Hoofdstuk 1 boek 2

Beoordeling 4.7
Foto van een scholier
  • Antwoorden door een scholier
  • 4e klas havo | 4075 woorden
  • 19 mei 2005
  • 61 keer beoordeeld
Cijfer 4.7
61 keer beoordeeld

Taal
Nederlands
Vak
uitwerking Havo NG/NT 2
Hoofdstuk 1 De afgeleide functie

1.1 Differentiaalquotient en raaklijn

1. a [DyDx ]AB = 1 --24-3 = 3
dit is de richtingscoëfficiënt van lijnstuk AB
b f(2,99) = - 2,0199
f(3,01) = - 1,9799
[DyDx ] [2,99;3,01] = -1,9799- -2,01993,01-2,99 = 0,040,02 = 2
Dit is de richtingscoëfficiënt in punt A
c f(3,99) = 0,9601
f(4,01) = 1.0401
[DyDx ]B = 1.0401 - 0,96014,01 - 3,99 = 0,080,02 = 4
d [DyDx ]C = -2.0199 - -1,97991,01 - 0,99 = -0,040,02 = -2
y = -2x + b door (1,-2) è -2 = -2·1 + b è b = 0
y = - 2x

2. f(x) = - 14 x2 + 3x - 5
a f(4,01) =3,009975
f(3,99) = 2,989975 è [DyDx ]4 = 3,009975-2,9899754,01-3,99 = 0,020,02 = 1
f(4) = 3 en y = x + b è 3 = 4 + b è b = -1
y = x - 1
b snijpunt y-as dus x = 0 f(0) = -5 f(-0.01) = -5,030025
f(0,01) = -4,970025
[DyDx ]0 = -4,970025- -5,0300250,01- -0,01 = 0,060,02 = 3
y = 3x + b -5 = 3· 0 + b è b = -5
y = 3x - 5
c snijpunt x-as dus y = 0
-14 x2 + 3x - 5 = 0 è x2 - 12 x + 20 = 0
(x -10)(x- 2) = 0
x = 10 Ú x = 2
f(2,01) = 0,019975
f(1,99) = -0,020025
[DyDx ]2 = 0,019975 - -0,0200252,01 - 1,99 = 0,040,02 = 2
y = 2x + b 0 = 2·2 + b è b = -4
y = 2x - 4
vanwege symmetrie raaktlijn in (10,0)
y = -2x + b 0 = -2·10 + b è b = 20
y = -2x + 20

3. g(x) = x-1x+1
a Punt A snijpunt x-as dus y = 0
x-1x+1 = 0 è x = 1 dus A (1,0)
raaklijn in punt A
g(0,99) = -0,005025
g(1,01) = 0,004975
[dydx ]x =1 = 0,004975- -0,0050250,02 = 0,010,02 = 12
y = 12 x + b punt A (1,0) invullen geeft
0 = 12 ·1 + b ==. b = - 12
y = 12 x - 12
b Punt B snijpunt y-as dus x = 0
y = 0-10+1 = -1 Punt B (0,-1)
f(-0,01) = -1,02020
f(0,01) = 0.98020
[dydx ]x =0 = -0,98020- -1,020200,02 = 0,040,02 = 2
y = 2x + b punt B (0,-1) invullen
-1 = b
y = 2x - 1

4. T = 37 + 32t + 1
a T(1,99) = 37,602
T(2,01) = 37,598
[dTdt ]t =2 = 37,598 - 37,6020,02 = -0,0040,02 = -0,2
dus afname van 0,2 graad per uur
b T(2,99) = 37,429799
T(3,01) = 37,427350
[dTdt ]t =3 = 37,427350 - 37,4297990,02 = - 0,0024490,02 = - 0,122
T(3) = 37,429
T = -0,122t + b punt (3;37,429) invullen geeft
37,429 = -0,122·3 + b è b = 37,429 + 0,366 = 37,795
T = -0,15t + 37,9
T = 37 è 37 = -0,122t + 37,795
0,122t = 37,795 -37 = 0,795
t = 0,7950,122 = 6,5

5. D = 0,003t3 - 0,12t2 + 0,057t

a Bepaal snijpunt t-as
t = 39,5
dus de onderzeeër is 39,5 minuten
onder water
b [dDdt ]t =10 = D(10,01) - D(9,99)10,01 -9,99
[dDdt ]t =10 = -8,44443 - -8,415570,02 = -0,028860,02 » -1,44
De boot daalt met een snelheid van 1,44 m per minuut
c Diepste punt bepalen met CALC: 3 Min
minimum t= 26,4 5 minuten later dus 31,4
[dDdt ]t =31,4 = D(31,39) - D(31,41)-0,02 = -23,6619 - -23,6340-0,02 »-1,40
D = 1,40t + b
D(31,4) = -23,65 invullen geeft
-23,65 = 1,40·31,4 + b
b = -43,96 - 23,65 = -67.61
D = 1,4t - 67,61
boven water D = 0
0 = 1,4t - 67,61
1,4t = 67,61 à t = 67,611,4 = 48,29 minuten

