.
AC = (x² + (½x)²) (Pythagoras) => AC = (x² + ¼x²)=> AC = 1¼ * x² =>
AC = 1¼ * x => AC = ½ 5 * x
AD = AC – DC
(DC = BC), dus DC = ½x
AD = ½ 5 * x - ½x = x * ½ (5 – 1) = 1/ ½ (1 + 5) = (1/)
AS = AD = x(1-)
AB : AS = x / (1-) => .
Nu we weten dat AB : AS als 1.61803 : 1, weten we dat de verhouding AS : AB = 1 : 1.61803.
We constateren dat lijnstuk AB in het punt S is verdeeld volgens de Gulden Snede: de verhouding BS : AS is óók 1 : 1.61803. Dus
BS : AS = AS : AB.
Figuur 2:
Ook deze constructie geeft de Gulden Snede weer. We gaan bewijzen dat lijnstuk AB in het punt S wordt verdeeld volgens de Gulden Snede. Dus ook hier geldt dan: BS : AS = AS : AB. Wederom noemen we de lengte van AB = x.
AC = ½ x
CB = (x² + ¼x²) => ½ 5 * x.
CD = CB = ½ 5 * x.
AD = CD – CA = ½ 5 * x - ½x = (1/) { zie voorbeeld figuur 1.)
AS = AD = 1/
Nu we dit weten, weten we dat ook dit lijnstuk volgens de Gulden Snede wordt verdeeld.
Figuur 3:
Wederom een klassieke constructie, waarin de Gulden Snede verborgen zit. We gaan bewijzen dat punt B lijnstuk AS volgens de Gulden Snede verdeelt, dus BS : AB = AB : AS.
Uit de vorige opgaven blijkt, dat AS/ AB moet zijn. We drukken AM uit in x.
MU = (x² + 2x²) = (x² + 4x²) = 5x² = 5 * x
MS = MU = 5 * x
AS = AM = MS = x + 5 * x = x (5 + 1) = x * 2.
AS / AB = x * 2/ 2x =
Het is wederom bewezen; lijnstuk AS wordt door punt B volgens de Gulden Snede verdeeld.
2.3 - De gulden driehoek
In de eerste paragraaf van dit hoofdstuk hebben we de Gulden Snede in het pentagram gezocht. Aan de hand van de regelmatige vijfhoek, het pentagon, en een aantal diagonalen constateerden we, dat de diagonalen elkaar snijden volgens de Gulden Snede. In deze paragraaf gaan we nogmaals werken met de diagonalen van het pentagon; we bewijzen dat 3 diagonalen samen een zogenaamde gulden driehoek vormen.
De figuren hieronder laten tweemaal driehoek ABC uit het pentagon zien:
We weten, dat volgens het eerder genoemde bewijs met het pentagon, de Gulden Snede voorkomt op lijnstuk AC. AD:AC = DC:AC.
We spreken van een gulden driehoek, wanneer de bissectrice van een basishoek de overstaande zijde volgens de Gulden Snede verdeelt. De bissectrice is de lijn die een hoek precies in twee gelijke hoeken verdeelt. In de bovenstaande figuur is lijnstuk BD de bissectrice van basishoek B. Deze lijn verdeelt inderdaad de overstaande basishoek volgens de Gulden Snede; we constateren dus dat de gelijkbenige driehoek die uit een regelmatige vijfhoek ontstaat, een gulden driehoek is!
Maar dit is nog niet alles; als we beginnen met een basis 1, en zijdes van lengte 1 + , en we driehoek BCD zouden wégknippen, blijft er weer een gulden driehoek over: driehoek DAB, met basis en zijden 1. Wanneer de bissectrice van punt D wordt getrokken, en we weer knippen, blijft er wéér een gulden driehoek over, enzovoorts. Dit gaat net als de gulden rechthoek oneindig door, en ook hier kan een gulden spiraal door worden getrokken, via de hoekpunten.
2.4 - De gulden rechthoek en de gulden spiraal
De gulden snede maakt ook in een rechthoek een bijzondere vlakverdeling mogelijk, namelijk een waarbij uitsluitend vierkanten van verschillende grootte worden gebruikt, zoals in het bovenstaande figuur. We beginnen met een rechthoek met lengte 1 + en breedte 1. We halen aan de linkerkant een vierkant met zijde 1 weg, en houden rechts een rechthoek met lengte 1 en breedte over. Is nu gelijk aan de gulden snede ( 0,61803... ), dan is de kleinere rechthoek gelijkvormig met zijn voorganger. Een rechthoek met deze lengte-breedteverhouding noemen we een gulden rechthoek.
De kleinere gulden rechthoek kunnen we wéér verdelen in een vierkant (met zijde ) en een nog kleinere gulden rechthoek (met lengte en breedte 2). Op deze manier kunnen we steeds kleinere vierkanten afsplitsen, tot we uiteindelijk een microscoop nodig hebben om de kleinste vierkantjes nog te kunnen zien!
Door dit figuur hebben we een zogenaamde logaritmische spiraal getekend, die door een aantal hoekpunten van de vierkanten loopt. Logaritmische spiralen komen met name in de natuur vaak voor; hier wordt later op ingegaan.
2.5 - Fractal
In de vorige twee paragrafen, betreffende de gulden driehoek en de gulden rechthoek, hebben we twee rijen van onderling gelijkvormige figuren geconstrueerd, namelijk gelijkvormige driehoeken en gelijkvormige rechthoeken. In deze twee gulden figuren wordt het oorspronkelijke figuur, dus de driehoek of de rechthoek, oneindig weer afgebeeld op een kleinere schaal. De figuren zijn dus samengesteld uit een oneindig aantal onderdelen.
Dit laatste feit geldt als kenmerk voor een fractal; een fractal is een figuur, bestaande uit oneindig veel onderdelen. We maken hieruit op, dat er een verband bestaat tussen de Gulden Snede en een fractal.
3. Wat is de rij van Fibonacci?
In dit hoofdstuk staat de Italiaanse Leonardo da Pisa, oftwel Fibonacci, en zijn zogenaamde ‘rij van Fibonacci’ centraal. Eerst maken we kennis met deze bekende wiskundige, en vervolgens zal ik uitleggen wat er wordt bedoeld met de rij van Fibonacci, en hier enkele formules voor geven en uitleggen.
3.1 - Wie was Fibonacci?
Leonardo da Pisa werd geboren in 1170 in Pisa, te Italië. De familie van Leonardo heette Bonacci, en daar het in die tijd gebruikelijk was zichzelf ‘Filius Bonacci’, zoon van de Bonacci’s, te noemen, werd Leonardo da Pisa bekend onder de naam Fibonacci. Soms noemde hij zichzelf wel eens Bigollo; ‘nutteloze’. Omdat Fibonacci’s vader Guilielmo een diplomatieke post had in het Noord-Afrikaanse Bugia, en daar de kooplieden van de Republiek Pisa vertegenwoordigde, groeide Fibonacci daar op. Omdat hij vaak met zijn vader meereisde, deed hij allemaal wiskundige kennis uit andere landen op, zoals Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en de Provence (Frankrijk).
Omstreeks 1200 keerde Fibonacci terug naar Pisa, met kennis van Arabische cijfers. Hij schreef hier een aantal belangrijke teksten, die oude wiskundige vaardigheden weer deden herleven. In deze tijd schreef men alles nog met de hand, en ook kopiëren kon alleen maar met de hand; vandaar dat er slechts een paar kopieën bewaard zijn gebleven van Fibonacci’s werk. Onder andere; Liber albaci (1202), Flos (1225), en Liber quadratorum.
Fibonacci's invloed op de geschiedenis van de wiskunde wordt veelal onderschat, aangezien men in zijn tijd weinig interesse toonde in de wetenschap. Een wijdverspreide interesse in zijn werk heeft veel bijgedragen voor zijn grote bekendheid. Nog steeds is gedachtegoed zeer bekend in de moderne wiskunde, en niet verloren gegaan na zijn dood omstreeks 1250 in Pisa.
