Complexe Getallen

Inleiding

Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp: Complexe getallen.
Als hoofddoel is het de bedoeling om het gebruik van complexe getallen te leren gebruiken en kennen. In deze praktische opdracht leggen we opbouwend uit, hoe men uiteindelijk complexe getallen moeten gebruiken.
Met aanvullende opgaven als voorbeelden en met deze vraag: Waar gebruik je het voor?

In deze praktische opdracht worden onder andere:

-Nieuwe getallen
-Geschiedenis
-Poolcoördinaten.

Deze bovengenoemde punten zullen later in deze praktische opdracht worden behandeld.

-Nieuwe getallen:

De wiskunde Euler (1707-1783) introduceerde het getal i voor √-1. Dit getal i heeft dus de eigenschap dat i²= -1 en dat wil dus zeggen dat i een oplossing is van de vergelijking x²+1=0.
Euler noemde dit getal i imaginair. In tegenstelling hiermee worden alle getallen die tot dan toe waren bedacht reëel genoemd.
Het principe dat je een bestaande verzameling getallen uitbreidt om een nieuw type vergelijking op te lossen, is niet zo vreemd als het op het eerste gezicht misschien lijkt. Door de jaren heen heeft men verschillende soorten getallen “gemaakt” waaronder deze:

-Natuurlijke getallen: Dit zijn de getallen 1,2,3, etc.
De verzameling van Natuurlijke getallen worden weergeven met het symbool N

-Gehele getallen: Dit was gedaan om er zeker van te zijn dat x+8=5 te kunnen oplossen, zijn aan de natuurlijke getallen de negatieve getallen en het getal 0 toegevoegd. De gehele getallen omvatten positieve, negatieve en 0. Deze getallen worden aangeduid met het symbool Z.

-Rationele getallen: Deze waren er nodig om het getal 3x=7 op te lossen, hiervoor zijn breuken nodig. De verzameling van alle gebroken getallen heet Q.

- Reële getallen: Voor het oplossen van de vergelijking x²=8 zijn er naast de getallen van Q nog meer getallen nodig. Men geeft deze groep getallen aan met R, deze getallen liggen ook op de getallen lijn.

- Irrationele getallen: De Griekse wiskundigen wisten ook dat er getallen zijn die niet op de getallen lijn liggen van Q zoals, π en √-2. Getallen die niet bij Q horen maar bij R horen, heten irrationele getallen.

De vergelijking x²+1=0 heeft binnen de verzameling R geen oplossing, met andere woorden gezegd de vergelijking heeft geen reële oplossingen. Onder andere om tweedegraadsvergelijkingen met een negatieve discriminant te kunnen oplossen, worden de complexe getallen ingevoerd.

Zoals we al eerder hebben gezegd, geldt voor het getal i dat i²= -1. Met dit nieuwe getal i rekenen we net zo als met reële getallen, dat wil dan weer zeggen dat overal waar –1 staat, dit vervangen kan worden door i² en omgekeerd kan dit natuurlijk ook.

2 + 4i
1 + i is een som waarbij gedeeld moet worden. Je moet hierbij gebruik maken van de rekenregel en dat is erg lastig. Vandaar het advies om delingen uit te voeren door teller en noemer van de breuk a + bi te vermenigvuldigen met c – di.
c + di

Het complexe getal c – di heet de geconjugeerde van c + di en wordt aangegeven door een streep te zetten boven c + di, dus door c + di.

En zo is de geconjugeerde van z = a + bi gelijk aan z = a + bi = a – bi.

-Voorbeeld opgaven:

De vergelijking x²+1= 0 kan op de volgende manier genoteerd worden, als je deze oplost:

x²+1= 0

x²= -1

x²= i²

x= i V x= -i

Voorbeeld opgave 2

(2+5i) + (4-6i) = 2 + 5i + 4 – 6i = 6 – i

(4+7i) + (5-3i) = 4 + 7i + 5 – 3i = 9 – 4i

5 + 5i 1 + i 5 + 5i + 5i + 5i² 10i
―― * ―― = ――――――― = ―― = 5i
1 – i 1 + i 1 + i - i - i² 2

-het complexe vlak

Het complexe getal a + bi is volledig bepaald door de twee reële getallen a en b. Wordt in het complexe getal z = x + iy .
Het imaginaire deel y gelijk aan 0 genomen, dan is z een reëel getal en dat is aan te geven op een getallenlijn, de reële as.
Wordt evenwel het reële deel x gelijk aan 0 genomen, dan is z een zuiver imaginair getal en dat is ook op een getallenlijn, de imaginaire as, weer te geven.
Om een complex getal weer te geven, heb je dus meer dan één getallenlijn nodig. Je kunt bij ieder complex getal z = x + iy het punt (x,y) in een rechthoekig assenstelsel laten corresponderen. Je neemt dan de reële as langs de horizontale as en de imaginaire as langs de verticale as.
Het vlak dat op deze manier is ontstaan heet het complexe vlak
Het complexe vlak wordt ook wel het vlak van Gauss genoemd
Merk op dat bij elk punt in het complexe vlak een getal hoort. Zo staat bij het snijpunt van de reële as en de imaginaire as het getal 0.