6. f(x) = x2 -4x
a
b lijn k raakt grafiek in A met xA = 3
[dydx ]x =3 = f(3,01) - f(2,99)3,01 -2,99 = -2,9799 - -3,01990,02 = 0,040,02 = 2
f(3) = 32 - 4·3 = -3
y = 2x + B punt A invullen geeft
-3 = 2·3 + b è b = -3 - 6 = -9
y = 2x - 9
c lijn l raakt in O(0,0)
[dydx ]x = 0 = f(0,01) -f(-0,01)0,02 = -0,0399 - 0,04010,02 = -0,080,02 = -4
y = -4x (b= 0 want door (0,0))
7. f(x) = 0,2x4 - x3 +2x + 2
a Bereken met behulp van CALC : 6 : dydx -2 ENTER
[dydx ]x = -2 = -16,4
b raaklijn k door xA = 4

Met DRAW : 5 TANGENT 4 ENTER geeft
y = 5,2x - 23,6
c snijpunt y-as dus x = 0
Met DRAW : 5 TANGENT 0 ENTER geeft
y = 2x + 2

8. g(x) = x + 4x
a lijn k raakt g in punt A met xA = -3
Met DRAW : 5 Tangent-3 ENTER geeft
k : y = 0,556x - 2,667
Met DRAW : 5 Tangent 1 ENTER geeft
l : y = -3x + 8
b
c functies gelijk stellen
0,556x - 2,667 = -3x + 8
3,556x = 10,667
x = 10,6673,556 = 3 invullen in l geeft
y = -3 · 3 + 8 = -1
P(3,-1) of met GR

9. f(x) = 4 -4x21 + x2 Voer in GR (4 - 4x2)/(1 + x2)
a Met DRAW : 5 Tangent -2 ENTER geeft
y = 1,28x +0,16
Snijpunt met GR bepalen door lijn in GR in te voeren en met CALC :5 Intersect
B(0,75;1,12)

10. f(x) = x3 +4x2 - 0,5x -5
a Met DRAW : 5 Tangent -2,5 ENTER geeft
y = -1,75 + 1,25
b B(1;-0,5) Met GR
c Bepaal x-coördinaat van P en R met GR
(Met optie 2 ZERO in CAlC menu)
P (-3,78;0) en R(1,05;0)
Bepaal met CALC : 6 dydx de rc
P rc = 12,13
R rc = 11,21 dus raaklijnen niet evenwijdig

11. F = 200t2 + 1200t +4504t2 + 9
a Venster [0,15]×[0,160]
b Bepaal met CALC : 4 Max de top
Max (1,5;150)
Dus 1,5 min inspanning en hartslag
maximaal 150
c [dFdt ]t = 1 = 35,5
dus de hartslag neem met 35,5 stagen per minuut toe
d F = 120 dan is t = 3,67
3,67 · 60 = 220 seconden top op 90 seconden dus na 130 seconden
afname = 14 slagen per minuut (met CALC 6 dydx 3,67 ENTER)

12. a Differentiequotiënt = gemiddelde verandering
Differentiaalquotiënt = verandersnelheid op één moment
b Ja dit is mogelijk
Als de functie stijgend is en A en voor B gaat dalen de y-waarde van punt B moet kleiner zijn dan de y-waarde van punt A

1.2 De afgeleide functie

13. a [dydx ]x =-1 = 0 want de grafiek loopt horizontaal dus rc = 0
b voor x = 4
c [dydx ]x =-2 > 0 want de lijn stijgt dus positieve rc
d [dydx ]x =1 < 0 want dalende lijn
[dydx ]x =5 > 0 want stijgende lijn
[dydx ]x =-3> [dydx ]x =-2 de stijging wordt kleiner
e

14. ja, de hoogte is niet bekend, alleen het verloop

15. f hoort bij B ( steeds een stijgende lijn dus afgeleide altijd positief)
g hoort bij D (eerst daling dus f ' negatief dan stijging dus f ' wordt positief)
h hoort bij A (grafiek heeft twee toppen dus f ' heeft 2 nulpunten)
k hoort bij C (grafiek heeft 3 toppen dus f ' heeft 3 nulpunten)

16. a

b

17. a b

18. *

19. a f '(0) = [dydx ]x =0 = 3
b
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f '(x) -12 -5 0 3 4 3 0 -5 -12

c

20. a Venster [-4,10]×[-8,8]

b f '(-2) = -7,2 (kan ook via table )

21. a
b g '(-1) = - 4,64
c g '(2) = 3,625

22. a

b De drie afgeleide functies vallen samen. Dit komt omdat de drie functies als enige verschil
hebben de hoogte van de grafiek. Het verloop is steeds hetzelfde.

23. a

b twee punten (-2,0) en (2,4)
y = ax + b a = DyDx = 2 - - 24 - 0 = 1 y = x + b punt (-2,0)
0 = - 2 + b dus b = 2
y = x + 2

24. a
b twee punten (0,4) en (2,0)
y = ax + b
a = DyDx = 0 - 42 - 0 = - 2
y = - 2x + b (0,4) è 4 = b
y = - 2x + 4

25. *

26. f(x) = 3x - 4
a f '(x) = 3 f '(x) = rc = 3

27. a f '(x) = 2
b f '(x) = 12
c f '(x) = - 0,35
d f '(x) = 320

28. a f(x) = 5x2 -7x + 5 f '(x) = 10x -7
b g(x) = - 212 x2 +4x + 3 g '(x) = -5x + 4
c h(x) = 0,02x2 + 1,7x h '(x) = 0,04x +1,7
d k(x) = (2x - 7)(8 + x)
k(x) =16x +2x2 - 56 - 7x = 2x2 + 9x - 56 k '(x) = 4x + 9