3.2 - Wat is de rij van Fibonacci?
De rij van Fibonacci is een oneindig lange reeks van getallen, die volgt uit een zogenaamde recursieve formule; een formule die onbeperkt herhalend toepasbaar is, een formule die op een effectieve wijze aan natuurlijke getallen weer natuurlijke getallen toevoegt. Dit wil dus zeggen; een formule waarmee een term wordt berekend aan de hand van de vórige termen. Bij de rij van Fibonacci telt men voor iedere nieuwe term de vorige twee termen op. In de wiskunde zegt men: men berekent a(n) door middel van a(n-1) en a(n-2), namelijk: a(n) = a(n-1) + a(n-2)
Dit is oneindig herhaalbaar. Als men de rij van achteren naar voren doorloopt, komt men dus steeds weer termen tegen waar a(n) van afhangt, afhankelijk van is. Hier komt dan ook de naam recursieve formule vandaan; het Latijnse werkwoord recurrere betekent ‘terugrennen, teruglopen’. Een ‘recurrente betrekking’ betekent dan ook zoiets als een ‘teruglopend verband’; en deze vertaling geeft precies weer wat er in de rij van Fibonacci aan de hand is: ieder getal uit de rij hangt af van zijn directe voorganger, en índirect van ál zijn voorgangers.
De rij van Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ….
Zoals men ziet, wordt iedere nieuwe term berekend door de voorafgaande term, a(n-1), en de daaraan voorafgaande term, a(n-2) bij elkaar op te tellen (zoals eerder vermeld).
Vanwege de belangrijke plaats in de wiskunde van Fibonacci, wordt voor deze formule soms de term a(n) vervangen door F(n).
3.3 – Formules
De expliciete formule van deze rij, die Binet in 1843 heeft opgesteld, luidt als volgt:
Het lukt me niet om deze formule te bewijzen, en uit te leggen. De formule blijkt bij controle met verschillende internetbronnen wel te kloppen. Het kost relatief veel tijd om met deze formule te werken, maar bij hoge getallen komt deze methode toch zeer goed van pas.
Een ander manier om deze formule te weergeven, is:
F(n) = ((½ * (1 + 5))n – (½ * (1 - 5)) n ) / 5
Deze manier van noteren komt gewoon op hetzelfde neer, als de formule van Binet: in plaats van alles door 2 te delen, kan men ook alles maal ½ doen natuurlijk. En dat is hier ook het geval. Er is wel spraken van 2 n , dus iedere ½ moet óók tot de macht n worden gedaan; vandaar de extra haakjes in de formule, zoadat ook ½ tot de macht n wordt.
Voor een duidelijker begrip volgt de opbouw van deze formule stap voor stap:
Stel, men heeft een rij, waarvan geldt:
a (0) = 2
a (1) = 5
a (n) = 6 * a(n – 1) – 8 * a(n – 2) voor n = 2, 3, 4, ….
Met een beetje fantasie kunnen we in de regel a(n) = 6 • a(n – 1) – 8 • a(n – 2) een soort
‘som’ van meetkundige rijen herkennen, immers de vorm:
a(0) = b1
a(1) = b2
a(n) = r1 • a(n – 1) + r2 • a(n – 2)
met b1 = 2, b2 = 5, r1 = 6 en r2 = –8.
Om een expliciete uitdrukking voor a(n) te vinden, doorlopen we de volgende stappen:
Stap 1. Los op: y2 – r1 • y – r2 = 0.
Dit levert de oplossingen y1 en y2.
Stap 2. Los op: a(0) = w1 • (y1)0 + w2 • (y2)0 = w1 + w2 = b1
a(1) = w1 • (y1)1 + w2 • (y2)1 = y1 • w1 + y2 • w2 = b2
Dit levert de oplossingen w1 en w2.
Stap 3. De expliciete uitdrukking voor a(n) ziet er als volgt uit:
a(n) = w1 • (y2)n + w2 • (y2)n voor n = 2, 3, 4, …
Nu gaan we op zoek naar de expliciete formule voor F(n), dus voor de rij van Fibonacci :
b1 = 0, b2 = 1, r1 = 1, r2 = 1
Stap 1. Los op: y2 – y – 1 = 0.
Dit levert met behulp van de abc-formule de volgende oplossingen:
y1 = ½ • (1 + 5)
y2 = ½ • (1 – 5)
Stap 2. Los op: w1 + w2 = 0
½ • (1 + 5) • w1 + ½ • (1 – 5) • w2 = 1
Na enig rekenwerk levert dit:
w1 = 1 / 5
w2 = –1 / 5
Stap 3. De expliciete uitdrukking voor a(n) ziet er dus als volgt uit:
F(n) = ((½ • (1 + 5))n – (½ • (1 – 5))n ) / 5
4.Wat is het verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci?
In dit hoofdstuk maak ik bekend wat het wereldberoemde verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci precies inhoudt. Voor een overzichtelijke blik vat ik eerst de conclusies uit de vorige hoofdstukken samen en geef deze weer; vervolgens laat ik op een eenvoudige manier het verband tussen deze twee termen zien.
In de vorige hoofdstukken hebben we enkele dingen geconstateerd wat betreft de Gulden Snede, en de rij van Fibonacci:
- een lijnstuk is volgens de gulden snede verdeeld, als het kleinste stuk : het grootste stuk = het grootste stuk : het gehele stuk
- het getal van de Gulden Snede is = 0.61803, of = 1.61803
- de formule voor de rij van Fibonacci is a(n) = a(n-1) + a(n-2)
- de rij die hieruit ontstaat is:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …
En wat is nu precies het verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci?
Als we gaan kijken naar de verhouding a(n) : a(n + 1)/ a(n), komen we op de volgende getallen:
a (n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
a(n+1)/
a (n) 1 2 1.5 1.66667 1.6000 1.625 1.6154 1.6190 1.6176 1.6181 1.6180 1.6181
We zien, dat de verhouding tussen a(n + 1) en a(n) steeds dichter in de buurt komt van de Gulden Snede; steeds dichter in de buurt van 1.61803! Het verband tussen deze twee belangrijke wiskundige termen is dus bij deze gelegd.
5. Waar vinden we toepassingen van de rij van Fibonacci en de Gulden Snede terug?
Het doel van dit hoofdstuk is het vinden van toepassingen van de rij van Fibonacci en de Gulden Snede. Omdat dit natuurlijk zeer breed op te vatten is ( men kan na veel speurwerk op zóveel plaatsen ter wereld toepassingen vinden), beperken we ons tot enkele voorbeelden uit de natuur, de kunst, en diversen. Eerder in dit werkstuk hebben we al enkele voorbeelden van de Gulden Snede in de wiskunde besproken. Hier was nog géén sprake van de rij van Fibonacci.
5.1 – De natuur
Het meest bekende voorbeeld van de rij van Fibonacci in de natuur is wat betreft de voortplanting van konijnen. Deze dieren planten zich voort volgens de rij van Fibonacci.
We beginnen met één konijnenpaar. Er sterven geen konijnen, en ze planten zich voort volgens het volgende schema:
1). De eerste maand paren ze, maar er is nog steeds 1 paar
2). Aan het einde van de tweede maand brengt het vrouwtje een nieuw paar voort. Er zijn nu dus 2 paren aanwezig.
3). Aan het einde van de derde maand brengt het originele paar een tweede paar voort, waardoor het totale aantal paartjes op 3 staat.
4). Aan het einde van de vierde maand brengt het orginele paar nog een paar voort, het vrouwtje van 2 maanden geleden brengt óók een paar voort. Hierdoor staat het totale aantal paartjes op 5.
