Hoofdstuk 1 Rekenen met kansen

Hoofdstuk 1 Rekenen met kansen

• Het is niet toevallig
• n = 23
• Je hebt 365 dagen in een jaar dus als je meer mensen hebt dan moeten er minimaal 2 op dezelfde dag jarig zijn
• P = 1  P*
• 5 personen op 5 verschillende dagen dan is het aantal mogelijkheden 365• 364• 363• 362 • 361 Er is namelijk steeds een dag minder mogelijk. Het totaal aantal mogelijkheden = 365• 365 •365. 365 .365
Dus P* = 365•364•363•362•361365•365•365•365•365 = 365 nPr 53655 = 0,97
dus P = 1  0,97 = 0,03 klopt met grafiek
• De kans dat van 120 mensen een op dezelfde dag jarig is als jezelf is veel en veel kleiner dan de kans dat binnen die 120 mensen 2 op dezelfde dag jarig zijn.

1.1 De somregel en de complementregel

1. a
6 7 8 9 10 11 12
5 6 7 8 9 10 11
4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6

b P(som is oneven) = 1836 = 12
P(dubbel)= 636 = 16
c P(prijs) = gunstigtotaal = 2436 = 23
d P(prijs) = P(som is oneven) + P(dubbel) = 12 +16 = 46 = 23 Het klopt dus

2. a P(som is drievoud) = 1236 = 13
P(dubbel) = 16
b P(prijs) = 1836 = 12
c P(prijs) = P(som is oneven) + P(dubbel) = 13 + 16 = 36 = 12 klopt dus

Toets voorkennis
1 a 84 = 8 nCr 4 = 70 (MATH :PRB : 3 nCR)
b 52 • 82 = 10 • 28 = 280
c 53 • 81 = 10 • 8 = 80

2 a P = = 28•5•74845 = 9804845 = 0,202

b P = = 704845 = 0,014

3. a Je telt twee breuken op met dezelfde noemer
b Je hoeft de noemer 60 nCr 3 maar 1 keer in de tikken

4. a P = P(drie rode ) + P(drie groene) = + = 4 + 4120 = 0,067

b P = P (drie rode ) + P(2 rode) = + = 4 + 6•6120 = 40120 = 0,333

c P(geen groene) = = 20120 = 0.167

d P = P (geen groene) + P(één groene) = + = 20 + 4•15120 = 80120 = 0,667

5. a P = P(3 meisjes) + P(4 meisjes) = + = 455•13 + 136520475 = 0,36

b P = P(1 meisje) + P(geen meisje) = + = 15•286 +71520475 = 0,24

c P = P(3 jongens) + P(4 jongens) = 0,24 (zelfde vraag als b)

d P = 1  P(4 jongens)  P(4 meisjes) = 1   =1  1365 + 71520475 =1  0,10 = 0,90

6. a P = P(geen prijs) + P (1 prijs) = + = 1370754 + 4•1631852118760 = 0,955

b P = P (1× 50) + P(2× 25) = + = 1•163185 + 3•151802118760 = 0,099

7 a P(G1) = gunstigtotaal = 1430 = 715
P(G2) = gunstigtotaal = 730
P(G1 en G2) = gunstigtotaal = 630
b P(G1 of G2) = gunstigtotaal = 14 + 130 = 12
c Omdat er ook jongens zijn die twee keer aan sport doen deze tel je dan dubbel
d P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)  P(G1 en G2) = 1430 + 730 630 = 1530 = 12
8. a P = gunstigtotaal = 1630 = 815
b P = gunstigtotaal = = 1530 = 12
c P = gunstigtotaal = = 830 = 415
d P = gunstigtotaal = = = 2330 of P = 815 + 12  415 = 16 + 15  830 = 2330

