Formules

Inleiding

Formules komen veel voor in de economie, wiskunde, wetenschap en techniek. Het is vaak lastig om een goeie formule te bedenken na aanleiding van een tekst. Bij een formule hoort ook een tabel en een grafiek. Het maken van een grafiek en een tabel is meetal geen makkelijk karwei als je niet weet hoe het precies in elkaar zit. In het dagelijks leven hebben we vaak te maken met formules, tabellen en grafieken. Het zijn meestal woordformules. Het is dus heel nuttig als je een grafiek kunt lezen en dat je naar aanleiding van een woordformule het formule kunt vast stellen. Bij dit praktische opdracht ga ik het hierover hebben.

Hoofdvraag:

Hoe zit een formule in elkaar?

Deelvragen:

Hoe leg je een verband met formules tussen een tabel en een grafiek?

Hoe stel je de formule van een lineair verband op?

Hoe zijn de formules met elkaar te vergelijken?

Hoe leg je een verband met formules tussen een tabel en een grafiek?

Een formule is een wiskundige zin met variabelen. Je gebruikt een formule
• om het verband tussen variabelen te beschrijven;
• om een rekenregel kort op te schrijven;
• om één variabele vast te leggen in een vergelijking (of ongelijkheid).
Met formules kun je een verband leggen tussen een tabel en een grafiek.
Bijvoorbeeld je hebt de formule B= -170 t + 24 000. In deze formule is B de waarde in euro´s van een auto en T is het jaar na aanschaf. Na 5 jaar is de waarde B= - 170x 5 + 24 000=23150
Bij deze formule hoort de volgende tabel:

Tabel:
T 0 5 10 15 20
B 24000 23150 22300 21450 20600

Bij een zelfde soort auto van een ander merk hoort de formule B= -120x + 13 000
Bij deze formule hoort de volgende tabel:

Tabel:
T 0 5 10 15 20
B 13000 12400 11800 11200 10600

Hierbij hoort de volgende grafiek:

Bij het maken van grafieken maak je heel vaak gebruik van de gegevens die in een tabel staan. Een tabel gebruik je om een grafiek te tekenen.

Hiernaast zie je een voorbeeld van een kaars die steeds korter wordt.

De kaars is 28 cm.
Per uur wordt hij 3 cm korter.
De FORMULE is:
lengte (l) = 28 - 3 x Uren (t)
l = 28 - 3 x t
Bij 0 uur l = 30 – 3 x 0 = 30
Bij 1 uur l = 30 – 3 x 1 = 27
Bij 2 uren l = 30 – 3 x 2 = 24

Hierbij hoort de volgende tabel;

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

Uit dit tabel kan je de grafiek tekenen;

De formule uit een tabel ontdekken

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

Bij tijd is de regelmaat +1 Dat moet zo zijn.
Bij lengte is de regelmaat -2 en het startgetal 20.
De formule wordt : lengte = startgetal - 2 x uren dus l = 20 - 2 x t
Hoe stel je de formule van een lineair verband op?

Lineaire formules hebben een linieair verband met elkaar. Er bestaat dan een lineair verband tussen x en y. De bijbehorende grafiek is een rechte lijn. De bijbehorende formule heeft de vorm y = ax + b.
Hierin is a e richtingscoefficient. Rc= a betekent 1 naar rechts en a omhoog. Het snijpunt van de lijn met de y-as is het punt (0,b)

Als voorbeeld neem ik dit lineaire formule y= 8x + 12
Van dit formule kunnen we lezen dat dat het snijpunt met de y-as is (0, 12)
De richtingscoefficient is 8. Ga je 1 naar rechts dan ga je 8 omhoog.
De richtingscoefficient van lijn N is 8 noteren we als RCn= 8

Bij de formule y=8x + 12 kun je bij elke x de bijbehorende y berekenen.

Bij x= 5 krijg je y= 8 . 5 + 12= 52
Bij x=10 krijg je y= 8 .10+ 12= 92

Je weet nu dat de lijn y= 8x + 12 door de punten (5, 52) en (10,92) gaat.

Het tekenen van de lijn y= 8x + 12 gaat als volgt;
Je hebt 2 manieren om de lijn te tekenen.

Bij de eerste manier gebruik je het snijpunt met de y-as en de richtingsofficient.
Je weet al dat de snijpunt y-as (0,12) is.
En de rc= 8
Dus als je 1 naar rechts gaat ga je 8 omhoog.

Bij de tweede manier maak je een tabel met de coordinaten van twee punten.
We hadden al twee punten berekend.

x 5 10
y 52 92

Het is belangrijk dat je bij allerlei situaties lineaire formules kunt opstellen. Soms volgt zo´n formule direct uit de tekst.

