§ 1 Inleiding
Na wat research hebben we besloten dat wij De Fibonacci reeks als onderwerp voor onze praktische opdracht kiezen. De Fibonacci reeks komt namelijk overal in voor, in de verhoudingen van onze lichamen, in de verhoudingen van planten, in de verhoudingen van dieren, in de bouw van onze cellen, in de kunst, in de architectuur en ga zo maar door. Het leek ons interessant om te kijken hoe deze Fibonacci reeks tot stand is gekomen, hoe deze reeks wordt berekend en vooral hoe deze reeks wordt toegepast.
§2 Het leven van Fibonacci
Leonardo Pisano oftewel Leonardo van Pisa is veel beter bekend onder zijn bijnaam Fibonacci. Fibonacci betekent weer ‘zoon van Bonacci’, Leonardo’s vader Guilielmo was namelijk lid van de familie Bonacci. Fibonacci werd geboren in Italië in 1170, waarschijnlijk in Pisa. Hij werd echter opgevoed in Noord-Afrika, zijn vader was daar diplomaat. Over Fibonacci’s jeugd is weinig bekend, hij leerde wiskunde in Bugia (het huidige Berjaia), de plaats waar hij opgroeide. Samen met zijn vader reisde hij veel rond en maakte hij kennis met de wiskunde van onder andere Egypte, Griekenland, Syrië, Sicilië en Provence (Frankrijk). Fibonacci leerde werken met de Indische symbolen voor getallen (1,2,3,4,5…) en hun positiestelsel. Deze getallen gebruiken wij nu nog steeds.
Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci
Rond zijn dertigste hield Fibonacci op met reizen, en vestigde zich in Pisa. Hier schreef hij belangrijke werken waarin hij de wiskundige kennis van diverse beschavingen deed herleven in West-Europa, onder andere die van Arabische en Indische landen. De boekdrukkunst was toen nog niet uitgevonden, en alles werd met de hand geschreven. Ondanks dat zijn een aantal van zijn werken bewaard gebleven, onder andere Liber Acci (1202), Practica Geomatriae (1220), Flos (1225) en Liber Quadratorum. Zijn boeken werden heel bekend onder zijn tijdgenoten, omdat hij alles zodanig beschreef dat het meteen toepasbaar was. Dat maakte Fibonacci zo populair dat zelfs de Duitse Keizer (tegelijkertijd ook die van het Heilige Roomse Rijk) Frederik II ervan hoorde en hem aan zijn hof uitnodigde rond 1225. Fibonacci kreeg van Johannes van Palermo (werkzaam aan het hof van Frederik II) een aantal wiskundige problemen voorgelegd. Drie daarvan kon hij oplossen, en die oplossingen presenteerde hij in zijn boek Flos.
Van de periode na 1228 is maar weinig bekend over het leven van Fibonacci. Het lijkt erop dat hij in Pisa was gebleven en werkzaam was als adviseur over onderwijs aan burgers, gezien het salaris dat hem in 1240 op grond daarvan werd toegekend.
Omstreeks 1250 is Leonardo van Pisa waarschijnlijk in zijn geboortestad overleden.
Veel mensen onderschatten de invloed die Fibonacci had op de geschiedenis van de wiskunde. Op de eerste plaats had hij de Hindoe-Arabische notatie voor getallen ingevoerd. Verder maakte hij West-Europa bekend met wiskundige methoden uit het Oosten en wist deze methoden toe te passen in het dagelijks leven. Wat misschien nog belangrijker is, is het feit dat zijn boeken later de leerboeken zijn geworden van rekenmeesters, landmeters en toekomstige wiskundigen.
Veel van zijn werk in de getallentheorie werd echter vergeten, en werd pas honderden jaren later weer ontdekt. Zijn letteraanduiding voor een algemeen getal (coëfficiënt) werd nóg veel later herontdekt en verbeterd.
§ 3 Het Konijnenprobleem
Fibonacci wordt vaak gekoppeld aan het zogenaamde konijnenprobleem. Met deze vraagstelling kun je de Fibonacci reeks heel simpel uitleggen.
Stel, er wordt één paar konijnen (een mannetje en een vrouwtje) in een ommuurde ruimte geplaatst. Een paar konijnen kan zich na één maand voortplanten en werpt daarna elke maand een nieuw paar. Je moet ervan uitgaan dat alle konijnen blijven leven, dat er telkens één mannetje en één vrouwtje geworpen wordt en dat alle worpen gelijktijdig en elke maand gebeuren. Hoeveel konijnen heb je dan na één jaar?
Stamboom van de bovengenoemde konijnen.
Aan de linkerkant van de bovenstaande stamboom staan rode cijfers. Deze cijfers geven aan hoeveel konijnenparen er zijn na een x aantal maanden. Er is iets bijzonders met deze cijfers aan de hand. Namelijk, elk cijfer is de som van de twee voorafgaande cijfers. Dus na drie maanden heb je 1 + 1 = 2 paar konijnen.
Na één jaar heb je dus:
0 + 1 = 1 5 + 8 = 13 55 + 89 = 144
1 + 1 = 2 8 + 13 = 21
1 + 2 = 3 13 + 21 = 34
2 + 3 = 5 21 + 34 = 55
3 + 5 = 8 34 + 55 = 89
Als je de bovenstaande uitkomsten achter elkaar zet, krijg je de Fibonacci reeks:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89….
