Het driedeurenprobleem

Inleiding.

Deze praktische opdracht voor wiskunde gaat over het driedeurenprobleem, dat onder veel andere namen bekend staat. Ik wil hierin gaan uitleggen wat het probleem is, en wat het inhoudt. Daarbij vertel ik ook over de geschiedenis en de uitwerking van het probleem. Ik wilde graag mijn praktische opdracht hierover maken omdat ik het een leuk onderwerp vind en ik vind het interessant dat er een theorie achter zo’n spelletje zit wat ingewikkeld lijkt, maar als je het eenmaal door hebt is het heel makkelijk.

Tijdsplanning

Actie: Datum: Tijd:

Onderwerp gezocht 02-05-2004 2 uur
Informatie gezocht onderwerp 05-05-2004 4 uur
Onderzoek naar onderwerp 17-05-2004 3 uur
Berekening opstellen 02-06-2004 2 uur
Uitwerking onderwerp 02-06-2004 4 uur
Simulatie 11-06-2004 2uur
Simulatie 15-06-2004 3uur
Uitwerken op pc 14-06-2004 2uur
Lay-out gemaakt 14-06-2004 1uur
Totaal: 23 uur

Bronnen:

· Internet
- Google.nl
- Wiskunde.pagina.nl
- Site van Pascal
- Site van Willem Ruis
- Zoekmachines

Wat is het “Driedeurenprobleem”?

Een bekend probleem is het probleem dat in Nederland bekend staat als het driedeurenprobleem of het Willem Ruis probleem, genoemd naar de quizmaster uit wiens show dit probleem afkomstig is. Tijdens een tv-quiz kan de winnaar in de slotronde uit drie deuren kiezen. Achter één deur staat een prachtige prijs, achter de andere twee staat niets waardevols. De winnaar kiest een deur (deur A), maar maakt deze nog niet open. De quizmaster opent op dat moment een andere deur (deur B), waarvan hij weet dat er geen prijs achter zit. Deur C valt af, waardoor de kansen worden beperkt (voorwaardelijke kans). Vervolgens stelt hij de deelnemer voor de keus om bij zijn eerste keus te blijven of voor de andere dichte deur te kiezen. De vraag is of de deelnemer zijn kans op een prijs vergroot, verkleint of gelijk houdt, als hij van deur verandert.

Geschiedenis

Het drie deuren probleem is een probleem dat onder veel namen bekend staat. De eerste versie ervan komt uit 1959 en werd geformuleerd door Martin Gardner, bekend om zijn puzzels in de 'Scientific American'. Hij noemde het probleem: het dilemma van de drie gevangenen. In het begin van de jaren negentig bracht het probleem de Amerikaanse media in beroering. Het staat daar bekend onder de naam 'The Monty Hall Problem', vernoemd naar de presentator van de televisieshow 'Let's make a deal'. Ook in Nederland staat het probleem vaak in de krant en ontstaan er discussies. Hier noemen we het probleem het 'Willem Ruis probleem', vernoemd naar de Nederlandse “Monty Hall”.


Uitwerking van het probleem.

De kans dat je de goede deur kiest, is de kans 1 op D. D is het aantal deurtjes, in dit geval 3, dus de kans is 1 op 3.
Als nou een deurtje geopend wordt met een prijs erachter, of alle deurtjes worden geopend zonder dat er een prijs achter zit, dan verandert de kans dat de prijs achter het eerste gekozen deurtje gezeten zou hebben niet, maar de oplossing is wel bekend: in het eerste geval heb je gewonnen, in het andere geval win je niet. Je kunt het vergelijken met het gooien van een dobbelsteen: de kans dat je 4 gooit is 1 op 6, na een worp gooi ik 2. De kans dat ik 4 zou gooien is niet veranderd, maar de uitkomst is 2, als je maar vaak genoeg gooit dan zul je gemiddeld 1 op de 6 worpen 4 gooien.

Om het probleem duidelijker te maken is er nog een manier, je mag kiezen uit 5 dozen. Je kiest voor doos 1, die doos wordt in kamer 1 gezet en de andere 4 worden in kamer 2 gezet. Nu wordt de vraag gesteld: “Blijf je bij je keus, en ga je naar kamer 1? Of wijzig je en ga je naar kamer 2?” Als je verandert van doos, dan kies je automatisch voor kamer 2 en worden er meer dozen geopend, de kans is dus eigenlijk groter dat daar de prijs ligt, want de kans op winst is groter bij een groter aantal dozen.

Hoe moet het dus niet?!