We kunnen dus concluderen,dat konijnen vanaf twee maanden oud iedere maand een nieuw paar voortbrengen; hierdoor stijgt het aantal paren precies volgens de rij van Fibonacci:
1 paar, 1 paar, 2 paren, 3 paren, 5 paren, 8 paren, 13, 21, 34, enz.
Een ander voorbeeld is de zonnebloem.
In de natuur zien we in vormen van bijvoorbeeld bloemen of planten vaak de Gulden Snede of de rij van Fibonacci terug; dit is geen toeval. Het komt door de manier waarop cellen groeien en elkaar steeds verder van de kern wegduwen. Dat gebeurt op een manier waarop de cellen zo min mogelijk ruimte innemen. Als dit zich blijft herhalen krijg je een spiraal motief.
De ligging van de zaadjes in een zonnebloem
Een zonnebloem heeft zijn zaden niet zomaar gerangschikt. Als we bijvoorbeeld het aantal spiralen linksom en rechtsom tellen, zijn dat er afhankelijk van de soort zonnebloem 34 en 55, 55 en 89, 89 en 144 en ga zo maar verder. Dit zijn Fibonacci-getallen!
Maar er is meer. In 1993 ontdekten Couder en Douadly dat de oppervlakte van de zonnebloem het best wordt benut, als de nieuwe pitten onder de zogenaamde Gulden Hoek worden geplaatst; * 360 ° = 222.5 °. (of : 360 ° - 222.5 ° = 137.5° ). Deze gulden hoek zorgt voor dezelfde spiraalvorm als door de eerder genoemde manier waarop cellen groeien en elkaar steeds verder van de kern wegduwen. De natuur zorgt dus uit zichzelf voor deze Gulden verhouding!
Nog een voorbeeld van de Gulden Snede in de natuur, is het slakkenhuis.
Vergelijk het figuur van de gulden spiraal (een kwartslag gedraaid) met de vorm van een slakkenhuis; en de toepassing zal duidelijk zijn.
Er zijn nog veel en veel meer toepassingen van de Gulden Snede en/of de rij van Fibonacci in de natuur te noemen. Dit vooral vanwege de manier waarop cellen groeien en elkaar steeds verder van de kern wegduwen, wat voor de gulden spiraal/gulden hoek zorgt; het komt dus vaak voor in de natuur dankzij natuurlijke processen!
5.2 – Kunst
Veel kunst en architectuur uit de Renaissance waren geïnspireerd door het Griekse gevoel voor schoonheid en proportie. Het is dan ook niet verrassend dat zoveel gebouwen, beeldhouwwerken en andere kunstwerken uit die periode gekenmerkt worden door gulden verhoudingen.
De zeer beroemde ‘homo universalis’ Leonardo da Vinci (1452 – 1519) is absoluut het beste voorbeeld wat betreft toepassingen van de Gulden Snede in de kunst. We kunnen verscheidene werken van hem bespreken, die allen iets met de Gulden Snede te maken hebben.
Zo creëerde da Vinci De mens van Vitruvius, vernoemd naar de architect Vitruvius.
Op de schets zijn de verhoudingen van de gulden snede te zien: de afstand tussen het hoofd en het middel verhoudt zich tot de afstand van het middel tot de voeten zoals deze zich verhoudt tot de totale lichaamslengte.
Ook creëerde hij deze oude man, die zich ook tot de Gulden Snede verhoudt:
Maar zijn meest beroemde schilderij is natuurlijk de Mona Lisa geworden; ook dít schilderij verhoudt zich volgens de Gulden Snede!
Een ander voorbeeld van de Gulden Snede toegepast in de kunst, is een schilderij van de beroemde Franse kunstenaar Claude Monet (1840-1926).
Het Strand bij Trouville is een goed voorbeeld van een uitstekend ontwerp met een zekere vanzelfsprekendheid. De belangrijkste lijnen in de compositie komen dicht bij de verhoudingen van de Gulden Snede in de buurt. Maar gezien de dingen die men weet over Monets werkwijze is het echter onwaarschijnlijk dat hij wiskundige berekeningen heeft gebruikt bij zijn vlakverdelingen. Het zal een combinatie van ervaring en instinctief visueel gevoel geweest zijn, dat dit schilderij opleverde:
Er zijn nog gigantisch veel meer kunstwerken op te noemen, waarin de Gulden verhouding verstopt zit, of wellicht de getallen van Fibonacci. Deze wiskundige termen zijn van groot belang geweest voor vele ontwikkelingen in de kunst!
5.3 – De achitectuur
De oude Grieken kenden in principe de Gulden verhouding al voor onze jaartelling begon. Zij gebruikten deze verhouding geregeld bij het ontwerpen van nieuwe gebouwen; het bekendste voorbeeld hiervan is het Panthenon, een oude Griekse Tempel die gewijd is aan Athene, de god van de wijsheid,die op de akropolis van Athene heeft gestaan:
Wanneer we kijken naar de voorkant van het gebouw, zien we dat bepaalde verhoudingen van afmetingen de gulden snede zijn.
Maar eeuwen eerder al paste men de Gulden Snede ook toe in de architectuur; als we kijken naar de vorm van piramides vinden we geregeld deze verhouding terug. Het beste voorbeeld is de Grote Piramide in Gizeh, gebouwd rond 2500 v. Chr.
Als we de dwarsdoorsnede zouden tekenen, en er enige berekeningen op los zouden laten, dan komen we tot de conclusie dat piramides óók volgens de Gulden Snede zijn gebouwd.
En ook in moderne gebouwen wordt deze verhouding nog vaak gebruikt. De Gulden Snede heeft al eeuwenlang, zelfs millennialang, een belangrijke rol in de architectuur!
Conclusie
De Gulden Snede is een belangrijke wiskundige term. Het gaat hier om een bepaald verhoudingsgetal, dat wordt aangeduid met het getal . De Gulden verhouding houdt in, dat het kleinste stuk van een lijnstuk zich tot het grootste stuk verhoudt, zoals het grootste stuk zich tot de originele lengte verhoudt.
De Gulden Snede kent vele toepassingen in de wiskunde. De diagonalen van een regelmatige vijfhoek, een pentagon, vormen samen een pentagram en snijden elkaar volgens de Gulden Snede. Ook keert deze verhouding terug in onder andere de gulden rechthoek, de gulden driehoek, verscheidene klassieke constructies, en fractals.
De rij van Fibonacci is een al even belangrijke wiskundige term. In deze rij is sprake van een recursieve betrekking; iedere term wordt berekend uit de voorafgaande, en de dááraan voorafgaande term; en indirect uit álle voorafgaande termen. De formule van de rij van Fibonacci luidt: F(n) = F(n-1) + F(n-2). De rij die hieruit ontstaat, is een oneindig lange rij.
Het verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci is eenvoudig; de verhouding van iedere F(n) : F(n + 1)/F(n) komt steeds dichter in de buurt van het getal 1.61803; het Gulden Snede-getal.
In de natuur, de kunst en de architectuur vinden we veel toepassingen van deze twee termen terug. De meest bekende zijn de konijnenvoortplanting, de zonnebloemzaadjes, de Mona Lisa van Leonardo da Vinci, en het Panthenon in Athene; dit is echter slechts een kleine greep uit de vele toepassingen ter wereld. De Gulden Snede en de rij van Fibonacci zijn van groot belang geweest voor vele ontwikkelingen in onze geschiedenis.
Evaluatie
Het maken van dit werkstuk heeft me absoluut meer moeite gekost dan dat ik aanvankelijk dacht. Het onderwerp bleek vrij lastig te zijn, en dan met name het uitleggen van de Gulden Snede heeft me heel wat uren werk gekost. Het boekje dat ik had hielp me niet veel verder, aangezien ik het als vrij onoverzichtelijk heb ervaren. Maar met behulp van een aantal duidelijke websites kwam er toch nog een heldere uitleg uit voort.
De rij van Fibonacci vond ik een stuk makkelijker te begrijpen. Ook het verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci zette ik zonder problemen op papier.
