Het getal Pi

Het getal Pi.

Vierduizend jaar geleden kwamen mensen erachter dat de verhouding van de omtrek van een cirkel en zijn diameter ongeveer keer drie was. Dat werd genoteerd als Pi, de eerst letter van het Griekse woord: ‘Perimetron’ (=omtrek).
Een benadering van Pi in tien decimalen is 3,1415926535
In de natuur kwamen steeds vaker grote en kleine cirkels voor, en men begon zich te realiseren dat de Pi een belangrijk getal was. Het getal werd gebruikt bij de Babyloniërs en de Egyptenaren. Het getal komt zelfs in de bijbel voor.
De Chinezen vonden een waarde van Pi die tienduizend jaar onveranderd bleef.

In 1593 berekende een man het getal Pi met vijftien decimalen achter de komma.
Een aantal jaren werd het getal berekend met vijfendertig decimalen achter de komma.
Tegenwoordig kan Pi berekend worden met de computer met zes miljard decimalen achter de komma. Op een Casio rekenmachine kan Pi worden berekend door op ‘EXP’ te drukken en op de grafische rekenmachine TI-83 door op ‘2nd’ en vervolgens ‘^’ te drukken.
Pi is in de wiskunde de afkorting: π.

Met de volgende formules kun je de omtrek en de oppervlakte van een cirkel berekenen:
 Omtrek = π x diameter = 2 x π x straal.
 Oppervlakte = ¼ x π x diameter² = π x straal²

1. Som:
Een zebra rent een rondje. Het rondje heeft een diameter van 10 meter.
Wat is het oppervlak dat de zebra moet rennen?

Uitwerking:
Formule omtrek is: π x diameter.
Diameter is 10 meter. Straal is dan 10/2= 5 meter.
Formule oppervlakte is: π x straal²
π x 5² = 78,54m²
De zebra moet dus een oppervlak van 78,54 m² rennen.

2. Som:
Een zebra rent een rondje met een oppervlakte van 100 m².
Hoe groot is de omtrek van het rondje dat de zebra aflegt?

Uitwerking:
Oppervlakte = π x straal²

Hier is de oppervlakte 100 m²
100 m² = π x straal²
(100/π) = straal²
Wortel (100/π) = straal
Straal is 5,6418895835 meter, x 2 = 11,13 meter is de diameter.

Formule omtrek is: π x diameter
Omtrek = π x 11,13 = 34,98 meter is de omtrek.
De zebra legt dus een rondje met een omtrek van 34,98 meter af.
Welke van de onderstaande beweringen is waar?
1. Als de straal twee keer zo groot wordt, wordt de omtrek ook twee keer zo groot.
2. Als de omtrek twee keer zo groot wordt, wordt de oppervlakte vier keer zo groot.
3. De oppervlakte van een cirkel = ½ x straal x omtrek.

Uitwerking 1:
Voorbeeld:
*Straal = 2 meter, diameter is dus 4 meter.
Omtrek = π x diameter.
π x 4 = 12,566…meter

*Straal = 4, diameter is dus 8 meter.
Omtrek = π x diameter.
π x 8 = 25,133…meter

Conclusie: 12,566…x 2= 25.133…meter
De omtrek is 2 keer zo groot geworden.
Bewering 1 klopt.

Uitwerking 2:
*Omtrek is 20 meter
Omtrek = π x diameter
(20/π) = diameter, dus diameter is 6,366197724
Oppervlakte = ¼ x π x diameter²
Oppervlakte = ¼ x π x 6,366197724²
Oppervlakte = 31,83 meter

*Omtrek is 40 meter
Omtrek = π x diameter
(40/π) = diameter, dus diameter is 12,73239545
Oppervlakte = ¼ x π x diameter²
Oppervlakte = ¼ x π x 12,73239545²
Oppervlakte = 127,32 meter

Conclusie: 31,83 x 4 = 127,32.
De oppervlakte is 4 keer zo groot als de omtrek geworden.

Bewering 2 klopt.

Uitwerking 3:
* Bewering: Oppervlakte = ½ x straal x omtrek

Omtrek = 2 x π x straal
Straal = 10 meter
2 x π x 10 = 62,83185307 meter
Oppervlakte = ½ x straal x omtrek
Oppervlakte = ½ x straal x 62,83185307 meter
Oppervlakte = 314,16

Officiële formule: Oppervlakte = π x straal²
Oppervlakte = π x 10²
Oppervlakte = 314,16 meter

Conclusie: De oppervlakte van een cirkel kan ook berekend worden met de formule
½ x straal x omtrek. Bewering 3 klopt.