Zo kun je een hele lange rij maken.
Tribonacci
Op de rij van Fibonacci bestaat een variant genaamd Tribonacci. In deze reeks begin je niet met twee gekozen getallen, maar met drie. Dus het eerst volgende getal is de som van de voorgaande drie getallen. Dit ziet er dan als volgt uit:
0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, etc.
Deze rij van getallen bevat echter niet de eigenschappen die de Fibonacci reeks heeft. Verder is er geen enkel verband met de zogenaamde Gulden Snede (zie § 5) en deze rij kun je niet gebruiken bij het creëren van esthetische schoonheid, wat wel mogelijk is met de rij van Fibonacci.
§ 4 Formules
Er bestaan formules om Fibonaccigetallen uit te rekenen. We behandelen recursieve formules (formule 1 t/m 6), dat zijn formules waarbij je één of meerdere Fibonaccigetallen nodig hebt om een ander Fibonaccigetal te berekenen en we behandelen een directe formule (formule 7), waarin we laten zien hoe je een willekeurig Fibonaccigetal kunt berekenen zonder andere Fibonaccigetallen erbij te halen.
Met Fn wordt een willekeurig Fibonaccigetal bedoeld. N staat voor het zoveelste Fibonaccigetal.
Bijvoorbeeld:
F4 = het vierde Fibonaccigetal = 3
We schrijven de eerste 20 Fibonaccigetallen op, zodat bij het lezen van de formules het gevraagde getal snel terug te lezen is in deze kolom.
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 34
F10 = 55
F11 = 89
F12 = 144
F13 = 233
F14 = 377
F15 = 610
F16 = 987
F17 = 1597
F18 = 2584
F19 = 4181
F20 = 6765
Formule 1
F1 + F2 = F3 geeft: 1 + 1 = 2
F3 + F4 = F5 geeft: 2 + 3 = 5
Je krijgt dus
F n + F n + 1 = F n + 2
Bijvoorbeeld:
F5 + F 5 + 1 = F5 + 2 dus:
F5 + F 6 = F 7 dus:
5 + 8 = 13
Je zou de formule ook anders kunnen formuleren:
Fn-1 + Fn = Fn+1
Als we dan Fn = 3 nemen, dan is
F 3 – 1 + F3 = F 3 + 1 dus:
F2 + F3 = F 4 dus:
1 + 2 = 3
Of weer anders:
F n -2 + F n-1 = F n
Als we dan Fn = 3 nemen, dan is
F3-1 + F 3-1 = Fn dus:
F1 + F2 = F3 dus:
1 + 1 = 2
Zo kun je nog talloze varianten op deze formule verzinnen. Je zou grote getallen kunnen nemen en bijvoorbeeld:
Fn – 300 + F n – 299 = F n – 298
Deze formule laat gelijk het belangrijkste kenmerk van de Fibonacci reeks zien, namelijk het eerstvolgende getal is de som van de twee vorige getallen.
Formule 2
(F1 + F2 + F3) + 1 = F5 geeft: (1 + 1 + 2) + 1 = 5
(F1 + F2 + F3 + F4) + 1 = F6 geeft: (1 + 1 + 2 + 3) + 1 = 8
Je zou dus kunnen zeggen
F1 t/m n + 1 = Fn + 2 want:
(F1 + F2 + F3) + 1 = F3+2 dus:
(F1 + F2 + F3) + 1 = F5
(1 + 1 + 2) + 1 = 5
Het nadeel van deze formule is dat als je veel getallen hebt, de formule erg lang wordt waardoor je sneller de fout in kunt gaan. Kijk maar:
(F1 +F2 +F3 + F4 + F5 + F6 +F7 + F8 + F9 + F10) + 1 = F12 geeft:
(1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55) + 1 = 144
Formule 3
Bij deze formule tel je alleen het eerste Fibonaccigetal F1 en daarna alleen de getallen van de even Fn-nummers. De uitkomst is het eerstvolgende oneven getal na het laatste even getal. Kijk maar:
F1 + F2 + F4 + F6 = F7 geeft: 1 + 1 + 3 + 8 = 13
Het voordeel van deze formule is dat je sneller grotere Fibonaccigetallen kunt berekenen:
F1 + F2 + F4 + F6 + F8 + F10 + F12 = F13 geeft:
1 + 1 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 = 233
Je zou dus kunnen zeggen:
F1 + som Feven nrs t/m n = Fn+1 want:
F1 + F2 + F4 + F6 = F6+1 dus:
F1 + F2 + F4 + F6 = F7
1 + 1 + 3 + 8 = 13
Formule 4
(F4)2 + (F5)2 = F9 geeft: 32 + 52 = 9 + 25 = 34
(F7)2 + (F8)2 = F15 geeft: 132 + 212 = 169 + 441 = 610
(F9)2 + (F10)2 = F19 geeft: 342 + 552 = 1156 + 3025 = 4181
Daaruit kun je afleiden dat:
(Fn)2 + (Fn+1)2 = F2n+1 want:
(F3)2 + (F3+1)2 = F2 • 3 + 1 dus:
(F3)2 + (F4)2 = F7
4 + 9 = 13
Met deze formule kun je grote Fibonaccigetallen berekenen. Zoals je ziet moet het antwoord altijd een oneven Fn-getal zijn.
