Lineaire modellen

Ten eerste leek het ons een leuke opdracht waar je veel mee kon leren. In eerste instantie zou Dion en Jeroen samen gaan werken. Maar omdat Kirthy geen groepje had, kwam ze bij ons er bij. Omdat Jeroen al had “doorgewerkt” op de een of andere reden, had hij al opgave 1 t/m 7 gemaakt van deel 2. Uiteindelijk werd dit dus de taakverdeling:

Kirthy:
Van deel 1: opgave 2, 3 en 5.
Van deel 2: opgave 8.

Jeroen:
Van deel 1: opgave 6.
Van deel 2: opgave 1 t/m 7

Dion:
Van deel 1: opgave 1, 4, 7 en 8.
Van deel 2: geen opgaves.
Het werkstuk in elkaar zetten + voorwoord/nawoord

Opgave I. 1

a. Teken de grafiek van de lijn l: y = 2x - 1 (met x van 0 tot 10)

Dit is de tabel van lijn l: y = 2x – 1:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

b. Teken in dezelfde figuur de grafiek van de lijn m: y = -x + 2 (met x van 0 tot 10)

Dit is de tabel van lijn l: y = -x + 2:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Nu we beide tabellen hebben gemaakt, maken we de grafiek daarvan:

c. Voer beide grafieken ook in op je GR en plot deze. Geef tevens aan in welk venster je hebt gewerkt.

We hebben in het volgende venster gewerkt:

Xmin: 0
Xmax: 20
Xscale: 2
Ymin: -10
Ymax: 20
Yscale: 2

d. Bepaal vervolgens de coördinaten van het snijpunt van beide grafieken. Geef aan hoe je gebruik hebt gemaakt van de GR.

F5 (=à “SHIFT” àGrafieken geplot F5 (= ISCT).àG-SLV)
Coördinaten van snijpunt zijn: x=1 en y= 1 = ( 1; 1).

e. Bereken met behulp van een lineaire vergelijking de coördinaten van het snijpunt.

De x: 2x - 1 = -x + 2 De y : 1 invullen :
3x = 3 2x – 1 =
X = 3 : 3 = 1 2 x 1 -1 =
2 – 1 = 1

Coördinaten : (1; 1)

Opgave I. 2

a. Maak bij beide formules een tabel.

Kaars 1: L = 12 – 1,5t :

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 12 10,5 9 7,5 6 4,5 3 1,5 0

Kaars 2: L = 9 – 0,75t :

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 9 8,25 7,5 6,75 6 5,25 4,5 3,75 3 2,25 1,5 0,75 0

b. Plot de grafieken van beide formules in één rooster. Denk na over de eenheden.

Xmin: 0 Ymin: 0
Xmax:12 Ymax: 12
Xscale: 1 Yscale: 1

Horizontale as: t (tijd in uren). Verticale as: L (lengte in cm)

c. Bereken met de GR hoe laat beide kaarsen even lang zijn

F5 (ISCT)àSHIFT + F5 (= G-SLV)
Beide kaarsen zijn even lang na 4 uur. Dat is:
9:00 uur + 4:00 uur = 13:00 uur.

d. Bereken met een lineaire vergelijking hoe laat beide kaarsen even lang zijn.

t = 12 – 1,5t = 9 – 0,75t
3 = 0,75t
t = 3 : 0,75 = 4 uur. Dat is 9:00 uur + 4:00 uur = 13:00 uur.

e. Hoe lang zijn beide kaarsen op het moment dat ze even lang zijn?

F5 (ISCT)àSHIFT + F5 (G-SLV)
De kaarsen zijn op dat moment allebei 6 cm lang.

f. Hoeveel cm is het lengteverschil tussen de kaarsen om 10:30 uur?

Om 10:30 uur zijn de kaarsen al 1½ aan. Om de lengte van beide kaarsen uit te rekenen, gebruiken we y-cal:

Bij kaars 1: 9,75 cm
Bij kaars 2: 7,88 cm

Dan is het verschil tussen beiden: 9,75 – 7,88 = 1,87 cm.

g. Hoe laat is kaars 2 opgebrand?

Nu gebruiken we x-cal met y = 0:
Dan is de kaars na 12 uur opgebrand.

h. Hoe lang is kaars 2 op het moment dat kaars 1 is opgebrand?

Nu gebruiken we x-cal met y = 0 om uit te rekenen wanneer kaars 1 uitgaat. Dat is na 8 uur. Op dat moment is kaars 2 nog 3 cm lang (uitgerekend door y-cal met x = 8).

