Oneindig

De Duitse wiskundige Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor werd geboren in St. Petersburg, Rusland. Hij leefde van 3 maart 1845 tot 6 januari 1918.
Zijn vader was geboren in Denemarken. Deze Georg Waldemar Cantor was een succesvolle zakenman die een groothandel had in St.Petersburg en later makelaar werd op de effectenbeurs. Zijn vader had belangstelling voor kunst en cultuur. Zijn Russische moeder, Maria Anna Böhm, was muzikaal. Van zijn ouders erfde hij de artistieke talenten. Hij was een hele goede violist.
Cantor’s vader had een slechte gezondheid en daarom verhuisde hij toen Georg elf jaar oud was naar Duitsland, waar de winters minder streng waren dan in St. Petersburg. Eerst woonde de familie in Wiesbaden en Georg bezocht er het gymnasium. Daarna verhuisden zij naar Frankfurt. In Darmstadt ging hij naar de Höheren Gewerbeschule.. Hij haalde er in 1860 zijn diploma, met uitstekende resultaten voor wiskunde. Hij gaat naar Zürich voor een studie aan een technische opleiding, maar in 1962 besluit hij er wiskunde te gaan studeren. Na de dood van zijn vader in 1863 studeerde hij wiskunde aan de universiteit van Berlijn. Hij studeerde af in 1867 en werd in 1872 hoogleraar in de wiskunde aan de universiteit van Halle. Hij was een van de oprichters van de “Deutsche Mathematikervereinigung”.
Hij droeg veel bij tot het organiseren van internationale congressen van wiskundigen. In 1899 overleed zijn jongste zoon. Vanaf dat jaar tot zijn dood was hij depressief.
Men beschouwt hem als de grondlegger van de “verzamelingenleer”, maar ook als de grondlegger van “de theorie der transfiniete (“overoneindige”) getallen”.
Over de laatstgenoemde theorie gaat het volgende werkstuk:

O N E I N D I G

Dit werkstuk bestaat uit 4 delen:

1. Wat houdt het wiskundige begrip “ oneindig” in?

Volgens de Winkler Prins Encyclopedie zijn de “begrippen ‘eindig’ en ‘het oneindige’ alleen van toepassing op datgene, waarbij van ontelbaarheid sprake is, dus van de onmogelijkheid om te kunnen worden gemeten of geteld”.
Voor wiskundigen is oneindigheid een uitdaging omdat zij altijd alles willen oplossen. Een definitie voor wiskunde is zelfs: de wetenschap van het oneindige die dit met eindige middelen probeert te beheersen.
Het is een grensbegrip, namelijk de limiet waartoe een bepaalde grootheid nadert als een andere onbeperkt aangroeit.
Een “oneindig groot” getal is in de wiskunde een veranderlijk getal dat steeds aangroeit en uiteindelijk elk denkbaar getal te boven gaat (teken:  in de algebra). Zo is een “oneindig klein” getal een veranderlijk getal dat steeds meer in de buurt van de nul komt.