Als we bijvoorbeeld willen weten hoe groot het F17 is, dan krijg je:
(Fn)2 + (Fn+1)2 = F17
Fn is dan (17 – 1) / 2 = 8
We vullen in:
(F8)2 + (F9)2 = F17 geeft:
212 + 342 = 441 + 1156 = 1597
We kunnen dus een andere formule opstellen,namelijk:
Fn = (F (n – 1) / 2)2 + (F (n / 2 + 0.5))2
Voorbeeld:
Hoe groot is het 13de getal in de Fibonacci reeks:
Fn = 13
We vullen in:
F13 = (F (13 – 1) / 2)2 + (F(13/ 2 + 0.5))2
F13 = (F6)2 + (F7)2
F13 = 82 + 132 = 233
Formule 5
(2 • F2) + F1 = F4 geeft: (2 • 1) + 1 = 3
(2 • F8) + F7 = F10 geeft: (2 • 21) + 13 = 55
(2 • F12) + F11 = F14 geeft: (2 • 144) + 89 = 377
We kunnen dus deze formule opstellen:
(2Fn) + Fn-1 = Fn+2 want:
(2 • F4) + F4-1 = F4+2 dus:
(2 • F4) + F3 = F6
(2 • 3) + 2 = 8
Formule 6
(F5)2 – (F4)2 = F3 x F6 geeft: 52 – 32 = 2 x 8
(F7)2 – (F6)2 = F5 x F8 geeft: 132 – 82 = 5 x 21
Hieruit volgt de formule:
(Fn+2)2 – (Fn+1)2 = Fn x Fn+3 want:
(F7+2)2 – (F7+1)2 = F7 x F7+3
(F9)2 – (F8)2 = F7 x F10 dus:
342 – 212 = 13 x 55 = 715
Formule 7
Deze formule is de directe formule voor het vinden van een Fibonacci getal. Je hoeft alleen maar het nummer van het getal in de formule in te vullen, je vindt dan het bijbehorende Fibonaccigetal.
De formule is als volgt:
Fn = 1/√5 • ( (1+√5)/2)n – (φ)n
Zoals je ziet is deze formule erg lastig om te gebruiken. Er is daarom een simpelere formule bedacht, alleen komt hier geen heel getal uit. Het getal dat uit komt moet worden afgerond naar het dichtstbijzijnde gehele getal. Die formule luidt als volgt:
Fn = ((1+ √ 5) / 2)n / √ 5
Bijvoorbeeld:
F8 = ((1+ √ 5) / 2)8 / √ 5 = ± 21 (21,00951949)
F12 = ((1+ √ 5) / 2)12 / √ 5 = ± 144 (144,0013889)
§ 4 Bijzonderheden van de Fibonaccigetallen
De Fibonacci reeks is een heel eigenaardige rij getallen, hieronder staat een aantal eigenaardigheden beschreven.
De Kwadraten
F(n) = Fibonacci getal
Als je de kwadraten van bijvoorbeeld 1 tot en met 5 neemt en je telt die bij elkaar op, dan krijg je dezelfde uitkomst als dat je getal 5 vermenigvuldigt met (het volgende Fibonaccigetal) 8.
Bijvoorbeeld:
1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 40
5 • 8 = 40
Dus
1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 • 8
Conclusie:
1² + 1² + 2² +3² +……+ F(n)² = F(n) • F(n +1)
n + 1 is hier dan het getal dat na n volgt in de Fibonacci reeks.
Het getal 89
Het getal 89 is het twaalfde getal in de Fibonacci reeks. Dit is een heel bijzonder getal. Namelijk:
1 / 89 = 0,0112359551
De Fibonaccigetallen deel je door 10^n. n Is dan het n-ste getal in een gewone getallen rij, dus 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Wanneer je de uitkomsten van de delingen dan weer bij elkaar optelt kom je uit op 0, 0112359551. Kijk maar:
0 / 10^1 = 0
1 / 10^2 = 0.01
1 / 10^3 = 0.001
2 / 10^4 = 0.0002
3 / 10^5 = 0.00003
5 / 10^6 = 0.000005
8 / 10^7 = 0.0000008
………. = ……..
_______________________ +
1 / 89 = 0.0112359551
De Phi
Wanneer je een Fibonaccigetal X deelt door een voorafgaande Fibonaccigetal Y kom je, hoe verder je gaat hoe dichter, bij het getal phi (φ) uit.
1 / 2 = 0,5
2 / 3 = 0, 6666666667
3 / 5 = 0,6
5 / 8 = 0,625
8 / 13 = 0,6153846154
13 / 21 = 0,619047619
21 / 34 = 0,6176470588
……
610 / 987 = 0,6180344478
Het getal phi is 0,61803.
Als je Fibonaccigetal X deelt door een daaropvolgende Fibonaccigetal M kom je, hoe verder je gaat hoe dichter, bij de grote Phi uit.
2 / 1 = 1
3 / 2 = 1,5
5 / 3 = 1, 666666667
8 / 5 = 1,6
13 / 8 = 1, 625
21 / 13 = 1,615384615
34 / 21 = 1,619047619
De grote Phi is 1,61803.