De opstelling van de complexe getallen a + bi en c + di is gedefinieerd door a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)I
Voor de bijbehorende punten in het complexe vlak geldt dan (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
Deze laatste regel is ook te lezen alsof er een opstelling van vectoren in het Oxy-assenstelsel staat.
Verrassend misschien, maar het optellen van complexe getallen is in het complexe vlak op dezelfde manier uit te voeren als het optellen van vectoren in een Oxy-assenstelsel met de paralellogram-constructie of met de kop-staart-methode.

De overeenkomst tussen getallen in het complexe vlak en vectoren in het Oxy-vlak is zelfs steeds groter.
Net zoals de lengte (de modulus) van de vector (x, y) gelijk is aan √x² + y² is ook de modulus (de absolute waarde) van het complexe getal x + iy gelijk aan √x² + y² en wordt genoteerd
Met │x + iy│.

Tel je twee complexe getallen bij elkaar op, dan zal in het algemeen de modulus van de som niet gelijk zijn aan de som van de moduli.
Wel geldt │z1 • z2│ = │z1│•│z2│.
De hoek φ die de vector (x, y) bij het complexe getal z = x + iy maakt met de positieve x-as noemen we een argument van z.
Notatie: φ = Arg(z).
Hierboven wordt gesproken over een argument, want als een argument is van z, dan is φ + k • 2π (met k een geheel getal) ook een argument van z.
Om bij elk complex getal toch precies één hoek te kunnen aangeven wordt de hoofdwaarde van het argument ingevoerd.
Notatie: Arg(z).
Het onderscheid in de notaties is dus alleen de hoofdletter bij de hoofdwaarde van het argument.
Hierbij wordt Arg(z) tussen -180˚ en 180˚ genomen.
Dus -180˚ < Arg(z) ≤ 180˚ als je werkt met graden, en –π < Arg(z) ≤ π als je werkt met radialen.

b
Z = a +bi geldt tan φ ―
a y
Voor x = 0 geldt voor elk argument φ van z = x + iy dat tan φ = ―
x
Tel je de twee getallen bij elkaar op, dan krijg je een argument van het producht van die getallen, kortweg genoteerd: arg(z1 • z2) = arg(z1) + arg(z2)
Met arg(z1) = arg(z2) + arg(z3) wordt dus bedoeld dat een argument van z1 gelijk is aan de som van geschikt gekozen argumenten van z2 en z3.

Voorbeeld opgaven:

2 + 2i = betekend 2 naar rechts en 2 omhoog
2 : 1 = 2
90˚ : 2 = 45˚
90 – 45 = 45˚ = Hoofdwaarde
2² + 2² = 8²
√8 = 2,83 = Absolute waarde

-2 + 2i = betekend 2 naar link en 2 omhoog
2 : 1 = 2
90 : 2 = 45˚
180 – 45 = 135˚ = Hoofdwaarde

-Poolcoordinaten:

z = a + bi geldt
b a
sin φ = ―――― en cos φ = ―――――
√a² + b² √a² + b²

hieruit volgt direct dat a = | z | · cos φ en b = | z | · sin φ, zodat elk complex getal z te schrijven is als z = | z | · cos φ + i | z | · sin φ, ofwel z = | z | · (cos φ + i sin φ).
Schrijf je in plaats van | z | de letter r, dan krijg je
Z = r(cos φ + i sin φ
Hierbij is φ een argument en r de modulus van z.
Het complexe getal z is nu uitgedrukt in de poolcoördinaten r en φ.

-Geschiedenis:

Euler:
De wiskunde Euler (1707-1783) introduceerde het getal i voor √-1.

het complexe vlak:

De Noorse cartograaf Capar Wessel (1745 – 1818) was de eerste die complexe getallen voorstelde door middel van punten in het complexe vlak.
Ook het gebruik van poolcoördinaten en vectoren in relatie met complexe getallen is door hem bedacht.
Hij publiceerde hierover in 1787.
Omdat het werk van Wessel aan de aandacht van de 19e eeuws wiskundigen is ontsnapt, is het complexe vlak na Wessel nog twee keer ‘ontdenk’: door de fransman Argand in 1806 en door Gauss in 1831.
Nadat het werk van Wessel in 1895 opnieuw werd gepubliceerd, werd algemeen aanvaard dat hij de eerste is geweest die de meetkundige voorstelling van complexe getallen heeft bedacht.

Abraham de Moivre 1667 – 1754:
Abraham de Moivre in 1667 geboren in Vitry in frankrijk.
Op 18-jarige leeftijd verhuisde hij naar Londen waar hij in zijn levensondehoud voorzag door het geven van privélessen wiskunde.
De grootste verdiensten van de Moivre liggen op het gebied van de kansrekening.
In zijn boek ‘The Doctrine of Chances’ (1718) definieert hij afhankelijk en onafhankelijke gebeurtenissen.
De Moivre is ook bekend geworden omdat hij een directe formule voor de benadering van n! heeft bedacht.
De formule (cos φ + i sin φ)^n = cos n φ + i sin n φ gebruikte hij in een geheel andere vorm.
Euler was de eerste die de formule wel in deze vorm gebruikte.
Abraham de Moivre stierf in 1754 een natuurlijke dood, precies op de dag die hij reeds lang van tevoren had voorspeld.

Bronnen:

* Getal & Ruimte Zebra “Complexe getallen” eerste druk, 2001