Het ontstaan van de kansrekening
In de prehistorie gokte men op de uitkomsten van het gooien met het sprongbeen, een voorganger van de dobbelsteen. Bij opgravingen in een stad in het Oude Mesopotamië is een bordspel teruggevonden en zijn dobbelstenen in de vorm van een viervlak aangetroffen. In de veertiende eeuw na Christus ontstonden kaartspelen. Ook konden gokkers inzetten op uitslagen van wedstrijden.
Het duurde echter tot de veertiende voordat wiskundigen zich met het gokken gingen bezighouden. Een eerste vraagstuk, wat in een Italiaans tijdschrift uit 1380 stond, was het partijenvraagstuk en luidde als volgt:
Twee partijen spelen een balspel om punten. Ze hebben beide een even grote kans om een punt te scoren. Er is geen tijdsduur voor het spel vastgelegd en de partij die als eerste zes punten gescoord heeft, wint de pot van zestig dukaten. Het spel moet (vanwege het weer) bij een stand van 5-3 worden gestaakt. Er wordt besloten de pot te verdelen. De vraag is nu: hoe moet dat gebeuren?
De Italiaanse wiskundige Pacioli bedacht in 1494 dat de pot moest worden verdeeld in de verhouding 5 : 3 (de stand bij afbreken), maar zijn collega Cardano vond dat je rekening moest houden met de nog te scoren punten. In die tijd konden wiskundigen nog geen bevredigde oplossing verzinnen.
Halverwege de zeventiende eeuw kreeg de Franse wiskundige Blaise Pascal (1623-1662) het bovenstaande kansprobleem voorgelegd door de Franse Chevalier de Méré. Maar hij kende nog veel meer van dergelijke kansproblemen. Een bekend vraagstuk was ook :
De Méré speelde in de Franse ‘salons’ vaak een dobbelspel waarbij de ‘bank’ won als een speler bij het werpen met een zuivere dobbelsteen bij 4 worpen tenminste een zeg goot. Hij bedacht daarop een variant waarbij de ‘bank’ wint wanneer bij 24 worpen met twee zuivere dobbelstenen tenminste een keer dubbel-zes voorkwam.
De Méré dacht dat er bij beide situaties voor de ‘bank’ dezelfde kans op winst bestond: in het eerste geval 4/6 en in het tweede geval 24/36 (want bij twee dobbelstenen zijn er 36 mogelijkheden), en dat is beide hetzelfde. In de praktijk bleek dit niet op te gaan, de tweede situatie was voor de ‘bank’ ongunstig. De vraag was hoe dit kwam.
Pascal stortte zich op deze problemen en in een briefwisseling met Pierre de Fermat (1601-1665) losten zij ze op. Daarbij ontwikkelden ze de basisprincipes van de kansrekening. In feite zijn Pascal en Fermat de grondleggers van de kansrekening zoals wij die tegenwoordig nog steeds beoefenen. Zij werkten alleen met kansen in termen van verhoudingen 1 : 6 en niet met breuken zoals tegenwoordig.
Pascal werkte de theorie uit in zijn boek ‘Traité du triangle arithmétique’, waarin hij de driehoek van pascal gebruikte om deze problemen aan te pakken. Verder gebruikte hij bij de oplossing van zijn kansproblemen telsystemen die al veel eerder waren ontdekt: het werken met permutaties en combinaties werd al omstreeks 850 na Christus beschreven door de Indische wiskundige Mahavira op grond van ontdekkingen van jaïntische geleerden in de eeuwen daarvoor.
Dankzij de handel en de ontdekkingsreizen kwamen in Italie en in het Holland van de vijftiende, zestiende en zeventiende eeuw de eerste verzekeringsmaatschappijen op. Er ontstond daarbij behoefte aan werken met kansen voor het berekenen van de risico’s op uitbetaling. De Nederlandse geleerde Christiaan Huygens (1629-1695) publiceerde in 1657 zijn boek over kansrekening: ‘Van rekeningh in spelen van geluck’, waarin hij voortborduurde op de theorie van Pascal en Fermat. Johan de Witt paste Huygens’ ideeën toe op het verzekeringswezen, met name schreef hij een verhandeling over lijfrentes: ‘Waerdye van Lijfrenten naar Proportie van Losrenten’.
