Escher

Inleiding
In dit werkstuk gaan wij de wiskundige opbouw en vlakverdeling van een aantal van Escher’s kunstwerken analyseren. Het ‘ontleden’ van zijn werk, kijken hoe de kunstwerken opbouwt zijn en hoe ze te verdelen vallen in verschillende delen, waarvan de opbouw telkens weer aan wiskundige regels voldoet. Belangrijk hierbij is te vermelden dat we het alleen maar over zogenaamde ‘2D’ prenten hebben. Dus alleen maar over de vlakverdeling van de (delen van) werken waar geen diepte in zit. Dus kunstwerken zoals de afbeelding hiernaast hebben wij onbeschouwd gelaten. Met een vrij simpele reden: op het eerste gezicht hebben deze gebouwen en ‘landschaps’ prenten geen wiskundige opbouw, maar een basis hebben in de fantasie van de maker. Het zou dus moeilijk zijn om dit volgens wiskundige regels te ontleden. We hebben het dus ‘simpel’ gehouden en ons beperkt tot ‘2D’ afbeeldingen (waar wel bij vermeld moet worden dat sommige figuren uit vlakverdelingen opzich 3D zijn, maar in de vlakverdeling als het ware 2D zijn).
Dit onderwerp hebben wij gekozen wiskunde in kunst geen vanzelfsprekend onderdeel is. Daarbij komt dat de creaties van Escher door veel mensen als ontzagwekkend beschouwd worden. Zijn kunstwerken zijn over de hele wereld bekend en worden door veel mensen als inspiratiebron gebruikt. Kortom: M.C. Escher was en is een toonaangevende kunstenaar waarvan de kunst niet zo simpel lijkt als hij is.

Ons werkstuk is verdeeld in een aantal onderdelen. Deze onderdelen wordt een algemene uitleg gegeven over een aantal wiskundige regels, zonder dat we ze al toepassen op Eschers kunst. We hebben onze voorkennis verdeeld in de hoofdstukken ‘Vlakverdeling’ en ‘Symmetrie’. Aan het eind van deze twee hoofdstukken hebben we in het kort onze ‘nieuwe kennis’ toegepast op werken van Escher. Na deze twee hoofdstukken hebben we een grotere bespreking van een kunstwerk van Escher, waarbij meerdere wiskundige kanten belicht worden.

Biografie
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) is een van de meest beroemde grafici van de wereld. Zijn kunst wordt bewonderd door miljoenen mensen over de hele wereld, wat te zien is aan de vele website over hem op het internet.
Zijn beroemdheid heeft hij vooral te danken aan zijn zogenaamde onmogelijke tekeningen, waarbij hij bijvoorbeeld water ‘omhoog laat stromen’, maar ook aan zijn metamorfoses, waarbij hij bijvoorbeeld vogels over laat gaan in vissen. Ook maakte hij meer realistische werken, zoals litho’s van landschappen in Italië, waar hij een aantal jaren gewoond en gewerkt heeft.

M.C. Escher werd geboren in Leeuwarden. Na 5 jaar verhuisde hij met zijn familie naar Arnhem, waar hij het grootste deel van zijn jeugd doorbracht. Op school ging het niet goed en hij zakte voor zijn eindexamen. Hij begon een studie in Delft, maar stopte hier al heel snel mee. Daarna begon Escher met een studie bouwkunde aan de School voor Bouwkunde en Sierende Kunsten in Haarlem. Na een week vertelde hij zijn vader dat hij wilde stoppen met bouwkunde en beginnen met een studie grafische kunsten. Hij werd hierin gesteund door zijn leraar Samuel Jesserun de Mesquita, aan wie Escher zijn tekeningen en linoleumsnedes had laten zien. Nadat hij deze studie had afgerond, reisde hij een lange tijd door Italië. Hier ontmoette hij Jetta Umiker, met wie hij in 1924 trouwde. Samen met Jetta ging hij in Rome wonen, waar ze tot 1935 bleven. Ook nog tijdens deze 11 jaar reisde Escher ieder jaar door Italië. Tijdens deze reizen maakte hij tekeningen en schetsen, die hij later in zijn atelier gebruikte voor zijn prenten, litho‘s, houtsnedes en houtgravures.