§ 6 De zonnebloem
De zaden van een zonnebloem staan niet zomaar willekeurig gerangschikt. Kijk maar eens naar het plaatje hieronder.
Als je de spiralen gaat tellen dan kom je erachter dat ze (afhankelijk van de zonnebloem) in de verhouding 34 en 55 of 55 en 89 of 89 en 144 etc. staan. Opvallend hieraan is dat het steeds twee opeenvolgende Fibonaccigetallen zijn. Hieronder geven wij een verklaring hiervoor.
Bij een zonnebloem ontstaat een nieuwe pit aan de zijkant van de kern (het middelpunt), als daar al een oude zonnebloempit zit dan duwt de nieuwe de oude naar de buitenkant weg. Hoe je op die manier een mooie ronde zonnebloem krijgt leggen wij hieronder uit.
In de vorige paragraaf hebben we uitgelegd wat een Gulden Boog is en dat het tekenen van die Gulden boog Fibonaccigetallen vereist. Ook hebben we uitgelegd dat die Gulden Boog te tekenen is met de Gulden hoek, waarbij je dus ook weer Fibonaccigetallen nodig had om de formule ervan te maken.
Als je een Middelpunt X kiest, en je gaat met de Guldenhoek punten zetten om dat middelpunt krijg je het volgende resultaat.
§ 7 Waar kom je de Fibonacci reeks tegen?
Natuur
Het konijnenvoorbeeld dat we gaven in § 3 komt wel uit de natuur, maar is nogal onwaarschijnlijk. Het is alleen een goed middel om te laten zien hoe de Fibonacci reeks in elkaar zit. Het is niet realistisch dat een paar konijnen élke maand één mannetje en één vrouwtje werpt, waardoor de kans dat dit daadwerkelijk zal voorkomen in de natuur maar erg klein is. Er zijn echter wel realistische voorbeelden van de Fibonacci reeks in de natuur, onder andere bij insecten. Een voorbeeld is het voorgeslacht van een dar, dat is een mannetjes bij. Een dar heeft namelijk alleen een moeder, zij wordt de koningin genoemd. Hij heeft twee grootouders, drie overgrootouder, vijf betovergrootouders en ga zo maar door.
Verder zie je de rij van Fibonacci terug in bloemen, bijvoorbeeld de Lychnis Coronaria. Bij deze bloem groeit eerst één bloem, daarna twee blaadjes, weer daarna drie en vervolgens 5 / 8 /13 blaadjes. Kortom, volgens de reeks van Fibonacci.
De Lychnis Coronaria
Er zijn ook andere bloemen waarin de Fibonacci reeks naar voren komt, onder andere de Iris (3 bloemblaadjes), Boterbloem (5 blaadjes), Delphinium (8 blaadjes), Afrikaantje(13 bloemblaadjes) en Aster (21 blaadjes). Zoals je ziet is het aantal blaadjes allemaal Fibonaccigetallen.
Bladeren van planten groeien bijna allemaal in een bepaalde hoek, de Gulden Hoek, die weer afgeleid is van Fibonaccigetallen. Doordat bladeren in deze hoek groeien liggen ze zo min mogelijk in elkaars schaduw en is hun lichtontvangst optimaal.
De reeks van Fibonacci is ook indirect terug te vinden in de schelp. We hebben in § 5 uitgelegd wat een Gulden Boog is, en dat die valt af te leiden uit de Fibonaccigetallen. Die Gulden Boog vinden we weer terug in de schelp. Kijk maar eens naar het plaatje hieronder.
Het rode gedeelte is de Gulden Boog
Als laatste voorbeeld hebben we de dennenappel. Bij een gemiddelde dennenappel, zoals je die hieronder ziet kun je met de klok mee 8 spiralen tellen, tegen de klok in tel je echter 13 spiralen. Dat zijn opeenvolgende Fibonaccigetallen. De conclusie is dus het aantal spiralen dat met de klok meedraait, is een Fibonaccigetal dat voorafgaat aan het aantal spiralen dat tegen de klok indraait.
De spiralen van de dennenappel.
De Cultuur
Naast de natuur komen we ook in de cultuur veel zaken tegen die terug vallen te herleiden tot de Fibonacci reeks.
In de bouwkunst komen we de Gulden Snede erg vaak tegen en zoals we al een aantal keer hebben gezegd, is deze afgeleid van de rij van Fibonacci. Bijvoorbeeld bij het theater Eupidaurus uit de Klassieke Oudheid, komen de verhoudingen tussen de hooggelegen en laaggelegen tribunes overeen met die van de Gulden Snede.
Ook in de schilderkunst komen we de reeks van Fibonacci indirect tegen, namelijk de verhoudingen van een schilderij kloppen vaak met de Gulden Snede. Ook wordt ermee bepaald waar het aandachtspunt gevestigd moet worden, het oog zoekt deze plek namelijk automatisch op.
Hetzelfde zien we terug bij de bouw van muziekinstrumenten, men zoekt tijdens de bouw naar de juiste verhoudingen van bijvoorbeeld de snaren, zodat het geluid optimaal wordt.
§ 8 Conclusie
We hebben kunnen concluderen dat Fibonacci niet zomaar een wiskundige was, maar dat zijn getallenrij nog steeds van groot belang is. Nog steeds wordt er op scholen verteld over de rij van Fibonacci en nog steeds wordt ze toegepast bij alle mogelijke zaken.