Het bekendste vroege boek over kansrekening was Jakob Bernoulli’s :’Ars conjectandi’. Daarin werd voor het eerst gewerkt met kansen tussen 0 en 1. Bernouilli bedacht de binomiale kansverdeling die bestond uit herhaling van een aantal onafhankelijke experimenten met elk twee mogelijkheden namelijk: succes en mislukking.
Daarop verder werkend ontdekte de Britse wiskundige Abraham de Moivere als limietgeval van de binomiale kansverdeling de normale kansverdeling.
Bháscara Acharia (1114-1185)
Bháscara Acharia wil zeggen: Bháscara de geleerde. En inderdaad werd deze Indische hoofdastronoom en wiskundige aan het astronomisch observatorium in Ujjain (India) geroemd om zijn bekwaamheid in de wiskunde, astronomie en de werktuigbouwkunde. Ook na zijn dood leefde zijn werk voort in de school die zijn kleinzoon Changadeva daarvoor had opgericht.
Bháscara voltooide zijn hoofdwerk al op zesendertig jarige leeftijd, bekend onder de naam Sidd’hanta-siromani. Het raakte al bekend door de vele ontleningen en verklarende aantekeningen erop, voordat het in 1917 door H.T. Colebrook in het Engels werd vertaald. Het werk is slechts voor een gedeelte bewaard gebleven, we kennen nu nog slechts vier volledige delen.
Het boek past in de traditie der Indiase Scholen, deze oude werken behandelen voornamelijk wiskundige en astronomische problemen. Het oudste werk dat in deze traditie te plaatsen is komt uit de vierde eeuw.
Bháscara schreef over in- en verkoop, rente, goud, grondverzet en graanvolumes, en over permutaties en combinaties.
De eerste twee hoofdstukken van Sidd’hanta-siromani zijn gewijd aan wiskunde. Het eerste behandelt vraagstukken over variaties, permutaties en combinaties. Het was de eerste maal dat iets van een belangstelling voor dergelijke problemen blijkt, al mag niet worden uitgesloten dat eerdere werken over hetzelfde onderwerp verloren zijn gegaan. Een vraag die belangstelling wekt is welke materiele zaken aanleiding gaven tot deze ordening van gegevens: een spel als het schaken, optochten of de Kastemaatschappij. Hoewel ze niet bij alle kansberekeningen van belang zijn, kunnen mogelijke permutaties en combinaties soms de kans op toevallig samenvallen van omstandigheden of op de vorming van deelgroepen binnen een matrix voorspellen. Het is echter onwaarschijnlijk dat Cardano, Bernoulli of Huygens de Indische methoden hebben gekend.
Permutaties noemt men de manieren waarop je een aantal elementen kan rangschikken. Zo bijvoorbeeld de drie letters a, b en c. Elk van de drie kan voorop staan, daarna heeft men voor de volgende letter nog twee keuzemogelijkheden, en voor de laatste plaats blijft dan nog een letter over. Er zijn voor deze drie elementen dus 3*2*1=6 permutaties. Uitgeschreven zijn dat de mogelijkheden: abc, acb, bac, bca, cab en cba. Drie elementen dus op zes manieren. 1*2*3 Schrijft men 3!. Volgens dit systeem kan men n elementen rangschikken op n! manieren : 1*2*3*4………n=n!
Als bewijs voor n! kan je geven: (We nemen aan dat bovenstaande regel juist is voor k elementen). Wanneer je een nieuw deel k+1 wil toevoegen, dan kan je die plaatsen voor het eerste, tweede, derde,…. en voor het laatste element. (dus bijvoorbeeld: k = 4 zijn de vier permutaties dus 1*2*3*4=24, dan wordt k +1, 1*2*3*4*5=120).Er zijn dan dus k+1 plaatsen bij elke permutatie. Het aantal mogelijkheden is nu k!(k+1). (Dus 24*5=120, dit is dus eigenlijk de 5e stap bij k+1). En dat is hetzelfde als (k+1)!, (namelijk 5! = 120). Dus als de formule opgaat voor zowel k, k+1, k+2, k+3, k+4, dus alle waarden van k en dus ook n. Het aantal permutaties van n zaken is dus n!.
