uitwerking Havo NG/NT 2
Hoofdstuk 1 De afgeleide functie
1.1 Differentiaalquotient en raaklijn
1. a [DyDx ]AB = 1 --24-3 = 3
dit is de richtingscoëfficiënt van lijnstuk AB
b f(2,99) = - 2,0199
f(3,01) = - 1,9799
[DyDx ] [2,99;3,01] = -1,9799- -2,01993,01-2,99 = 0,040,02 = 2
Dit is de richtingscoëfficiënt in punt A
c f(3,99) = 0,9601
f(4,01) = 1.0401
[DyDx ]B = 1.0401 - 0,96014,01 - 3,99 = 0,080,02 = 4
d [DyDx ]C = -2.0199 - -1,97991,01 - 0,99 = -0,040,02 = -2
y = -2x + b door (1,-2) è -2 = -2·1 + b è b = 0
y = - 2x
2. f(x) = - 14 x2 + 3x - 5
a f(4,01) =3,009975
f(3,99) = 2,989975 è [DyDx ]4 = 3,009975-2,9899754,01-3,99 = 0,020,02 = 1
f(4) = 3 en y = x + b è 3 = 4 + b è b = -1
y = x - 1
b snijpunt y-as dus x = 0 f(0) = -5 f(-0.01) = -5,030025
f(0,01) = -4,970025
[DyDx ]0 = -4,970025- -5,0300250,01- -0,01 = 0,060,02 = 3
y = 3x + b -5 = 3· 0 + b è b = -5
y = 3x - 5
c snijpunt x-as dus y = 0
-14 x2 + 3x - 5 = 0 è x2 - 12 x + 20 = 0
(x -10)(x- 2) = 0
x = 10 Ú x = 2
f(2,01) = 0,019975
f(1,99) = -0,020025
[DyDx ]2 = 0,019975 - -0,0200252,01 - 1,99 = 0,040,02 = 2
y = 2x + b 0 = 2·2 + b è b = -4
y = 2x - 4
vanwege symmetrie raaktlijn in (10,0)
y = -2x + b 0 = -2·10 + b è b = 20
y = -2x + 20
3. g(x) = x-1x+1
a Punt A snijpunt x-as dus y = 0
x-1x+1 = 0 è x = 1 dus A (1,0)
raaklijn in punt A
g(0,99) = -0,005025
g(1,01) = 0,004975
[dydx ]x =1 = 0,004975- -0,0050250,02 = 0,010,02 = 12
y = 12 x + b punt A (1,0) invullen geeft
0 = 12 ·1 + b ==. b = - 12
y = 12 x - 12
b Punt B snijpunt y-as dus x = 0
y = 0-10+1 = -1 Punt B (0,-1)
f(-0,01) = -1,02020
f(0,01) = 0.98020
[dydx ]x =0 = -0,98020- -1,020200,02 = 0,040,02 = 2
y = 2x + b punt B (0,-1) invullen
-1 = b
y = 2x - 1
4. T = 37 + 32t + 1
a T(1,99) = 37,602
T(2,01) = 37,598
[dTdt ]t =2 = 37,598 - 37,6020,02 = -0,0040,02 = -0,2
dus afname van 0,2 graad per uur
b T(2,99) = 37,429799
T(3,01) = 37,427350
[dTdt ]t =3 = 37,427350 - 37,4297990,02 = - 0,0024490,02 = - 0,122
T(3) = 37,429
T = -0,122t + b punt (3;37,429) invullen geeft
37,429 = -0,122·3 + b è b = 37,429 + 0,366 = 37,795
T = -0,15t + 37,9
T = 37 è 37 = -0,122t + 37,795
0,122t = 37,795 -37 = 0,795
t = 0,7950,122 = 6,5
5. D = 0,003t3 - 0,12t2 + 0,057t
a Bepaal snijpunt t-as
t = 39,5
dus de onderzeeër is 39,5 minuten
onder water
b [dDdt ]t =10 = D(10,01) - D(9,99)10,01 -9,99
[dDdt ]t =10 = -8,44443 - -8,415570,02 = -0,028860,02 » -1,44
De boot daalt met een snelheid van 1,44 m per minuut
c Diepste punt bepalen met CALC: 3 Min
minimum t= 26,4 5 minuten later dus 31,4
[dDdt ]t =31,4 = D(31,39) - D(31,41)-0,02 = -23,6619 - -23,6340-0,02 »-1,40
D = 1,40t + b
D(31,4) = -23,65 invullen geeft
-23,65 = 1,40·31,4 + b
b = -43,96 - 23,65 = -67.61
D = 1,4t - 67,61
boven water D = 0
0 = 1,4t - 67,61
1,4t = 67,61 à t = 67,611,4 = 48,29 minuten
6. f(x) = x2 -4x
a
b lijn k raakt grafiek in A met xA = 3
[dydx ]x =3 = f(3,01) - f(2,99)3,01 -2,99 = -2,9799 - -3,01990,02 = 0,040,02 = 2
f(3) = 32 - 4·3 = -3