Fibonacci bedacht zijn reeks getallen met behulp van de konijnenpopulatie. Nog steeds is de voortplanting van het konijn dé manier om te laten zien hoe deze reeks in elkaar zit. Deze reeks bleek van toepassing te zijn op veel meer dan alleen konijnen. Er zijn formules bij bedacht, waardoor je ontzettend ver kunt gaan in het berekenen van deze getallen. Daarnaast is er een link tussen de Fibonacci reeks en de Gulden Snede. Ook deze verhouding is erg bekend.
Het maken van de Praktische Opdracht was erg leerzaam en we vonden het erg leuk om te doen.
Na wat research hebben we besloten dat wij De Fibonacci reeks als onderwerp voor onze praktische opdracht kiezen. De Fibonacci reeks komt namelijk overal in voor, in de verhoudingen van onze lichamen, in de verhoudingen van planten, in de verhoudingen van dieren, in de bouw van onze cellen, in de kunst, in de architectuur en ga zo maar door. Het leek ons interessant om te kijken hoe deze Fibonacci reeks tot stand is gekomen, hoe deze reeks wordt berekend en vooral hoe deze reeks wordt toegepast.
§2 Het leven van Fibonacci
Leonardo Pisano oftewel Leonardo van Pisa is veel beter bekend onder zijn bijnaam Fibonacci. Fibonacci betekent weer ‘zoon van Bonacci’, Leonardo’s vader Guilielmo was namelijk lid van de familie Bonacci. Fibonacci werd geboren in Italië in 1170, waarschijnlijk in Pisa. Hij werd echter opgevoed in Noord-Afrika, zijn vader was daar diplomaat. Over Fibonacci’s jeugd is weinig bekend, hij leerde wiskunde in Bugia (het huidige Berjaia), de plaats waar hij opgroeide. Samen met zijn vader reisde hij veel rond en maakte hij kennis met de wiskunde van onder andere Egypte, Griekenland, Syrië, Sicilië en Provence (Frankrijk). Fibonacci leerde werken met de Indische symbolen voor getallen (1,2,3,4,5…) en hun positiestelsel. Deze getallen gebruiken wij nu nog steeds.
Rond zijn dertigste hield Fibonacci op met reizen, en vestigde zich in Pisa. Hier schreef hij belangrijke werken waarin hij de wiskundige kennis van diverse beschavingen deed herleven in West-Europa, onder andere die van Arabische en Indische landen. De boekdrukkunst was toen nog niet uitgevonden, en alles werd met de hand geschreven. Ondanks dat zijn een aantal van zijn werken bewaard gebleven, onder andere Liber Acci (1202), Practica Geomatriae (1220), Flos (1225) en Liber Quadratorum. Zijn boeken werden heel bekend onder zijn tijdgenoten, omdat hij alles zodanig beschreef dat het meteen toepasbaar was. Dat maakte Fibonacci zo populair dat zelfs de Duitse Keizer (tegelijkertijd ook die van het Heilige Roomse Rijk) Frederik II ervan hoorde en hem aan zijn hof uitnodigde rond 1225. Fibonacci kreeg van Johannes van Palermo (werkzaam aan het hof van Frederik II) een aantal wiskundige problemen voorgelegd. Drie daarvan kon hij oplossen, en die oplossingen presenteerde hij in zijn boek Flos.
Van de periode na 1228 is maar weinig bekend over het leven van Fibonacci. Het lijkt erop dat hij in Pisa was gebleven en werkzaam was als adviseur over onderwijs aan burgers, gezien het salaris dat hem in 1240 op grond daarvan werd toegekend.
Omstreeks 1250 is Leonardo van Pisa waarschijnlijk in zijn geboortestad overleden.
Veel mensen onderschatten de invloed die Fibonacci had op de geschiedenis van de wiskunde. Op de eerste plaats had hij de Hindoe-Arabische notatie voor getallen ingevoerd. Verder maakte hij West-Europa bekend met wiskundige methoden uit het Oosten en wist deze methoden toe te passen in het dagelijks leven. Wat misschien nog belangrijker is, is het feit dat zijn boeken later de leerboeken zijn geworden van rekenmeesters, landmeters en toekomstige wiskundigen.
Veel van zijn werk in de getallentheorie werd echter vergeten, en werd pas honderden jaren later weer ontdekt. Zijn letteraanduiding voor een algemeen getal (coëfficiënt) werd nóg veel later herontdekt en verbeterd.
§ 3 Het Konijnenprobleem
Fibonacci wordt vaak gekoppeld aan het zogenaamde konijnenprobleem. Met deze vraagstelling kun je de Fibonacci reeks heel simpel uitleggen.
Stel, er wordt één paar konijnen (een mannetje en een vrouwtje) in een ommuurde ruimte geplaatst. Een paar konijnen kan zich na één maand voortplanten en werpt daarna elke maand een nieuw paar. Je moet ervan uitgaan dat alle konijnen blijven leven, dat er telkens één mannetje en één vrouwtje geworpen wordt en dat alle worpen gelijktijdig en elke maand gebeuren. Hoeveel konijnen heb je dan na één jaar?
Stamboom van de bovengenoemde konijnen.
