Geschiedenis van de kansrekening

Inhoudsopgave

Hfst. 1 Inleiding
Hfst. 2 Blaise Pascal & Pierre de Fermat
Hfst. 3 De geschiedenis van de kansrekening + het probleem van De Méré en de oplossing + andere probleemstellingen en oplossingen
Hfst. 4 De driehoek van Pascal
Hfst. 5 Andere wiskundigen die zich bezig hielden met kansrekening in de 17e eeuw.
Hfst. 6 Conclusie + bronvermelding
Hfst. 7 Logboek
Hfst. 8 Evaluatie

Inleiding

Voor mijn praktische opdracht voor wiskunde heb ik gekozen voor het onderwerp “De geschiedenis van de kansrekening”. Ik heb hiervoor gekozen omdat het me de meest interessante opdracht leek en er veel informatie over te vinden was.
In mijn praktische opdracht ga ik de volgende vragen behandelen:


Hoofdvraag: Wat is het probleem van Chevalier de Méré en hoe lossen Pascal en Fermat dit op?

Deelvragen: Hoe zag het leven van Pascal en de Fermat eruit?
Hoe is de kansrekening ontstaan?
Welke andere problemen had Pascal en hoe loste hij deze op?
Hoe ziet de driehoek van Pascal eruit?
Welke ander wiskundigen hielden zich in de 17e eeuw met kansrekening bezig?

Over Pascal

Blaise Pascal (1923 - 1662) was een Frans wiskundige en filosoof. Al snel na zijn geboorte stierf zijn moeder en hij werd dan ook hoofdzakelijk opgevoed door zijn vader, een rechter van het Franse belastinghof en een behoorlijk onderlegd wiskundige. Pascal kreeg zijn talent van huis uit mee. Hij werd in de wiskunde vooral bekend door zijn uitvinding van de eerste mechanische (digitale) rekenmachine en zijn bijdrage aan het begin van de ‘theorie der waarschijnlijkheid’, de kansrekening. Maar ook op andere gebieden van de wiskunde en de natuurkunde is Pascal actief geweest.
In zijn filosofie is Pascal vooral bekend om zijn afwijzing van de ‘vrij wil’ en zijn geschriften ter verdediging van het christelijk geloof, de beroemde ‘Pensées’. Hij meende dat de weg naar het geloof eerder door het hart dan door de rede werd gevonden. Hij stierf vrij jong na een pijnlijk ziekbed.


Over De Fermat

Pierre Fermat (1601 - 1665) is geboren op 17 augustus 1601 in Beaumon-de-Lomagne in Frankrijk. Zijn vader was een vermogend handelaar in leder en tweede consul van Beaumont-de-Lomagne.
In zijn jeugd studeerde hij aan de universiteit van Toulouse. In de tweede helft van de jaren 1620 verhuisde hij naar Bordeaux, waar hij zijn eerste grote stappen zette in onderzoek in de wiskunde. Fermat ging vervolgens naar Orléans waar hij rechten studeerde. Hij verkreeg een graad in het burgerlijk recht en werd staatsambtenaar in Toulouse. Vanwege zijn positie veranderde hij zijn naam in Pierre de Fermat. Hij was dus in eerste plaats jurist. Wiskunde was voor hem slechts een hobby.
Fermat is het meest gekend voor zijn theorema in de getallenleer dat stelt dat de volgende formule geen oplossing heeft verschillend van 0 voor waarden van n groter dan 2.
Fermat stierf op 12 januari 1665 in Castres, Frankrijk.

Het ontstaan van de kansrekening.