y = 2x + B punt A invullen geeft
-3 = 2·3 + b è b = -3 - 6 = -9
y = 2x - 9
c lijn l raakt in O(0,0)
[dydx ]x = 0 = f(0,01) -f(-0,01)0,02 = -0,0399 - 0,04010,02 = -0,080,02 = -4
y = -4x (b= 0 want door (0,0))
7. f(x) = 0,2x4 - x3 +2x + 2
a Bereken met behulp van CALC : 6 : dydx -2 ENTER
[dydx ]x = -2 = -16,4
b raaklijn k door xA = 4
Met DRAW : 5 TANGENT 4 ENTER geeft
y = 5,2x - 23,6
c snijpunt y-as dus x = 0
Met DRAW : 5 TANGENT 0 ENTER geeft
y = 2x + 2
8. g(x) = x + 4x
a lijn k raakt g in punt A met xA = -3
Met DRAW : 5 Tangent-3 ENTER geeft
k : y = 0,556x - 2,667
Met DRAW : 5 Tangent 1 ENTER geeft
l : y = -3x + 8
b
c functies gelijk stellen
0,556x - 2,667 = -3x + 8
3,556x = 10,667
x = 10,6673,556 = 3 invullen in l geeft
y = -3 · 3 + 8 = -1
P(3,-1) of met GR
9. f(x) = 4 -4x21 + x2 Voer in GR (4 - 4x2)/(1 + x2)
a Met DRAW : 5 Tangent -2 ENTER geeft
y = 1,28x +0,16
Snijpunt met GR bepalen door lijn in GR in te voeren en met CALC :5 Intersect
B(0,75;1,12)
10. f(x) = x3 +4x2 - 0,5x -5
a Met DRAW : 5 Tangent -2,5 ENTER geeft
y = -1,75 + 1,25
b B(1;-0,5) Met GR
c Bepaal x-coördinaat van P en R met GR
(Met optie 2 ZERO in CAlC menu)
P (-3,78;0) en R(1,05;0)
Bepaal met CALC : 6 dydx de rc
P rc = 12,13
R rc = 11,21 dus raaklijnen niet evenwijdig
11. F = 200t2 + 1200t +4504t2 + 9
a Venster [0,15]×[0,160]
b Bepaal met CALC : 4 Max de top
Max (1,5;150)
Dus 1,5 min inspanning en hartslag
maximaal 150
c [dFdt ]t = 1 = 35,5
dus de hartslag neem met 35,5 stagen per minuut toe
d F = 120 dan is t = 3,67
3,67 · 60 = 220 seconden top op 90 seconden dus na 130 seconden
afname = 14 slagen per minuut (met CALC 6 dydx 3,67 ENTER)
12. a Differentiequotiënt = gemiddelde verandering
Differentiaalquotiënt = verandersnelheid op één moment
b Ja dit is mogelijk
Als de functie stijgend is en A en voor B gaat dalen de y-waarde van punt B moet kleiner zijn dan de y-waarde van punt A
1.2 De afgeleide functie
13. a [dydx ]x =-1 = 0 want de grafiek loopt horizontaal dus rc = 0
b voor x = 4
c [dydx ]x =-2 > 0 want de lijn stijgt dus positieve rc
d [dydx ]x =1 < 0 want dalende lijn
[dydx ]x =5 > 0 want stijgende lijn
[dydx ]x =-3> [dydx ]x =-2 de stijging wordt kleiner
e
14. ja, de hoogte is niet bekend, alleen het verloop
15. f hoort bij B ( steeds een stijgende lijn dus afgeleide altijd positief)
g hoort bij D (eerst daling dus f ' negatief dan stijging dus f ' wordt positief)
h hoort bij A (grafiek heeft twee toppen dus f ' heeft 2 nulpunten)
k hoort bij C (grafiek heeft 3 toppen dus f ' heeft 3 nulpunten)
16. a
b
17. a b
18. *
19. a f '(0) = [dydx ]x =0 = 3
b
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f '(x) -12 -5 0 3 4 3 0 -5 -12
c
20. a Venster [-4,10]×[-8,8]
b f '(-2) = -7,2 (kan ook via table )
21. a
b g '(-1) = - 4,64
c g '(2) = 3,625
22. a
b De drie afgeleide functies vallen samen. Dit komt omdat de drie functies als enige verschil
hebben de hoogte van de grafiek. Het verloop is steeds hetzelfde.