Na één jaar heb je dus:
0 + 1 = 1 5 + 8 = 13 55 + 89 = 144
1 + 1 = 2 8 + 13 = 21
1 + 2 = 3 13 + 21 = 34
2 + 3 = 5 21 + 34 = 55
3 + 5 = 8 34 + 55 = 89
Als je de bovenstaande uitkomsten achter elkaar zet, krijg je de Fibonacci reeks:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89….
Zo kun je een hele lange rij maken.
Tribonacci
Op de rij van Fibonacci bestaat een variant genaamd Tribonacci. In deze reeks begin je niet met twee gekozen getallen, maar met drie. Dus het eerst volgende getal is de som van de voorgaande drie getallen. Dit ziet er dan als volgt uit:
0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, etc.
§ 4 Formules
Er bestaan formules om Fibonaccigetallen uit te rekenen. We behandelen recursieve formules (formule 1 t/m 6), dat zijn formules waarbij je één of meerdere Fibonaccigetallen nodig hebt om een ander Fibonaccigetal te berekenen en we behandelen een directe formule (formule 7), waarin we laten zien hoe je een willekeurig Fibonaccigetal kunt berekenen zonder andere Fibonaccigetallen erbij te halen.
Met Fn wordt een willekeurig Fibonaccigetal bedoeld. N staat voor het zoveelste Fibonaccigetal.
Bijvoorbeeld:
F4 = het vierde Fibonaccigetal = 3
We schrijven de eerste 20 Fibonaccigetallen op, zodat bij het lezen van de formules het gevraagde getal snel terug te lezen is in deze kolom.
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 34
F10 = 55
F11 = 89
F12 = 144
F13 = 233
F14 = 377
F15 = 610
F16 = 987
F17 = 1597
F18 = 2584
F19 = 4181
F20 = 6765
Formule 1
F1 + F2 = F3 geeft: 1 + 1 = 2
F3 + F4 = F5 geeft: 2 + 3 = 5
Je krijgt dus
F n + F n + 1 = F n + 2
Bijvoorbeeld:
F5 + F 5 + 1 = F5 + 2 dus:
F5 + F 6 = F 7 dus:
5 + 8 = 13
Je zou de formule ook anders kunnen formuleren:
Fn-1 + Fn = Fn+1
Als we dan Fn = 3 nemen, dan is
F 3 – 1 + F3 = F 3 + 1 dus:
1 + 2 = 3
Of weer anders:
F n -2 + F n-1 = F n
Als we dan Fn = 3 nemen, dan is
F3-1 + F 3-1 = Fn dus:
F1 + F2 = F3 dus:
1 + 1 = 2
Zo kun je nog talloze varianten op deze formule verzinnen. Je zou grote getallen kunnen nemen en bijvoorbeeld:
Fn – 300 + F n – 299 = F n – 298
Deze formule laat gelijk het belangrijkste kenmerk van de Fibonacci reeks zien, namelijk het eerstvolgende getal is de som van de twee vorige getallen.
Formule 2
(F1 + F2 + F3) + 1 = F5 geeft: (1 + 1 + 2) + 1 = 5
(F1 + F2 + F3 + F4) + 1 = F6 geeft: (1 + 1 + 2 + 3) + 1 = 8
Je zou dus kunnen zeggen
(F1 + F2 + F3) + 1 = F3+2 dus:
(F1 + F2 + F3) + 1 = F5
(1 + 1 + 2) + 1 = 5
Het nadeel van deze formule is dat als je veel getallen hebt, de formule erg lang wordt waardoor je sneller de fout in kunt gaan. Kijk maar:
(F1 +F2 +F3 + F4 + F5 + F6 +F7 + F8 + F9 + F10) + 1 = F12 geeft:
(1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55) + 1 = 144
Formule 3
Bij deze formule tel je alleen het eerste Fibonaccigetal F1 en daarna alleen de getallen van de even Fn-nummers. De uitkomst is het eerstvolgende oneven getal na het laatste even getal. Kijk maar:
F1 + F2 + F4 + F6 = F7 geeft: 1 + 1 + 3 + 8 = 13
Het voordeel van deze formule is dat je sneller grotere Fibonaccigetallen kunt berekenen:
F1 + F2 + F4 + F6 + F8 + F10 + F12 = F13 geeft:
1 + 1 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 = 233
Je zou dus kunnen zeggen:
F1 + F2 + F4 + F6 = F6+1 dus:
F1 + F2 + F4 + F6 = F7
1 + 1 + 3 + 8 = 13
Formule 4
(F4)2 + (F5)2 = F9 geeft: 32 + 52 = 9 + 25 = 34
(F7)2 + (F8)2 = F15 geeft: 132 + 212 = 169 + 441 = 610
(F9)2 + (F10)2 = F19 geeft: 342 + 552 = 1156 + 3025 = 4181
Daaruit kun je afleiden dat:
(Fn)2 + (Fn+1)2 = F2n+1 want:
(F3)2 + (F3+1)2 = F2 • 3 + 1 dus:
(F3)2 + (F4)2 = F7
4 + 9 = 13
Met deze formule kun je grote Fibonaccigetallen berekenen. Zoals je ziet moet het antwoord altijd een oneven Fn-getal zijn.