29. a f(x) = 7x + 10 f '(x) = 7
b g(p) = - 12p2 + 30p g '(p) = - 24p + 30
c V(t) = 100 - (t2 - 6t) = 100 -t2 + 6t V '(t) = -2t + 6
d K(q) = - 0,01q2 + 20q K '(q) = -0,02q + 20

31. a b

32. a Bij de top van de grafiek is de afgeleide gelijk aan 0 en g gaat niet door dit punt
b

33. a Venster [-10,10]×[-10,10] Venster [-5, 5]×[-5,5]

b f '(x) = x2
c g '(x) = 12 (x-2)(x+2)

34. a combinatie van regel 1 en 2
b combinatie van alle drie de regels

35. a Doordat er staat h(x) de x staat tussen haakjes
b de variabele is a f '(a) = 12a2
c de variabele is b g '(b) = 2b

36. f(x) = 5x4 - 3x3 + 2x f '(x) = 20x3 - 9x2 + 2
g(x) = -2x7 -3x5 + 3,4 f '(x) = - 14x6 - 15x2
h(t) = - 13 t3 + 612 t2 -12 h '(t) = - t2 + 13t
k(q) = 1 + q +12 q2 + 16 q3 k '(q) = 1 + q + 12 q2

37. f(x) = (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1) = 4x2 + 2x + 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1 f '(x) = 8x + 4
g(x) = (3x-2)(x2 +2x) = 3x3 + 6x2 - 2x2 - 4x = 3x3 + 4x2 -4x g '(x) = 9x3 + 8x - 4
h(x) = 3px8 - p2x4 h '(x) = 24px7 - 8p2x3
k(x) = x3 + a3 k '(x) = 3x2

38. f(x) = x3 - x2 + 2x - 4
a f(1) = 13 - 12 + 2·1 - 4 = -2
b f '(x) = 3x2 - 2x + 2
c f '(1) = 3·12 - 2·1 + 2 = 3
d k : y = 3x + b punt (1,-2) è -2 = 3·1 + b è b = -5
k : y = 3x - 5
e *

39. f(x) = x3 -x2 - x -1
a f '(x) = 3x2 -2x -1
f '(2) = 3·22 - 2·2 - 1 = 7
y = 7x + b punt (2,1) 1 = 7·2 + b è b = -13
y = 7x - 13
b snijpunt y-as dus x= 0 b (0,-1)
f '(0) = -1
y = -x + b (0,-1) è -1 = b
y = -x - 1

40. h(x) = -x2 + 5x - 4
lijn k rck = 2
a h '(x) = -2x + 5
b -2xA + 5 = 2 è 2xA = 3 è xA = 1,5
h(1,5) = - 1,52 + 5·1,5 - 4 = 1,25 è xB = 1,25
c -2x +5 = -1 è 2x = 6 è x = 3
h(3) = -32 + 5·3 - 4 = 2 è (3,2)
d horizontale raaklijn dus rc = 0
-2x + 5 = 0 è 2x = 5 è x = 2,5
h(2,5) = - 2,52 + 5·2,5 - 4 = 2,25 è B(2,5;2,25)

41. f(x0 = x2 - 4x
a f '(x) = 2x - 4
rck = 2 è 2xP -4 = 2 2xP = 6 xP = 3
f(3) = 32 -4·3 = -3 yP = -3
b k : y = 2x + b door (3,-3) -3 = 3·3 + b b = -9
k : y = 2x - 9

42. f(x) = -13 x3 +x2 +1
a f(3) = -13 ·33 +32 + 1 = 1
f '(x) = -x2 +2x
f '(3) = -32 + 2·3 = -3
y = -3x + b door punt A (3,1) 1 = -3·3 + b b = 10
l : y = -3x + 10
b nu moet ook gelden -x2 + 2x = -3 x2 -2x -3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x = 3 Ú x = -1
f(-1) = -13 (-1)3 + (-1)2 + 1 = 123 punt B (-1,213 )
y = -3x + b 213 = -3·-1 + b b = -23
m : y = -3x -23

43. f(x) = 13 x3 -x2 -2x + 5
a rc = 1 f '(x) = x2 -2x -2
f '(x) = 1 x2 - 2x - 2 = 1
x2 -2x -3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x = 3 Ú x = -1
f(-1) = 13 ·(-1)3 - (-1)2 -2·-1 + 5 = 523
y = x + b 523 = -1 + b b = 623
y = x + 623
f(3) = 13 ·33 - 32 -2·3 + 5 = -1
y = x + b -1 = 3 + b b = -4
y = x - 4

44. f(x) = 13 x3 - 12 x2 - 2x + 1
a f '(x) = x2 - x -2
raaklijn horizontaal dus rc = 0
x2 - x - 2 = 0
(x-2)(x+1) = 0
x = 2 Ú x = -1
f(2) = 13 ·23 - 12 ·22 - 2·2 + 1 = - 213 dus (2,-213 )
f(-1) = 13 ·(-1)3 - 12 ·(-1)2 - 2·-1 + 1 =216 dus (-1;216 )
b y = -213 en y = 216

45. A = t3 +2t2 +3t
a v = dAdt = 3t2 + 4t + 3
b t = 4 s v = 3·42 + 4·4 + 3= 67 m/s = 67 ·3,6 = 241,2 km/uur
c Na 5 s afgelegd A = 53 +2·52 +3·5 = 190 m
daarna snelheid constant
v (5) = 3·52 +4·5 + 3 = 98 m/s
hij moet met deze snelheid nog 1000 - 190 = 810 m afleggen
v = At è t = Av = 81098 = 8,3 s
dus 8,3 + 5 = 13,3 s na de start heeft hij 1 km afgelegd.