23. a
b twee punten (-2,0) en (2,4)
y = ax + b a = DyDx = 2 - - 24 - 0 = 1 y = x + b punt (-2,0)
0 = - 2 + b dus b = 2
y = x + 2
24. a
b twee punten (0,4) en (2,0)
y = ax + b
a = DyDx = 0 - 42 - 0 = - 2
y = - 2x + b (0,4) è 4 = b
y = - 2x + 4
25. *
26. f(x) = 3x - 4
a f '(x) = 3 f '(x) = rc = 3
27. a f '(x) = 2
b f '(x) = 12
c f '(x) = - 0,35
d f '(x) = 320
28. a f(x) = 5x2 -7x + 5 f '(x) = 10x -7
b g(x) = - 212 x2 +4x + 3 g '(x) = -5x + 4
c h(x) = 0,02x2 + 1,7x h '(x) = 0,04x +1,7
d k(x) = (2x - 7)(8 + x)
k(x) =16x +2x2 - 56 - 7x = 2x2 + 9x - 56 k '(x) = 4x + 9
29. a f(x) = 7x + 10 f '(x) = 7
b g(p) = - 12p2 + 30p g '(p) = - 24p + 30
c V(t) = 100 - (t2 - 6t) = 100 -t2 + 6t V '(t) = -2t + 6
d K(q) = - 0,01q2 + 20q K '(q) = -0,02q + 20
31. a b
32. a Bij de top van de grafiek is de afgeleide gelijk aan 0 en g gaat niet door dit punt
b
33. a Venster [-10,10]×[-10,10] Venster [-5, 5]×[-5,5]
b f '(x) = x2
c g '(x) = 12 (x-2)(x+2)
34. a combinatie van regel 1 en 2
b combinatie van alle drie de regels
35. a Doordat er staat h(x) de x staat tussen haakjes
b de variabele is a f '(a) = 12a2
c de variabele is b g '(b) = 2b
36. f(x) = 5x4 - 3x3 + 2x f '(x) = 20x3 - 9x2 + 2
g(x) = -2x7 -3x5 + 3,4 f '(x) = - 14x6 - 15x2
h(t) = - 13 t3 + 612 t2 -12 h '(t) = - t2 + 13t
k(q) = 1 + q +12 q2 + 16 q3 k '(q) = 1 + q + 12 q2
37. f(x) = (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1) = 4x2 + 2x + 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1 f '(x) = 8x + 4
g(x) = (3x-2)(x2 +2x) = 3x3 + 6x2 - 2x2 - 4x = 3x3 + 4x2 -4x g '(x) = 9x3 + 8x - 4
h(x) = 3px8 - p2x4 h '(x) = 24px7 - 8p2x3
k(x) = x3 + a3 k '(x) = 3x2
38. f(x) = x3 - x2 + 2x - 4
a f(1) = 13 - 12 + 2·1 - 4 = -2
b f '(x) = 3x2 - 2x + 2
c f '(1) = 3·12 - 2·1 + 2 = 3
d k : y = 3x + b punt (1,-2) è -2 = 3·1 + b è b = -5
k : y = 3x - 5
e *
39. f(x) = x3 -x2 - x -1
a f '(x) = 3x2 -2x -1
f '(2) = 3·22 - 2·2 - 1 = 7
y = 7x + b punt (2,1) 1 = 7·2 + b è b = -13
y = 7x - 13
b snijpunt y-as dus x= 0 b (0,-1)
f '(0) = -1
y = -x + b (0,-1) è -1 = b
y = -x - 1
40. h(x) = -x2 + 5x - 4
lijn k rck = 2
a h '(x) = -2x + 5
b -2xA + 5 = 2 è 2xA = 3 è xA = 1,5
h(1,5) = - 1,52 + 5·1,5 - 4 = 1,25 è xB = 1,25
c -2x +5 = -1 è 2x = 6 è x = 3
h(3) = -32 + 5·3 - 4 = 2 è (3,2)
d horizontale raaklijn dus rc = 0
-2x + 5 = 0 è 2x = 5 è x = 2,5
h(2,5) = - 2,52 + 5·2,5 - 4 = 2,25 è B(2,5;2,25)
41. f(x0 = x2 - 4x
a f '(x) = 2x - 4
rck = 2 è 2xP -4 = 2 2xP = 6 xP = 3
f(3) = 32 -4·3 = -3 yP = -3
b k : y = 2x + b door (3,-3) -3 = 3·3 + b b = -9
k : y = 2x - 9
42. f(x) = -13 x3 +x2 +1
a f(3) = -13 ·33 +32 + 1 = 1
f '(x) = -x2 +2x
f '(3) = -32 + 2·3 = -3
y = -3x + b door punt A (3,1) 1 = -3·3 + b b = 10
l : y = -3x + 10
b nu moet ook gelden -x2 + 2x = -3 x2 -2x -3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x = 3 Ú x = -1
f(-1) = -13 (-1)3 + (-1)2 + 1 = 123 punt B (-1,213 )
y = -3x + b 213 = -3·-1 + b b = -23
m : y = -3x -23
43. f(x) = 13 x3 -x2 -2x + 5
a rc = 1 f '(x) = x2 -2x -2
f '(x) = 1 x2 - 2x - 2 = 1
x2 -2x -3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x = 3 Ú x = -1
f(-1) = 13 ·(-1)3 - (-1)2 -2·-1 + 5 = 523
y = x + b 523 = -1 + b b = 623
y = x + 623
f(3) = 13 ·33 - 32 -2·3 + 5 = -1
y = x + b -1 = 3 + b b = -4
y = x - 4
44. f(x) = 13 x3 - 12 x2 - 2x + 1
a f '(x) = x2 - x -2
raaklijn horizontaal dus rc = 0
x2 - x - 2 = 0
(x-2)(x+1) = 0
x = 2 Ú x = -1
f(2) = 13 ·23 - 12 ·22 - 2·2 + 1 = - 213 dus (2,-213 )
f(-1) = 13 ·(-1)3 - 12 ·(-1)2 - 2·-1 + 1 =216 dus (-1;216 )
b y = -213 en y = 216
45. A = t3 +2t2 +3t
a v = dAdt = 3t2 + 4t + 3
b t = 4 s v = 3·42 + 4·4 + 3= 67 m/s = 67 ·3,6 = 241,2 km/uur
c Na 5 s afgelegd A = 53 +2·52 +3·5 = 190 m
daarna snelheid constant
v (5) = 3·52 +4·5 + 3 = 98 m/s
hij moet met deze snelheid nog 1000 - 190 = 810 m afleggen
v = At è t = Av = 81098 = 8,3 s
dus 8,3 + 5 = 13,3 s na de start heeft hij 1 km afgelegd.