2. De geschiedenis van het begrip “oneindig”.

Oneindig is een begrip dat sinds de Grieken een belangrijk thema is geweest van wijsgerig denken. De wiskunde heeft eerst onder invloed van dit wijsgerig denken, maar later helemaal zelfstandig de problemen van het oneindigheidsbegrip gesteld en opgelost. De wijsgeer Aristoteles (een leerling van Plato) wiens ideeën tot diep in de middeleeuwen als voorbeeld werden genomen had grote moeite met het begrip oneindig: “Zolang geen redelijke grootheid oneindig is, is het onmogelijk om elke vastgestelde verwante grootheid te overtreffen. Als dat mogelijk is zal er iets groters zijn dan de hemel”.
Pas na de middeleeuwen durfden Galileo, Gauss en John Walles de ideeën van Aristoteles te weerspreken, wat hun veel kritiek opleverde.
Wiskundigen hadden begin 20e eeuw de behoefte om toch het kental (machtigheid) van de verzameling van de natuurlijke getallen te benoemen. Op het eerste gezicht lijkt het alsof er maar één soort oneindig is, en daarmee uit. Maar eind van de 19-de eeuw, in 1873, ontdekte Georg Cantor dat er verschillende `graden' van oneindig zijn, dat niet alle oneindige verzamelingen even groot zijn, dat de een nog groter dan de ander is. Hij ontdekte daarmee een heel nieuw en fascinerend gebied dat de beroemde Duitse wiskundige David Hilbert `het paradijs van Cantor' noemde. Cantor begon de machtigheid van deze verzamelingen te omschrijven als aftelbaar oneindig. Hij kende er het symbool 0 aan toe, uit te spreken als Alef-nul. Vervolgens ging hij op zoek naar verzamelingen die even-machtig waren en naar verzamelingen die machtiger waren. Beide zijn ruimschoots gevonden.
De twee verzamelingen die hij als voorbeeld nam waren: de verzameling van de natuurlijke getallen 0,1,2,... en de verzameling van de punten op de lijn. Zijn ontdekking volgde op lang en hard nadenken over de vraag hoeveel punten er wel niet op de lijn liggen. Voortbordurend op deze ontdekking ontwikkelde Cantor de verzamelingenleer. Hij gaf precieze definities van de begrippen "even groot" en "kleiner dan" en formuleerde de continuümhypothese, een vermoeden dat nog steeds niet opgelost is. Dit vermoeden houdt in dat er geen verzameling bestaat die groter is dan de verzameling van de natuurlijke getallen en toch kleiner dan de verzameling van de punten op de lijn. Ofwel, er bestond geen machtigheid die lag tussen Alef-nul en Alef-een, maar Cantor kon dit niet bewijzen.
Het onderwerp oneindigheid is van groot belang voor de wiskunde.
Zoals ik al eerder schreef is een definitie voor wiskunde zelfs: de wetenschap van het oneindige die dit met eindige middelen probeert te beheersen.
Cantor maakte dus een onderscheid tussen telbare oneindigheid en ontelbare oneindigheid. Ik wil deze begrippen extra toelichten:

Telbare oneindigheid:
We zeggen dat een oneindige verzameling aftelbaar oneindig is als we de elementen kunnen "nummeren" met de natuurlijke getallen. In het geval van de verzameling der even getallen kan ik alle even getallen een rugnummer of index geven: 2 is het eerste getal, 4 het tweede, 6 het derde etcetera. Ofwel 1 wordt gekoppeld aan 2, 2 aan 4, 3 aan 6,.... n aan 2n, waarmee ik alle even getallen aan de natuurlijke getallen heb gekoppeld. De conclusie luidt nu, dat de verzameling der even getallen evenveel elementen heeft als de verzameling van de natuurlijke getallen. Dit zelfde geldt bijvoorbeeld ook voor de volgende verzamelingen: Alle verzamelingen der n-vouden, de verzameling der gehele getallen (dus alle positieve- en negatieve getallen en nul), en zelfs voor de verzameling der breuken! Ook de verzameling van de priemgetallen is Alef-nul. Er zijn verzamelingen die machtiger zijn dan Alef-nul-verzamelingen.

Ontelbare oneindigheid:
De verzameling van de reële getallen (alle getallen met een willekeurige oneindige decimale ontwikkeling) is machtiger dan Alef-nul. Om dit aan te tonen kijken we naar een deel-verzameling van de verzameling der reële getallen, namelijk de verzameling van alle punten op een lijnstuk van lengte 1, wiskundig kijken we naar de verzameling <0,1>. Cantor bewees op een geniale manier dat het aantal punten op deze lijn meer is dan het aantal natuurlijke getallen. Het bewijs is de geschiedenis in gegaan als het "diagonaal bewijs van Cantor".

3. Mijn eigen opvatting van het begrip “oneindig”.

Bij het begrip oneindig stel ik me in de eerste plaats cijfers voor. Als ik 10 deel door 3, dan verschijnt er zo’n reeks drieën: 3,3333333 waarbij ik dan denk: ja en zo oneindig door.
Als ik begin te tellen bij 1, en ik tel tot zoveel miljard, kan ik ze op een gegeven moment niet meer uitspreken omdat het getal te groot wordt. Net zoals het schermpje op mijn rekenmachine maar een heel beperkt aantal cijfers kan bevatten. Ik vond het daarom leuk te lezen dat je dan bij zo’n moeilijk groot getal heel simpel “plus 1” kan zeggen, waardoor je je realiseert dat het nooit afgelopen is met je verzameling cijfers.
Uitdrukkingen als “een speld in een hooiberg zoeken”, “water naar zee dragen” hebben voor mij ook een beetje te maken met oneindigheid. Geen beginnen aan, alsof je dat in één mensenleven niet voor elkaar krijgt. Net zoals “zandkorreltjes moeten tellen in de woestijn, terwijl het waait”. Dat waaien is natuurlijk een extra handicap, maar theoretisch zou je de woestijn als een archeoloog in vierkante meters kunnen verdelen, en die vierkante meters weer in plakjes en op die manier toch (na relatief geringe inspanning) kunnen schatten hoeveel zandkorreltjes de woestijn telt. Waar een wil is, is een weg. Zo kan ik me ook voorstellen dat wiskundigen de oneindige getallen wilden “bedwingen”.