Toen Escher in 1922 het Alhambra, een 14e-eeuws kasteel in Granada in Spanje, bezocht, werd hij gefascineerd door de wand- en vloermozaïeken die hij daar zag. Dit was het begin van zijn nieuwe hobby: symmetrische tekeningen maken. Hij verhuisde naar Zwitserland en in de jaren dat hij daar woonde, maakte hij 62 van de in totaal 137 symmetrische tekeningen die hij in zin leven zou maken. Hij breidde zijn hobby ook uit, door de tekeningen te gebruiken voor het snijden van houten bollen.

M.C. Escher maakte gedurende zijn leven 448 litho’s, houtsnedes en houtgravures en meer dan 2000 tekeningen en schetsen. Naast zijn werk als graficus, illustreerde hij boeken en ontwierp hij tapijten, postzegels en wandschilderingen. Hij speelde met architectuur, perspectief en onmogelijke ruimtes. In zijn werk zijn een observatie van de wereld om ons heen en een uitdrukking van zijn eigen fantasie te zien. Volgens velen laat Escher ons zien dat de werkelijkheid wonderlijk, begrijpelijk en fascinerend is.

Vlakvulling
Om de regelmaat van Eschers werken te beschrijven, is het slim om te beginnen bij de manieren om een vlak te vullen, op die manier dat er regelmaat inzit. Nou klinkt dit makkelijk, “een vlak regelmatig vullen”, maar het is moeilijker dan het lijkt.
Met regelmatige vlakvulling wordt een prent bedoeld die volledig gevuld is met gelijkvormige figuurtjes die elkaar nergens overlappen.
Er zijn 2 verschillende manieren om een vlak te vullen;
de ene manier is, om het vlak met vrij ontworpen tegels (wat vaak een kunstzinnig resultaat geeft, zoals bij Escher) te vullen, en de andere manier is het vullen van een vlak door middel van gelijkzijdige veelhoeken.

Een gelijkzijdige veelhoek is een veelhoek met een x-aantal zijden, waarvan alle zijden dezelfde lengte hebben en symmetrisch geplaatst zijn ten opzichte van een centraal gelegen punt. Dit wil zeggen dat elke regelmatige veelhoek draaisymmetrisch is. De "regelmaat" zit hem in het feit dat alle hoeken en zijden even groot zijn. Zo heb je de gelijkzijdige driehoek, gelijkzijdige vierhoek, gelijkzijdige vijfhoek, enzovoorts. Dit zijn allemaal gelijkzijdige veelhoeken.
Zowel vrij ontworpen tegels als gelijkzijdige veelhoeken maken gebruik van verschillende vormen van symmetrie.

Er zijn verschillende typen vlakvullingen:
A. Regelmatige vlakvullingen
B. Semi-regelmatige vlakvullingen
C. Demi-regelmatige vlakvullingen
D. “Onregelmatige” vlakvullingen
E. Mozaïek

A. Regelmatige vlakvulling
Een regelmatige vlakvulling is een patroon dat ontstaat door een bepaald figuurtje (tegel), zó te herhalen dat het hele vlak wordt opgevuld wordt. Een regelmatige vlakvulling moet aan drie voorwaarden voldoen:

- de verdeling in tegels moet een vlak opvullen dat eeuwig kan doorgaan en waar de afzonderlijke tegels elkaar nergens overlappen.
- elke zogenaamde vertex moet hetzelfde zijn (zie onderstaande figuur).
- de tegels waarmee het vlak opgevuld wordt moeten allemaal hetzelfde zijn.

Uit het bovenstaande blijkt dat je met lang niet alle figuren een regelmatige vlakvulling kan maken. De reden hiervoor is dat de vertex van bepaalde figuren geen 360° maakt. Hieronder zal bekeken worden of regelmatige vlakvulling door bepaalde veelhoeken wel of niet mogelijk is.

1. Gelijkzijdige driehoeken: de vertex bij een vlakvulling van driehoeken is 360°, omdat de inwendige hoeken van een gelijkzijdige driehoek allemaal 60° zijn. De noodzaak van het gebruik van gelijkzijdige driehoeken bij regelmatige vlakvulling zit in het feit dat een voorwaarde voor regelmatige vlakvulling is dat alle gebruikte figuren hetzelfde moeten zijn.
De vertex is 360°,
voor een gesloten vertex zijn dus 360/60 = 6 hoeken, oftewel 6 driehoeken nodig.