46. g(x) = (x2 -1)(x - 4) = x3 - 4x2 - x + 4
a g '(x) = 3x2 - 8x - 1
b g(2) = 23 - 4·22 -2 + 4 = - 6
g '(2) = 3·22 - 8·2 - 1 = - 5
y = -5x + b (2,-6) - 6 = -5·2 + b b = 6
y = - 5x + 6
c rc = 10 è 3x2 - 8x -1 = 10 è 3x2 - 8x -11 = 0
D = b2 - 4ac = (-8)2 - 4·3·-11 = 196 = 142
x = -b ± ÖD2a dus x = 8 + 142.3 = 323 Ú x = 8 - 142.3 = -1
f(323 ) = -4427
y = 10x + b - 4427 = 10 · 323 + b
- 11227 = 99027 + b b = - 110227 = -40 2227
y = 10x - 402227
f(-1) = 0
y = 10x + b 0 = 10·-1 + b b = 10
y = 10x +10
47. x = 23 t3 - 9t2 + 42t
a v = dxdt = 2t2 - 18t + 42
b v = 0 2t2 - 18t + 42 = 0
D = 182 - 4·2·42 = 324 - 336 = -12 < 0 dus geen oplossing
dus de snelheid wordt niet 0
x(8) = 23 ·83 - 9·82 + 42·8 = 10113
v(8) = 26
x = v·t = 26·7 = 182
afgelegde weg = 10113 + 182 = 28313 m
48. a Elke richting komt maar één keer voor.
b f '(x) is een tweede graadsfunctie deze kan 2 oplossingen (D > 0), 1 oplossing (D = 0)
of geen oplossing hebben (D < 0)
c
e
1.4 Extreme waarden
49. f(x) = 16 x3 - 14 x2 -3x + 2
a maximum f(-2) = 5,67
minimum f(3) = -4,75
b f '(x) = 12 x2 - 12 x - 3
extreme waarden raaklijn horizontaal dus f '(x) = 0
12 x2 - 12 x - 3 = 0
x2 - x - 6 = 0
(x-3)(x+2) = 0
x = 3 Ú x = -2
f(3) = -434 minimum
f(-2) = 523 maximum
50. a f(x) = 13 x3 + 312 x2 + 10x + 5 f '(x) = x2 + 7x + 10
extreme waarden dus f '(x) = 0
x2 + 7x + 10 = 0
(x+5)(x+2) = 0 è x = -5 Ú x = -2
f(-5) = 56
f(-2) = -323
b g(x) = -16 x3 - 18 x2 + 334 x + 3 g '(x) = -12 x2 -14 x + 334
g '(x) = 0
-12 x2 -14 x + 334 = 0
-2x2 - x + 15 = 0 D = (-1)2 - 4·-2·15 = 112
x = 1 + 112·-2 = -3 Ú x = 1 -112.-2 = 2,5
g(-3) = -478
g(2,5) = 89596
51. y = 37 x2 -4x + 4 y ' = 67 x -4 y '= 0 è 67 x = 4 è x = 4·76 = 423
invullen in verg. geeft y = -513 top (423 , -513 )
52. f(x) = ax2 + bx + c
a f '(x) = 2ax + b
b f '(x) = 0 è 2ax + b = 0 è 2ax = -b è x = - b2a
53. a y = x2 -4x + 5 f '(x) = 2x - 4 of x = - b2a = - -42 = 2
top geldt f '(x) = 0 è 2x - 4 = 0 è 2x = 4 è x = 2
waarde invullen in functie geeft y-waarde y= 22 - 4·2 + 5 = 1
top (2,1)
b y = -x2-6x + 1 f '(x) = -2x - 6 of x = - b2a = - -6-2 = -3
f '(x) = 0 è -2x -6 = 0 è 2x = -6 è x = -3
y = - (-3)2 - 6 · -3 + 1 = 10
top ( -3,10)
c y = 12 x2 - x + 6 f '(x) = x - 1 of x = - b2a = - -11 = 1
f '(x) = 0 è x - 1 = 0 è x = 1
y = 12 · 1 - 1 + 6 = 512
top (1,512 )
d y = - 14 x2 + 2x f '(x) = -12 x + 2 of x = - b2a = - 2- 0,5 = 4
f '(x) = 0 è -12 x + 2 = 0 è 12 x = 2 è x = 4
y = - 14 .42 + 2 · 4 = 4
top (4,4)
54. a f(x) = 2x2 -2x -1 f '(x) = 4x -2
f '(x) = 0 è 4x = 2 è x = 12
f(12 ) = - 112 top (12 ;-112 )
dalparabool dus Bf = [-112 ,®ñ
b g(x) = - 12 x2 + 5x + 3 g '(x) = -x + 5
g '(x) = 0 è x = 5
g (5) = 1512 top (5,1512 )
bergparabool dus Bg = á; 1512 ]
55. M = - 0,001306v2 + 0,254v - 10,02
a gunstig brandstof verbruikt dus minimum zoeken
M ' = -0,002612v + 0,254
top M ' = 0 è -0,002612 v + 0,254 = 0 è 0,002612v = 0,254 è v = 0,2540,002612 = 97,2
dus bij een snelheid van 97,2 mijl per uur