Met de toepassingen ben ik toch ook wel een paar uren bezig geweest op het internet. Voor iedere paragraaf ging ik op zoek naar de bekendste en beste voorbeelden, en dan ook nog overzichtelijk en duidelijk beschreven...
Maar ik kan absoluut zeggen dat mijn onderwerpskeuze niet verkeerd is gemaakt; ondanks de pittige achtergrond van de Gulden Snede, ben ik blij dat ik me niet heb hoeven bezighouden met kansberekenen; een concreet, al eeuwenlang vastgelegd onderwerp heeft absoluut mijn voorkeur. Ik heb werkelijk veel geleerd dankzij dit werkstuk, en ik zal in de toekomst ook met een hele andere blik tegen kunst en de natuur aankijken; altijd de Gulden Snede opzoeken!
Literatuurlijst
Voor deze praktische opdracht heb ik de volgende boeken gebruikt:
- De Gulden Snede: over de meetkunde en algebra van een goddelijke proportie, en haar toepassingen in de kunst, Wim Kleijne en Ton Konings, Epsilon Uitgaven, Utrecht 2000
- Van Dale Handwoordenboek Hedendaags Nederlands, prof. Dr. P.G.J. van Sterkenburg, Van Dale Lexicografie, Utrecht/Antwerpen 1996
En de volgende websites heb ik gebruikt:
http://www.wisfaq.nl/frame.htm?url=http://www.wisfaq.nl/overzicht.asp?categorie=Fibonacci%20en%20gulden%20snede
http://www.phys.tue.nl/TULO/guldensnede/architectuur.html
http://www.pascal-online.nl/assets/pascal/PODeGuldenSnedeHVN.doc
http://home.wanadoo.nl/ruleoff/index.htm?url=art/GuldenSnede.htm&loc=main&via=http://www.google.nl/search?hl=nl&q=gulden+snede+%2B+architectuur&btnG=Google+zoeken&meta=
http://www.phys.tue.nl/TULO/guldensnede/index5.html
http://www.cohe.be/fibonacci/fbnKun/fbn_kun_sch_comp_GS.htm
http://www.cohe.be/fibonacci/fbnKun/fbn_kun_arc_ren.htm
De term ‘wiskunde’ is al eeuwen lang niet meer weg te denken uit ons leven. Wiskunde is de benaming van de wetenschap die zich met de eigenschappen van grootheden als zelfstandige gegevens bezighoudt (ook wel ‘mathematica’ genoemd). Maar men moet weten, dat voordat deze term is bedacht, er ook al overal om ons heen sprake was van ‘wiskunde’. Wiskunde heeft eigenlijk altijd al bestaan, voordat de mens zich erin interesseerde. Men heeft bijvoorbeeld formules bedacht, die terugslaan op het ontstaan van de Aarde. De natuur zit vol met wiskundige verhoudingen. En zo zijn er nog veel meer voorbeelden te noemen.
Wanneer de mens zich precies begon te interesseren in het werken met getallen, formules, grootheden, enzovoorts, is niet precies bekend. Wel weten we, dat dit voor grote gevolgen heeft geleid. Men kan bijvoorbeeld denken aan de Griekse filosoof Pythagoras, geboren rond 570/580 voor Christus, en zijn wereldberoemde ‘stelling van Pythagoras’, die het verband verklaart tussen zijden van een rechthoekige driehoek. Een ander voorbeeld is het tweetal 16e eeuwse Italiaanse geleerden Copernicus, die beweerde dat de zon níet om de Aarde heen draait, en Galilei, die dit inderdaad heeft bewezen; heel wat wiskundige berekeningen kwamen hieraan te pas! En ook hier zijn nog zeel veel voorbeelden te noemen; wiskunde heeft al eeuwenlang voor zowel belangrijke verklaringen, als kleinere ontdekkingen gezorgd.
Wat de Gulden Snede en de Rij van Fibonacci precies inhouden, zal ik in dit werkstuk gaan uitleggen. Hierna zal ik me gaan verdiepen in het verband tussen deze twee termen, en waar we enige toepassingen van dit verband kunnen terugvinden. Het werkstuk bestaat uit een hoofdvraag, de probleemstelling, en verscheidene deelvragen om het antwoord op te bouwen.
De opzet luidt als volgt:
Wat is het verband tussen de Gulden Snede en de Rij van Fibonacci, en waar vinden we dit verband terug?
Deelvragen:
1- Wat is de Gulden Snede?
2- Hoe wordt de Gulden Snede toegepast in de wiskunde?
3- Wat is de Rij van Fibonacci?
4- Wat is het verband tussen de Gulden Snede en de Rij van Fibonacci?
5- Waar vinden we toepassingen van de rij van Fibonacci en de Gulden Snede terug?
Ik hoop aan het eind van deze praktische opdracht tot een helder en doelmatig antwoord
Te komen, waarmee de lezer hiervan alles goed kan begrijpen. Zelf zal ik er ook het een en ander van opsteken, want dit onderwerp is een kleine uitdaging, omdat ik wiskunde a heb, en dit me best een b-onderwerp lijkt.
1. Wat is de Gulden Snede?
In dit hoofdstuk geef ik een uitgebreide uitleg betreft de Gulden Snede. Met behulp van voorbeelden, experimenten en concrete formules moet dit begrip voor iedereen begrijpbaar worden.
Bij het begrip Gulden Snede gaat het over een bijzondere wijze van verdeling van een lijnstuk in twee stukken. De Gulden Snede is een verhouding die men op de volgende manier kan berekenen: als men een lijnstuk, bijvoorbeeld een lat, op een willekeurige plaats doorsnijdt, dan ontstaan twee stukken die in de regel niet even lang zijn. Tussen de lengtes van deze twee nieuwe stukken, bestaat (uiteraard) een bepaalde verhouding.
Stel: men verdeelt een lat van 1 meter in twee stukken van 30 cm en 70 cm. De verhouding van het kleinste stuk tot het grootste stuk is hier dus 30 : 70, is 1 : 2,333.
Tegelijk staan beide stukken in een bepaalde verhouding tot de oorspronkelijke lengte.
In ons voorbeeld verhoudt het kleinste stuk zich tot de gehele lengte als 30 : 100, of 1 : 3.333.
Het grootste stuk verhoudt zich tot de gehele lengte als 70 : 100, of 1 : 1.429. Hierbij merken we op: 1.429 is kleiner dan 2.333.
Stel: men verdeelt dezelfde lat van 1 meter in twee stukken van 55 en 45 cm. De verhouding van het kleinste stuk tot het grootste is dan 45 : 55, is 1 : 1.222.
De verhouding van het grootste stuk tot de gehele lengte is hier 55: 100, is 1: 1.818.
Hierbij merken we op: 1.818 is groter dan 1.182.
Uit bovenstaande voorbeelden van verschillende lengtes van de twee stukken, kan dus verwacht worden dat er een bepaalde verdeling bestaat, waarbij de verhouding van het kleinste stuk tot het grootste stuk gelijk is aan de verhouding van het grootste stuk tot de gehele lengte. Deze verhouding wordt de Gulden Snede genoemd.
Met behulp van de volgende tabel ga ik op zoek naar de gezochte verdeling van de lat van 1 meter, ik onderzoek dus bij welke verdeling de Gulden Snede – verhouding optreedt.
helft (cm) Langste
helft (cm) Verhouding helften Verhouding grootste helft tot gehele lengte Groter of kleiner dan verhouding helften?