9. a P = gunstigtotaal = 3502500 = 0,140
b 32 % voor verhoging benzine prijs dus 0,32 • 2500 = 800 mensen waarvan 120 ook voor rekening rijden dus 800  120 alleen voor benzine verhoging
P = gunstigtotaal = 800  1202500 = 0,272
c 680 mensen alleen voor verhoging benzine
350 mensen voor rekening rijden (inclusief 120 die ook voor benzine verhoging zijn)
P = gunstigtotaal = 2500  680  3502500 = 0,588
d P = 1  P(geen + geen) = 1  1202500 = 1  0,048 = 0,952
Opgave kan met behulp van het invullen van de tabel gemaakt worden(gegevens opgave vet gedrukt)
rekening
benzine
Voor
Tegen
totaal
Voor 120 680 800
Tegen 230 1470 1700
totaal 350 2150 2500
P = 1700 +2150  14702500 = 0,952

10. a P = = 2101365 = 0,154

b P = P(3wit) + P (2 wit) + P(1wit) + P(geen wit

P = + + + = 120•5 +45•10+10•10+51365 = 0,846]

11. a P = 1  P(5) = 1  436 = 89
b P = 1 - P(som < 4) = 1  336 = 1112
c P = 636 = 16
d P = 1  (som >10) = 1  336 = 1112

12. a P (minstens een groene) = 1  P(geen groene) = 1  = 1  84220 = 0,618

b P (ten hoogste twee blauwe) = 1  P (drie blauwe)= 1  = 1  10220 = 0,955

c P(geen gele) = = 56220 = 0,255

d P (drie kleuren) = = 4.3.5220 = 0,273

e P(drie gelijke kleuren) = P(3 geel) + P(3 groen) + P (3 blauw) = + +

P(drie gelijke kleuren) = 4 + 1+ 10220 = 0,68

f P(twee blauwe) = = 10•7220 = 0,318

13 a P(minstens een prijs) = 1  P(geen prijs) = 1  = 1  13302300 = 0,422

b P(niet drie prijzen) = 1  P(drie prijzen) = 1  = 0,998

c P(twee prijzen) = = 6•212300 = 0,055

d P(niets wint) = = 13302300 = 0,578

14. a P(minstens een barst) = 1  P(geen barst) = 1  = 1  13707542118760 = 0,35304

b P(alle kapotte in een doos) = = 1•462118760 = 0,00002

15. a P (minstens 1 bestuurslid) = 1  P (geen bestuurslid) = 1  = 1  376992658008 = 0,4271

b P(voorzitter + minstens 1 best.lid) = P (vz + 1 best) + P(vz + 2 bst) +P(vz + 3 best)

P = + + = 1•3•7140+ 1•3•630 + 1 .1.36658008 = 23346658008 = 0,0355

16. a P(minder dan 2 prijzen) = P (geen prijs) + P(één prijs) = + = 111930+8•11480230300
P = 0,8848
b P(geen 75) = 1  P(75) = 1  P(3 ×25)  P(50 + 25) = 1  

P(geen 75) = 1  4 • 42230300  3 • 4 • 861230300 = 0,9544

c P(minder dan 200) = 1  P(100 + 3×50)  P(100+2×50)  P(100+50 +2×25)

P = 1    = 1  1 + 1•3•42 + 1•3•6230300 = 0,9994

17. a P(minstens 6) = P(6) +P(7) + P(8) = + + = 38760•45 + 77520•10 + 1259705852925
P = 0,452

b P(minder dan 7 jongens) = 1  P(7 )  P(8) = 1  = 1 792•18 + 4955852925 = 0,997

c P(3 meisjes minder 10 km) = = 17697605852925 = 0,302

18. a P = 1  P(gelijk(4)) =1  14 •16 = 1  124 = 2324
b P = gunstigtotaal = 86•4 = 824 = 13 (3× 6+3 + 3× 6+4 + 2× 5+4= 8× som > 8)
c P = gunstigtotaal = 824 = 13 (3× 6•3 + 3× 6•4 + 2× 5•4 = 8 × prod. 18)