Voorbeeld;
Het reserveren van kost €20 en per dag € 25.
Hierbij stel je de volgende formule vast: kosten = 20 + aantal dagen X 25.
Korter geschreven: k = 20 + d X 25

Je kan ook een lineair formule opstellen, als van een lijn een punt en de richtingscoefficient gegeven zijn.

De lijn N gaat door het punt A(14, 30) en RCn= 4
Je kan door dit gegevens de formule van N vast leggen.

RCn = 4 dus y = 4x + B
De lijn gaat door de punten (14, 30), x = 14 en y = 30
Als je de x en de y in de formule zet, zit het formule er zo uit;

30 = 4. 14 + B
30 = 56 + B
30 – 56 = B
-26 = B, dus B= -26

Je krijgt dan n : y = 4x -26

Het kan ook zijn dat je alleen de punten van de lijn kan krijgen als een gegeven, dan moet je de richtingscoefficient bereken.

Bijvoorbeeld de richtingscoefficient van de lijn s gaat door de punten A en B.
Je bereken eerst het verschil /_ y van de y-coordinaten, dus /_ = Yb – Ya.
Dan bereken je het verschil /_ van de x-coordinaten, dus /_ = Xb – Xa.
Dan deel je /_ y door /_x en je hebt RCs

Als je het met cijfers doet ziet het als volgt uit,
De punten bij de lijn s is A(5, 18) en B( 14, 42).
/_y = 42 – 18 = 24
/_x = 14 – 5 = 9
RCs = 24 / 9 = 2, 7

De formule van lijn s is;
Rcs= 2,7
Dus y = 2,7x + b, door (5, 18)
(Het maakt niet uit of je punt A of punt B neemt)
18 = 2, 7 . 5 + B
18 = 13, 5 + B
18 – 13, 5 = B
4,5 = B
De formule is s: y = 2,7x + 4,5

Opgaven:

Bij het fitnesscentrum Nero kun je voor een maand lid worden. Met de formule N = 0,20s + 25 kun je bereken hoeveel je moet betalen voor een maand. S is de hoeveelheid dagen dat je komt fitnessen.

* Hoeveel kost het als je in een maand 5 keer kom fitnessen?
s = 5 geeft 0, 20 . 5 + 25 = 25, 55

* Teken een grafiek bij dit formule.

s 0 30
N 25 31

* Welke conclusie kun je trekken uit de formule N = 1, 20s + 25 ?

Het getal 0, 20 geeft aan dat je bij elke dag die je komt fitnessen 20 cent betaald. Het getal 25 geeft het vaste bedrag aan. Ook al kom je niet fitnessen je moet dit bedrag betalen het is dus onafhankelijk van het aantal gekomen dagen.

Het bedrijf Den Boer produceert viltstiften. Bij het produceren van het viltstiften is er een lineair verband tussen de productiekosten E in euro´s en het aantal viltstiften x. Het vaste bedrag is 2 euro en verder is het aantal stuks 0, 25

* Geef de formule van E voor het produceren van een viltstift met het aantal x.

E = 0, 25x + 2

* Geef de formule van de lijn door de punten F(-23, 41) en G (16, -33)

y = ax + b met a = rc = /_y = -33 – 41 = -74 /_x = 16 - -23 = 39
-74 / 39 = -1,9

dus y = -1,9x + b door (16, -33)
-33 = -1, 9 . 16 + b
-33 = -30,4 + b
-33 + 30,4 = b
-2, 6 = b dus y = -1, 9x + -2, 6

Hoe zijn de formules met elkaar te vergelijken?

Het oplossen van vergelijkingen is een term uit de wiskunde. Het geeft aan hoe de waarde van een onbekende, vaak aangeduid met x, kan worden bepaald uit een of meer vergelijkingen.
Een vergelijking krijg je als je twee "dingen" met elkaar vergelijkt. Je wilt dan weten wat de overeenkomst is tussen die twee. Wiskundig wordt dit geschreven in formule vorm, met het teken = tussen de twee uitdrukkingen die aan elkaar gelijk zijn.
In de wiskunde gebruiken we vergelijkingen bijvoorbeeld om een snijpunt tussen 2 lijnen in een tweedimensionaal coördinatensysteem te berekenen. Iedere lijn wordt dan gerepresenteerd door een formule, met daarin twee onbekenden, x en y. Uitgaande van een formule kan de grafiek van de betreffende lijn worden getekend. Het oplossen van de twee vergelijkingen heeft als doel het bepalen van het snijpunt van de grafieken van de betreffende lijnen. Rechte lijnen (en dus ook de grafieken daarvan) zijn oneindig lang; ze zullen elkaar altijd ergens snijden, met uitzondering van evenwijdige lijnen.
Als we het snijpunt willen weten dan kunnen we de grafiek gaan tekenen, maar dat kost erg veel tijd en veel papier als het snijpunt erg "ver" ligt! Om het snijpunt te vinden is het handiger om de twee formules naast elkaar te zetten en de overeenkomst van die twee formules te berekenen.
De formules met elkaar vergelijken kan op twee manieren.