46. g(x) = (x2 -1)(x - 4) = x3 - 4x2 - x + 4
a g '(x) = 3x2 - 8x - 1
b g(2) = 23 - 4·22 -2 + 4 = - 6
g '(2) = 3·22 - 8·2 - 1 = - 5
y = -5x + b (2,-6) - 6 = -5·2 + b b = 6
y = - 5x + 6
c rc = 10 è 3x2 - 8x -1 = 10 è 3x2 - 8x -11 = 0
D = b2 - 4ac = (-8)2 - 4·3·-11 = 196 = 142
x = -b ± ÖD2a dus x = 8 + 142.3 = 323 Ú x = 8 - 142.3 = -1
f(323 ) = -4427
y = 10x + b - 4427 = 10 · 323 + b
- 11227 = 99027 + b b = - 110227 = -40 2227
y = 10x - 402227
f(-1) = 0
y = 10x + b 0 = 10·-1 + b b = 10
y = 10x +10

47. x = 23 t3 - 9t2 + 42t
a v = dxdt = 2t2 - 18t + 42
b v = 0 2t2 - 18t + 42 = 0
D = 182 - 4·2·42 = 324 - 336 = -12 < 0 dus geen oplossing
dus de snelheid wordt niet 0
x(8) = 23 ·83 - 9·82 + 42·8 = 10113
v(8) = 26
x = v·t = 26·7 = 182
afgelegde weg = 10113 + 182 = 28313 m

48. a Elke richting komt maar één keer voor.
b f '(x) is een tweede graadsfunctie deze kan 2 oplossingen (D > 0), 1 oplossing (D = 0)
of geen oplossing hebben (D < 0)

c

e

1.4 Extreme waarden

49. f(x) = 16 x3 - 14 x2 -3x + 2
a maximum f(-2) = 5,67
minimum f(3) = -4,75
b f '(x) = 12 x2 - 12 x - 3
extreme waarden raaklijn horizontaal dus f '(x) = 0
12 x2 - 12 x - 3 = 0
x2 - x - 6 = 0
(x-3)(x+2) = 0
x = 3 Ú x = -2
f(3) = -434 minimum
f(-2) = 523 maximum

50. a f(x) = 13 x3 + 312 x2 + 10x + 5 f '(x) = x2 + 7x + 10
extreme waarden dus f '(x) = 0
x2 + 7x + 10 = 0
(x+5)(x+2) = 0 è x = -5 Ú x = -2
f(-5) = 56
f(-2) = -323
b g(x) = -16 x3 - 18 x2 + 334 x + 3 g '(x) = -12 x2 -14 x + 334
g '(x) = 0
-12 x2 -14 x + 334 = 0
-2x2 - x + 15 = 0 D = (-1)2 - 4·-2·15 = 112
x = 1 + 112·-2 = -3 Ú x = 1 -112.-2 = 2,5
g(-3) = -478
g(2,5) = 89596

51. y = 37 x2 -4x + 4 y ' = 67 x -4 y '= 0 è 67 x = 4 è x = 4·76 = 423
invullen in verg. geeft y = -513 top (423 , -513 )
52. f(x) = ax2 + bx + c
a f '(x) = 2ax + b
b f '(x) = 0 è 2ax + b = 0 è 2ax = -b è x = - b2a

53. a y = x2 -4x + 5 f '(x) = 2x - 4 of x = - b2a = - -42 = 2
top geldt f '(x) = 0 è 2x - 4 = 0 è 2x = 4 è x = 2
waarde invullen in functie geeft y-waarde y= 22 - 4·2 + 5 = 1
top (2,1)
b y = -x2-6x + 1 f '(x) = -2x - 6 of x = - b2a = - -6-2 = -3
f '(x) = 0 è -2x -6 = 0 è 2x = -6 è x = -3
y = - (-3)2 - 6 · -3 + 1 = 10
top ( -3,10)
c y = 12 x2 - x + 6 f '(x) = x - 1 of x = - b2a = - -11 = 1
f '(x) = 0 è x - 1 = 0 è x = 1
y = 12 · 1 - 1 + 6 = 512
top (1,512 )
d y = - 14 x2 + 2x f '(x) = -12 x + 2 of x = - b2a = - 2- 0,5 = 4
f '(x) = 0 è -12 x + 2 = 0 è 12 x = 2 è x = 4
y = - 14 .42 + 2 · 4 = 4
top (4,4)

54. a f(x) = 2x2 -2x -1 f '(x) = 4x -2
f '(x) = 0 è 4x = 2 è x = 12
f(12 ) = - 112 top (12 ;-112 )
dalparabool dus Bf = [-112 ,®ñ
b g(x) = - 12 x2 + 5x + 3 g '(x) = -x + 5
g '(x) = 0 è x = 5
g (5) = 1512 top (5,1512 )
bergparabool dus Bg = á; 1512 ]