30 70 1 : 2,33333 1 : 1.42857 kleiner
45 55 1: 1.22222 1 : 1.81818 groter
40 60 1 : 1.5000 1 : 1.66667 groter
35 65 1 : 1.85714 1 : 1.53846 kleiner
37 63 1: 1.70270 1 : 1.58730 kleiner
38 62 1 : 1.63158 1 : 1. 61290 kleiner
38.2 61.8 1 : 1.61780 1 : 1.61812 groter
38.1 61.9 1 : 1.62467 1 : 1.61550 kleiner
38.15 61.85 1 : 1.62123 1 : 1.61681 kleiner
38.17 61.83 1 : 1.61986 1 : 1.61734 kleiner
38.18 61.82 1 : 1.61917 1 : 1.61760 kleiner
38.19 61.81 1 : 1.61849 1 : 1.61786 kleiner
38.195 61.805 1 : 1.61814 1 : 1.61799 kleiner
38.197 61.803 1 : 1.61801 1 : 1.61804 groter
38.196 61.804 1 : 1.61808 1 : 1.61801 kleiner
38.1967 61.8033 1 : 1.61803 1 : 1.61804 groter
38.1966 61.8034 1 : 1.61803 1 : 1.61803 gelijk
Uit de tabel is de gezochte verhouding gebleken : 1 : 1.61803 . Deze verhouding is dus de Gulden Snede.
1.2 - De letter
De Gulden Snede wordt in de wiskunde aangeduid met een bepaald verhoudingsgetal.
In plaats van het gevonden getal 1.61803 gebruikt men een bepaalde formule, die als volgt uitgelegd dient te worden:
Als voorbeeld nemen we een lijnstuk van lengte 1. Dit is lijnstuk AB. AB wordt in twee stukken verdeeld door punt M, zodanig, dat de verhouding MB : AM gelijk is aan de verhouding van AM : AB. We noemen hierbij de lengte van AM x.
De situatie geschetst:
A M B
|____________________|___________|
x 1-x
Anders gezegd, is volgens de Gulden Snede de verhouding 1-x : x is gelijk aan x : 1.
Oftewel:
1-x = x
x 1
Herleiden geeft: x² + x – 1 = 0
Met de abc-formule ( x = -b - D of x = -b + D met D = b² + 4ac )
2ac 2ac
vinden we: x = (-1 - 5) / 2 -1.61803 of x= (-1 + 5) / 2 0.61803 .
Omdat x hier positief behoort te zijn, is het laatste antwoord het juiste antwoord.
Dit is dus x = (-1 + 5) / 2 x = ½ (-1 + 5) .
Dit laatste getal noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede aan met de Griekse letter . Als we berekenen, krijgen we dus 0.61803. De Gulden Snede heeft de eigenschap dat 1/ = 1 + . Dit getal wordt soms ook de Gulden Snede genoemd; ik duidt 1 + aan met ; dus 1.61803.
2. Hoe wordt de Gulden Snede toegepast in de wiskunde?
In dit hoofdstuk ga ik in verschillende soorten figuren/constructies de Gulden Snede opsporen. Eerst zien we het figuur, vervolgens leg ik uit om welk bewijs het precies gaat, en daarna volgt een duidelijke, overzichtelijke uitleg, die het stapsgewijs voor iedere lezer goed te begrijpen moet maken.
2.1 - Het pentagram
Een zeer bekend, en betekenisvol symbool in o.a. de beeldende kunst, de literatuur, de filosofie, en uiteraard in de magie, is het pentagram. In de Middeleeuwen was deze vijfpuntige ster een symbool dat bescherming bood tegen heksen, boze geesten, enzovoorts. Dit figuur heeft echter ook voor de wiskunde een aanvoegende betekenis; het pentagram en het pentagon, de vijfhoek eromheen, zijn namelijk verbonden met de Gulden Snede.
Om een duidelijk beeld te schetsen, waarbij we ons realiseren dat de lijnstukken van het pentagram diagonalen vormen van een regelmatige vijfhoek, tekenen we nu slechts 3 diagonalen:
We zien in dit figuur drie verschillende lengtes; kleine (bijv. DS), grotere (bijv. AS) en de grootsten (bijv. AD). Als we de plaats willen weten waar de lijnstukken elkaar snijden, moeten we achter de verhouding tussen de lijnstukken komen, zoals de verhouding DS: SA, of AB: AD.
In het figuur is te zien, dat lijnstuk ED is evenwijdig aan lijnstuk AC. Lijnstuk AB is evenwijdig aan EC. Hieruit maken we op dat de driehoek ACS een vergroting is van driehoek DES. Anders gezegd:
ACS DES
Hieruit volgt, dat de verhouding DS:AS = de verhouding ED:AC. Omdat EC evenwijdig is aan AC, en AD evenwijdig is aan BC, constateren we dat vierhoek ABCS een parallellogram is; dus BC = AS en ACS = CAB.
Omdat DE = BC, is dus ook DE = AS. Oftewel:
Omdat ACD gelijkbenig is, én vanwege de symmetrie van de ster is ook AC = AD.
Dus: DS:AS = AS:AD = AB:AD
We hebben nu een belangrijk resultaat gekregen: de verhouding van de beide stukken waarin een diagonaal van de vijfhoek door een andere diagonaal in twee stukken verdeeld wordt, is gelijk aan de verhouding van een van de stukken van de diagonaal tot de gehele diagonaal. Oftewel: de verhouding van het kleinste stuk tot het grootste stuk = de verhouding van het grootste stuk tot de gehele diagonaal.
Nu kunnen we de lengte van de diagonalen bereken. We stellen de lengte van de zijden van de regelmatige vijfhoek gelijk aan 1. De lengte van een diagonaal noemen we D. We kunnen nu opstellen:
Hieruit volgt: D²-D-1 = 0. Wederom met de abc-formule vinden we:
D = ½ (1 + 5) 1.61803 ; en dat is . De verhouding van AS : AD is dus 1 : 1.61803.
Dit is dus de Gulden Snede!
2.2 - ‘Gulden constructies’
In de vorige paragraaf hebben we geconstateerd dat de diagonalen van een regelmatige vijfhoek elkaar verdelen volgens de verhouding die de Gulden Snede wordt genoemd. Maar zijn we ook in staat om een lijnstuk slechts met een passer en een liniaal te verdelen volgens de Gulden Snede? Dit gaan we uitproberen, met behulp van een klassieke constructie: een tekening waarbij we alleen gebruik maken van een passer en een liniaal, zonder merktekens (zoals de oude Grieken dit deden, vandaar de naam ‘klassiek’). Een probleem hierbij is echter, dat de verhouding wordt uitgedrukt door een irrationaal getal: een getal dat niet als een breuk (teller/noemer) geschreven kan worden: namelijk ½ (1 + 5).
Figuur 1:
We gaan nu aan de hand van deze klassieke constructie bewijzen dat de verhouding BS : AS = de verhouding AS : AB (dus kleinste stuk : grootste stuk = grootste stuk : gehele lijnstuk Gulden Snede).
We noemen lijnstuk AB = x.
BC is de halve lengte van AB, dus BC = ½ x.
AC = (x² + (½x)²) (Pythagoras) => AC = (x² + ¼x²)=> AC = 1¼ * x² =>
AC = 1¼ * x => AC = ½ 5 * x
AD = AC – DC
(DC = BC), dus DC = ½x
AS = AD = x(1-)
AB : AS = x / (1-) => .
Nu we weten dat AB : AS als 1.61803 : 1, weten we dat de verhouding AS : AB = 1 : 1.61803.
We constateren dat lijnstuk AB in het punt S is verdeeld volgens de Gulden Snede: de verhouding BS : AS is óók 1 : 1.61803. Dus
BS : AS = AS : AB.
Figuur 2:
Ook deze constructie geeft de Gulden Snede weer. We gaan bewijzen dat lijnstuk AB in het punt S wordt verdeeld volgens de Gulden Snede. Dus ook hier geldt dan: BS : AS = AS : AB. Wederom noemen we de lengte van AB = x.
AC = ½ x
CB = (x² + ¼x²) => ½ 5 * x.
CD = CB = ½ 5 * x.
AD = CD – CA = ½ 5 * x - ½x = (1/) { zie voorbeeld figuur 1.)