Opgave I. 3

a. Geef de lineaire formule die hoort bij het bedrag (B) van Henk.

B = 0,03q + 10

b. Geef de lineaire formule die hoort bij het bedrag (B) van Anja.

B = 0,05q

c. Maak van beide formules een tabel met behulp van je GR.

Ik heb de tabel gemaakt met de volgende gegevens:

Start: 0
End: 1000
Pitch: 50

d. Plot van beide formules de grafiek in één figuur.

Xmin: 0 Ymin: 0
Xmax:1000 Ymax: 50
Xscale: 100 Yscale:5

e. Bereken bij welk aantal folders beiden evenveel verdienen.

0,03x + 10 = 0,05x
10 = 0,02x
X = 10 : 0,02 = 500 folders

f. In een bepaalde week brengen beide personen maar 750 folders rond.
1. Hoeveel euro verdient Anja meer dan Henk?
2. Hoeveel procent verdient Anja meer dan Henk?

1. Henk: 0,03x + 10 = 0,03x750 + 10 = € 32,50
Anja: 0,05x = 0,05 x 750 = € 37,50
€ 37,50 - €32,50 = € 5,-

2. 32,5 : 37,5 = 0,87 x 100% = 87%
100% - 87% = 13%

g. Vanaf welk aantal folders verdient Anja meer dan Henk? Geef een toelichting.

Boven de 500 folders, want we hebben bij e berekend dat ze bij 500 folders evenveel verdienen, dus verdient Anja meer boven de 500 folders.

Opgave I. 4

a. Stel een lineaire formule op die bij bovenstaande gegevens hoort. Noem Noud het aantal inwoners en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1990.

Noud = -200t + 6000

b. Plot de grafiek op je GR. (tip: maak eerst een tabel t/m 2010).

Xmin: 0 Ymin: 0
Xmax: 20 Ymax: 10000
Xscale:1 Yscale: 1000

c. Bereken hoeveel inwoners er in het oude gedeelte wonen op 1 juli 1996.

Juli is de 7e maand van het jaar, dus 1 juli is het 7/12 deel van het jaar. Nu ga ik naar y-cal met x = 6 7/12.
Dat geeft 4683,33 inwoners = 4684 inwoners

d. Stel een lineaire formule op die bij bovenstaande gegevens hoort. Noem Nnieuw het aantal inwoners en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1990.

Nnieuw = 250t + 4000

e. Plot de grafiek van Nnieuw in dezelfde tekening als bij vraag b (= Noud)

Xmin: 0 Ymin: 0
Xmax: 20 Ymax: 10000
Xscale:1 Yscale: 1000

f. Bepaal met behulp van de GR wanneer in beide gedeelten evenveel inwoners zijn (tip: denk aan ‘intersect’)

Door intersect ben ik te weten gekomen dat dat in: 4,4 jaar is.
0,4 jaar x 12 maanden = 4,8 maanden.
0,8 maanden x 30 dagen in april = 24 dagen.

Er wonen in beide gedeelten evenveel inwoners na 4 jaar, 4 maanden en 24 dagen. Dat is dan op de datum 24 april 1994.

g. Bereken met een lineaire vergelijking in welke maand van welk jaar er in het oude en nieuwe gedeelte evenveel inwoners zijn.

-200t + 6000 = 250t + 4000
2000 = 450t
T = 2000 : 450 = 4,4 jaar. Dat is in 1994.

0,4 x 12 maanden = 4,8 maanden. Dat is april.

Het antwoord is dus april 1994.

h. Stel een lineaire formule op van Ntotaal.

-200t + 6000 = 250t + 4000
2000 = 450 t
Ntotaal = 450t + 2000

i. In welke maand van welk jaar zijn er voor het eerst in totaal 10235 inwoners?

Ntotaal = 450t + 2000
10235 = 450t + 2000
8235 = 450t
T = 8235 : 450 = 18,3 jaar. Dat is al in ieder geval in 2008.

0,3 jaar x 12 maanden = 3,6 maanden. Dat is in maart.
Dus in maart 2008 zijn er voor het eerst 10235 inwoners.

Opgave I. 5

a. Vul de tabel in.

Waterverbruik x (in100ft ³) 6 12 20 24 30 36
Kosten K in dollars 7,32 14,64 94,64 134,64 434,64 734,64

b. In figuur G.15 zie je een globale grafiek van K. De grafiek bestaat uit drie stukken. Stel van elk stuk de bijbehorende formule op.