19 a P (4 gelijke paren) = = 126•156435 = 0,2937

b P (geen enkel paar) = P(alleen rechtse) + P(alleen linkse) = 0 + = 96435 = 0,0014

c P(tenminste 2) = 1  P (1paar)  P (geen paar) = 1   0,0014 = 1  36•66435  0,0014
P = 0,9650

20 9 prijzen en 91 nieten
a P(geen prijs) = = 6665638981192052400 = 0,5592

b P(minstens twee prijzen) = 1   = 1  0,5592 0,3511 = 0,0897

c P(hoogstens één derde prijs)= 1   = 1  0,5592  0,1560 = 0,2848

21. 20 uitkomsten G1= 8 en G2 = 6 dus samen 14
a P(G1 of G2) = 1120 dus 14  11 = 3 gemeenschappelijk

b P(G1 of G2) = 820 , 920 , 1020 , 1120 , 1220 , 1320 , 1420

c P(G1 en G2) = 0 , 120 , 220 ,320 , 420 , 520 , 620

22. a P(geen groene) = 1  P(minstens een groene)
b P(drie gelijke kleuren) = 1  P(minstens twee kleuren)
c P(meer dan twee rode) = 1  P(hoogstens de rode) (2 rode hoort er ook bij)
d P(hoogstens drie witte) = 1  P(minstens 4 witte) ( of 1  P(meer dan 3 witte)

1.2 De productregel

23. a 50 % van 60 % = 30 % bij A
en 30 % bij B
b 10 % van 40 % = 4 % bij C
dus 36 % bij D
c totaal moet het 100 % zijn 30 +30 + 4 + 36 = 100 klopt

24. a 0,5 × 0,7 = 0,35
b 0,3 × 0,7 = 0,21
c 0,7 × 0,2 = 0,14 bij R
0,3 × 0,5 = 0,15 bij S
0,3 × 0,5 = 0,15 + bij T
d Som = 1,00
-25. a P(rode uit I) = gunstigtotaal = 34
b P(rode uit II) = gunstigtotaal = 23
c 12 mogelijkheden (4×3)
Twee × rood 6 mogelijk heden
d P(rr) = gunstigtotaal = 612 = 12
e P = PI• PII = 34 • 23 = 3•24•3 = 12

26. Vaas I 10 knikkers Vaas II 5 knikkers
P(r) = 210 = 15 P(r) = 15
P(b) = 310 P(b) = 25
P(w) = 510 = 12 P(w) = 25
a P(2 b) = 310 • 25 = 3•210•5 = 650 = 325
b P(b+w) = P(bI + wII) + P(wI + bII) = 310 • 25 + 12 • 25 = 3•210•5 + 1.22•5 = 650 + 210 = 6 + 1050 = 825
c P(één witte) = P(wI + nwII) + P(nwI +wII) = 12 • 35 + 12 • 25 = 310 + 210 = 510 = 12
d P(geen witte) = 12 • 35 = 310

27. a P(2×3) = 12 • 13 = 16
b P(geen 2) = 34 • 23 = 612 = 12
c P(een 3) = 12 • 23 + 13 • 12 = 26 + 16 = 36 = 12
d P(som 4) = P(2+2) + P(3+1) = 14 • 13 + 12 • 13 = 112 + 16 = 312 = 14

28. a P(geen 4) = (34 )6 =0 .178
b P(één 4) = 61 • 14 • (34 )5 = 0,356
c P(minstens 2× een 3) = 1  P(hoogstens een 3) = 1  P(één drie)  P(geen 3)=
= 1  61 • 12 • (12 )5  (12 )6 = 0,891