AS = AD = 1/
Nu we dit weten, weten we dat ook dit lijnstuk volgens de Gulden Snede wordt verdeeld.
Figuur 3:
Uit de vorige opgaven blijkt, dat AS/ AB moet zijn. We drukken AM uit in x.
MU = (x² + 2x²) = (x² + 4x²) = 5x² = 5 * x
MS = MU = 5 * x
AS = AM = MS = x + 5 * x = x (5 + 1) = x * 2.
AS / AB = x * 2/ 2x =
Het is wederom bewezen; lijnstuk AS wordt door punt B volgens de Gulden Snede verdeeld.
2.3 - De gulden driehoek
In de eerste paragraaf van dit hoofdstuk hebben we de Gulden Snede in het pentagram gezocht. Aan de hand van de regelmatige vijfhoek, het pentagon, en een aantal diagonalen constateerden we, dat de diagonalen elkaar snijden volgens de Gulden Snede. In deze paragraaf gaan we nogmaals werken met de diagonalen van het pentagon; we bewijzen dat 3 diagonalen samen een zogenaamde gulden driehoek vormen.
De figuren hieronder laten tweemaal driehoek ABC uit het pentagon zien:
We spreken van een gulden driehoek, wanneer de bissectrice van een basishoek de overstaande zijde volgens de Gulden Snede verdeelt. De bissectrice is de lijn die een hoek precies in twee gelijke hoeken verdeelt. In de bovenstaande figuur is lijnstuk BD de bissectrice van basishoek B. Deze lijn verdeelt inderdaad de overstaande basishoek volgens de Gulden Snede; we constateren dus dat de gelijkbenige driehoek die uit een regelmatige vijfhoek ontstaat, een gulden driehoek is!
Maar dit is nog niet alles; als we beginnen met een basis 1, en zijdes van lengte 1 + , en we driehoek BCD zouden wégknippen, blijft er weer een gulden driehoek over: driehoek DAB, met basis en zijden 1. Wanneer de bissectrice van punt D wordt getrokken, en we weer knippen, blijft er wéér een gulden driehoek over, enzovoorts. Dit gaat net als de gulden rechthoek oneindig door, en ook hier kan een gulden spiraal door worden getrokken, via de hoekpunten.
2.4 - De gulden rechthoek en de gulden spiraal
De gulden snede maakt ook in een rechthoek een bijzondere vlakverdeling mogelijk, namelijk een waarbij uitsluitend vierkanten van verschillende grootte worden gebruikt, zoals in het bovenstaande figuur. We beginnen met een rechthoek met lengte 1 + en breedte 1. We halen aan de linkerkant een vierkant met zijde 1 weg, en houden rechts een rechthoek met lengte 1 en breedte over. Is nu gelijk aan de gulden snede ( 0,61803... ), dan is de kleinere rechthoek gelijkvormig met zijn voorganger. Een rechthoek met deze lengte-breedteverhouding noemen we een gulden rechthoek.
De kleinere gulden rechthoek kunnen we wéér verdelen in een vierkant (met zijde ) en een nog kleinere gulden rechthoek (met lengte en breedte 2). Op deze manier kunnen we steeds kleinere vierkanten afsplitsen, tot we uiteindelijk een microscoop nodig hebben om de kleinste vierkantjes nog te kunnen zien!
Door dit figuur hebben we een zogenaamde logaritmische spiraal getekend, die door een aantal hoekpunten van de vierkanten loopt. Logaritmische spiralen komen met name in de natuur vaak voor; hier wordt later op ingegaan.
2.5 - Fractal
In de vorige twee paragrafen, betreffende de gulden driehoek en de gulden rechthoek, hebben we twee rijen van onderling gelijkvormige figuren geconstrueerd, namelijk gelijkvormige driehoeken en gelijkvormige rechthoeken. In deze twee gulden figuren wordt het oorspronkelijke figuur, dus de driehoek of de rechthoek, oneindig weer afgebeeld op een kleinere schaal. De figuren zijn dus samengesteld uit een oneindig aantal onderdelen.
Dit laatste feit geldt als kenmerk voor een fractal; een fractal is een figuur, bestaande uit oneindig veel onderdelen. We maken hieruit op, dat er een verband bestaat tussen de Gulden Snede en een fractal.
In dit hoofdstuk staat de Italiaanse Leonardo da Pisa, oftwel Fibonacci, en zijn zogenaamde ‘rij van Fibonacci’ centraal. Eerst maken we kennis met deze bekende wiskundige, en vervolgens zal ik uitleggen wat er wordt bedoeld met de rij van Fibonacci, en hier enkele formules voor geven en uitleggen.
3.1 - Wie was Fibonacci?
Leonardo da Pisa werd geboren in 1170 in Pisa, te Italië. De familie van Leonardo heette Bonacci, en daar het in die tijd gebruikelijk was zichzelf ‘Filius Bonacci’, zoon van de Bonacci’s, te noemen, werd Leonardo da Pisa bekend onder de naam Fibonacci. Soms noemde hij zichzelf wel eens Bigollo; ‘nutteloze’. Omdat Fibonacci’s vader Guilielmo een diplomatieke post had in het Noord-Afrikaanse Bugia, en daar de kooplieden van de Republiek Pisa vertegenwoordigde, groeide Fibonacci daar op. Omdat hij vaak met zijn vader meereisde, deed hij allemaal wiskundige kennis uit andere landen op, zoals Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en de Provence (Frankrijk).
Omstreeks 1200 keerde Fibonacci terug naar Pisa, met kennis van Arabische cijfers. Hij schreef hier een aantal belangrijke teksten, die oude wiskundige vaardigheden weer deden herleven. In deze tijd schreef men alles nog met de hand, en ook kopiëren kon alleen maar met de hand; vandaar dat er slechts een paar kopieën bewaard zijn gebleven van Fibonacci’s werk. Onder andere; Liber albaci (1202), Flos (1225), en Liber quadratorum.
Fibonacci's invloed op de geschiedenis van de wiskunde wordt veelal onderschat, aangezien men in zijn tijd weinig interesse toonde in de wetenschap. Een wijdverspreide interesse in zijn werk heeft veel bijgedragen voor zijn grote bekendheid. Nog steeds is gedachtegoed zeer bekend in de moderne wiskunde, en niet verloren gegaan na zijn dood omstreeks 1250 in Pisa.
3.2 - Wat is de rij van Fibonacci?
De rij van Fibonacci is een oneindig lange reeks van getallen, die volgt uit een zogenaamde recursieve formule; een formule die onbeperkt herhalend toepasbaar is, een formule die op een effectieve wijze aan natuurlijke getallen weer natuurlijke getallen toevoegt. Dit wil dus zeggen; een formule waarmee een term wordt berekend aan de hand van de vórige termen. Bij de rij van Fibonacci telt men voor iedere nieuwe term de vorige twee termen op. In de wiskunde zegt men: men berekent a(n) door middel van a(n-1) en a(n-2), namelijk: a(n) = a(n-1) + a(n-2)
Dit is oneindig herhaalbaar. Als men de rij van achteren naar voren doorloopt, komt men dus steeds weer termen tegen waar a(n) van afhangt, afhankelijk van is. Hier komt dan ook de naam recursieve formule vandaan; het Latijnse werkwoord recurrere betekent ‘terugrennen, teruglopen’. Een ‘recurrente betrekking’ betekent dan ook zoiets als een ‘teruglopend verband’; en deze vertaling geeft precies weer wat er in de rij van Fibonacci aan de hand is: ieder getal uit de rij hangt af van zijn directe voorganger, en índirect van ál zijn voorgangers.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ….
Zoals men ziet, wordt iedere nieuwe term berekend door de voorafgaande term, a(n-1), en de daaraan voorafgaande term, a(n-2) bij elkaar op te tellen (zoals eerder vermeld).
Vanwege de belangrijke plaats in de wiskunde van Fibonacci, wordt voor deze formule soms de term a(n) vervangen door F(n).