55. M = - 0,001306v2 + 0,254v - 10,02
a gunstig brandstof verbruikt dus minimum zoeken
M ' = -0,002612v + 0,254
top M ' = 0 è -0,002612 v + 0,254 = 0 è 0,002612v = 0,254 è v = 0,2540,002612 = 97,2
dus bij een snelheid van 97,2 mijl per uur
b M = - 0,001306 · 97.22 + 0,254 · 97,2 - 10,02 = 2,32 mijl per liter brandstof
dus aantal liter is 36102,33 = 1549 liter

56. f(x) = -x3 +6x2 + 2434 x - 100
a f '(x) = -3x2 +12x + 2434
f '(x) = 0 è -3x2 + 12x + 2434 = 0 è -x2 + 4x + 814 = 0
D = b2 - 4ac = 42 - 4·-1·814 = 16 + 33 = 49 = 72
x = -b ± ÖD2a dus x = -4 +7-2 =- 112 of x = -4 -7-2 = 512
min f(-112 ) = - 12014
max f(512 ) = 5114
b -12014 < p 5114

57. f(x) = x3 - 3x2 + 6x - 4
a f '(x) = 3x2 - 6x + 6
extreme waarden f '(x) = 0 è 3x2 - 6x + 6 = 0 è x2 - 2x + 2 = 0
D = b2 - 4ac = (-2)2 - 4· 1 · 2 = 4 - 8 = - 4 D < 0 dus geen oplossing
dus geen extreme waarden
b punt A snijpunt y-as dus x = 0
f(0) = - 4
f '(0) = 6 raaklijn k : y = 6x + b
punt (0,-4) -4 = b
k : y = 6x - 4
snijpunt met grafiek y waarden gelijk stellen
6x - 4 = x3 -3x2 +6x - 4 è x3 - 3x2 = 0 è x2(x - 3) = 0 è x = 0 Ú x = 3
x = 0 is het raakpunt en x = 3 is het snijpunt
f(3) = 14
A (3,14)

58. f(x) = 13 x3 +px2 +5x
a p = -3 f(x) = 13 x3 - 3x2 + 5x

b p = -2

p = 2

p = 3

c Bij positieve waarden van p 2 toppen bij negatieve waarden van p geen toppen
d Voor p = -4 dus geen extreme waarden
e p = -1 geen
p = 1 2 extremen
p = 4 2 extremen

59.

D > 0 D = 0 D < 0

60. fp(x) = 2x2 - 6x + p
a p = -4 p = 1 p = 6
b Raakt x-as als D = 0
D = (-6)2 - 4 · 2 · p = 0
36 -8p = 0 è 8p = 36
p = 412
c voor p < 412

61. a fp(x) = -12 x2 - 5x + p
top op de x-as dus 1 opl dus D = 0
D = (-5)2 - 4 · -12 · p = 0
2p = -25 è p = -1212
b voor p < -1212
c door punt (-4,18) invullen geeft
-12 (-4)2 - 5 ·-4 + p = 18 è p = 6

62. fp(x) = 3x2 +px + 3
a top x-as dus D = 0
D = p2 - 4·3·3 = 0 è p2 = 36
è p = -6 Ú p = 6
b p < -6 Ú p > 6
c door (2,6)
6 = 3·22 + p·2 + 3 è 2p = -9 è p = - 412
d snijpunt dus functies gelijk stellen
3x2 + 2x + 3 = 3x2 + 9x + 3 è 2x = 9x è x = 0 f(0) = 3
punt (0,3)

63. fp(x) = -13 x3 - 112 x2 + px + 5
a f-3

f0

f3

b fp'(x) = -x2 - 3x + p extreme waarden f '(x) = 0
-x2 - 3x + p = 0
twee oplossing als D > 0
D = b2 - 4ax = (-3)2 - 4·-1·p > 0
9 + 4p > 0 è 4p > -9 è p > -214
64. fp(x) = 14 x3 +px2 +3x + 1
fp '(x) = 34 x2 + 2px + 3 = 0
geen oplossing dus D < 0
D = (2p)2 - 4 · 34 · 3 < 0
4p2 < 9
p2 < 94
-32 < p < 32

65. fp (x) = - 14 x2 + px - 6
a f '-2 (x) = - 12 x - 2 = 0 x = -4
f-2 (-4) = -2
b f 'p (x) = -12 x +p f '(x) = 0 x = 2p
f(2p) = -14 (2p)2 + p·2p - 6 = -p2 + 2p2 - 6 = p2 - 6 > 0
grenzen p2 = 6 p = - Ö6 Ú p = Ö6
voor p = 0 maximum f(0) = -6 dus negatief dus buiten de grenzen positief
dus positief maximum voor p < - Ö6 Ú p > Ö6
c xtop = 2p en ytop = p2 - 6
d y = 10 dus ytop = p2 - 6 = 10 è p2 = 16 dus p = - 4 Ú p = 4
e y = 2x- 3
p2 - 6 = 2·2p - 3 è p2 - 4p -3 = 0 oplossen met ABC formule
D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 ·1 · -3 = 16 + 12 = 28
x = 4 + Ö282 Ú x = 4 -Ö282