b M = - 0,001306 · 97.22 + 0,254 · 97,2 - 10,02 = 2,32 mijl per liter brandstof
dus aantal liter is 36102,33 = 1549 liter
56. f(x) = -x3 +6x2 + 2434 x - 100
a f '(x) = -3x2 +12x + 2434
f '(x) = 0 è -3x2 + 12x + 2434 = 0 è -x2 + 4x + 814 = 0
D = b2 - 4ac = 42 - 4·-1·814 = 16 + 33 = 49 = 72
x = -b ± ÖD2a dus x = -4 +7-2 =- 112 of x = -4 -7-2 = 512
min f(-112 ) = - 12014
max f(512 ) = 5114
b -12014 < p 5114
57. f(x) = x3 - 3x2 + 6x - 4
a f '(x) = 3x2 - 6x + 6
extreme waarden f '(x) = 0 è 3x2 - 6x + 6 = 0 è x2 - 2x + 2 = 0
D = b2 - 4ac = (-2)2 - 4· 1 · 2 = 4 - 8 = - 4 D < 0 dus geen oplossing
dus geen extreme waarden
b punt A snijpunt y-as dus x = 0
f(0) = - 4
f '(0) = 6 raaklijn k : y = 6x + b
punt (0,-4) -4 = b
k : y = 6x - 4
snijpunt met grafiek y waarden gelijk stellen
6x - 4 = x3 -3x2 +6x - 4 è x3 - 3x2 = 0 è x2(x - 3) = 0 è x = 0 Ú x = 3
x = 0 is het raakpunt en x = 3 is het snijpunt
f(3) = 14
A (3,14)
58. f(x) = 13 x3 +px2 +5x
a p = -3 f(x) = 13 x3 - 3x2 + 5x
b p = -2
p = 2
p = 3
c Bij positieve waarden van p 2 toppen bij negatieve waarden van p geen toppen
d Voor p = -4 dus geen extreme waarden
e p = -1 geen
p = 1 2 extremen
p = 4 2 extremen
59.
D > 0 D = 0 D < 0
60. fp(x) = 2x2 - 6x + p
a p = -4 p = 1 p = 6
b Raakt x-as als D = 0
D = (-6)2 - 4 · 2 · p = 0
36 -8p = 0 è 8p = 36
p = 412
c voor p < 412
61. a fp(x) = -12 x2 - 5x + p
top op de x-as dus 1 opl dus D = 0
D = (-5)2 - 4 · -12 · p = 0
2p = -25 è p = -1212
b voor p < -1212
c door punt (-4,18) invullen geeft
-12 (-4)2 - 5 ·-4 + p = 18 è p = 6
62. fp(x) = 3x2 +px + 3
a top x-as dus D = 0
D = p2 - 4·3·3 = 0 è p2 = 36
è p = -6 Ú p = 6
b p < -6 Ú p > 6
c door (2,6)
6 = 3·22 + p·2 + 3 è 2p = -9 è p = - 412
d snijpunt dus functies gelijk stellen
3x2 + 2x + 3 = 3x2 + 9x + 3 è 2x = 9x è x = 0 f(0) = 3
punt (0,3)
63. fp(x) = -13 x3 - 112 x2 + px + 5
a f-3
f0
f3
b fp'(x) = -x2 - 3x + p extreme waarden f '(x) = 0
-x2 - 3x + p = 0
twee oplossing als D > 0
D = b2 - 4ax = (-3)2 - 4·-1·p > 0
9 + 4p > 0 è 4p > -9 è p > -214
64. fp(x) = 14 x3 +px2 +3x + 1
fp '(x) = 34 x2 + 2px + 3 = 0
geen oplossing dus D < 0
D = (2p)2 - 4 · 34 · 3 < 0
4p2 < 9
p2 < 94
-32 < p < 32
65. fp (x) = - 14 x2 + px - 6
a f '-2 (x) = - 12 x - 2 = 0 x = -4
f-2 (-4) = -2
b f 'p (x) = -12 x +p f '(x) = 0 x = 2p
f(2p) = -14 (2p)2 + p·2p - 6 = -p2 + 2p2 - 6 = p2 - 6 > 0
grenzen p2 = 6 p = - Ö6 Ú p = Ö6
voor p = 0 maximum f(0) = -6 dus negatief dus buiten de grenzen positief
dus positief maximum voor p < - Ö6 Ú p > Ö6
c xtop = 2p en ytop = p2 - 6
d y = 10 dus ytop = p2 - 6 = 10 è p2 = 16 dus p = - 4 Ú p = 4
e y = 2x- 3
p2 - 6 = 2·2p - 3 è p2 - 4p -3 = 0 oplossen met ABC formule
D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 ·1 · -3 = 16 + 12 = 28
x = 4 + Ö282 Ú x = 4 -Ö282
66. fp (x) = 112 x3 +x2 + px + 7
a f3 (x) = 112 x3 + x2 + 3x + 7
f '3 (x) = 14 x2 + 2x + 3 = 0
x2 + 8x + 12 = 0
(x+ 2)(x + 6) = 0
x = -2 Ú x = -6
f3(-6) = 7
f3 (-2) = 414
b f 'p (x) = 14 x2 + 2x + p = 0
D = b2 - 4ac = 22 - 4 · 14 · p
