Fileprobleem

Boek: moderne wiskunde. Atheneum 4

Wiskunde praktische opdracht: Het Fileprobleem


De opdracht is om uit te zoeken wat de oorzaken en de gevolgen van het fileprobleem zijn. Wij gaan dat zo goed mogelijk uitvoeren, en ook kijken of er oplossingen zijn. Bij ons eigen onderzoek hebben we de veiligheid en de onveiligheid van de files berekent. En we hebben daarbij geprobeerd om oplossingen te bedenken voor het probleem.

1) a. Meer en betere wegen gemaakt, meer mensen laten carpoolen en beter openbaar vervoer


b. individuele arbeider = te laat

verkeerspolitie = meer kans op ongelukken

samenleving = slecht voor het milieu, geluidsoverlast


2) a. 25 meter per auto. 25:1000 = 0,0025 km 48:0,0025 = 1920 1920: 60 = 32 auto’s/minuut

b.


Afstand-snelheid
48 72 96

10 53,33 80 106,67

20 32 48 64

30 22,86 34,29 45,71

Bij auto’s met een lengte van 5 meter

Afstand snelheid
48 72 96

10 40 60 80

20 26,67 46 53,33

30 20 30 40

Bij auto’s met een lengte van 10 meter


c. Bij file gaat alles langzaam voorbij, dus weinig auto’s per minuut als je kijkt bij auto’s met een lengte van 10 meter. Dat is zo omdat ze meestal dicht op elkaar staan dan is het een snelheid van 48 km/uur en een afstand van 10 meter.

3) a. Bij 48 km/uur is het 17,28 dus de afstand tussen de auto’s is kleiner dan de remweg.


-Bij 72 km/uur is het 38,88 dus de afstand tussen de auto’s is kleiner dan 10,20 en 30

-Bij 96 km/uur is het 69,12 dus de afstand tussen de auto’s is kleiner dan 10,20 en 30

b. onderlinge afstand = 27 meter autolengte = 4 meter, 60:0,031= 1935,5 1935,5/60= 32,26= 32 auto's per minuut.

c. Reactie vermogen moet je erbij optellen, dan wordt de onderlinge afstand groter.


4) a. Om de doorstroming in min. te krijgen moet snelheid×1000/60 doen. Om de afstand tussen de auto's uit te rekenen moet je de lengte van de auto's bij de remweg optellen. De formule van de remweg is: R= 0,0075v² daarbij 4 optellen maakt 0,0075v²+4. Om de doorstroming uit te rekenen krijg je dus 1000v/240+0,45v² als je het vereenvoudigt.

b.

c. Bij 23,1 km/uur is de doorstroming 48,1 auto's per minuut. De onderlinge afstand is dan ongeveer 4 meter D= 0,0075×23,1²= 4,002.

d. Nee, want meestal is het niet zo dat auto's zo ver uit elkaar gaan rijden als de remweg.

5) Kleiner, omdat bij de formule D= 1000v/240+0,45v² des te meer je moet delen, des te minder erbij D overblijft, dus doorstroming wordt kleiner.

6) a. Voor de doorstroming van de auto's met de gemiddelde lengte van 4 meter heb je de formule D= 1000v/240×0,45v² en dat is vereenvoudigd D= 1000v/60(0,0075v²+4) en nu weet je de lengte van de auto's niet. Dus vul je in van 4 de l in, dan krijg je dus de formule D= 1000v/60(0,0075v²+l)

b.


l D-max v a

4 48,1 23,1 4

5 43,0 25,8 5

7 36,4 30,6 7

8 34,0 32,7 8


7) Het probleem is het fileprobleem, en dat ontstaat doordat de doorstroming niet goed genoeg verloopt. In dit onderzoek hebben wij verschillende formules gekregen en onderzocht, dat zijn deze formules:

- D = v/ a, dat is zo als de auto's allemaal dezelfde lengte hebben en dezelfde onderlinge afstand.

- R = 0,0075v², dat is de formule om de remweg te berekenen.

- D = 1000v/ 240 + 0,45v², dit is voor de doorstroming als de auto's allemaal 4 meter lang zijn. Je kunt allerlei verschillende snelheden invullen.

- D = 1000v/ 60 (0,0075v² + l), dit is de formule voor de doorstroming, met alle mogelijke snelheiden, onderlinge afstanden, en auto lengtes.

D = doorstroming (aantal auto's/minuut die passeren), a = onderlinge afstand tussen de auto's, v = snelheid, R = remweg, l = lengte van de auto.

De doorstroming blijkt het snelst te gaan als je met een gemiddeld langzame (23,1 km/uur, zie vraag 6b) snelheid rijdt, niet te snel. Ook moet je niet te dicht op elkaar gaan rijden, want dan is de kans op botsingen veel groter en kun je allemaal botsingen krijgen en dan duur het nog langer totdat de file opgelost is. Je moet niet te snel rijden, want dan moet de onderlinge afstand groter worden i.v.m. de remweg. Anders krijg je weer allemaal botsingen. Je moet ook niet te langzaam rijden, want dan rijdt niemand snel, en is de doorstroming ook langzaam.


Hoe langer de auto's zijn, hoe groter de onderlinge afstand, dus een kleinere doorstroming.

Probleemstelling: De aanleiding voor veel kettingbotsingen en files is het feit dat de meeste automobilisten te dicht achter elkaar rijden.

We moeten in ieder geval gebruik maken van de formule voor de remweg met k daarin verwerkt. K is de onveiligheidsfactor. K=1 betekent: de onderlinge afstand is gelijk aan de remweg, en k=0,5 betekent: de onderlinge afstand is slechts de helft van de remweg. Daarmee kan je de afstand tussen auto's bereken die veilig is, zodat er minder of geen kettingbotsingen ontstaan. Dan krijg je dus de formule: onderlinge afstand= k × remweg. En als je dat in de hele formule van de doorstroming toepast krijg je dit:

D= 1000v/ 60(a + l) = D= 1000v/ 60 (k×R×l) = D= 1000v/ 60(k×0,0075v² + l)

Hieronder staan de tabel en grafiek met de afstand tussen de auto's, de veiligheidsfactor en de doorstroming.

a k 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

4 64,16 60,14 56,61 53,46 50,65 48,11

5 54,99 52,02 49,35 46,94 44,76 42,77

7 42,77 40,95 39,28 37,74 36,31 34,99

8 38,49 37,01 35,6 34,37 33,18 32,08


De realiteitswaarde van ons model is erg groot. Je ziet in de tabel dat: hoe groter k is, hoe kleiner de doorstroming. Dat klopt ook wel, omdat de auto's verder uit elkaar rijden gaan er dus minder auto's per minuut langs. Het is wel zo dat de doorstroming kleiner is, maar het is wel veiliger. Je hebt minder kans op kettingbotsingen, omdat je minder dicht op elkaar rijdt. Je hebt dan meer tijd om te reageren al je voorbuurman bijvoorbeeld remt.