Al heel lang beproeft de mens zijn geluk bij zogenaamde 'kansspelen'. In de prehistorie gokte men op de uitkomsten van het gooien met het 'sprongbeen', een vroege vorm van onze dobbelsteen. Bij opgravingen in Ur (een stad in het Oude Mesopotamië) is een bordspel teruggevonden en zijn dobbelstenen in de vorm van een viervlak aangetroffen. Later (veertiende eeuw na Christus) ontstonden kaartspelen en natuurlijk konden gokkers inzetten op uitslagen van wedstrijden.
Het duurde echter tot de veertiende eeuw voordat wiskundigen zich met het gokken gingen bezighouden. Het eerste echte vraagstuk, was het partijenvraagstuk.
Hierin spelen twee partijen een balspel waarbij je punten kan verdienen. Beide partijen hebben een even grote kans om een punt te scoren, er is geen tijdsduur vastgelegd en de partij die als eerste zes punten heeft, wint de pot met 60 dukaten.
Het spel moet echter vanwege het slechte weer gestaakt worden bij een stand van 5 –3. Er wordt besloten de pot te verdelen. Hoeveel krijgen beide partijen?
De Italiaanse wiskundige Pacioli bedacht in 1494 dat de pot moest worden verdeeld in de verhouding 5 : 3 (de stand bij afbreken), maar zijn collega Cardano vond dat je rekening moest houden met de nog te scoren punten. Er werd geen gepaste oplossing gevonden.


Halverwege de zeventiende eeuw kreeg de Franse wiskundige Blaise Pascal een kansprobleem voorgelegd door de Franse edelman (en gokker) Chevalier de Méré. De Méré dacht dat hij een tegenstrijdigheid in de rekenkunde had ontdekt. Hij had gezien dat de weddenschap om met twee dobbelstenen in 24 worpen tenminste één keer dubbel zes te gooien slechter uitviel dan de weddenschap om met één dobbelsteen in vier worpen tenminste één keer zes te gooien. Hij constateerde dat eerste weddenschap nadeliger uitviel, dan de tweede weddenschap. Omdat bij een worp met één dobbelsteen zes uitkomsten mogelijk zijn en bij een worp met twee stenen 36, redeneerde hij dat zijn waarneming in tegenspraak was met het evenredigheidsprincipe van de rekenkunde. Hierbij is namelijk de verhouding 4 tot 6 precies dezelfde is als de verhouding 24 tot 36. De Méré wendde zich tot Pascal, die vervolgens na een lange briefwisseling met Pierre de Fermat, het probleem oploste . Pascal liet De Méré vervolgens met enkele simpele berekeningen liet zien dat kansen zich niet volgens evenredigheidsprincipes gedragen, zoals De Méré had gedacht.
Tijdens de briefwisseling tussen De Méré en Fermat ontwikkelden zij de basisprincipes van de kansrekening. In feite zijn De Méré en Fermat de grondleggers van kansrekening zoals wij die tegenwoordig gebruiken. Alleen zij werkten met kansen in termen van verhoudingen 1:6 en niet met breuken, zoals wij dat tegenwoordig doen.
Pascal werkte de theorie uit in zijn boek "Traite du triangle arithmétique", waarin hij 'de driehoek van Pascal gebruikte om zijn problemen aan te pakken. Ook gebruikte hij bij de oplossing van zijn kansproblemen telsystemen.

Andere probleemstellingen van Pascal + oplossing.

De belangrijke fundamenten voor een uitgebreide theorie van de waarschijnlijkheidsrekening worden in 1654 gelegd door de beroemde Franse wiskundigen Blaise Pascal en Pierre de Fermat.
In een uitgebreide briefwisseling discussieerden zij over het eerlijk verdelen van de pot bij een voortijdig afgebroken dobbelspel. Hieronder volgen andere problemen en oplossingen van Pascal, om zijn eigen methodes te laten zien:
Het volgende, is de methode voor het eerlijk verdelen van de pot, als bijvoorbeeld 2 spelers een spel voor 3 punten spelen en iedere speler 32 pistolen heeft ingebracht.
Stel dat de 1e speler 2 punten heeft gekregen en de 2e 1 punt. Dan moeten ze nu spelen voor en punt met de conditie dat, als de 1e speler wint, hij de pot krijgt (64 pistolen). Als de 2e speler wint heeft elke speler 2 punten, dus is er gelijkheid en als ze dan stoppen krijgt iedere speler 32 pistolen. Dus als de 1e speler wint behoren 64 pistolen hem toe, anders 32. Als de spelers dus niet meer willen speler, dan zou de 1e speler tegen de 2e zeggen: “Ik ben zeker van 32 pistolen zelfs als ik verlies, en voor de andere pistolen geld dat ik misschien verlies en misschien win; de kansen zijn gelijk. Laten we die 32 pistolen gelijk verdelen, en geef me ook de 32 pistolen waarvan ik zeker ben.” Dus de 1e speler zal 48 pistolen krijgen en de 2e 16.