De eerste manier is grafisch-numeriek oplossen. Met de GR is elke vergelijking op te lossen. Bijvoorbeeld de vergelijking 1, 5 x – 5 = -0,7 x + 8

Je plot het grafiek als volgt uit;
Je voert de formules y1 = 1, 5 x – 5 en y2 = -0,7 x + 8 in.
Met de optie intersect uit de calc-menu bereken je de x-coordinaat van het snijpunt.
De GR geeft x = 5, 9090909 en y = 3, 8636364

In een decimaal nauwkeurig zijn de coordinaten van het snijpunt (5, 9; 3, 9)

De tweede manier is algebraisch oplossen. Algebraisch oplossen houdt in dat je schrijvend stap voor stap naar de oplossing toe werkt.

Bij algebraisch oplossen gelden de volgende regels:
• Staan er haakjes? Werk ze weg.
• Breng alle termen met x naar het linkerlid, de rest naar het rechterlid.
• Herleid beide leden en deel het getal dat voor x staat.

Uitleg aan de hand van een voorbeeld:
We hebben de formules: y = 3x - 6 en y = x - 5. We willen nu het snijpunt weten; op het snijpunt zijn de twee waarden van Y aan elkaar gelijk, dus dan kunnen we het rechterlid van de twee formules aan elkaar gelijk stellen:

3x - 6 = x - 5

Nu kunnen we simpel het snijpunt bereken door de x naar links te brengen en de -6 naar rechts. Bij het overplaatsen van de ene cijfer naar de andere kant veranderd het min in plus en andersom het plus in min.
3x - x = -5 + 6

Dan herleid je het linkerlid en de rechterlid.
zo blijft het antwoord over:
2x = 1

Nu staat er 2x in: dat betekent 2 maal x. Om x te vinden, moeten 1 door 2 delen.
x = 1 / 2 = 0, 5

Dan vinden we uiteindelijk
x = 0, 5

Het snijpunt heeft dus een x-waarde van 0,5.
Door deze waarde in te vullen in één van beide oorspronkelijke formules bepalen we ook de waarde van y.
y = 3 X 0, 5 – 6 = -4, 5
y = 0, 5 – 5 = -4, 5
Dus het snijpunt is (0, 5 ; -4, 5)

Los het algebraisch op

3(2t – 5 ) = 10t – 9
3 X 2t = 6 t
3 X -5 = -15
Dus de eertse formule is y = 6t – 5

6t – 5 = 10t – 9
6t – 10t = -9 + 5
-4t = -4
t = -4/ -4 = 1
6 X 1 – 5 = 1 10 X 1 – 9 = 1
Dus het snijpunt ligt op het punt (1,1)

0, 16p + 1, 18 = 0, 11p + 2, 53
0, 16p – 0, 11p = 2, 53 – 1, 18
0, 05p = 1,35
p = 1, 35 / 0, 05= 27
0, 16 X 27 + 1, 18 = 5, 5 0, 11 X 27 + 2, 53 = 5,5
Dus het snijpunt ligt op het punt ( 27 ; 5,5 )
Conclusie

Ik vind het heel leuk om formules te kunnen leiden van een tekst. En om daarbij
bijbehorende tabellen en grafieken te tekenen. Maar toch had ik soms moeilijkheden ermee. Vooral bij het maken van grafieken. In de vak economie houden we ons ook heel vaak bezig met formules, tabellen en grafieken. Ik had in de laatste dossiertoets wiskunde ook veel fouten gemaakt bij formules en grafieken. Ook bij economie was het zo. Ik wou voor me Praktische opdracht iets maken dat me interesseert en waar ik dingen kon leren waar ik problemen mee had. Zodat ik me ook meer kon voorbereiden voor de volgende dossiertoets wiskunde. Bij het maken van dit Praktische Opdracht heb ik veel dingen geleerd die ik niet makkelijk ga vergeten. Tot slot ben ik heel erg blij dat ik nu meer weet over formules, tabellen en grafieken. Voor de volgende dossiertoets wiskunde ben ik nu meer voorbereid op het gebied van formules, tabellen en grafieken.

Bronvermelding

Boeken

Getal en Ruimte Havo A1
Isbn Nummer: 9011078047

Getal en Ruimte Havo A2
Isbn Nummer: 9011078101

Internet

http://home.hccnet.nl/david.dirkse/lineair/lineair.html

http://home.wanadoo.nl/rvdwurff/wiskunde/klas-2/2-t-lineaire%20formules.htm

http://www.home.zonnet.nl/lauwen37/applets/Rechtelijn/formule.htm

http://www.wiskundeonline.nl/

http://nl.wikipedia.org/wiki/Vergelijking_%28wiskunde%29