2. Gelijkzijdige vierhoeken (vierkanten): de vertex bij een vlakvulling van vierhoeken is ook 360°, omdat de inwendige hoeken van een vierkant 90° zijn.
Hier is eveneens
de vertex 360°, dus
er zijn 360/90 = 4
vierkanten nodig.

3. Gelijkzijdige vijfhoeken: de inwendige hoeken van een vijfhoek zijn 108°. 360/180 komt niet op een geheel getal uit, dus er kan geen regelmatige vlakvulling gemaakt worden met gelijkzijdige vijfhoeken.
3 x 108° = 240°
Dit maakt geen vertex van 360° en is dus geen regelmatige vlakvulling.

4. Gelijkzijdige zeshoek: De inwendige hoek van een zeshoek is 120°. Dit is een deler van 360, dus kan er met gelijkzijdige zeshoeken een regelmatige vlakvulling gemaakt worden.
360/120 = 6.


Er zijn dus voor het maken van een regelmatige vlakvulling 6 zeshoeken nodig.

5. Gelijkzijdige zevenhoek: De inwendige hoeken van een zevenhoek zijn 128,57°. Ook dit is geen deler van 360, dus met gelijkzijdige zevenhoeken kan geen regelmatige vlakvulling gemaakt worden.
3 x 128,57 = 376,71°
De figuren zullen elkaar overlappen.

In feite is het zo dat bij alle figuren met meer dan 6 hoeken, de figuren elkaar zullen gaan overlappen. Dus met figuren met meer dan 6 hoeken valt geen regelmatige vlakvulling te maken. Oftewel: alleen met gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en gelijkzijdige zeshoeken kan een regelmatige vlakvulling gemaakt worden.

B. Semi-regelmatige vlakvulling.
Semi-regelmatige vlakvulling houdt in dat een vlak opgevuld wordt door meer dan 1 verschillende figuren. De regels voor goede semi-regelmatige vlakvulling zijn:
- de verdeling in tegels moet een vlak opvullen dat eeuwig kan doorgaan en waar de afzonderlijke tegels elkaar nergens overlappen.
- ook bij deze vlakvulling moeten de vertexen overal hetzelfde zijn
- er mag meer dan 1 figuur gebruikt worden
De hoeken van veelhoek tot veelhoek kunnen verschillen, maar de zijden van de verschillende veelhoeken in één vlakvulling zijn steeds even lang. Hieronder volgen enkele voorbeelden van semi-regelmatige vlakvullingen.

C. Demi-regelmatige vlakvulling
Bij demi-regelmatige vlakvulling mogen zowel meer dan 1 figuur gebruikt worden, als dat niet elke vertex hetzelfde hoeft te zijn. Dus in vergelijking met semi- en regelmatige vlakvulling, komt demi-regelmatige vlakvulling alleen met deze overeen in het feit dat het vlak tot in de oneindigheid gevuld moet kunnen worden.


D. “Onregelmatige” vlakvulling
De onregelmatige vlakvulling wil niet zeggen dat, zoals de term wel suggereert, er geen regelmaat in de vlakvulling te vinden is. Met onregelmatig wordt bedoeld dat de figuren die gebruikt worden (op het eerste gezicht) geen regelmaat vertonen. De tegels in de vlakvulling zijn vaak “zelfbedacht”. Deze tegels moeten aan twee basisvoorwaarden voldoen: de tegels mogen elkaar niet overlappen en ze moeten precies aansluiten op elkaar, zonder gaten over te laten. Hieronder is getoond hoe zo’n regelmatige vrij ontworpen tegel gemaakt is.

Bovenaan het vierkant wordt een stuk aangepast, waarbij het ‘overtollige’ materiaal aan de onderkant geplakt wordt. Deze twee kanten hebben dus exact dezelfde inkepingen en uitsteeksels. Hetzelfde geldt voor de boven- en onderkant. Op deze manier ontstaat een figuur waarbij de linkerkant in de rechterkant past en de bovenkant in de onderkant. Dus als deze figuren naast, onder en boven elkaar geplaatst worden, kan dat tot in de oneindigheid doorgaan.