3.3 – Formules
De expliciete formule van deze rij, die Binet in 1843 heeft opgesteld, luidt als volgt:
Het lukt me niet om deze formule te bewijzen, en uit te leggen. De formule blijkt bij controle met verschillende internetbronnen wel te kloppen. Het kost relatief veel tijd om met deze formule te werken, maar bij hoge getallen komt deze methode toch zeer goed van pas.
Een ander manier om deze formule te weergeven, is:
F(n) = ((½ * (1 + 5))n – (½ * (1 - 5)) n ) / 5
Deze manier van noteren komt gewoon op hetzelfde neer, als de formule van Binet: in plaats van alles door 2 te delen, kan men ook alles maal ½ doen natuurlijk. En dat is hier ook het geval. Er is wel spraken van 2 n , dus iedere ½ moet óók tot de macht n worden gedaan; vandaar de extra haakjes in de formule, zoadat ook ½ tot de macht n wordt.
Voor een duidelijker begrip volgt de opbouw van deze formule stap voor stap:
a (0) = 2
a (1) = 5
a (n) = 6 * a(n – 1) – 8 * a(n – 2) voor n = 2, 3, 4, ….
Met een beetje fantasie kunnen we in de regel a(n) = 6 • a(n – 1) – 8 • a(n – 2) een soort
‘som’ van meetkundige rijen herkennen, immers de vorm:
a(0) = b1
a(1) = b2
a(n) = r1 • a(n – 1) + r2 • a(n – 2)
met b1 = 2, b2 = 5, r1 = 6 en r2 = –8.
Om een expliciete uitdrukking voor a(n) te vinden, doorlopen we de volgende stappen:
Stap 1. Los op: y2 – r1 • y – r2 = 0.
Dit levert de oplossingen y1 en y2.
Stap 2. Los op: a(0) = w1 • (y1)0 + w2 • (y2)0 = w1 + w2 = b1
a(1) = w1 • (y1)1 + w2 • (y2)1 = y1 • w1 + y2 • w2 = b2
Dit levert de oplossingen w1 en w2.
Stap 3. De expliciete uitdrukking voor a(n) ziet er als volgt uit:
Nu gaan we op zoek naar de expliciete formule voor F(n), dus voor de rij van Fibonacci :
b1 = 0, b2 = 1, r1 = 1, r2 = 1
Stap 1. Los op: y2 – y – 1 = 0.
Dit levert met behulp van de abc-formule de volgende oplossingen:
y1 = ½ • (1 + 5)
y2 = ½ • (1 – 5)
Stap 2. Los op: w1 + w2 = 0
½ • (1 + 5) • w1 + ½ • (1 – 5) • w2 = 1
Na enig rekenwerk levert dit:
w1 = 1 / 5
w2 = –1 / 5
Stap 3. De expliciete uitdrukking voor a(n) ziet er dus als volgt uit:
F(n) = ((½ • (1 + 5))n – (½ • (1 – 5))n ) / 5
4.Wat is het verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci?
In dit hoofdstuk maak ik bekend wat het wereldberoemde verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci precies inhoudt. Voor een overzichtelijke blik vat ik eerst de conclusies uit de vorige hoofdstukken samen en geef deze weer; vervolgens laat ik op een eenvoudige manier het verband tussen deze twee termen zien.
In de vorige hoofdstukken hebben we enkele dingen geconstateerd wat betreft de Gulden Snede, en de rij van Fibonacci:
- het getal van de Gulden Snede is = 0.61803, of = 1.61803
- de formule voor de rij van Fibonacci is a(n) = a(n-1) + a(n-2)
- de rij die hieruit ontstaat is:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …
En wat is nu precies het verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci?
Als we gaan kijken naar de verhouding a(n) : a(n + 1)/ a(n), komen we op de volgende getallen:
a (n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
a(n+1)/
a (n) 1 2 1.5 1.66667 1.6000 1.625 1.6154 1.6190 1.6176 1.6181 1.6180 1.6181
We zien, dat de verhouding tussen a(n + 1) en a(n) steeds dichter in de buurt komt van de Gulden Snede; steeds dichter in de buurt van 1.61803! Het verband tussen deze twee belangrijke wiskundige termen is dus bij deze gelegd.
5. Waar vinden we toepassingen van de rij van Fibonacci en de Gulden Snede terug?
Het doel van dit hoofdstuk is het vinden van toepassingen van de rij van Fibonacci en de Gulden Snede. Omdat dit natuurlijk zeer breed op te vatten is ( men kan na veel speurwerk op zóveel plaatsen ter wereld toepassingen vinden), beperken we ons tot enkele voorbeelden uit de natuur, de kunst, en diversen. Eerder in dit werkstuk hebben we al enkele voorbeelden van de Gulden Snede in de wiskunde besproken. Hier was nog géén sprake van de rij van Fibonacci.
Het meest bekende voorbeeld van de rij van Fibonacci in de natuur is wat betreft de voortplanting van konijnen. Deze dieren planten zich voort volgens de rij van Fibonacci.
We beginnen met één konijnenpaar. Er sterven geen konijnen, en ze planten zich voort volgens het volgende schema:
1). De eerste maand paren ze, maar er is nog steeds 1 paar
2). Aan het einde van de tweede maand brengt het vrouwtje een nieuw paar voort. Er zijn nu dus 2 paren aanwezig.
3). Aan het einde van de derde maand brengt het originele paar een tweede paar voort, waardoor het totale aantal paartjes op 3 staat.
4). Aan het einde van de vierde maand brengt het orginele paar nog een paar voort, het vrouwtje van 2 maanden geleden brengt óók een paar voort. Hierdoor staat het totale aantal paartjes op 5.
We kunnen dus concluderen,dat konijnen vanaf twee maanden oud iedere maand een nieuw paar voortbrengen; hierdoor stijgt het aantal paren precies volgens de rij van Fibonacci:
1 paar, 1 paar, 2 paren, 3 paren, 5 paren, 8 paren, 13, 21, 34, enz.
Een ander voorbeeld is de zonnebloem.
In de natuur zien we in vormen van bijvoorbeeld bloemen of planten vaak de Gulden Snede of de rij van Fibonacci terug; dit is geen toeval. Het komt door de manier waarop cellen groeien en elkaar steeds verder van de kern wegduwen. Dat gebeurt op een manier waarop de cellen zo min mogelijk ruimte innemen. Als dit zich blijft herhalen krijg je een spiraal motief.
De ligging van de zaadjes in een zonnebloem
Maar er is meer. In 1993 ontdekten Couder en Douadly dat de oppervlakte van de zonnebloem het best wordt benut, als de nieuwe pitten onder de zogenaamde Gulden Hoek worden geplaatst; * 360 ° = 222.5 °. (of : 360 ° - 222.5 ° = 137.5° ). Deze gulden hoek zorgt voor dezelfde spiraalvorm als door de eerder genoemde manier waarop cellen groeien en elkaar steeds verder van de kern wegduwen. De natuur zorgt dus uit zichzelf voor deze Gulden verhouding!
Nog een voorbeeld van de Gulden Snede in de natuur, is het slakkenhuis.
Vergelijk het figuur van de gulden spiraal (een kwartslag gedraaid) met de vorm van een slakkenhuis; en de toepassing zal duidelijk zijn.
Er zijn nog veel en veel meer toepassingen van de Gulden Snede en/of de rij van Fibonacci in de natuur te noemen. Dit vooral vanwege de manier waarop cellen groeien en elkaar steeds verder van de kern wegduwen, wat voor de gulden spiraal/gulden hoek zorgt; het komt dus vaak voor in de natuur dankzij natuurlijke processen!
5.2 – Kunst
Veel kunst en architectuur uit de Renaissance waren geïnspireerd door het Griekse gevoel voor schoonheid en proportie. Het is dan ook niet verrassend dat zoveel gebouwen, beeldhouwwerken en andere kunstwerken uit die periode gekenmerkt worden door gulden verhoudingen.