Voor het eerste deel: K = 1,22x voor x tussen 0 en 12.
Voor het tweede deel: K = 10x – 105,36 voor x tussen 12 en 24.
Voor het derde deel: K = 50x – 1065,36 voor x groter dan 24.

c. De familie Adams betaalde deze maand 100 dollar voor het waterverbruik. Hoeveel ft³ hebben ze verbruikt?

Eerst kijk ik welke tarief ik moet gebruiken. Daarvoor kijk ik naar de maximale prijs per tarief.

Eerste deel: K = 1,22 x 12 = $ 14,64
Tweede deel: K = 10 x 24 – 105,36 = $ 134,64
Derde deel: K = Altijd hoger dan deel 2.

Dus ik constateer dat de familie tarief 2 moet betalen:

K = 10x – 105,36
100 = 10x – 105,36
205,36 = 10x
X = 205,36 : 10 = 20,54

20,54 x 100 ft³ = 2054 ft³.

d. De familie Bodkin betaalde deze maand 350 dollar voor het water. Wat was voor deze familie het waterverbruik?

K = 50x – 1065,36
350 = 50x – 1065,36
1415,36 = 50x
X = 1415,36 : 50 = 28,31

28,31 x 100 ft³ = 2831 ft³.

e. Op welke wijze komt het ontmoedigingsbeleid van de autoriteiten in de grafiek te voorschijn?

De lijn gaat steeds meer stijgen.

Opgave I. 6

a. Is de schoenmaat evenredig met de lengte van een schoen?

Ja, want de eenheid blijft gelijk (namelijk, de meter en eenheden daarvan afgeleid)

b. Hoeveel mm (in gehelen) hoort bij schoenmaat 43?

6,67 x 43 = 287 mm

c. Vooral bij sportschoenen kom je het Engelse schoenmaatsysteem tegen. Is de Franse maat evenredig met de Engelse maat? Licht toe.

Nee, want als je kruislingse vermenigvuldiging toepast, dan komen deze uit op een foutieve uitkomst. In het geval van een evenredig verband zouden de uitkomsten van de kruislingse vermenigvuldiging wel correct moeten zijn.

d. Maak aannemelijk dat er een lineair verband bestaat tussen E en F en stel de formule van F op.

F = 1,25E + 32

e. Bereken de Franse maat afgerond op halven bij een Engelse maat van 9,5.
F = 1,25E + 32
F = 1,25 x 1,5 + 42 = 43,9 = afgerond 44

Opgave I. 7

a. Geef door lineair interpoleren een schatting van de hoeveelheid huishoudelijk afval per inwoner in 1993.

jaar 1990 1995
Aantal Kg 422 482

jaar 5 2
Aantal Kg 60 ???

60 x 2 = 24
5

Het percentage is dus 482 – 24 = 458 kg.

b. Geef door lineair extrapoleren een schatting van de hoeveelheid huishoudelijk afval per inwoner in het jaar 2010.

jaar 1995 2000
Aantal Kg 482 566

jaar 5 10
Aantal Kg 84 ???

84 x 10 = 168
5

Het percentage is dus 566 + 168 = 734 kg.

c. Met hoeveel procent is de totale hoeveelheid huishoudelijk afval in Nederland in de periode 1970-2000 toegenomen? Gebruik dat het aantal inwoners van Nederland in deze periode is toegenomen van 12,8 miljoen tot 15,9 miljoen.

Afval in kg in 1970: 12,8 miljoen x 281 kg = 3596,8 miljoen kg afval.
Afval in kg in 2000: 15,9 miljoen x 566 kg = 8999,4 miljoen kg afval.

8999,4 – 3596,8 x 100% = 150,2%
3596,8

Opgave I. 8

a. Bereken, uitgaande van deze lineaire groei, het aantal wachtenden om 9:45 uur.

455 – 271 = 184 meer wachtenden na 1 uur.
184 x ¾ = 138 wachtenden in drie kwartier.
Om 9:45 uur waren er dus: 455 + 138 = 593 wachtenden.

b. Hoe laat had deze persoon uiterlijk in de rij moeten gaan staan? Licht je antwoord toe met behulp van de figuur in het werkboek.

Op vrijdag en zaterdag waren er 960 kaartjes in de aanbieding. Dat komt overeen met: 960 = 240 wachtenden.
4

Als ik dat aflees in de grafiek in het werkboek, is dat ongeveer om 7:50 uur.

c. Verklaar de formule. Leg daarbij uit wat de betekenis is van elk van deze twee delen.