E. Mozaïek
Mozaïeken zijn vrij eenvoudige vormen van vlakvulling. Bij mozaïeken komt het neer op het volgende: er mogen zoveel figuurtjes of steentjes of wat je ook wil gebruikt worden, met de meest uiteenlopende vormen, zolang ze maar in elkaar passen en er een sluitend vlak van gemaakt kan worden. Zo is glas-in-lood een veelgebruikte toepassing van mozaïeken, maar er kunnen ook prenten gemaakt worden door het gebruik van figuren als ‘steentjes’, zoals je kunt zien in deze afbeelding van Escher.

Periode
Er valt verder nog een onderscheid te maken tussen periodische en niet-periodische vlakvulling.
Periodische vlakvulling
De soorten vlakvulling zoals eerder besproken zeggen vooral wat over de eigenschappen van de tegels, maar minder over het geheel van vlakvulling zelf. Hier valt namelijk ook regelmaat in te ontdekken. Een vlakverdeling wordt periodisch genoemd als deze zo symmetrisch is dat er als het ware een raster overheen gelegd kan worden, dat het figuur in gelijke stukken verdeeld.
Niet-periodische vlakvulling
Er valt in zulke vlakverdelingen geen raster te ontdekken die de afbeeldingen in identieke stukken verdeeld. Dit is vrij logisch, omdat de tegels over het algemeen aan weinig wiskundige regels voldoen, waardoor er gelijk een stuk minder symmetrie in het geheel is. Er bestaat dus niet-periodische onregelmatige vlakvullingen en periodische onregelmatige vlakvulling.


Wiskunde regels in Eschers werk
In Escher’s kunstwerken komt vooral een combinatie van verschillende vlakverdelingen aan bod. In veel vlakken laat hij zelfgemaakte tegels overlopen in naar ‘standaard’ veelhoeken. Wat in Escher’s werk ook veel voorkomt is het gebruik van meerdere zelfbedachte figuren die zo in het vlak geplaatst worden, dat in de ruimte die overblijft tussen 2 dezelfde figuren precies een ander gebruikt figuur past. Het is moeilijker om in zijn werk van echte vertex te spreken, omdat de figuren die gebruikt worden vaak geen goed te bepalen hoeken hebben. Het gebied dat de rode pijl in nevenstaande afbeelding aangeeft valt te beschouwen als een vector.
De afbeelding hiernaast is een combinatie van semi- regelmatige vlakvulling gecombineerd met een onregelmatige vlakvulling. Er komen 2 verschillende figuren in voor (semi-regelmatig), de vectoren zijn overal hetzelfde (semi-regelmatig), maar de figuren zijn zelf bedacht (onregelmatig). Verder is de afbeelding periodiek, want het valt te verdelen in identieke stukken.

Bij de afbeelding hiernaast is het de vraag welke vlakvullingen gebruikt zijn. Het zou zowel als regelmatige vlakverdeling, als semi-regelmatige, als onregelmatige vlakvulling geïnterpreteerd kunnen worden. Escher gebruikt in wezen maar één figuur: de zwaan. In die zin is het dus regelmatige vlakvulling. Maar omdat dit figuur over de lengte gespiegeld is, ontstaan er als het ware 2 figuren. Daar komt bij dat de vectoren niet allemaal hetzelfde zijn. En omdat de figuren die gebruikt worden zelf bedacht zijn, is het ook voor een deel onregelmatig. Dus het is moeilijk te zeggen welke vormen van vlakvulling er gebruikt zijn, het meest waarschijnlijk is een combinatie van deze 3.

In deze afbeelding hiernaast helemaal geen vorm
van regelmatige vlakverdeling te vinden. Verder is hij niet periodiek of symmetrisch. Het ‘enige’ wat bijzonder is qua vlakvulling in dit werk, is dat alle figuren exact in elkaar passen. Het is dus een mozaïek.

Symmetrie
Wat is symmetrie?
Volgens de Van Dale is symmetrie:
- Juiste onderlinge verhoudingen van onderdelen van een geheel.
- (Wiskunde) onderlinge verwisselbaarheid zonder dat de waarde van een vergelijking verandert.
- Het in spiegelbeeld aan elkaar gelijk zijn van twee helften.