De zeer beroemde ‘homo universalis’ Leonardo da Vinci (1452 – 1519) is absoluut het beste voorbeeld wat betreft toepassingen van de Gulden Snede in de kunst. We kunnen verscheidene werken van hem bespreken, die allen iets met de Gulden Snede te maken hebben.
Zo creëerde da Vinci De mens van Vitruvius, vernoemd naar de architect Vitruvius.
Op de schets zijn de verhoudingen van de gulden snede te zien: de afstand tussen het hoofd en het middel verhoudt zich tot de afstand van het middel tot de voeten zoals deze zich verhoudt tot de totale lichaamslengte.
Ook creëerde hij deze oude man, die zich ook tot de Gulden Snede verhoudt:
Een ander voorbeeld van de Gulden Snede toegepast in de kunst, is een schilderij van de beroemde Franse kunstenaar Claude Monet (1840-1926).
Het Strand bij Trouville is een goed voorbeeld van een uitstekend ontwerp met een zekere vanzelfsprekendheid. De belangrijkste lijnen in de compositie komen dicht bij de verhoudingen van de Gulden Snede in de buurt. Maar gezien de dingen die men weet over Monets werkwijze is het echter onwaarschijnlijk dat hij wiskundige berekeningen heeft gebruikt bij zijn vlakverdelingen. Het zal een combinatie van ervaring en instinctief visueel gevoel geweest zijn, dat dit schilderij opleverde:
Er zijn nog gigantisch veel meer kunstwerken op te noemen, waarin de Gulden verhouding verstopt zit, of wellicht de getallen van Fibonacci. Deze wiskundige termen zijn van groot belang geweest voor vele ontwikkelingen in de kunst!
5.3 – De achitectuur
De oude Grieken kenden in principe de Gulden verhouding al voor onze jaartelling begon. Zij gebruikten deze verhouding geregeld bij het ontwerpen van nieuwe gebouwen; het bekendste voorbeeld hiervan is het Panthenon, een oude Griekse Tempel die gewijd is aan Athene, de god van de wijsheid,die op de akropolis van Athene heeft gestaan:
Wanneer we kijken naar de voorkant van het gebouw, zien we dat bepaalde verhoudingen van afmetingen de gulden snede zijn.
Maar eeuwen eerder al paste men de Gulden Snede ook toe in de architectuur; als we kijken naar de vorm van piramides vinden we geregeld deze verhouding terug. Het beste voorbeeld is de Grote Piramide in Gizeh, gebouwd rond 2500 v. Chr.
Als we de dwarsdoorsnede zouden tekenen, en er enige berekeningen op los zouden laten, dan komen we tot de conclusie dat piramides óók volgens de Gulden Snede zijn gebouwd.
En ook in moderne gebouwen wordt deze verhouding nog vaak gebruikt. De Gulden Snede heeft al eeuwenlang, zelfs millennialang, een belangrijke rol in de architectuur!
De Gulden Snede is een belangrijke wiskundige term. Het gaat hier om een bepaald verhoudingsgetal, dat wordt aangeduid met het getal . De Gulden verhouding houdt in, dat het kleinste stuk van een lijnstuk zich tot het grootste stuk verhoudt, zoals het grootste stuk zich tot de originele lengte verhoudt.
De Gulden Snede kent vele toepassingen in de wiskunde. De diagonalen van een regelmatige vijfhoek, een pentagon, vormen samen een pentagram en snijden elkaar volgens de Gulden Snede. Ook keert deze verhouding terug in onder andere de gulden rechthoek, de gulden driehoek, verscheidene klassieke constructies, en fractals.
De rij van Fibonacci is een al even belangrijke wiskundige term. In deze rij is sprake van een recursieve betrekking; iedere term wordt berekend uit de voorafgaande, en de dááraan voorafgaande term; en indirect uit álle voorafgaande termen. De formule van de rij van Fibonacci luidt: F(n) = F(n-1) + F(n-2). De rij die hieruit ontstaat, is een oneindig lange rij.
Het verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci is eenvoudig; de verhouding van iedere F(n) : F(n + 1)/F(n) komt steeds dichter in de buurt van het getal 1.61803; het Gulden Snede-getal.
In de natuur, de kunst en de architectuur vinden we veel toepassingen van deze twee termen terug. De meest bekende zijn de konijnenvoortplanting, de zonnebloemzaadjes, de Mona Lisa van Leonardo da Vinci, en het Panthenon in Athene; dit is echter slechts een kleine greep uit de vele toepassingen ter wereld. De Gulden Snede en de rij van Fibonacci zijn van groot belang geweest voor vele ontwikkelingen in onze geschiedenis.
Evaluatie
Het maken van dit werkstuk heeft me absoluut meer moeite gekost dan dat ik aanvankelijk dacht. Het onderwerp bleek vrij lastig te zijn, en dan met name het uitleggen van de Gulden Snede heeft me heel wat uren werk gekost. Het boekje dat ik had hielp me niet veel verder, aangezien ik het als vrij onoverzichtelijk heb ervaren. Maar met behulp van een aantal duidelijke websites kwam er toch nog een heldere uitleg uit voort.
De rij van Fibonacci vond ik een stuk makkelijker te begrijpen. Ook het verband tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci zette ik zonder problemen op papier.
Maar ik kan absoluut zeggen dat mijn onderwerpskeuze niet verkeerd is gemaakt; ondanks de pittige achtergrond van de Gulden Snede, ben ik blij dat ik me niet heb hoeven bezighouden met kansberekenen; een concreet, al eeuwenlang vastgelegd onderwerp heeft absoluut mijn voorkeur. Ik heb werkelijk veel geleerd dankzij dit werkstuk, en ik zal in de toekomst ook met een hele andere blik tegen kunst en de natuur aankijken; altijd de Gulden Snede opzoeken!
Literatuurlijst
Voor deze praktische opdracht heb ik de volgende boeken gebruikt:
- De Gulden Snede: over de meetkunde en algebra van een goddelijke proportie, en haar toepassingen in de kunst, Wim Kleijne en Ton Konings, Epsilon Uitgaven, Utrecht 2000
- Van Dale Handwoordenboek Hedendaags Nederlands, prof. Dr. P.G.J. van Sterkenburg, Van Dale Lexicografie, Utrecht/Antwerpen 1996
En de volgende websites heb ik gebruikt:
http://www.wisfaq.nl/frame.htm?url=http://www.wisfaq.nl/overzicht.asp?categorie=Fibonacci%20en%20gulden%20snede
http://www.phys.tue.nl/TULO/guldensnede/architectuur.html
http://www.pascal-online.nl/assets/pascal/PODeGuldenSnedeHVN.doc
http://home.wanadoo.nl/ruleoff/index.htm?url=art/GuldenSnede.htm&loc=main&via=http://www.google.nl/search?hl=nl&q=gulden+snede+%2B+architectuur&btnG=Google+zoeken&meta=
http://www.phys.tue.nl/TULO/guldensnede/index5.html
http://www.cohe.be/fibonacci/fbnKun/fbn_kun_sch_comp_GS.htm
http://www.cohe.be/fibonacci/fbnKun/fbn_kun_arc_ren.htm
REACTIES
:name
:name
:comment
1 seconde geleden
D.
D.
de stelling van pietapegras:
1 Maand 1 Paar
2 Maanden 1 Paar
3 Maanden 2 Paren
4 Maanden 3 Paren
5 Maanden 5 Paren 5 : 3 = 1,66667
6 Maanden 8 Paren 8 : 5 = 1,60000
7 Maanden 13 Paren 13 : 8 = 1,62500
8 Maanden 21 Paren 21 : 13 = 1,61538
9 Maanden 34 Paren 34 : 21 = 1,61905
10 Maanden 55 Paren 55 : 34 = 1,61765
12 jaar geleden
Antwoorden