Stel nu dat de 1e speler 2 punten heeft en de 2e geen, en dat ze voor een punt gaan spelen. Dan is de conditie dat, als de 1e speler dit punt wint, de spelers in de al bekende conditie zitten, waarin de 1e speler 48 personen en de 2e 16 krijgt. Dus als ze niet willen speler, zou de 1e speler tegen de 2e zeggen: “Als ik dit punt win krijg ik 64 pistolen, als ik verlies krijg ik 48 pistolen. Geef mij de 48 pistolen waarvan ik zeker ben en verdeel de andere 16 gelijk, aangezien onze kansen om het punt te winnen gelijk zijn.” Dus de 1e speler zal 56 pistolen krijgen en de 2e 8.


Als laatste stel dat de 1e speler 1 punt heeft en de 2e geen. Als ze doorgaan voor een punt dan is de conditie dat, als de 1e speler wint, de spelers in de al bekende conditie zitten, waarbij de 1e speler 56 pistolen krijgt. Als de 1e speler verliest dan hebben beide spelers een punt en krijgt iedere speler 32 pistolen. Dus als ze niet willen spelen dan zou de 1e speler tegen de 2e zeggen: “Geef me de 32 pistolen waarvan ik zeker ben, en verdeel de rest van de 56 pistolen gelijk, dat is 24 pistolen gelijk verdelen.” Dus de 1e speler zal de som van 32 en 12 pistolen krijgen, dat is 44 pistolen, en dus zal de 2e dan 20 pistolen krijgen.
Hierna gaat Pascal nog verder met het geval waarbij er n+m punten nodig zijn om te winnen en speler 1 n punten en speler 2 m punten heeft. De oplossing wordt dan gegeven met behulp van de driehoek van Pascal.

De oplossing van Fermat werkt met de combinatietheorie. Als voorbeeld volgt hier een samengevat stukje uit een brief van 24 augustus 1654 aan Pascal.
Fermat bediscussieerd het geval met 2 spelers A en B, waarbij A 2 punten wil om te winnen en B 3 punten. Dan zal het spel zeker binnen 4 keer proberen worden besloten. Neem de letters a en b en geef alle combinaties van 4 letters. Dat zijn de volgende 16: aaaa, aaab, aaba, aabb; abaa, abab, abba, abbb; baaa, baab, baba, babb; bbaa, bbab, bbba, bbbb. Nu geeft elk geval waarin b 3 of meer keer voorkomt een geval waarin B wint. Dus, opgeteld, zijn er 11 mogelijkheden waarbij A wint en 5 waarin B wint. Aangezien deze gevallen gelijke kansen hebben, is de kans dat A wint tegen B precies 11 tegen 5.