Het verjaardagsprobleem
Het verjaardagsprobleem is een van de beroemdste problemen uit de kansrekening. De vraagstelling van het probleem is als volgt:
Wat is de kans dat in een willekeurig gevormde groep van m personen, twee of meer personen op dezelfde dag jarig zijn?
We nemen hierbij een jaar van 365 dagen als uitgangspunt, dus wordt 29 februari weggelaten. Om de exacte oplossing van het verjaardagsprobleem te vinden, is het handig om de complementaire kans te berekenen, dus de kans dat in een groep van m personen elk van de personen op een andere dag jarig is.
Stel dat m personen genummerd zijn als 1, 2,……, m.
Er zijn in totaal (365)м mogelijke uitkomsten voor de verjaardagen van de m personen. Het aantal uitkomsten met allemaal verschillende verjaardagen is
365 * 364 * 363* ……..* (365 - m + 1). De kans dat elk van de m personen op een andere dag jarig is, vind je door het aantal gunstige uitkomsten te delen door het aantal mogelijke uitkomsten. Deze kans is dus gelijk aan
365 * 364 * 363* ……..* (365 - m + 1)
(365) м
Stel er zijn drie personen in de groep:
365 * 364 * (365 – 3 + 1)
= 0.9917958341
(365)³
365 * 364 * (365 – 3 + 1)
1- = 1 - 0.9917958341 = 0.0082041659
(365)³
Ook zou je kunnen stellen dat bij drie personen in een groep:
365/365 * 364/365 * 363/365 = 0.9917958341 .
De kans is 0.9917958341 dat er geen personen op dezelfde dag jarig zijn.
Omdat dit de complementaire kans is, is 1 – 99.17958341 = 0.0082041659 de kans dat personen op dezelfde dag jarig zijn.
De kans voor een groep van 23 personen dat ze ieder op een andere dag jarig zijn:
365 * 364 * 363 * 362 * 361 * 360 * 359 * 358 * 357 * 356 *
355 * 354 * 353 * 352 * 351 * 350 * 349 * 348 * 347 * 346 *
345 * 344 * (365 – 23 + 1)
= 1 - 0.4927027657= 50.7%
(365)²³
De kans voor een groep van 22 personen dat ze ieder op een andere dag jarig zijn:
365 * 364 * 363 * 362 * 361 * 360 * 359 * 358 * 357 * 356 *
355 * 354 * 353 * 352 * 351 * 350 * 349 * 348 * 347 * 346 *
345 * (365 – 22 + 1)
= 1 – 0.5243046923= 47.6%
(365)²²
Met deze methode kan je de exacte waarde voor elke keuze van m berekenen. Zoals in bovenstaande berekeningen te zien, is een groep van 23 personen de kleinste waarde voor m waarbij geldt dat de kans op meerdere verjaardagen op een dag > 50% is.
Christiaan Huygens (1629-1695)
Christiaan Huygens werd op 14 april 1629 in Den Haag geboren. Hij groeide op in een vooraanstaand milieu en kreeg les van privé-leraren. Hij was in alles een uitblinker, zodat hij op negenjarige leeftijd al Latijn sprak. Hij had ook aanleg voor wiskunde en mechanica. Hij verdiepte zich niet alleen in de theorie, maar voerde de mechanische constructies ook zelf in de praktijk uit. In 1645 ging hij in Leiden rechten en vooral wiskunde studeren. Huygens bracht een aanzienlijke tijd van zijn leven door in Parijs. Toen hij er in 1655 was, ontmoette hij onder andere de kring van Montmonrt waardoor hij in contact kwam met geïnteresseerden in kansrekening.
In 1657 verscheen het werk ‘Van rekeningh in spelen van geluck’ over de kansrekening. In dit boek bewijst Huygens dat uitkomsten van kansspelen wel onzeker zijn, maar de kans op winst of verlies exact te bepalen is.