Als we bijvoorbeeld willen weten hoe groot het F17 is, dan krijg je:
(Fn)2 + (Fn+1)2 = F17
Fn is dan (17 – 1) / 2 = 8
We vullen in:
212 + 342 = 441 + 1156 = 1597
We kunnen dus een andere formule opstellen,namelijk:
Fn = (F (n – 1) / 2)2 + (F (n / 2 + 0.5))2
Voorbeeld:
Hoe groot is het 13de getal in de Fibonacci reeks:
Fn = 13
We vullen in:
F13 = (F (13 – 1) / 2)2 + (F(13/ 2 + 0.5))2
F13 = (F6)2 + (F7)2
F13 = 82 + 132 = 233
Formule 5
(2 • F2) + F1 = F4 geeft: (2 • 1) + 1 = 3
(2 • F8) + F7 = F10 geeft: (2 • 21) + 13 = 55
(2 • F12) + F11 = F14 geeft: (2 • 144) + 89 = 377
We kunnen dus deze formule opstellen:
(2Fn) + Fn-1 = Fn+2 want:
(2 • F4) + F4-1 = F4+2 dus:
(2 • F4) + F3 = F6
(2 • 3) + 2 = 8
Formule 6
(F5)2 – (F4)2 = F3 x F6 geeft: 52 – 32 = 2 x 8
(F7)2 – (F6)2 = F5 x F8 geeft: 132 – 82 = 5 x 21
(Fn+2)2 – (Fn+1)2 = Fn x Fn+3 want:
(F7+2)2 – (F7+1)2 = F7 x F7+3
(F9)2 – (F8)2 = F7 x F10 dus:
342 – 212 = 13 x 55 = 715
Formule 7
Deze formule is de directe formule voor het vinden van een Fibonacci getal. Je hoeft alleen maar het nummer van het getal in de formule in te vullen, je vindt dan het bijbehorende Fibonaccigetal.
De formule is als volgt:
Fn = 1/√5 • ( (1+√5)/2)n – (φ)n
Zoals je ziet is deze formule erg lastig om te gebruiken. Er is daarom een simpelere formule bedacht, alleen komt hier geen heel getal uit. Het getal dat uit komt moet worden afgerond naar het dichtstbijzijnde gehele getal. Die formule luidt als volgt:
Fn = ((1+ √ 5) / 2)n / √ 5
Bijvoorbeeld:
F8 = ((1+ √ 5) / 2)8 / √ 5 = ± 21 (21,00951949)
F12 = ((1+ √ 5) / 2)12 / √ 5 = ± 144 (144,0013889)
De Fibonacci reeks is een heel eigenaardige rij getallen, hieronder staat een aantal eigenaardigheden beschreven.
De Kwadraten
F(n) = Fibonacci getal
Als je de kwadraten van bijvoorbeeld 1 tot en met 5 neemt en je telt die bij elkaar op, dan krijg je dezelfde uitkomst als dat je getal 5 vermenigvuldigt met (het volgende Fibonaccigetal) 8.
Bijvoorbeeld:
1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 40
5 • 8 = 40
Dus
1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 • 8
Conclusie:
1² + 1² + 2² +3² +……+ F(n)² = F(n) • F(n +1)
n + 1 is hier dan het getal dat na n volgt in de Fibonacci reeks.
Het getal 89
Het getal 89 is het twaalfde getal in de Fibonacci reeks. Dit is een heel bijzonder getal. Namelijk:
1 / 89 = 0,0112359551
De Fibonaccigetallen deel je door 10^n. n Is dan het n-ste getal in een gewone getallen rij, dus 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Wanneer je de uitkomsten van de delingen dan weer bij elkaar optelt kom je uit op 0, 0112359551. Kijk maar:
1 / 10^2 = 0.01
1 / 10^3 = 0.001
2 / 10^4 = 0.0002
3 / 10^5 = 0.00003
5 / 10^6 = 0.000005
8 / 10^7 = 0.0000008
………. = ……..
_______________________ +
1 / 89 = 0.0112359551
De Phi
Wanneer je een Fibonaccigetal X deelt door een voorafgaande Fibonaccigetal Y kom je, hoe verder je gaat hoe dichter, bij het getal phi (φ) uit.
1 / 2 = 0,5
2 / 3 = 0, 6666666667
3 / 5 = 0,6
5 / 8 = 0,625
8 / 13 = 0,6153846154
13 / 21 = 0,619047619
21 / 34 = 0,6176470588
……
610 / 987 = 0,6180344478
Het getal phi is 0,61803.
Als je Fibonaccigetal X deelt door een daaropvolgende Fibonaccigetal M kom je, hoe verder je gaat hoe dichter, bij de grote Phi uit.
2 / 1 = 1
5 / 3 = 1, 666666667
8 / 5 = 1,6
13 / 8 = 1, 625
21 / 13 = 1,615384615
34 / 21 = 1,619047619
De grote Phi is 1,61803.
§ 6 De zonnebloem
De zaden van een zonnebloem staan niet zomaar willekeurig gerangschikt. Kijk maar eens naar het plaatje hieronder.
Als je de spiralen gaat tellen dan kom je erachter dat ze (afhankelijk van de zonnebloem) in de verhouding 34 en 55 of 55 en 89 of 89 en 144 etc. staan. Opvallend hieraan is dat het steeds twee opeenvolgende Fibonaccigetallen zijn. Hieronder geven wij een verklaring hiervoor.