66. fp (x) = 112 x3 +x2 + px + 7
a f3 (x) = 112 x3 + x2 + 3x + 7
f '3 (x) = 14 x2 + 2x + 3 = 0
x2 + 8x + 12 = 0
(x+ 2)(x + 6) = 0
x = -2 Ú x = -6
f3(-6) = 7
f3 (-2) = 414
b f 'p (x) = 14 x2 + 2x + p = 0
D = b2 - 4ac = 22 - 4 · 14 · p
D > 0 dan twee oplossingen
4 - p > 0 è p < 4
c Derde graadvergelijking heeft geen top als de afgeleide maar één oplossing heeft
Dus D = 0 è p = 4

67. a

f '(x) wordt nooit negatief dus geen top
b fp (x) = px3 +3x2 - 2x + 1
fp'(x) = 3px2 +6x - 2
fp'(x) = 0 3px2 + 6x -2 = 0
een oplossing dan D = 0
D = 62 - 4 ·3p·-2 = 36 +24p
24p = -36 è p = -3624 = - 32
x = -b2a =-62 · -4,5 = 23 y = -32 (23 )3 + 3 (23 )2 - 2 · 23 + 1 = 59
dus A(23 ; 59 )

1.5 Optimaliseren

68. a x = 2 è CB = 18 - 2 · 2 = 14
O = 2 · 14 = 28 m2
b x = 5 è CB = 18 - 2 · 5 = 8
O = 5 · 8 = 40 m2
c AB + BC + CD = 18 AB = x en CD = x
x + BC + x = 18 è BC = 18 - 2x
O = AB · CD = x (18 - 2x ) = 18x - 2x2
d 36 = 18x - 2x2
2x2 - 18x + 36 = 0
x2 - 9x +18 = 0
(x - 3)(x - 6) = 0
x = 3 Ú x = 6 x = 3 è BC = 18 - 2·3 = 12 en x = 6 è BC = 18 - 2·6 = 6
dus 3 bij 12 en 6 bij 6
e maximum dus O ' (x) = 0 of met GR maximum bepalen
O '(x) = 18 - 4x = 0 è 4x = 18 è x = 412 BC = 18 - 2·412 = 9
dus afmetingen 412 bij 9

69. 2 · AB + 4x = 400 è AB = 400-4x2 = 200 - 2x
O = AB · AD = (200 -2x) x = 200x - 2x2
oppervlak maximaal dus O '(x) = 0 of met GR maximum bepalen
O '(x) = 200 - 4x = 0 è 4x = 200 x = 50 AB = 200 - 2 · 50 = 100
dus afmetingen 50 bij 100

70. Stel onbekende zijde is a
x + a + x + 12 + a = 100 è 2a = 100 - 12 - 2x
a = 44 - x
O = (44- x)(12 + x) = 528 + 32x - x2
O '(x) = 32 -2x = 0 è 2x = 32 è x = 16 of met GR maximum bepalen
dus O = (44 - 16)(12 + 16) = 28 · 28= 784 m2

71. O = x (25 - 2x) = 25x - 2x2
O ' = 25 -4x = 0 of met GR maximum bepalen
è 4x = 25 è x = 6,25 onbekende zijde = 25 - 2·6,25 = 12,5
dus 6,25 bij 12,5

72. Stel korte zijde x lange zijde y
omtrek 2x + 2y = 50 è y = 25 - x
Als I maximaal is dan moet O maximaal zijn dus O ' = 0
O = x(25 - x) = 25x - x2
O ' = 25 -2x = 0 è x = 12,5 è y = 12,5 of met GR maximum bepalen
dus 12,5 bij 12,5

73. a 4y + 2pr = 60 è 4y = 60 - 2pr è y = 15 -12 pr
b O = y2 + pr2 = (15 - 12 pr)2 + pr2
c Rond of dus met GR
Venster [0,10]×[0,300]
Met CALC : 3 min bepalen
r » 4,2 cm
y » 15 -12 p·4,2 » 8,4
d maximaal voor y = 0 (cirkel grootste opp)
15 = 12 pr è r = 30p » 9,5

74. a x = 6 è korte zijde 20 - 2 · 6 = 8
lange zijde 30 - 2·6 = 18
I = 6 · 8 · 18 = 864 m3
b x = 2 è I =2 (20 - 2·2)(30 -2·3) = 2 · 16 · 26 = 832 m3
x = 3 è I = 3(20 - 2·3)(30 -2·3) =3 · 14 · 24 = 1008 m3
c I =hoogte · korte zijde . lange zijde = x(20 -2x)(30 -2x)
d met GR maximum bepalen geeft x = 3,9
dus vierkantjes 3,8 × 3,9

75. a I = x(50 -2x)(30 - 2x)
0 < x < 15 (korte zijde dubbel geeft x = 15)
b Venster [0,15]×[0,4500] kijk in TABLE wat de hoogste waarde van I is tussen 0 en 15
c bepaal met CALC : 4 max het maximum
x = 6,1 m en I = 4104 cm3
e I = 3000
voer lijn I = 3000 in en bepaal beide snijpunten met CALC : 5 intersect
1e snijpunt x = 2,6 cm dus 2,6 bij 24,8 bij 44,8
2e snijpunt x = 10 dus 10 bij 10 bij 30

76. Voer in GR I = x (29,7 -2x)(21,0 -2x)
bepaal maximum met CALC : 4 max
x = 4,0 en I = 1128
dus maximale inhoud = 1128 cm3