D > 0 dan twee oplossingen
4 - p > 0 è p < 4
c Derde graadvergelijking heeft geen top als de afgeleide maar één oplossing heeft
Dus D = 0 è p = 4
67. a
f '(x) wordt nooit negatief dus geen top
b fp (x) = px3 +3x2 - 2x + 1
fp'(x) = 3px2 +6x - 2
fp'(x) = 0 3px2 + 6x -2 = 0
een oplossing dan D = 0
D = 62 - 4 ·3p·-2 = 36 +24p
24p = -36 è p = -3624 = - 32
x = -b2a =-62 · -4,5 = 23 y = -32 (23 )3 + 3 (23 )2 - 2 · 23 + 1 = 59
dus A(23 ; 59 )
1.5 Optimaliseren
68. a x = 2 è CB = 18 - 2 · 2 = 14
O = 2 · 14 = 28 m2
b x = 5 è CB = 18 - 2 · 5 = 8
O = 5 · 8 = 40 m2
c AB + BC + CD = 18 AB = x en CD = x
x + BC + x = 18 è BC = 18 - 2x
O = AB · CD = x (18 - 2x ) = 18x - 2x2
d 36 = 18x - 2x2
2x2 - 18x + 36 = 0
x2 - 9x +18 = 0
(x - 3)(x - 6) = 0
x = 3 Ú x = 6 x = 3 è BC = 18 - 2·3 = 12 en x = 6 è BC = 18 - 2·6 = 6
dus 3 bij 12 en 6 bij 6
e maximum dus O ' (x) = 0 of met GR maximum bepalen
O '(x) = 18 - 4x = 0 è 4x = 18 è x = 412 BC = 18 - 2·412 = 9
dus afmetingen 412 bij 9
69. 2 · AB + 4x = 400 è AB = 400-4x2 = 200 - 2x
O = AB · AD = (200 -2x) x = 200x - 2x2
oppervlak maximaal dus O '(x) = 0 of met GR maximum bepalen
O '(x) = 200 - 4x = 0 è 4x = 200 x = 50 AB = 200 - 2 · 50 = 100
dus afmetingen 50 bij 100
70. Stel onbekende zijde is a
x + a + x + 12 + a = 100 è 2a = 100 - 12 - 2x
a = 44 - x
O = (44- x)(12 + x) = 528 + 32x - x2
O '(x) = 32 -2x = 0 è 2x = 32 è x = 16 of met GR maximum bepalen
dus O = (44 - 16)(12 + 16) = 28 · 28= 784 m2
71. O = x (25 - 2x) = 25x - 2x2
O ' = 25 -4x = 0 of met GR maximum bepalen
è 4x = 25 è x = 6,25 onbekende zijde = 25 - 2·6,25 = 12,5
dus 6,25 bij 12,5
72. Stel korte zijde x lange zijde y
omtrek 2x + 2y = 50 è y = 25 - x
Als I maximaal is dan moet O maximaal zijn dus O ' = 0
O = x(25 - x) = 25x - x2
O ' = 25 -2x = 0 è x = 12,5 è y = 12,5 of met GR maximum bepalen
dus 12,5 bij 12,5
73. a 4y + 2pr = 60 è 4y = 60 - 2pr è y = 15 -12 pr
b O = y2 + pr2 = (15 - 12 pr)2 + pr2
c Rond of dus met GR
Venster [0,10]×[0,300]
Met CALC : 3 min bepalen
r » 4,2 cm
y » 15 -12 p·4,2 » 8,4
d maximaal voor y = 0 (cirkel grootste opp)
15 = 12 pr è r = 30p » 9,5
74. a x = 6 è korte zijde 20 - 2 · 6 = 8
lange zijde 30 - 2·6 = 18
I = 6 · 8 · 18 = 864 m3
b x = 2 è I =2 (20 - 2·2)(30 -2·3) = 2 · 16 · 26 = 832 m3
x = 3 è I = 3(20 - 2·3)(30 -2·3) =3 · 14 · 24 = 1008 m3
c I =hoogte · korte zijde . lange zijde = x(20 -2x)(30 -2x)
d met GR maximum bepalen geeft x = 3,9
dus vierkantjes 3,8 × 3,9
75. a I = x(50 -2x)(30 - 2x)
0 < x < 15 (korte zijde dubbel geeft x = 15)
b Venster [0,15]×[0,4500] kijk in TABLE wat de hoogste waarde van I is tussen 0 en 15
c bepaal met CALC : 4 max het maximum
x = 6,1 m en I = 4104 cm3
e I = 3000
voer lijn I = 3000 in en bepaal beide snijpunten met CALC : 5 intersect
1e snijpunt x = 2,6 cm dus 2,6 bij 24,8 bij 44,8
2e snijpunt x = 10 dus 10 bij 10 bij 30
76. Voer in GR I = x (29,7 -2x)(21,0 -2x)
bepaal maximum met CALC : 4 max
x = 4,0 en I = 1128
dus maximale inhoud = 1128 cm3
77. f(x) = Ö(x + 4)