Het gaat bij symmetrie dus meestal om een geheel dat is opgebouwd uit stukken die op elkaar lijken of die helemaal hetzelfde zijn.
Symmetrie kom je overal tegen, zowel in de natuur als in het werk van mensen. Bij symmetrie in de natuur kun je bijvoorbeeld denken aan een zeester, die je langs verschillende assen kunt spiegelen. Bij symmetrie door mensen kun je denken aan gebouwen of kleding.
Symmetrie is niet iets moderns. In de oudheid gebruikte men al symmetrische figuren, denk maar aan de piramides in Egypte. Nog een voorbeeld hiervan is het platje hiernaast. Dit is een onderdeel van een koekenpan van 5000 jaar oud. Je ziet dat steeds dezelfde vorm terugkeert

Soorten symmetrie

Om een beter beeld te krijgen van wat symmetrie nou precies inhoudt, gaan we de 4 verschillende soorten symmetrie bespreken.
De 1e soort is spiegeling. Een spiegeling is een transformatie of omvorming via een vlakke spiegel van een oorspronkelijke figuur naar een spiegelbeeld, het figuur wat je in de spiegel ziet. Hierbij krijg je twee aparte figuren die elkaars spiegelbeeld zijn. Er bestaan verschillende vormen van spiegeling, zoals puntspiegeling en lijnspiegeling. Zoals de namen al zeggen, spiegel je bij puntspiegeling om een bepaald punt, zoals in de afbeelding rechts te zien is.
Bij lijnspiegeling spiegel je om een lijn. Als een figuur gespiegeld wordt, kun je enkele eigenschappen waarnemen die typerend zijn voor spiegeling. Bijvoorbeeld: de vorm en grootte van een figuur blijven tijdens en na het spiegelen gelijk, het origineel staat op dezelfde afstand van de spiegelas als het spiegelbeeld en wat links is in het origineel, is rechts in het spiegelbeeld.

De 2e soort is translatie. Hierbij wordt een figuur van punt A naar punt B verschoven zonder dat er iets aan verandert. Een voorbeeld van een translatie zijn de bakjes van een reuzenrad, ze veranderen wel van positie maar voor de rest verandert er niets. In de afbeelding is ook te zien dat translatie niet altijd rechtlijnig hoeft te zijn.
De 3e soort symmetrie is rotatie. Rotatie heeft te maken met draaien. Een voorwerp of figuur kan om een bepaald punt gedraaid worden. Hier bij zijn twee punten van belang: het centrum van de rotatie (het punt waar omheen gedraaid wordt) en de rotatiehoek (de hoek waarover gedraaid wordt). De eigenschappen van een rotatie zijn het behoud van de lengte van een lijnstuk, het behoud van de grootte van een hoek en het behoud van de oppervlakte van een figuur. Er verandert dus niets aan de vorm of grootte van een figuur als deze geroteerd wordt. Links is een voorbeeld te zien van een figuur voor en na rotatie.

De 4e en laatste soort is glijspiegeling. Een glijspiegeling is een combinatie van een spiegeling en een translatie. Je kunt dus op 2 manieren een glijspiegeling maken: eerst spiegelen en dan transleren of eerst transleren en dan spiegelen. In de afbeelding hiernaast is bijvoorbeeld de driehoek eerst getransleerd (rechtsonder) en daarna gespiegeld, waardoor de driehoek linksonder verkregen werd.

Escher en symmetrie
Escher maakte veel gebruik van symmetrie. Welke soorten symmetrie hij gebruikte, ga ik uitleggen met behulp van de afbeeldingen hieronder.
In deze afbeelding is een man op een paard te zien. Je ziet dat hij op de ene regel ‘de rechterkant op rijdt’ en op de volgende regel ‘de linkerkant op rijdt’. De afbeelding is dus gespiegeld. Ook is te zien dat de bruine paarden niet recht boven of onder de gele staan. Ze zijn verschoven en dus getransleerd. Omdat het hier om een combinatie van spiegeling en translatie gaat, kun je de conclusie trekken dat Escher hier gebruik heeft gemaakt van glijspiegeling.

In deze afbeelding zie je een paard dat zichzelf steeds “herhaalt”. Dit is een vorm van translatie, aangezien hetzelfde figuur steeds verplaatst wordt.


Als laatste is in deze afbeelding nog spiegeling om een lijn te zien. De paarse lijn is de spiegelas. Je zou het witte figuur als het ware door kunnen snijden langs de spiegelas. Je zou dan 2 precies gelijke helften krijgen. Ook zie je rotatie, het witte figuur wordt om een bepaald punt (het rode punt) gedraaid. Je zou dit ook als puntspiegeling kunnen zien. Als je het bovenste witte figuur spiegelt in het rode punt, krijg je immers de witte figuur aan de onderkant.