29. a P(drie bellen) = P(band1 bel)×P(band2 bel)×P(band3 bel) = 120 •820 •720 = 0,007
b P(drie gelijke plaatjes) = P(3× bar) +P(3×bel) +P(3×pruim) +P(3× sinasappel)
= 220 •120 •120 + 120 •820 •720 + 720 •220 •320 + 820 •220 •420 = 0,021
c P(twee bellen + één kersen) = P(kers bel bel) + P(bel kers bel)
= 220 •820 • 720 + 120 •720 •720 = 0,020
d P(precies een bel) = P(bel band1) + P(bel band2) + P(bel band3)
= 120 •1220 •1320 + 1920 •820 •1320 + 1920 •1220 •720 = 0,466
e P(precies twee keer kersen) = 220 •720 •2020 = 0,035

30. a P(geen enkele goed) = (34 )6 = 0,178
b P(twee keer goed) = 62 • ( 14 )2 • (34 )4 = 0,297
c P(minstens geen fout) = 1  P(alles goed) = 1  (14 )6 = 1,000
d P(twee keer fout) = 62 • ( 34 )2 • (14 )4 = 0,0,033
31. a P(proef mislukt) = 1  0,28 = 0,72
P (5x mislukt) = 0,725 = 0,193
b P( minstens 1×lukt) = 1  P(5× mislukt) = 1  0,193 = 0.807
c P(minstens 1× lukt van n keer) = 1  P(n× mislukt) = 1  0,72n
d 1  0,72n > 0,95
Voer in GR y1 = 1  0,72n en y2 = 0,95 bepaal snijpunt met CALC : 5 intersect
snijpunt 9,11 dus minsten 10 ×
32. P(alle liften werken) = (10,001)•(1 0,003)•(10,002)•(1  0,008)•(1  0.025) = 0,9614

33. a eerste leerling kan op alle dagen jarig zijn dus P = 365365
tweede leerling kan op alle andere dagen jarig zijn dus P = 364365
P (twee leerlingen op verschillende dagen) = 365365 •364365
b P (5 leerlingen 5 dagen) = 365365 •364365 •363365 •362365 •361365 = 0,973 ( of = 0,973 )

c P(minstens 2 dezelfde dag ) = 1  P( geen dezelfde dag) = 1  0,973 = 0,027

d P (minstens 2 dezelfde dag) = 1  P(geen dezelfde dag) = 1  = 0.706

34. a

b P (L 2× winst) = 0,6 •0,6 = 0,36
c P(M 1e en L 2e + 3e) = 0,4• 0,6 • 0,6 = 0,144
d P (L winst ) = 0,36 + 2 •0,144 = 0.648 (2× omdat kan LML en MLL)

35. a P(munt) = 12 P (5×munt) = (12 )5 = 132
b P(5× gelijk) = P(5× kop) + P(5× munt) = 2 • 132 = 116
c P(minstens één keer munt) = 1  P(5× kop) = 3132
d P(3 × kop + 2× munt) = 53 • 132 = 1032

36. a serieschakeling P = 0.01 + 0,02  0,01•0,02 = 0,0298
of P = 1  P(beide werken) = 1  0,99•0,98 = 0.0298
b parallelschakeling P = 0,01• 0,02 = 0,0002
c serieschakeling P = 1  P(alle drie werken) = 1  0,99•0,98•0,95= 0,07831
d parallelschakeling P = 0,01•0,02•0,05 = 0,00001
66

37. a niet onafhankelijk (afhankelijk van kleur haar ouders)
b P = 0,72 • 0,18 = 0,1296
c niet onafhankelijk (plaatsen liggen te dicht bij elkaar)
d kansen niet onafhankelijk

1.3 Trekken met en zonder terugleggen

39. a P(drie groene) = 1640 •1539 •1438 = 0,0567

b P(2 groene) =3• 16•15•2440•39•38 = 0,2915 (3× want de niet groene kan als 1e,2e en 3e bal)
c P(minstens één blauwe) = 1  P(drie groene) = 1  0,0567 = 0,9433
d P (hoogstens één blauwe) = P(3groen) + P(2groen) = 0,0567 + 0,2915 = 0,3482