77. f(x) = Ö(x + 4)
a xp = p yp = Ö(p+4)
b O2 =xp2 + yp2 = p2 + p + 4
O = Ö(p2 + p + 4)
c Bepaal met GR minimum
x = -0,50 y = 1,94 dus P(-0,50;1,94)

78. a AC = Ö(32 + 42) = Ö25 = 5
K = 5 · 2 + 3 · 3 = 16 miljoen
b AE = Ö(62 + 42) = Ö52 =
AD = DE = 0,5Ö52
traject II K = 0,5Ö52 · 2 + 0,5Ö52 · 3 = 2,5Ö52 = 18,028 miljoen
EB = Ö(32 + 42) = 5
traject III K = 3 · 2 + 5 · 3 = 21 miljoen
c AP = Ö( 32 + x2) = Ö(9 + x2)
kosten AP = 2·Ö(9 + x2)
PE = Ö (32 +(4-x)2)
kosten PE = 3Ö(25 -8x +x2)
totale kosten AE = 2Ö(9 + x2) + 3Ö(9 +(4 -x)2)
d voer formule in in GR en bepaal min met CALC : 3 min
x = 2 56 K = 17,871 miljoen gulden

79. AP = Ö(1002 + x2) Venster [0;800]×[1500,2500]
PB = Ö(1002 + (800-x)2)
totale afstand = AP + BP = 3Ö(10000 + x2) + 2Ö(10000 + (800 - x)2)
totale afstand minimaal dus formule in GR en minimum bepalen
x = 712 m

80. a om de afgeleide te kunnen bepalen
b omdat je dan niet meer de afgeleide naar x kunt bepalen
voor elke x geldt dan dat dIdx = 0

81. a Stel tweede zijde p
I = x (60 - 2x)(p - 2x) = 60px - 120x2 - 2px2 + 4px3 = 4x3 - 120x2 -2px2 + 60p
dIdx = 12x2 - 240x - 4px +60p
x = 8 è dIdx =768 - 1920 - 32p + 60p = 28p - 1152
dIdx = 0 è 28p = 1252 è p = 115228 = 41,14
afmetingen 8 bij 44 bij 25,1
I = 8850 m3

82. hoogte = x
korte zijde a è b = a -2x
lange zijde 2a è l = 2a -2x
a I = h · l · b = x (a - 2x )(2a - 2x) =x( 2a2 -2ax - 4ax + 4x2) = 2a2x - 6ax2 + 4x3
I = 4x3 - 6ax2 +2a2x
b dIdx = 12x2 - 12ax + 2a2
voor x = 10 è dIdx = 12.102 - 12·10a + 2a2 = 2a2 - 120a +1200
maximale inhoud als dIdx = 0 è 2a2 -120a +1200 = 0
è a2 -60a + 600 = 0 oplossen met ABC formule
D = b2 - 4ac = (-60)2 - 4 · 1 · 600 = 1200
a = -b ± ÖD2a dus a = 60 + Ö12002 » 47,3 of a = 60 - Ö12002 =12,7 kan niet geen 2× de hoogte
a » 47,3 en I » 20366 m3

83. a 4·4x + 4x + 4h = 12 è 4h = 12 - 20x è h = 3 - 5x
b I = h · l · b = (3 - 5x)· 4x · x = 12x2 - 20x3
I maximaal dan dIdx = 0 è 24x -60x2 = 0 è x(24 - 60x) = 0
x = 0 Ú x = 2460 = 0,4
I = 12 · 0,42 - 20 · 0,43 =0,64 m3
h = 3 - 5 · 0,4 = 1 m

84. a 4 · ax + 4x + 4h = 12 è 4h = 12 - 4ax -4x è h = 3 - ax - x
I = x · ax ·(3 -ax - x) = 3ax2 - a2x3 - ax3
b dIdx = 6ax - 3a2x2 - 3ax2 maximale inhoud bij x = 0,5 dus [ dIdx ]x= 0,5 = 0
dIdx = 3a - 34 a2 - 34 a = 214 a - 34 a2 = 0 è 14 a(9 -3a) = 0
dus a = 0(n.v.t) Ú a = 3 è I = 3·3·0,52 - 32·0,53 - 3·0,53 = 0,75
a = 3 en I = 0,75 m3

85. f(x) = x2 + 1
Stel punt P(xp;yp) ligt het dichtst bij A(1,0)
Stel xp = a è y = a2 + 1
Stel g(a) is afstand tot AP
g(a) = Ö(1 - a)2 + (a2 +1)2)
formule in GR invoeren en minimum bepalen
minimum a = 0,313
xp = 0,313 en yp = 0,3132 + 1 = 1.098

86. a Ja want dan geldt 4AD + 2x = 20 è AD = 20 -2x4 = 5 - 0,5x
hier kun je mee verder rekenen
b Ja want dan geldt 2h +x = 30 è h = 15 -0,5x
b = 20 - 2h = 20 - (30 -x) = x - 10 enzovoort