10 – t : Dit deel heeft te maken met het wachten tot de kassa’s open gingen.

1/100 At: Vanaf 10 uur duurt elke wachtende 1/100 uur.

Opgave II. 1

a. Bereken de gevraagde hoeveelheid bij een prijs van 25 eurocent.

Qv = -4P + 120
Qv = -4 x 25 + 120 = 20.
De gevraagde hoeveelheid is dus 20 miljoen.

b. Bereken bij welke prijs er 80 miljoen stuks worden gevraagd.

Qv = -4P + 120
80 = -4P + 120
4P = 40
P = 40/4 = 10
De prijs is dus bij 80 miljoen stuks € 0,10.

c. Bereken bij welke prijs de gevraagde hoeveelheid nul is.

Qv = -4P + 120
0 = -4P + 120
4P = 120
P = 120/4 = 30
Dus als de gevraagde hoeveelheid nul is, is de prijs € 0,30.

d. Teken de grafiek van bovenstaande vraagvergelijking.

Z.O.Z.


Opgave II. 2

a. Bereken de aangeboden hoeveelheid bij een prijs van 15 dubbeltjes.

Qa = 12P – 48
Qa = 12 x 15 – 48
Qa = 180 – 48 = 132 miljoen.
De aangeboden hoeveelheid is dus 132 miljoen.

b. Bereken de aangeboden hoeveelheid bij een prijs van € 2,-.

Qa = 12P – 48
Qa = 12 x 20 – 48
Qa = 240 – 48 = 192 miljoen.
De aangeboden hoeveelheid is dus 192 miljoen.

c. Bereken bij welke prijs de aangeboden hoeveelheid 120 miljoen stuks is.


Qa = 12P – 48
120 = 12P – 48
120 + 48 = 12P
168 = 12P
P = 168/12 = 14 dubbeltjes.
De prijs is bij 120 miljoen stuks 14 dubbeltjes (= €1,40).

Opgave II. 3

a. Bereken de evenwichtsprijs.

Qv = Qa
-2P + 15 = P – 3
-3P = -18
P = -18/-3 = 6 eurocenten.
De evenwichtsprijs is dus 6 eurocent (= €0,06).

b. Bereken de evenwichtshoeveelheid.

Ik vul P = 6 in zoals eerder berekend:
Qa = P – 3
Qa = 6 – 3 = 3 miljoen.
De evenwichtshoeveelheid is dus 3 miljoen stuks.

c. Teken de beide grafieken in één figuur.

Z.O.Z.

d. Plot de grafiek op je GR en controleer via intersect de antwoorden bij ‘a’ en ‘b’.

Grafieken zijn geplot. Dit is het V-Window scherm:
Xmin: 0 Ymin: 0
Xmax: 15 Ymax: 15
Xscale: 1 Yscale: 1

De antwoorden zijn gecontroleerd via intersect:
X = 6 Y = 3

De antwoorden bij vraag ‘a’ en ‘b’ waren dus correct bevonden.

Opgave II. 4

a. Hoe groot is de verkoopprijs?

TO = 8q
De verkoopprijs is dus €8,- per stuk.

b. Bereken de totale omzet indien er 52400 stuks worden verkocht.

TO = 8q
TO = 8 x 52400 = €419.200,- omzet.

c. Bereken hoeveel producten er verkocht moet worden om een omzet van €32.448,- te behalen.

TO = 8q
32.448 = 8q
Q = 32.448 : 8 = 4056 stuks.
Dus om een omzet van €32.448 te halen, moet je 4056 stuks verkopen.

d. Beschrijf hoe je deze vraag met je GR kunt berekenen.

Voer de formule in bij GRAPH met het volgende V-Window scherm:
Xmin: 0 Ymin: 0
Xmax: 10000 Ymax: 50000
Xscale: 500 Yscale: 2500

Daarna gebruik ik X-cal met y = 32.448. Dat geeft dan: x = 4056 stuks.

Opgave II. 5

a. Hoe groot zijn de gemiddelde variabele kosten?

TK = GVK x q + TCK
TK = 12q + 136.000
Dus de gemiddelde variabele kosten zijn €12,- per stuk.

b. Hoe groot zijn de constante kosten?

TK = GVK x q + TCK
TK = 12q + 136.000
Dus de constante kosten zijn €136.000,-

c. Bereken de totale kosten bij een productie van 75.000 stuks.