40. a P(3 groene) = (1640 )3 = 0,064
b P (2 groene) = 31 (1640 )2 • 2440 = 0,288

41. a vaasmodel met teruglegging dus opgave 40 P(drie vrouwen) = 0.0567
b vaasmodel zonder teruglegging dus opgave 39 P(drie vrouwen) = 0.064

42. a P (4 meisjes) = (1222 )4 = 0.089
b P (4 meisjes) = 12•11•10•922•21•20•19 = 0.068

43. a P (2 rode) = 52 (3n10n )2• (7n10n )3 = 10 • 0,32 • 0,73 = 0,3087
b 2 rode uit 3n rode = 3n2 3 witte uit 7n = 7n3
5 knikkers uit 10n = 10n5

P (2 rode ) = gunstigtotaal =

c

d Bij grote n is er geen verschil meer tussen met en zonder terugleggen.

44. a P (beide 75) = 0,3•0,5 = 0,15
b P(een van beide 75) = 0,3•0,5 + 0,5•0,7 = 0,5
c P(geen van beide) = 0,7•0,5 = 0,35

45. P(leerling baantje) = 0,54 P(geen baan) = 0,44
a P(4 van 8 baantje) = 84 • 0,544• 0,464 = 0,2231
b P(meer dan 6) = P(7) + P(8) = 87 • 0,547 • 0,46 =0,0471

46. P(sport) = 0,41 P(niet sport) = 0,59
a P(allen sporten) = 0,4110 = 0,00013
b P(geen sport) = 0,5910 = 0,00511
c P(minsten 2 sporten) = 1  P(maximaal 1 sport) = 1  P(1 sport)  P(geen sport)
=1 101 • 0,419 • 0,59  0,4110 = 1  0,00193  0,00511 = 0,99296

47. a P(4 tent) = 204 • 0,154 • 0,8516 = 0,1821
b P(minstens 2 zomerhuisje) = 1  P(max 1 zomerhuisje) = 1  P(1 zomerhuisje)  P(geen)
P = 1  201 • 0,10 • 0,9019  0,9020 = 1  0,2702  0,1216 = 0,6082
c P(8 of 9 caravan of tent) = P(8) + P(9) = 208 • 0,38 • 0,7 12 + 209 • 0,39 • 0,711
P = 0,1144 + 0,0654 = 0,1798

48. 15000 loten 750 prijzen
a P(prijs) = 75015000 = 0,05
b P(minstens een prijs op 12 loten) = 1  P (geen prijs) = 1  0,0512 = 1,00000

49. P(3 met beschadiging) = 113 • 0,33 • 0,78 = 0,2568

50. P(links) = 0,18
a P(2 links) = 0,182 = 0,324
b P(2 links vd 5) = 52 • 0,182 • 0,823 =0,1786
c P(2 links) = 9 • 850•49 = 0,0294

51. a P (2× A) = 0,412 = 0,1681
b P(beide niet A) = 0,592 = 0,3481
c P(verschillende bloedgroep) = 1  P(gelijk) = 1  P(2× A)  P(2× B)  P(2× AB)
P = 1  0,412  0,12  0,042 = 0,8203

52. P (max snelheid) = 0,68 P(niet max) = 0,32
a P(alle tien max) = 0,6810 = 0,21139
b P (alle tien niet) = 0,3210 = 0,00001
c P( 2 van de tien niet) = 102 • 0,322 • 0,688 = 0,21066

53. Dit is een probleem zonder teruglegging dus mag je niet maar een groep van 100 nemen voor met teruglegging.

1.4 Toevalsvariabelen

54. a Hij zet 1 dollar in en kan maximaal 3 dollar uitgekeerd krijgen dus maximaal 2 dollar winst
b P(winst = 2) = (16 )3 = 1216
c P(winst = -1) = (56 )3 = 125216
d P(winst = 0) = 31 • 16 •(56 )2 = 2572
P(winst = 1) = 32 • (16 )2 • 56 = 572
e
winst -1 0 1 2
kans 125216
2572
572
1216