In 1666 was Huygens weer in Parijs, waar hij bevriend raakte met Colbert, die hem al enkele jaren daarvoor gevraagd had een Franse Koninklijke Academie van Wetenschappen op te richten, de ‘Académie Royale des Sciences’. Huygens bleef vijftien jaar secretaris van dit instituut. In deze periode schreef hij eveneens zijn beroemde werk over het slingeruurwerk, het ‘Horologium oscillatorium’. Om zijn geschriften te kunnen begrijpen is een behoorlijke mate van wiskundige scholing vereist. In zijn werk kom je ook typerende karaktertrekken tegen van de 17eeeuwse geleerden. Hij beheerst zowel de wiskunde en de natuurwetenschappen van zijn tijd, zoals de techniek van het instrument maken. Bij hem was er geen scheiding tussen theorie en praktische toepassingen.
Een voorbeeld uit zijn werk ‘Van rekeningh in spelen van geluck’:
Als ik gelijk kans heb op a of b, dan is mij dit (a+b)/2 waard.
Ik speel tegen een ander en zet x in, en de ander zet eveneens x in; verder wordt afgesproken dat degene die wint aan degene die verliest a zal geven. Dit is een eerlijk spel en ik heb hierdoor dezelfde kans om a te krijgen, namelijk als ik het spel verlies, of 2x-a , als ik het spel win; want dan krijg ik de gehele inzet, 2x, maar moet daarvan a aan de ander geven. Als 2x-a zo veel zou zijn als b, dan zou ik gelijke kans hebben op a of b. Ik stel dan 2x-a=b en dit geeft 2x=a=b en vervolgens x=(a+b)/2 voor de waarde van mijn kans. Want als ik (a+b)/2 heb dan kan ik dat tegen een ander inzetten die ook (a+b)/2 zal inzetten en afspreken dat degene die het spel wint aan de ander a zal geven. Waardoor ik gelijke kans heb om a te krijgen. a Als ik verlies, of b als ik win; want in dat geval krijg ik a+b, waarvan ik a aan mijn tegenspeler geef.
Als ik dus gelijke kans heb om 3 + 7 te krijgen, is door dit voorstel mijn kans 5 waard. Want als ik met hetzelfde bedrag tegen een ander speel die ook 5 inzet, onder voorwaarde dat degene die wint 3 aan de ander zal geven, dan is het een eerlijk spel.
Het proces van de Bernoulli’s
De familie Bernoulli stamt oorspronkelijk uit Antwerpen. Toen de stad onder Spannse invloed kwam
weken ze uit naar het noorden. Na verblijf in Amsterdam en Frankfort vestigden ze zich uiteindelijk in 1622 te Bazel. Opvallend is dat de meeste Berrnoulli’s niet als wiskundige begonnen, maar zich na een opleiding theologie, het recht of de medicijnen met de toegepaste wiskunde gingen bezighouden.
Jakob en Johannes Bernoulli
Beide broers waren niet wiskundig opgeleid, maar eindigden toch als hoogleraar wiskunde aan de universiteit van Bazel. Jakob hield zich vooral bezig met de deductieve kansrekening die via de binomiaalontwikkeling voortbouwt op permutaties en combinaties. Een groot deel van zijn werk is later uitgeven onder de titel Ars conjectandi , de kunst van het gissen.
Het Theortema van Bernoulli
Het Theorema van Bernoulli wordt ook wel ‘De wet van de grote getallen’ genoemd. Eenvoudig gezegd komt het er op neer dat naarmate je een experiment vaker uitvoert de relatieve freguentie een steeds betere schatting geeft van de kans.
Stel men werpt een geldstuk. De kans op kop of munt is gelijk aan 0.5.
Deze kans noemt men P pri. De gevonden verhouding, bijvoorbeeld 3 maal kop en zeven maal munt noemt men P post. Naamate het aantal steekproeven N groter komt de kans steeds dichter bij nul te liggen.
Ppost – Ppri ® 0 voor N ® is oneindig
Een voorbeeld :
Indien er tien maal wordt geworpen en er komt drie maal kop en zeven maal munt als antwoord ontstaat de volgende figuur :
½Ppost - Ppri½ = ½ 0.3 – 0.5½ = 0.2
Voert men nu nog twintig tossen uit ( we nemen N met een groter waarde), waarvan bijvoorbeeld de uitslag negen keer kop en 11 keer munt is, dan wordt voor het totaal van 30 maal werpen het verschil:
½3+9 - 0.5½ = ½ 0.4 – 0.5 ½ = 0.1
¾
30
Je ziet dat naarmate je het experiment vaker uitvoert de kans steeds dichter bij nul komt te liggen.