a xp = p yp = Ö(p+4)
b O2 =xp2 + yp2 = p2 + p + 4
O = Ö(p2 + p + 4)
c Bepaal met GR minimum
x = -0,50 y = 1,94 dus P(-0,50;1,94)
78. a AC = Ö(32 + 42) = Ö25 = 5
K = 5 · 2 + 3 · 3 = 16 miljoen
b AE = Ö(62 + 42) = Ö52 =
AD = DE = 0,5Ö52
traject II K = 0,5Ö52 · 2 + 0,5Ö52 · 3 = 2,5Ö52 = 18,028 miljoen
EB = Ö(32 + 42) = 5
traject III K = 3 · 2 + 5 · 3 = 21 miljoen
c AP = Ö( 32 + x2) = Ö(9 + x2)
kosten AP = 2·Ö(9 + x2)
PE = Ö (32 +(4-x)2)
kosten PE = 3Ö(25 -8x +x2)
totale kosten AE = 2Ö(9 + x2) + 3Ö(9 +(4 -x)2)
d voer formule in in GR en bepaal min met CALC : 3 min
x = 2 56 K = 17,871 miljoen gulden
79. AP = Ö(1002 + x2) Venster [0;800]×[1500,2500]
PB = Ö(1002 + (800-x)2)
totale afstand = AP + BP = 3Ö(10000 + x2) + 2Ö(10000 + (800 - x)2)
totale afstand minimaal dus formule in GR en minimum bepalen
x = 712 m
80. a om de afgeleide te kunnen bepalen
b omdat je dan niet meer de afgeleide naar x kunt bepalen
voor elke x geldt dan dat dIdx = 0
81. a Stel tweede zijde p
I = x (60 - 2x)(p - 2x) = 60px - 120x2 - 2px2 + 4px3 = 4x3 - 120x2 -2px2 + 60p
dIdx = 12x2 - 240x - 4px +60p
x = 8 è dIdx =768 - 1920 - 32p + 60p = 28p - 1152
dIdx = 0 è 28p = 1252 è p = 115228 = 41,14
afmetingen 8 bij 44 bij 25,1
I = 8850 m3
82. hoogte = x
korte zijde a è b = a -2x
lange zijde 2a è l = 2a -2x
a I = h · l · b = x (a - 2x )(2a - 2x) =x( 2a2 -2ax - 4ax + 4x2) = 2a2x - 6ax2 + 4x3
I = 4x3 - 6ax2 +2a2x
b dIdx = 12x2 - 12ax + 2a2
voor x = 10 è dIdx = 12.102 - 12·10a + 2a2 = 2a2 - 120a +1200
maximale inhoud als dIdx = 0 è 2a2 -120a +1200 = 0
è a2 -60a + 600 = 0 oplossen met ABC formule
D = b2 - 4ac = (-60)2 - 4 · 1 · 600 = 1200
a = -b ± ÖD2a dus a = 60 + Ö12002 » 47,3 of a = 60 - Ö12002 =12,7 kan niet geen 2× de hoogte
a » 47,3 en I » 20366 m3
83. a 4·4x + 4x + 4h = 12 è 4h = 12 - 20x è h = 3 - 5x
b I = h · l · b = (3 - 5x)· 4x · x = 12x2 - 20x3
I maximaal dan dIdx = 0 è 24x -60x2 = 0 è x(24 - 60x) = 0
x = 0 Ú x = 2460 = 0,4
I = 12 · 0,42 - 20 · 0,43 =0,64 m3
h = 3 - 5 · 0,4 = 1 m
84. a 4 · ax + 4x + 4h = 12 è 4h = 12 - 4ax -4x è h = 3 - ax - x
I = x · ax ·(3 -ax - x) = 3ax2 - a2x3 - ax3
b dIdx = 6ax - 3a2x2 - 3ax2 maximale inhoud bij x = 0,5 dus [ dIdx ]x= 0,5 = 0
dIdx = 3a - 34 a2 - 34 a = 214 a - 34 a2 = 0 è 14 a(9 -3a) = 0
dus a = 0(n.v.t) Ú a = 3 è I = 3·3·0,52 - 32·0,53 - 3·0,53 = 0,75
a = 3 en I = 0,75 m3
85. f(x) = x2 + 1
Stel punt P(xp;yp) ligt het dichtst bij A(1,0)
Stel xp = a è y = a2 + 1
Stel g(a) is afstand tot AP
g(a) = Ö(1 - a)2 + (a2 +1)2)
formule in GR invoeren en minimum bepalen
minimum a = 0,313
xp = 0,313 en yp = 0,3132 + 1 = 1.098
86. a Ja want dan geldt 4AD + 2x = 20 è AD = 20 -2x4 = 5 - 0,5x
hier kun je mee verder rekenen
b Ja want dan geldt 2h +x = 30 è h = 15 -0,5x
b = 20 - 2h = 20 - (30 -x) = x - 10 enzovoort
1.8 Gemengde opgaven
91. f(x) = 12 x3 +3x2 - 9x + 2
a f(-1) = 12 ·(-1)3 +3·(-1)2 - 9·-1 + 2 = 1312
f(5) = 12 ·53 +3·52 - 9·5 + 2 = 9412
DyDx = 816 = 1312