f 125 • -1 + 25 • 0 + 15 • 1 + 1 • 2 = -  83,-

55. a Debby pakt ten hoogste 3 witte knikkers X  2
Debby pakt minsten 3 witte knikkers X  3
Debby pakt meer dan één witte knikker X > 1
Het aantal witte en blauwe knikkers samen is minstens twee T  2
Debby pakt geen witte en ook geen blauwe knikkers T = 0
Debby pakt 2 rode knikkers T = 3

b P(X = 2) = = 0,40

P(T  1) = 1  P(T = 0) = 1  = 1  563003 = 0,98

P(X < 5) = 1  P(X = 5) = 1  = 1  563003 = 0,981

56. a Sabine gooit in totaal hoogstens drie ogen X  3
Sabine gooit meer dan 10 ogen X > 10
Sabine gooit minstens vier en minder dan 8 ogen 4  X < 8
b P(X = 3) = 2 • 16 •16 = 118
P(X  4) = 1  P(X  3 ) = 1  P(X = 3)  P(X = 2) = 1  118  136 = 3336 = 1112
P(X > 9) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)
= 3 • 16 •16 + 2 • 16 •16 + 16 •16 = 16
P(X < 5) = P(X = 2) + P(X =3) + P(X = 4) = 136 + 236 + 336 = 16

57. a P(X = 3) = 416 = 14
b P(x  1) = 1  P(X = 0) = 1  116 = 1516
c P(X > 1) = 1  P(X = 0)  P(X = 1) = 1  116  416 = 1116

58. a P(X = 3) = 9200
b P(Z < 3) = 19+9+31+8+34+20200 = 121200
c P(X = 1 en Y = 2) = 28200 = 750
d P(Z > 3 en Y = 2) = 9 200 = 9200
e P(X = 1 onder voorwaarde Y = 3) = 35+3+1+1 = 310
f P(X = 1 ondervoorwaarde Z = 3) = 284+21+28+5 = 2858 = 1429

59. a P(X = 20) = 8•20 •719 = 0,1474
b P(X > 0) = 1  P(X = 0) = 1  1220 •1119 = 0,6526

60. a) P(X  3) = P( 3 r) + P( 4r) = 43 • 8•7•6•1018•17•16•15 + 8•7•6•518•17•16•15 = 0,2059
b P(Y = 3 ) = 41• 12•11•10•618•17•16•15 = 0,4314
c P(Z = 1 ) = P(1b + 3w) + P(4r) = 41•4•6•5•418•17•16•15 + 8•7•6•518•17•16•15 = 0.0490
d P(Z > 0,5) = 1  P( Z  0,5) = 1  P(Z = 0,5)  P(Z = 0,25)  P(Z = 0)
= 1  P(2r + 2w)  P(1r + 3w) + P(4w)
= 1  42•6•5•8•718•17•16•15  41 •8•6•5•418•17•16•15  6•5•4•318•17•16•15 = 0,8056

61. a P(X = 2) = 31 • (818 )2 • 1018 = 0,329
b P(Y = 3) = 3 • 2 • 818 • 618 • 418 = 0,198
c P(Y = 1) = (818 )3 + (618 )3 + (418 )3 = 0,136
d P(X = Y) = P (2 rode + willekeurige) = 0,329

62. a P(X = 2) = P(eva wint) + P(martine wint) = 0,62 + 0,42 = 0,52
b P(X = 3) = P(eva wint) + P(martine wint) = 2 • 0,62 • 0,4 + 2 • 0,42 0,6 = 0,48
of P(X = 3 ) = 1  P(X = 2) = 1  0,52 = 0,48

63. a P(X = 0) = 8•7•612•11•10 = 1455 P(X = 1) = 31 • 8•7•312•11•10 = 2855
P(X = 2) = 32 • 8•4•312•11•10 = 1255 P(X = 3) = 4•3•212•11•10 = 155