De Ars Conjectandi
Jakob’s neef , Nicolaus (1687-1759) bracht de Ars Conjectandi ter perse. In dit boek wordt het probleem van de duur van het spel opgelost.
Een spel is uit wanneer de fisches van A (a) en B (b) op zijn. Hun kansen op succes zijn p en q (=1-q).
Wanneer de kansen ( p en q) elkaar uitsluiten moeten ze samen natuurlijk 1 zijn p+q =1.
Een volgend probleem:
Peter en Paul spelen kop of munt waarbij bepaald is dat wanneer eerst n maal kop of munt is gevallen en daarna munt, Paul aan Peter 2 tot de n de gulden zal geven. Het spel is dan afgelopen.
De mogelijke uitslagen van het spel zijn :
1 ronde M kans ½ uitbetaling 0
2 rondes K,M kans ¼ uitbetaling 2^ 1 = 2 waarde ¼ x 2
3 rondes K,K,M kans 1/8 uitbetaling 2^ 2 = 4 waarde 1/8 x4
4 rondes K,K,K,M kans 1/16 uitbetaling 2^ 3 = 8 waarde 1/16 x 8
N = ¥ 1
å ¾ . 2^n = ¥
N = 1 2^n+1
N kan de waarden 1 tot en met oneindig aannemen. Uit de de deling 1:2^n+1 ontstaan de kans. Deze kans moet je vermenigvuldigen met de uitbetaling die je vind volgens 2^n.
Dit Bernoulli-proces noemt men wel het proces dat de binomialverdeling oplevert. Deze verdeling is toepasbaar wanner men de uitslag van twee mogelijkheden wil analyseren of voorspellen, vandaar bi-nomiaal. De optreding van beide mogelijkheden hebben dezelfde kans : p=q=0.5 en omdat de twee mogelijkheden elkaar uitsluiten is p+q =1. Dit geldt bijvoorbeeld bij het werpen van een geldstuk. Een uitwerking in tabelvorm van de kansen op de cumulatie van meermalen kop en meermalen munt ziet er als volgt uit :
Een tweede veel voorkomend voorbeeld van de binomiaalverdeling ontmoet je bij het nemen van steekproeven als kwaliteitscontrole :
Een bedrijf fabriceert kertsboomballen. Men weet uit ervaring dat 10% van de ondeuglijk is. Er zijn twee mogelijkheden: een bal is in orde of onbruikbaar. De kans op een goed bal Pok is dus 9/10 en de kans op een slechte qdef is 1/10 ; p+q =1. De ballen worden ingepakt in dozen van vier. In een doos kunnen 4,3,2,1 of geen ondeugelijke ballen zitten.
Blaise Pascal
Blaise pascal werd in te Clermont in Frankrijk geboren. Toen hij vier jaar oud was overleed zijn moeder; drie jaar later verhuisde hij naar Parijs. Op zijn veertiende werd hij toegelaten tot de wekelijkse bijeenkomsten van de Franse Acedemie der Wetenschappen. Op zijn zestiende dacht hij een theorie bij de projectieve meetkunde uit en drie jaar later vond hij de rekenmachine uit. In maakte Pascal kennis met Antoine Gambauld Chevalier de Mere ; een zeer ontwikkelde man met interesse voor kansspelen. Hij legde Pascal twee problemen voor. De een betrofde benodigde worpen met een of twee dobbelstenen om minstens 50% kans rte hebben om zes of dubbelzes te gooien. Het andere probleem betrof de verdeling van een ingezet bedrag wanneer een afgesproken aantal partijen of ronden niet volgemaakt worden.
Het probleem van de dobbelstenen
De Mere wist dat bij het viermaal achtereen werpen van een dobbelsteen de kans op geen enkele zes bijna 50% was namelijk :
(5/6)^4
5/6 ® vijf van de zes vlakken van een dobbelsteen bevatten niet het getal zes.