4. Bonusopdrachten:

1. Pak een willekeurig boek en schat hoeveel woorden erin staan. Licht je werkwijze toe.

Ik tel de woorden van drie willekeurige volgeschreven bladzijden. Ik deel de som van mijn optelling door drie, waardoor ik een mooi gemiddeld aantal letters per bladzijde krijg. Hierna kijk ik achter in het boek hoeveel bladzijden het boek bevat. Ook heb ik dan de half-volgeschreven bladzijden van het boek meegeteld deze tel ik apart en deel ze door twee en deze trek ik af van het totaal aantal bladzijden. In totaal komt er gemiddeld nog één bladzijde bij met woorden (van de inhoudsopgave, data e.d.)
Als laatste vermenigvuldig ik het aantal bladzijden met het gemiddelde aantal woorden per bladzijde.
Voorbeeld: ik heb het boek ”Sprookjes” van Oscar Wilde genomen. De eerste volle bladzijde bevatte 284 woorden, de tweede 311 en de derde 308 woorden. Deze drie getallen tel ik bij elkaar op: dat is 903. Om het gemiddelde te berekenen deel ik 903 door 3 en dat is 301.
Het boek telt in totaal 181 bladzijden, maar het begint op bladzijde 7.
Het boek telt ook 16 halve bladzijden, dus dat zijn 8 helen. Het aantal volgeschreven bladzijden is dus 181 – 15= 166 bladzijden.
Om het totaal aantal letters te krijgen moet je 166 vermenigvuldigen met 301 (166x301) en dat is 49,966 + 301= 50,267, dus ongeveer 50,000 woorden in totaal.

2. Schat hoeveel haren je op je hoofd hebt. Licht je werkwijze toe.

Ik tel (het is makkelijker als je het laat tellen, zelf is het namelijk erg moeilijk) de haren van één vierkante centimeter op mijn hoofd, vervolgens meet ik de oppervlakte van mijn hoofd waar haar groeit. Deze uitkomsten vermenigvuldig ik vervolgens met elkaar. Ik heb zo’n 150 haren op één vierkante centimeter. De oppervlakte van mijn hoofd waar haar groeit is ruim 1000 cm² (dat lijkt veel maar de omtrek alleen al is al 58 centimeter) dus 150x1000cm². Ik heb dus ongeveer 150,000 haren van zo’n 7centimeter langop mijn hoofd.

3. Schat hoeveel geld alle leerlingen op deze school samen uitgeven voor al hun schoolboeken. Licht je werkwijze toe.

Stel dat de school 1000 leerlingen heeft en de gemiddelde leerling zit 5 jaar op school.
Een deel (50%) koopt de boeken nieuw en een deel (50%) koopt ze tweedehands.De bedragen per klas zijn geschat. Ik ben ervan uitgegaan dat er jaarlijks meer boeken gekocht moeten worden:
1e klas: 600,-
2e klas: 800,-
3e klas: 1000,-
4e klas: 1200, -
5e klas: 1400,- dus bij elkaar is dat rond de 5.000 gulden per leerling als alles nieuw wordt gekocht. Het bedrag is 2500 gulden per leerling als alles tweedehands wordt gekocht.
500 leerlingen kopen alles nieuw en besteden dus bij elkaar (5000x500) 2.500000 gulden (=1.136.363 Euro)
De andere 500 leerlingen, die de boeken tweedehands kopen besteden maar de helft, dus 1.250.000 gulden (=568.181 Euro)

Bronnen:
www.mathacademy.com/pr/minitext/infinity/index.asp
http://www.science.uva.nl/projects/opencollege/kleinengroot.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cantor.html
http://www.eur.nl/fw/staff/lokhorst/lauwerier2.html
http://www-math.sci.kun.nl/math/voorlichting/krokusprog-dut.html
http://www.wiskunst.nl/Wiskunde2.htm
Winkler Prins Encyclopaedie, Elsevier, 6e druk, 1952
De telduivel : een hoofdkussenboek voor iedereen die bang voor wiskunde is / door
H.M.Enzensberger; vert. door P. Meeuse, De Bezige Bij, 1997