Een ander bekend geval is de kwestie of het verstandig is een weddenschap af te sluiten op het voorkomen van minstens één maal dubbel zes bij een reeks van 24 worpen met twee dobbelstenen. De correspondentie die naar aanleiding van dit probleem ontstaat tussen Pascal en de Fermat komt ook onder de aandacht van Nederlander Christiaan Huygens, die vervolgens een boek over dit onderwerp schrijft, getiteld De Ratiociniis in Ludo Aleae. Het boek behandelt een grote hoeveelheid aan het gokspel gerelateerde vragen.
De kans op winst bij bovenstaand probleem is met de theorie van de kansrekening niet moeilijk te berekenen. De kans op dubbel zes is 1:36. De kans op verlies van de inzet is gelijk aan 35/36 tot de 24e macht (24 keer achter elkaar geen dubbel zes). De kans op winst bij dit spel is dus gelijk aan 1 - (35/36)24 = 0,491....

De driehoek van Pascal.

De driehoek van Pascal werd voor het eerst geopenbaard in Fermats’ boek, "Traité du triangle arithmétique". Hierin werkt Pascal het principe uit, waar de Chinezen 500 jaar eerder al mee bezig waren.

In de driehoek van Pascal is de som van elke rij gelijk aan 2 tot de n-de macht, wanneer n het nummer van de rij is. VB:

20 = 1
21 = 1+1 = 2
22 = 1+2+1 = 4
23 = 1+3+3+1 = 8
24 = 1+4+6+4+1 = 16

De driehoek hiernaast heeft vijf rijen. Elk getal kun je berekenen met de twee getallen die er bovenstaan, bijvoorbeeld het getal 4 in de vierde rij. Linksboven de vier staat het getal 1 en rechtsboven staat het getal 3, 1 + 3 =4.
Deze regel geld in elke rij behalve in de buitenste rij. De buitenste rij komt voort uit rij 0. En in plaats van de twee bovenste getallen op te tellen wordt nu alleen het eerste getal opgeteld. Daarom bestaat de buitenste rij alleen uit enen.

De stelling van Pascal komt neer op: xn + yn = zn

De driehoek van Pascal bestaat niet uit alleen maar optelsommetjes. Bijvoorbeeld wanneer de figuur hiernaast een plattegrond van een wijk is, dan is elk getal een samenkomst van wegen, dus een T-splitsing of een kruising. Je kunt via elk getal door de hele wijk lopen. Als je begint met lopen bij de top van de driehoek (rij 0), dan zegt het getal waar je heen wilt hoeveel manieren er mogelijk zijn. Bijvoorbeeld als je naar 5 wilt lopen, dan kan dat via de kortste route op 5 manieren. Elk getal in de driehoek van Pascal geeft het aantal routes aan om van rij 0 naar het getal waar je heen wilt gaan.

In de driehoek van Pascal kun je verschillende vormen vinden. Zo kun je een hockeystick vinden, door bij een willekeurig getal één in de driehoek te beginnen met tellen. Als je dan drie of vier getallen op één lijn bij elkaar optelt, dan krijg je de uitkomst van het getal die daar links- of rechtsonder staat. VB: 1 + 3 + 6 = 10. Als je dan de 10 pakt die een bocht maakt dan heb je de vorm van een hockeystick.
Ook kun je de natuurlijke nummers, die we gebruiken om te tellen (1t/m 9 + 0), vinden op de tweede diagonaal.
Op de derde diagonaal vind je de driehoekige nummers die we gebruiken in de gewone meetkunde en op de vierde diagonaal vind je de vierzijdige nummers die worden gebruikt om een piramide te maken.

Wanneer je 11ª doet, en je vult voor a=1 in dan krijg je 11. Dit getal staat op de 1e rij. Vul je in a=2 dan krijg je 121, zoals te zien is in rij drie. Dit gaat zo door tot rij vijf. Dan klopt hij nog maar gedeeltelijk.

De rij van Fibonacci is er ook in te vinden, zie tekening hiernaast.

Andere wiskundigen die zich met de kansrekening bezig hielden in de 17e eeuw.