Je werpt viermaal dus
(5/6)^4 = (625 / 1296) = 0.482 = bijna 50%
De kans op het complement ; het werpen van minstens een zes bedraagt
1 - (5/6)^4 = 1- 0.482 = 0.518.
Dit betekent voor een speler die op minstens een zes gokt een winstkans van ruim 50%.
De Mere was nu geinteresserd in dekansen bij het spelen met twee dobbelstenen. Hij redeneerde als volgt :
Bij een dobbelsteen zijn er zes mogelijkheden en er zijn gemiddeld vier worpen nodig om boven de kans van 50% op een zes te komen. Bij twee stenen zijn er ( 6x6 ) 36 mogelijkheden, waarvan een dubbelzes.
Dus 36 / 6x4 = 24 worpen om een evenredige kans te bereiken. Dit laatste volg ik niet helemaal. 36 voor het voor het aantal mogelijke uitkomsten met twee geworpen stenen. Er zijn gemiddeld vier worpen nodig om boven de kans van 50 % op een zes te komen ; vandaar de vier.
Op zich is het niet zo erg dat ik deze laatste som niet helemaal begrijp; De Mere heeft fout geredeneerd. Zijn ervaring leerde hem ook dat de kans juist kleiner was. Daarom vroeg hij de hulp van Pascal in die het probleem als volgt becijferde :
Gegeven : twee dobbelstenen en 24 worpen.
De kans op geen dubbelzes is (35 / 36) ^24
(35 / 36) ® bij het werpen van twee stenen zijn er 36 mogelijkheden waarvan een dubbelzes en 35 geen dubbelzes.
(35 / 36)^24 = 0.5096.
De kans op het complement, op dubbelzes, is :
1-0.5096 = 0.4904 en is dus inderdaad kleiner dan 50%
De verdeelde pot
Dit probleem gaat over de rechtvaardige verdeling van ‘de pot’ wanneer het aantal afgesproken partijen niet wordt afgespeeld. Pascal benaderde het probleem met behulp van een voorbeeld waarin om die winstpartijen wordt gespeeld : de speler die het eerts drie partijen gewonnen heeft krijgt de gehele pot
(twee maal 32 F).
Stel : Speler A heeft twee partijen gewonnen en speler B één. Bij een volgend gewonnen spel door A komt deze speler de gehel pot toe. Wint B dan staan ze gelijk en wordt de pot naar evenredigheid verdeeld : elk 32 Frank.Omdat de kans op beide gevallen bij en geluksspel dezelfde is, is de verwachting voor A →
32 + ½ . 32 = 48
Speler A krijgt zoiezo 32 F uitgekeerd, of hij de volgende partij nou wint of verliest. Dan blijft er nog 32 F over in de pot. De kans dat A de volgende partij wint is een half dus 32 + ½ . 32 = 48.
Wanneer A twee winstpartijen heeft en B geen dan krijgt A bij winst van de volgende partij 64 F, wint B dan ontstaat de volgende situatie :
Winstverwachting A
Als A al twee winstpartijen had dan was zijn winstverwachting 48 F. Dan blijf er nog (64-48) 16 F achter in de pot. De kans op winst is een half. →
48 + ½ . 16 = 56
Pascal brengt dit in systeem door het vergelijken van combinaties. De volgende volgorden zijn mogelijk na twee gewonnnen partijen door speler A.
1. AAA 1 x 3 A’s
2. ABA
3. AAB 3 x 2 A’s
4. ABB
5. BAA
6. BBA 3 x 2 B’s
7. BAB
8. BBB 1 x 3 B’s
De kans op winst voor B blijkt 1/8 wat hetzelfde is als 1/8 van de pot, dus 8 Frank. Met de toepassing van deze methode komt ineens de bruikbaarheid van de rekenkundige driehoek van Pascal naar voren. Deze driehoek is ons bekent van de merkwaardige produkten van (a+b)^n.
Bijvoorbeeld (a+b)(a+b) = a^2+2ab+b^2.