Bij een zonnebloem ontstaat een nieuwe pit aan de zijkant van de kern (het middelpunt), als daar al een oude zonnebloempit zit dan duwt de nieuwe de oude naar de buitenkant weg. Hoe je op die manier een mooie ronde zonnebloem krijgt leggen wij hieronder uit.
Als je een Middelpunt X kiest, en je gaat met de Guldenhoek punten zetten om dat middelpunt krijg je het volgende resultaat.
§ 7 Waar kom je de Fibonacci reeks tegen?
Natuur
Het konijnenvoorbeeld dat we gaven in § 3 komt wel uit de natuur, maar is nogal onwaarschijnlijk. Het is alleen een goed middel om te laten zien hoe de Fibonacci reeks in elkaar zit. Het is niet realistisch dat een paar konijnen élke maand één mannetje en één vrouwtje werpt, waardoor de kans dat dit daadwerkelijk zal voorkomen in de natuur maar erg klein is. Er zijn echter wel realistische voorbeelden van de Fibonacci reeks in de natuur, onder andere bij insecten. Een voorbeeld is het voorgeslacht van een dar, dat is een mannetjes bij. Een dar heeft namelijk alleen een moeder, zij wordt de koningin genoemd. Hij heeft twee grootouders, drie overgrootouder, vijf betovergrootouders en ga zo maar door.
Verder zie je de rij van Fibonacci terug in bloemen, bijvoorbeeld de Lychnis Coronaria. Bij deze bloem groeit eerst één bloem, daarna twee blaadjes, weer daarna drie en vervolgens 5 / 8 /13 blaadjes. Kortom, volgens de reeks van Fibonacci.
De Lychnis Coronaria
Er zijn ook andere bloemen waarin de Fibonacci reeks naar voren komt, onder andere de Iris (3 bloemblaadjes), Boterbloem (5 blaadjes), Delphinium (8 blaadjes), Afrikaantje(13 bloemblaadjes) en Aster (21 blaadjes). Zoals je ziet is het aantal blaadjes allemaal Fibonaccigetallen.
Bladeren van planten groeien bijna allemaal in een bepaalde hoek, de Gulden Hoek, die weer afgeleid is van Fibonaccigetallen. Doordat bladeren in deze hoek groeien liggen ze zo min mogelijk in elkaars schaduw en is hun lichtontvangst optimaal.
De reeks van Fibonacci is ook indirect terug te vinden in de schelp. We hebben in § 5 uitgelegd wat een Gulden Boog is, en dat die valt af te leiden uit de Fibonaccigetallen. Die Gulden Boog vinden we weer terug in de schelp. Kijk maar eens naar het plaatje hieronder.
Als laatste voorbeeld hebben we de dennenappel. Bij een gemiddelde dennenappel, zoals je die hieronder ziet kun je met de klok mee 8 spiralen tellen, tegen de klok in tel je echter 13 spiralen. Dat zijn opeenvolgende Fibonaccigetallen. De conclusie is dus het aantal spiralen dat met de klok meedraait, is een Fibonaccigetal dat voorafgaat aan het aantal spiralen dat tegen de klok indraait.
De spiralen van de dennenappel.
De Cultuur
Naast de natuur komen we ook in de cultuur veel zaken tegen die terug vallen te herleiden tot de Fibonacci reeks.
In de bouwkunst komen we de Gulden Snede erg vaak tegen en zoals we al een aantal keer hebben gezegd, is deze afgeleid van de rij van Fibonacci. Bijvoorbeeld bij het theater Eupidaurus uit de Klassieke Oudheid, komen de verhoudingen tussen de hooggelegen en laaggelegen tribunes overeen met die van de Gulden Snede.
Ook in de schilderkunst komen we de reeks van Fibonacci indirect tegen, namelijk de verhoudingen van een schilderij kloppen vaak met de Gulden Snede. Ook wordt ermee bepaald waar het aandachtspunt gevestigd moet worden, het oog zoekt deze plek namelijk automatisch op.
Hetzelfde zien we terug bij de bouw van muziekinstrumenten, men zoekt tijdens de bouw naar de juiste verhoudingen van bijvoorbeeld de snaren, zodat het geluid optimaal wordt.
§ 8 Conclusie
We hebben kunnen concluderen dat Fibonacci niet zomaar een wiskundige was, maar dat zijn getallenrij nog steeds van groot belang is. Nog steeds wordt er op scholen verteld over de rij van Fibonacci en nog steeds wordt ze toegepast bij alle mogelijke zaken.
Fibonacci bedacht zijn reeks getallen met behulp van de konijnenpopulatie. Nog steeds is de voortplanting van het konijn dé manier om te laten zien hoe deze reeks in elkaar zit. Deze reeks bleek van toepassing te zijn op veel meer dan alleen konijnen. Er zijn formules bij bedacht, waardoor je ontzettend ver kunt gaan in het berekenen van deze getallen. Daarnaast is er een link tussen de Fibonacci reeks en de Gulden Snede. Ook deze verhouding is erg bekend.
REACTIES
:name
:name
:comment
1 seconde geleden
F.
F.
het werkstuk is heel goed, alleen paragraaf 5 mist! en die had ik net nodig...
17 jaar geleden
AntwoordenH.
H.
Waar zijn de bronnen
6 jaar geleden
Antwoorden