X 0 1 2 3
kans 1455
2855
1255
155

Controle 14 + 28 + 12 + 1 = 55 klopt
64. P(X = 1) = 610 P(X = 2) = 4•610•9 = 415 P(X = 3) = 4•3•610•9•8 = 110
P(X = 4) = 4•3•2•610•9•8•7 = 135 P(X = 5 = 4•3•2•1•610•9•8•7•6 = 1210

X 1 2 3 4 5
kans 610
415
110
135
1210

65. a P(X = 3) = 0,63 + 0,43 = 0,28
b P(X = 4) = 3 • 0,63 • 0,4 + 3 • 0,43 • 0,6 = 0,3744
c P(X = 5) = 42 • 0,63 • 0,42 + 42 • 0,43 • 0,62 = 0,3456
Controle 0,28 + 0,3744 + 0,3456 = 1 klopt

66. P(X = 0) = 0,6 • 0,3 • 0,8 = 0,144
P(X = 1) = 0,4 • 0,3 • 0,8 + 0,6 • 0,7 • 0,8 + 0,6 • 0,3 • 0,2 = 0,468
P(X = 2) = 0,4 • 0,7 • 0,8 + 0,4 • 0,3 • 0,2 + 0,6 • 0,7 • 0,2 = 0,332
P(X = 3) = 0,4 • 0,7 • 0,2 = 0,056

X 0 1 2 3
kans 0,144 0,468 0,332 0,056

67. a P(Y = 0) = 824 = 13
P(X = 0) = 1724
b P(Y = 0 en X = 0) = 524 want 5 van de vierentwintig zijn jongens die nog nooit zijn
blijven zitten
c Nee want 13 • 1724 = 1772
d P(Y = 1) = 1624 = 23
P(X = 1) = 624 = 14
P(Y = 1 en X = 1) = 424 = 16
P(Y = 1) • P(X =1) = 23 • 14 = 212 = 16 is dus hetzelfde
e P(X = 1) =624 = 14
P(Y = 0) = 13
P(X = 1 en Y = 0) = 224 = 112
P(X = 1) • P(Y = 0) = 13 •14 = 112 is dus hetzelfde

68. a P(X = 2) = 16 • 16 = 136
P(Y = 1) = 2 • 5 • 16 • 16 = 1036 = 518
b P(X = 2 en Y = 1) = 0 want X = 2 kan alleen bij 2× 1 oog dus verschil kan niet 1 zijn
c de kansen zijn afhankelijk want er geld niet P(X = x ) • P(Y = y) = P(X = x en Y = y)

69. P(X = 1) = 2 • 4•610•9 = 0,533
P(Y = 1) = 2 • 4•610•9 = 0,533
P(X = 1 en Y = 1) = 0,533  0,533 • 0,533

70. a P(X = 15) = 2580 = 516
P(Y = 0) = 58
P(X = 17) = 1580 = 316
b P(X = 15 en Y = 1) = 0
P(X = 17 en Y = 0) = 0
c P(X = 15) • P(Y = 1)  0 dus niet onafhankelijk

71. a P(X = 0) = (812 )3 = 827
p(X = 1) = 3 • (812 )2 • 412 = 49
P(X = 2) = 3 • (412 )2 • 812 = 29
P(X = 3) = (412 )3 = 127
X 0 1 2 3
kans 0,296 0,444 0,222 0,037
b
c P(X = 1 en Y = 1) = 6 • 612 • 412 • 212 = 0,167
d P(X = 3 en Y = 3) = 0
d niet onafhankelijk want geen van de beide kansen X = 3 of Y = 3 is 0 terwijl samen wel 0 is

72. a Cirkel verdeeld in 4 stukken en in hierin 2× 1 en 2 × 2 schrijven
b Cirkel met 8 gelijke sectoren en genummerd met 1,2,3,4,5,4,3,2
c Cirkel met 15 sectoren met 5× 1 en 4× 2 en 3× 3 en 2× 4 en 1× 5