Merkwaardige produkten De Driehoek van Pascal
a+b 1 1
a^2+2ab+b^2 1 2 1
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 → 1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
→ =
1 x 3A’s
3 x 2A’s
3 x 2B’s
1 x 3B’s
A en B spelen drie ronden waarbij de winstkans van B in dit geval overeenkomt met de bionomiaalcoefficient b^3.
Gregor Johann Mendel
Gregor Mendel was de enige zoon van een kleine boer in Heinzendorf te Oostenrijk. Het is bekent dat zijn vader samen met de dorpspastoor kruising- en steekproeven deeed rond het kweken van fruit. Zoon Mendel volgde het gymnasium en volgde een cursus filosofie voor toekomstige priesters. Het Augustijnerklooster in Brno bezorgde hem een baan in het onderwijs en liet hem naar Wenen gaan om daar een onderwijsacte in de natuurwetenschappen te behalen. Na zij terugkeer in het klooster begon hij zijn proeven met verschillende soorten erwten in de binnentuin van het klooster, op een bescheiden akkertje van 7 bij 35 meter. Zijn onderzoekingen leidden tot de grootste ontdekking in de biologie van de laatste 500 jaar. In Mendels tijd werd grote vooruitgang geboekt in de inductieve statistiek, terwijl zijn ontdekking nu juist lag in de toevoeging van de kansrekening ; in dit geval het toeval van het ontstaan van combinaties.
Ik zal eerst iets uitleggen van de genetica voordat ik de Wetten van Mendel bespreek.
Om na te gaan hoe erfelijke eigenschappen worden overgedragen kun je een kruising uitvoeren. Een kruising is een geslachtelijke voortplanting tussen twee verschillende individuen. Erfelijke eigenschappen worden door de kernen van de voortplantingscellen overgebracht. In 1885 is door onderzoekers vastgesteld dat de chromosomen voor deze overdracht zorgen. Een chromosoom bestaat uit een groot aaantal verschillende gedeeltes : de genen. Alle eigenschappen worden door genen bepaald. Een gen voor een bepaalde eigenschap ligt altijd op een vaste plaats : een locus (meervoud loci) in een een chromosoom. Op het andere chromosoom van het chromosomenpaar is op de overeenkomstige plaats (op dezelfde locus) een gen voor dezelfde eigenschap.
De genen op de overeenkomstige loci noemen we allelen. Allelen kunnen van elkaar verschillen maar ook gelijk zijn. Zo bestaat bij planten een gen voor bloemkleur. Die kleur hoeft niet bij alle planten van een soort detzelfde te zijn. Soms is deze rood en soms wit, bijvoorbeeld bij een geranium. Geraniumplanten kunen twee allelen voor een rode kleur hebben (dit geeft een rode bloemkleur) of twee voor een witte kleur(dit geeft een witte bloemkleur). Wanneer de plant één allel voor rode en één allel voor witte bloemkleur heeft, wordt de uiteindelijke kleur bepaald door het overheersende allel. Het overheersende allel noemen we dominant het andere allel is recessief.
Allelen geven we weer met letters. Het is daarbij de gewoonte het dominante allel weer te geven met een hoofdletter en het recessieve allel met dezelfde kleinde letter.
De Wetten van Mendel
Kruist men twee raszuivere erwten waarvan alleen de kleur verschillend is, bijvoorbeeld geel (AA) of groen (aa) dan is er sprake van een monohybride kruising. De eerste generatie kruisingen ontstaat met gele en groene allelen (Aa). Laat men deze plnten onderling weer kruisen dan onstaat de tweede generatie waarbij waabij groene en gele allelen zich volgens toeval splitsen en combineren.
1e kruising :
AA x aa ® Aa
O Q
geel groen
2e kruising :
Aa x Aa ®
1 Aa + 2 Aa + 1 aa
O O O Q
Resultaat : 3 geel, 1 groen.
Wanneer bijvoorbeeld de gele kleur dominant is, dan is bij de eerste generatie kruisingen Aa de gele A dominant, zodat alle erwten geel zijn. Bij de tweede generatie komt niet alleen Aa maar ook AA en aa voor, zodat er weer groene erwten tussen zitten, en wel precies 25%.
REACTIES
1 seconde geleden
M.
M.
blaise pacioli was geen italiaan maar een fransman
19 jaar geleden
Antwoorden