1.8 Gemengde opgaven

91. f(x) = 12 x3 +3x2 - 9x + 2
a f(-1) = 12 ·(-1)3 +3·(-1)2 - 9·-1 + 2 = 1312
f(5) = 12 ·53 +3·52 - 9·5 + 2 = 9412
DyDx = 816 = 1312
b [dydx ]x = 2 = f(2,01) -f(1,99)0,02 = 0,0906- -0,08940,02 = 9 of met GR CALC : 6 dydx 2 geeft dydx = 9
c helling punt B = [dydx ]x = 4 = 39 (met GR of uitrekenen)
d f '(x) = 32 x2 + 6x -9
f(-3) = 32 ·(-3)2 + 6 · -3 - 9 = -13,5

92. f(x) = 13 x3 - 12 x2 - 2x + 1
a snijpunt y-as f(0) = 1 dus A(0,1)
f '(x) = x2 - x - 2
f '(0) = -2
k : y = -2x + b door (0,1) è b = 1
k : y = -2x + 1
b raaklijn horizontaal dus f '(x) = 0
x2 - x -2 = 0
(x -2)(x+1) = 0
x = 2 Ú x = -1
f(2) = -213 dus (2,213 )
f(-1) = 216 dus (-1,216 )
c evenwijdig dus helling = 4
x2 - x -2 = 4
x2 -x - 6 = 0
(x-3)(x+2) = 0
x = 3 Ú x = -2
f(3) = -12 dus (3,-12 )
f(-2) = 13 dus (-2,13 )

93. f(x) = -x(2x -7) = -2x2 + 7x f '(x) = -4x + 7
g(x) = (x2 - 1 )(x - 1) = x3 - x2 - x + 1 g '(x) = 3x2 - 2x - 1
h(x) = x(3x +2)(3x +2) = 9x3 + 12x2 + 4x h '(x) = 27x2 + 24x + 4
k(x) = 4ax2 - a2x k '(x) = 8ax - a2
l(q) = 3p2 - 2pq + q3 l '(q) = -2p + 3q2
m(t) = 7 - t2 + 8t16 = 7 - 116 t2-+ 12 t m '(t) = - 18 t - 12

94. y =
a b

95. f(x) = x3 + 12 x2 + 45x + 17
a f '(x) = 3x2 + 24x + 45 = 0
è x2 + 8x + 15 = 0
(x + 5)(x + 3) = 0
x = -5 Ú x = -3
f(-5) = (-5)3 + 12 (-5)2 + 45 · -5 + 17 = -33
f(-3) = (-3)3 + 12 (-3)2 + 45 · -3 + 17 = -37
b 3 oplossingen als p tussen de toppen ligt dus -37 < p < -33
96. fp (x) = 12 x2 + px + 4
a p = -2
p = 0
p = 3
b top dus f '(x) = 0
f '(x) = x + p
f '(x) = 0 è x = -p
x -as dus f(-p) = 0
è 12 p2 - p2 + 4 = 0
12 p2 = 4 è p2 = 8
p = -2Ö2 Ú p = 2Ö2
c -2Ö2 < p < 2Ö2
d top x = -p
functie waarde is y =- 12 p2 + 4
top op lijn y = 2p + 112
gelijkstellen geeft
-12 p2 + 4 = 2p + 112
12 p2 +2p - 212 = 0
p2 + 4p - 5 = 0
(p + 5) (p - 1) = 0
p = -5 Ú p = 1

97. korte zijde is a
lange zijde is a + 10
hoogte x
a b = a - 2x
l = a + 10 - 2x è I = l·b·h = (a +10-2x)(a - 2x)x
h = x = a2x - 2ax2+10ax -20x2 - 2ax2 + 4x3
= 4x3 -4ax2 -20x2 +10ax +a2x
b dIdx = 12x2 - 8ax -40x + 10a + a2
maximale inhoud als x = 5
dIdx = 12 ·52 - 8 ·5a -40 · 5 + 10a + a2 = a2 -30a + 100 = 0
D = 302 - 4· 1·100 = 500
a = 30±Ö500 2 è a = 26,2 Ú a = 3,8 n.v.t.(kleiner dan de hoogte kan niet)
c b = 16,2
l = 26,2 è I = 16,2·26,2·5 = 2122 cm3
h = 5

98. s = 40
vmax = 100 km/u = 2779 m/s
s = 12 gt2 è 40 = 12 9,81t2 è t2 = 809,81 = 8,15 è t = 2,86
v = dsdt = gt dus na 2,86 s is v = 9,81·2,86= 28,0 m/s » 100 km/u

99. AC = 5 km BC = 20 km
aanlegkosten onder water 1,4 miljoen gulden
aanlegkosten over land 1 miljoen gulden
a AC = Ö(52 + 202) = Ö425
K = 1,4 · Ö425 = 28.86 miljoen
b K = 5·1,4 + 20 · 1,0 = 27 miljoen
c AD = Ö(52 + x2)
DB = 20 - x
K = AD·1,4 + DB · 1 = 1,4Ö(25 + x2) + 20 - x met K in miljoen guldens
d formule invoeren in GR en met CALC : 3 min het minimum bepalen
minimum x = 5,1
e K = 24,90 miljoen

REACTIES

A.

A.

Bij sommige opgaven krijg je breuken als uitkomsten, maar dat wordt hierin niet weergegeven, bv het getal '4½' wordt weergegeven als '412'. Hiermee kunnen de gebruikers van dit werkstuk grote fouten meemaken. De verzender kon het ook invoeren als '4.5'.
Groeten, Afsana

18 jaar geleden

Log in om een reactie te plaatsen of maak een profiel aan.