Veel mensen denken dat als je wisselt bij drie deuren je maar 50% kans op winst heb, dit is niet helemaal waar, omdat het niet uitmaakt welke deur je kiest, je hebt altijd 6 gelijke kansen. Een van de andere deuren gaat open (hier ligt geen prijs achter), en dan vallen dus 2 mogelijkheden af.

Hoe moet het dan wel?!

We gaan er even vanuit dat je deur A kiest, en dan zijn de 6 mogelijkheden:

M1. De prijs zit achter deur A, de spelleider opent deur B en hier zit geen prijs achter.
M2. De prijs zit achter deur A, de spelleider opent deur C en hier zit geen prijs achter.
M3. De prijs zit achter deur B, de spelleider opent deur B en hier zit een prijs achter.
M4. De prijs zit achter deur B, de spelleider opent deur C en hier zit geen prijs achter.
M5. De prijs zit achter deur C, de spelleider opent deur B en hier zit geen prijs achter.

M6. De prijs zit achter deur C, de spelleider opent deur C en hier zit een prijs achter.

Omdat er achter de door de spelleider geopende deur geen prijs is, vallen mogelijkheid 3 en 6 af, want dan zou het spel niet eerlijk verlopen. De 4 andere overgebleven mogelijkheden zijn allemaal even waarschijnlijk, en in 2 van deze gevallen heb je voor de goede deur gekozen en zou wisselen fout zijn. In de andere 2 gevallen zou je wel moeten ruilen, en zouden dus alle 2 de kansen 50% zijn.
Dit lijkt een goede redenering, maar klopt niet.

- Bij Mogelijkheid 1 is de kans 1/6 op prijs; de kans op de prijs achter deur A is 1/3, de kans dat de spelleider dan deur B kiest is ½, als je dit vermenigvuldigt kom je op:
1/3 * ½ = 1/6
- Bij Mogelijkheid 2 is de kans 1/6 op prijs; de kans op de prijs achter deur A is 1/3, de kans dat de spelleider dan deur C kiest is ½, als je dit vermenigvuldigt kom je op:
1/3 * ½ = 1/6
- Bij Mogelijkheid 3 is de kans 0 op prijs; de kans op de prijs achter deur B is 1/3, de kans dat de spelleider dan deur B kiest is 0, als je dit vermenigvuldigt kom je op:
1/3 * 0 = 0
- Bij Mogelijkheid 4 is de kans 1/3 op prijs; de kans op de prijs achter deur B is 1/3, de kans dat de spelleider dan deur C kiest is 1/1, als je dit vermenigvuldigt kom je op:
1/3 * 1 = 1/3
- Bij Mogelijkheid 5 is de kans 1/3 op prijs; de kans op de prijs achter deur C is 1/3, de kans dat de spelleider dan deur B kiest is 1/1, als je dit vermenigvuldigt kom je op:
1/3 * 1 = 1/3

- Bij Mogelijkheid 6 is de kans 0 op prijs; de kans op de prijs achter deur C is 1/3, de kans dat de spelleider dan deur C kiest is 0, als je dit vermenigvuldigt kom je op:
1/3 * 0 = 0

Dus als je bij je keus blijft (mogelijkheid 1 en 2) heb je een kans van 1/6 + 1/6 = 1/3 op de prijs.
Als je wisselt heb je een kans van 1/3 + 1/3 = 2/3 op de prijs bij mogelijkheid 4 en 5.

Simulatie

Via de link: http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00066/Ruis.html kom je op de site van een
simulatie van het Willem Ruis Probleem, ik heb een aantal keer deze simulatie gedaan.

Conclusie

Als je aan een dergelijke show meedoet en je komt in de ronde waarin je moet kiezen tussen drie deurtjes is het verstandig om van keuze te wisselen nadat de spelleider een van de deurtjes geopend heeft. De kans dat je eerste keuze goed was is 1/3 en de kans dat de prijs achter het andere (nog niet geopende deurtje) zit is 2/3, dan is de kans op prijs dus groter na wisselen.

Zelfs wanneer er honderd deurtjes zijn is het verstandiger om te wisselen, want de kans dat je in één keer de goede kiest is 1/100. Jij kiest deurtje één en de spelleider opent de andere 98 deurtjes waar niks achter zit, dan is de kans dus dat je prijs hebt nadat je wisselt 99/100 en ben je bijna zeker van een overwinning!!


Nadat ik deze praktische opdracht gemaakt heb, weet ik hoe ik het probleem moet aanpakken, en wanneer ik in een situatie kom dat ik moet kiezen weet ik hoe ik het moet oplossen: ALTIJD WISSELEN!!