TK = 12q + 136.000
TK = 12 x 75.000 + 136.000
TK = 900.000 + 136.000 = €1.036.000,- aan totale kosten bij een productie van 75.000 stuks.

d. Werk dit ook uit op je GR met tabellen. Welke ‘startwaarde’, ‘eindwaarde’ en ‘stapgrootte’ heb je gebruikt.

Startwaarde: 0
Stapgrootte: 15.000
Eindwaarde: 75.000

Opgave II. 6

a. Hoeveel bedraagt de verkoopprijs?

TO = 8q
De verkoopprijs is dus €8,- per stuk.

b. Hoe groot zijn de gemiddelde variabele kosten?

TK = GVK x q + TCK
TK = 4q + 120.000
Dus de gemiddelde variabele kosten zijn €4,- per stuk.

c. Hoe groot zijn de totale constante kosten?

TK = GVK x q + TCK
TK = 4q + 120.000
Dus de constante kosten zijn €120.000,-

d. Bereken de break-evenafzet.

TO = TK
8q = 4q + 120.000
8q – 4q = 120.000
4q = 120.000
Q = 120.000 : 4 = 30.000 stuks.

e. Bereken bij welke afzet de totale opbrengsten €50.000,- groter zijn dan de totale kosten.

TO = TK
8q = 4q + 120.000
8q + 50.000 = 4q + 120.000
8q – 4q = 120.000 – 50.000
4q = 70.000
Q = 70.000 : 4 = 17.500 stuks.
Dus bij een afzet van 17.500 stuks of meer, heb je meer dan €50.000,- winst.

Opgave II. 7

a. Hoe groot is de verkoopprijs in euro’s per stuk?

TO = 0,8q
Maar TO is in miljoenen.
Dus: 0,8 x 1.000.000 = €800.000,-

b. Bereken de omzet bij een afzet van 10 miljoen stuks.

TO = 0,8q
TO = 0,8 x 10 = 8 miljoen
TO = €8.000.000,-

c. Bereken de totale kosten bij een productie van 10 miljoen stuks.

TK = 0,5q + 9,6
TK = 0,5 x 10 + 9,6
TK = 5 + 9,6 = 14,6 miljoen
TK = €14.600.000,-

d. Bereken de break-evenafzet.

TO = TK
0,8q = 0,5q + 9,6
0,8q – 0,5q = 9,6
0,3q = 9,6
Q = 9,6 : 0,3 = 32 stuks.

Opgave II. 8

a. Schrijf de formule op voor de totale opbrengst TO.

TO = 1,25q

b. Schrijf de formule op voor de totale kosten TK.

TK = 0,75q + 50.000

c. Plot in één figuur de grafieken van TO en TK. Neem de eenheden zo, dat het snijpunt zichtbaar is. Vermeldt de Xmin, Xmax, Ymin en Ymax.

Xmin: 0 Ymin: 0
Xmax: 150.000 Ymax: 200.000
Xscale: 7500 Yscale: 10.000

d. Bereken de coördinaten van het snijpunt met je GR.

Intersect brengt:
X = 100.000
Y = 125.000

e. Bereken de break-evenafzet.

TO = TK
1,25q = 0,75q + 50.000
1,25q – 0,75q = 50.000
0,5q = 50.000
Q = 50.000 : 0,5 = 100.000 stuks.

f. Hoe groot is de winst bij een productie van 500.000 stuks?

TO = 1,25q
TO = 1,25 x 500.000 = €625.000,-

TK = 0,75q + 50.000
TK = 0,75 x 500.000 + 50.000
TK = 375.000 + 50.000 = €425.000,-

Winst: 625.000 – 425.000 = €200.000,-



Nawoord

Ten eerste was het wel een leuke praktische opdrachten waar je je toch wat verder in moest verdiepen dan in de les. Maar al met al was het redelijk gemakkelijk. We hebben er toch veel tijd in besteed (ik schat in totaal 24 uur), maar we zijn tevreden over ons resultaat.

Maar er waren flink wat problemen: Kirthy heeft echt helemaal niks ingeleverd. Geen een woord. We hebben op het laatste moment ook alles voor haar moeten maken terwijl dat niet de bedoeling was. We hebben haar mailtjes gestuurd, en kregen niks terug. We hebben haar ook nooit gezien in de wiskundeles. En het mooiste is ook nog dat ze het minste hoefde te doen. En de laatste keer dat ik haar zag bij de les zei ze dat ze het afhad (dat was op een dinsdag in dezelfde week dat we het eerste deel van het practicum moesten inleveren), en ik heb niks gekregen.