b [dydx ]x = 2 = f(2,01) -f(1,99)0,02 = 0,0906- -0,08940,02 = 9 of met GR CALC : 6 dydx 2 geeft dydx = 9
c helling punt B = [dydx ]x = 4 = 39 (met GR of uitrekenen)
d f '(x) = 32 x2 + 6x -9
f(-3) = 32 ·(-3)2 + 6 · -3 - 9 = -13,5
92. f(x) = 13 x3 - 12 x2 - 2x + 1
a snijpunt y-as f(0) = 1 dus A(0,1)
f '(x) = x2 - x - 2
f '(0) = -2
k : y = -2x + b door (0,1) è b = 1
k : y = -2x + 1
b raaklijn horizontaal dus f '(x) = 0
x2 - x -2 = 0
(x -2)(x+1) = 0
x = 2 Ú x = -1
f(2) = -213 dus (2,213 )
f(-1) = 216 dus (-1,216 )
c evenwijdig dus helling = 4
x2 - x -2 = 4
x2 -x - 6 = 0
(x-3)(x+2) = 0
x = 3 Ú x = -2
f(3) = -12 dus (3,-12 )
f(-2) = 13 dus (-2,13 )
93. f(x) = -x(2x -7) = -2x2 + 7x f '(x) = -4x + 7
g(x) = (x2 - 1 )(x - 1) = x3 - x2 - x + 1 g '(x) = 3x2 - 2x - 1
h(x) = x(3x +2)(3x +2) = 9x3 + 12x2 + 4x h '(x) = 27x2 + 24x + 4
k(x) = 4ax2 - a2x k '(x) = 8ax - a2
l(q) = 3p2 - 2pq + q3 l '(q) = -2p + 3q2
m(t) = 7 - t2 + 8t16 = 7 - 116 t2-+ 12 t m '(t) = - 18 t - 12
94. y =
a b
95. f(x) = x3 + 12 x2 + 45x + 17
a f '(x) = 3x2 + 24x + 45 = 0
è x2 + 8x + 15 = 0
(x + 5)(x + 3) = 0
x = -5 Ú x = -3
f(-5) = (-5)3 + 12 (-5)2 + 45 · -5 + 17 = -33
f(-3) = (-3)3 + 12 (-3)2 + 45 · -3 + 17 = -37
b 3 oplossingen als p tussen de toppen ligt dus -37 < p < -33
96. fp (x) = 12 x2 + px + 4
a p = -2
p = 0
p = 3
b top dus f '(x) = 0
f '(x) = x + p
f '(x) = 0 è x = -p
x -as dus f(-p) = 0
è 12 p2 - p2 + 4 = 0
12 p2 = 4 è p2 = 8
p = -2Ö2 Ú p = 2Ö2
c -2Ö2 < p < 2Ö2
d top x = -p
functie waarde is y =- 12 p2 + 4
top op lijn y = 2p + 112
gelijkstellen geeft
-12 p2 + 4 = 2p + 112
12 p2 +2p - 212 = 0
p2 + 4p - 5 = 0
(p + 5) (p - 1) = 0
p = -5 Ú p = 1
97. korte zijde is a
lange zijde is a + 10
hoogte x
a b = a - 2x
l = a + 10 - 2x è I = l·b·h = (a +10-2x)(a - 2x)x
h = x = a2x - 2ax2+10ax -20x2 - 2ax2 + 4x3
= 4x3 -4ax2 -20x2 +10ax +a2x
b dIdx = 12x2 - 8ax -40x + 10a + a2
maximale inhoud als x = 5
dIdx = 12 ·52 - 8 ·5a -40 · 5 + 10a + a2 = a2 -30a + 100 = 0
D = 302 - 4· 1·100 = 500
a = 30±Ö500 2 è a = 26,2 Ú a = 3,8 n.v.t.(kleiner dan de hoogte kan niet)
c b = 16,2
l = 26,2 è I = 16,2·26,2·5 = 2122 cm3
h = 5
98. s = 40
vmax = 100 km/u = 2779 m/s
s = 12 gt2 è 40 = 12 9,81t2 è t2 = 809,81 = 8,15 è t = 2,86
v = dsdt = gt dus na 2,86 s is v = 9,81·2,86= 28,0 m/s » 100 km/u
99. AC = 5 km BC = 20 km
aanlegkosten onder water 1,4 miljoen gulden
aanlegkosten over land 1 miljoen gulden
a AC = Ö(52 + 202) = Ö425
K = 1,4 · Ö425 = 28.86 miljoen
b K = 5·1,4 + 20 · 1,0 = 27 miljoen
c AD = Ö(52 + x2)
DB = 20 - x
K = AD·1,4 + DB · 1 = 1,4Ö(25 + x2) + 20 - x met K in miljoen guldens
d formule invoeren in GR en met CALC : 3 min het minimum bepalen
minimum x = 5,1
e K = 24,90 miljoen
REACTIES
1 seconde geleden
A.
A.
Bij sommige opgaven krijg je breuken als uitkomsten, maar dat wordt hierin niet weergegeven, bv het getal '4½' wordt weergegeven als '412'. Hiermee kunnen de gebruikers van dit werkstuk grote fouten meemaken. De verzender kon het ook invoeren als '4.5'.
Groeten, Afsana
18 jaar geleden
Antwoorden