Andere wiskundige aspecten in tekeningen van Escher
Het Droste-effect
Het Droste-effect is een visueel effect, waarbij een afbeelding een verkleinde versie van zichzelf bevat. Voor deze verkleinde versie geldt weer hetzelfde. Dit effect kan dus oneindig doorgaan. Dit effect komt voor op de pakken cacao van het merk Droste, waar het zijn naam aan te danken heeft.
Het effect is ook te zien als je bijvoorbeeld een camera op een beeldscherm richt terwijl op het beeldscherm de beelden van de camera worden afgebeeld.

Er is een tekening van Escher waarin dit effect voorkomt, al heeft hij deze niet helemaal zelf gemaakt. Doordat Escher geen enkele opleiding had afgemaakt, bezat hij niet genoeg wiskundige kennis om deze tekening af te maken. Hij liet in het midden een stuk open waardoor een soort wit gat ontstond, zoals hiernaast te zien is. Leidse wiskundigen hebben de tekening helemaal onderzocht en uiteindelijk afgemaakt. Dit was nog best een moeilijk werkje, aangezien er een draaiing in zit die eruit gehaald moest worden voordat de tekening afgemaakt kon worden. Uiteindelijk is het wel gelukt.

Het resultaat is de tekening hiernaast. Het Droste-effect is moeilijk te zien, maar als je draait en tegelijk inzoomt op het rode vierkant, blijkt dat er hetzelfde plaatje uitkomt als het plaatje dat je nu ziet.

Oneindigheid
Escher maakte ook vaak gebruik van oneindigheid, al was dat niet altijd in wiskundige zin.

Een voorbeeld van een tekening waarin oneindigheid voorkomt is zijn tekening van de oneindige trap. Deze mensen die op deze trap lopen, lijken oneindig lang door te kunnen lopen, doordat de trap nooit ophoudt. Dit kan natuurlijk nooit!
Een ander, meer wiskundig, voorbeeld kunnen we vinden in de opbouw van een van zijn tekeningen. Deze opbouw is gebaseerd op twee limieten: aan de bovenkant de enkelvoudigheid van één dier en aan de onderkant een veelheid van deze dieren, een theoretisch oneindig aantal oneindig kleine figuren.

De afbeelding op de volgende pagina is een schematische weergave van de opbouw van deze tekening. De dieren zijn hierbij vereenvoudigd tot de vorm waarop ze gebaseerd zijn: een rechthoekige gelijkbenige driehoek. De limiet van oneindige verkleining wordt bereikt in de basislijn, hier RS genoemd.

Het verloop van boven naar beneden is nu als volgt: de driehoeken O, A1 en B1 vormen samen een vierkant, waarvan de lijn PQ een diagonaal is. De oppervlakte van A1 is even groot als die van B1, als je ze samenvoegt is de oppervlakte gelijk aan die van O. Maar ook A1, C1 e E1 vormen samen een vierkant. C1 en E1 zijn dus elk de helft van A1. Hieruit volgt dat de oppervlakten van de driehoeken zich voortdurend halveren: O = 2 x A1 = 4 x E1 = 8 x A2 = 16 x E2 = 32 x A3, en zo kun je tot in het oneindige doorgaan.
Daarnaast vindt er nog een herhaling plaats in de tekening. Deze bestaat uit groepen van 6 dieren die steeds herhaald worden. In de schematische tekening kun je de driehoeken die zich in de rechthoek TUQP bevinden als één groep beschouwen. Als je dan naar de rechthoek WXVT kijkt, blijkt deze precies dezelfde opbouw van driehoeken te hebben, hij is alleen 4 keer zo klein. Dit is dus de herhaling die plaatsvindt.
Als laatste kun je nog opmerken dat de dieren niet allemaal precies gelijkvormig zijn. De driehoek A1 is bijvoorbeeld, zonder rotatie, niet gelijkvormig met B1, dus zijn de dieren in de echte tekening ook niet gelijkvormig. A1 en A2 zijn echter wel gelijkvormige driehoeken en dus ook gelijkvormige dieren. Alle driehoeken die dezelfde hoofdletter bevatten zijn gelijkvormig, wat ook blijkt uit de herhaling van de groepen van 6.