Door het groeien van de ontdekkingsreizen en zo de handel, kwamen in Italië en in Holland tijdens de vijftiende, zestiende en zeventiende eeuw de eerste verzekeringsmaatschappijen op. Er ontstond daarbij behoefte aan geleerden die konden werken met kansen voor het berekenen van de risico's op uitbetaling. De Nederlandse geleerde Christiaan Huygens (1629 - 1695) publiceerde in 1657 zijn boek over kansrekening: "Van Rekeningh in Spelen van Geluck", waarin hij nog verder inging op de theorie van Pascal en Fermat. In zijn boek staat ook de oplossing van het partijenvraagstuk: een verdeling in de verhouding 7 : 1 (wat je met behulp van een kansboom zelf eenvoudig na kunt gaan).
Raadpensionaris van Holland, Johan de Witt, paste Huygens zijn ideeën toe bij zijn werk voor de verzekeringsmaatschappij. Zo schreef hij een verhandeling over lijfrentes: "Waerdye van Lijfrenten naar Proportie van Losrenten". Zo'n lijfrente was een soort van uitkering die je jaarlijks ontving van een bedrag dat je de overheid ter beschikking stelde. Gebaseerd op sterftekansen kon de overheid nagaan hoeveel men van een bepaalde inleg als lijfrente moest uitkeren (en dus ook hoeveel er voor de overheid overbleef).

De Engelse koopman John Graunt maakt in 1662 voor het eerst schattingen van zulke sterftekansen. Dat was een behoorlijk prestatie, want systematisch bevolkingsgegevens bijhouden deed men in die tijd nog niet.
Het meest bekende vroege boek over kansrekening was van Jakob Bernouilli, "Ars conjectandi". Daarin werd voor het eerst gewerkt met kansen tussen 0 en 1. Bernouilli bedacht de binominale kansverdeling die bestond uit herhaling van een aantal onafhankelijke experimenten met elk twee mogelijkheden ('succes' en 'mislukking').
Daarop verder werkend ontdekte de Britse wiskundige Abraham de Moivre als de normale kansverdeling. Ook publiceerde hij geschriften over verzekeringswiskunde, waarin hij de kansrekening toepaste op de prijzen van annuïteiten en levensverzekeringspolissen.

Conclusie

De redenering die De Méré maakte, waarin hij veronderstelde dat zijn waarneming in tegenspraak was met het evenredigheidsprincipe, klopt niet. Kansen werken namelijk niet volgens het evenredigheidsprincipe en hier was De Méré wel van uitgegaan.
Bij het berekenen van kansen kan het evenredigheidsprincipe niet worden toegepast.

Bronvermelding

Internet:
www.ptri1.tripod.com
www.wisfaq.nl
www.scholieren.nl
www.samenvatting.scholieren.nl
www.wikipedia.org
www.wiswijzer.nl
www.richarddejong.nl

Boeken:
Statistiek en kans - H.P.Anderson
Spelen met kansen - Henk Tijms
Christiaan Huygens – Van rekeningh in spelen van geluck

Logboek:

In maart ben ik al begonnen met het verzamelen van informatie, maar omdat ik het te druk had, heb ik die niet verder uitgewerkt.

Vrijdag 11 april – alle informatie gesorteerd en gekeken wat nuttig was, de rest verwijderd

begonnen met werkstuk

Zondag 13 april – verder gewerkt, deelvragen geformuleerd

Maandag 14 april – het hele werkstuk verder klad afgewerkt

Donderdag 24 april – het werkstuk helemaal afgemaakt

Evaluatie:

Ik had eerst als onderwerp de rij van Fibonacci, maar omdat ik daar best wel weinig informatie over kon vinden en wel heel veel over de geschiedenis van de kansrekening, heb ik mijn onderwerp veranderd.
Het is me best wel tegengevallen. Het probleem van Chevalier de Méré was bijna nergens te vinden en toen ik hem vond was de vraag niet erg duidelijk. Nu heb ik dus wel het probleem, maar geen wiskundige uitwerking en die wilde ik wel graag hebben.
Verder vond ik het wel erg interessant om te maken en ik hoop dat het voldoende is.