grafieken

Grafiek (wiskunde)

In de wiskunde en haar toepassingen is een grafiek een visuele voorstelling in een plat vlak van een functie. De functie f wordt voorgesteld door in een rechthoekig assenstelsel de punten (x,y) met y=f(x) uit te zetten. Gebruikelijk is het daarbij de x-as horizontaal en de y-as verticaal te tekenen, maar in voorkomende gevallen wordt daar wel van afgeweken. Door een zogenaamde perspectivische voorstelling wordt ook wel de grafiek geschetst van een functie van twee veranderlijken.
Grafieken zijn een belangrijk hulpmiddel bij de analyse van wiskundige functies om inzicht in het gedrag van de functie te krijgen en ook in de statistiek om een beeld te krijgen van de data.

Hieronder bevindt zich als voorbeeld de grafiek van zo'n wiskundige functie: de logaritme met grondtal 10 als functie van x. Langs de horizontale as is x uitgezet, langs de verticale as de functiewaarde y=f(x)=log10(x). (Logaritme leg ik uit op de volgende pagina)

Even in het kort:
De logaritme is een wiskundige functie, meestal afgekort tot log. De logaritme van een getal wordt berekend op basis van een grondtal, meestal het getal: 10 (gaan uit van het Briggse logaritme), of het getal: E. In het laatste geval spreekt men van de "natuurlijke logaritme", of "Neperiaanse logaritme"; vaak afgekort tot: ln. De logaritme is een rekenkundige bewerking van de derde orde.

Gebruik van logaritmes:
Al eeuwen geleden was de logaritme belangrijk voor mensen die veel moesten rekenen: een eigenschap van logaritmes is namelijk dat je een vermenigvuldiging om kunt zetten naar een optelling met behulp van logaritmes:

Je kunt om het product van a en b te berekenen, dus de logaritme van a opzoeken, en de logaritme van b, beide optellen en bij de uitkomst het antwoord van de vermenigvuldiging terugzoeken. Hiervoor zijn eeuwenlang logaritmen tafels (tabellen van getallen met hun logaritme) uitgerekend en gepubliceerd. Ze werden gebruikt door zeelieden bij de plaatsbepaling op zee (een soort oud navigatie systeem dus), door ingenieurs etc.
John Napier is degene die wordt beschouwd als de ontdekker/uitvinder van logaritmes, hij publiceerde erover in zijn werk Minifici Logarithmorum Canonis Descriptio uit 1614. Hij gebruikte oorspronkelijk als grondtal 1/e. De natuurlijke logaritme wordt naar hem ook wel de 'Neperse' logaritme genoemd, die met het grondtal 10 de 'Briggse'.
Ook de rekenliniaal is op het principe van logaritmes gebaseerd: de schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmes van de weergegeven getallen lineair verlopen: het lijnstuk tussen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het optellen van twee lijnstukken ter lengte van de logaritme van de getallen leest men bij de uitkomst het resultaat van de vermenigvuldiging ervan af. Door de opkomst van de zakrekenmachine zijn zowel logaritmentafels als rekenlinialen ‘uit de markt’ geraakt.
De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. Bekende logaritmische schalen zijn de decibel, de cent en pH.

Ook de eenheid van zelfinformatie, het bit, volgt een logaritmische schaal.

In de atlas staan veel kaarten van gebergtes, wegen enzovoorts. Ook staan er in de atlas grafieken over bijvoorbeeld de kleuren van de hoogtes die gebruikt worden in de atlas. De atlas word vaak gebruikt om even een plaats op te zoeken of een weg te zoeken om ergens naar toe te reizen. Dit keer heb ik de atlas gebruikt om er grafieken uit te halen en die te
gebruiken in dit werkstuk.

Beeldgrafieken zijn grafieken die met beelden zijn weergeven. Hierbij moet je denken aan de bevolking. Bij zo’n grafiek staan dan bijvoorbeeld een mannetje getekend en ieder mannetje geeft dan een bepaald aantal aan. Als het over de bevolking gaat staan er meestal mannetjes, maar als het over bijvoorbeeld huizen gaat staat er een huisje getekend, en zo zijn er nog vele beeldgrafieken. Als zo’n mannetje 10000 mensen voorstelt moet je voor 10000 mensen 1 poppetje tekenen, als dat bijvoorbeeld 15000 mensen zijn komen er anderhalf poppetje te staan.

Lineair betekent 'rechtlijnig': het komt van het latijns linearis, wat opgebouwd door lijnen betekent.
In de wiskunde is een lineaire functie f een functie van de vorm:
, waarin a en b constanten zijn.
In een cartesisch coördinatenstelsel is de grafiek van een lineaire functie een rechte lijn.
Ook een functie f van meer veranderlijken heet lineair als:
, met constanten .

Lineaire functies worden ook affiene functies genoemd om verwarring met de term lineaire afbeelding in de lineaire algebra te vooromen. Een lineaire fuctie met b = 0 is ook een lineaire afbeelding van de getallen opgevat als lineaire ruimte.
De Grafiek

De grafiek van een lineaire functie is een rechte lijn.

Parabolen kan je verdelen in twee soorten parabolen: Dalparabolen en Bergparabolen. Bij de dalparabool is het de minimum waarde waarna hij weer omhoog klimt. Bij de bergparabool is het de maximum waarde waarna de parabool alleen nog maar daalt.

Een parabool komt van het Grieks παραβολή en is één van de mogelijke kegelsneden, namelijk een waarbij het snijvlak parallel loopt met een lijn die aan de kegel raakt en tevens het toppunt snijdt.
Een parabool heeft één brandpunt, sommige wiskundigen stellen dat er ook een tweede brandpunt is, namelijk op oneindig.
De parabool is de verzameling punten waarvan de afstand tot een gegeven lijn en een gegeven punt (het brandpunt) gelijk is. De parabool is in deze situatie de conflictlijn tussen de gegeven lijn en het brandpunt.

Meetkundig

De parabool is de doorsnede van de snijding van een vlak met een kegel, vandaar dat de parabool een "kegelsnede" is.
Cartesiaanse vergelijking
De parabool de grafiek van een tweedegraads functie, die de volgende algemene vergelijking heeft:

Een parabool met de oorsprong als brandpunt en een negatieve x-coordinaat van de top.

Een staafgrafiek is een grafiek waarbij de grafiek bijvoorbeeld op de horizontale as de jaren aangeeft en op de verticale as het aantal auto’s aan geeft. Staafgrafieken zijn niet altijd makkelijk af te lezen, net al vele grafieken overigens. Wel kun je zien dat de ene staaf groter is als de ander, maar nog kan je niet precies zien wat het aantal is. Daarom staan bij de meeste grafieken er een tabel naast met alle informatie die in de grafieken word verwerkt.

In een Lijngrafiek is duidelijker dan in een Puntengrafiek te zien hoe een bepaald verschijnsel zich in de loop van der tijd ontwikkelt. Met een Vloeiende lijngrafiek worden de tussenliggende waarden waarschijnlijk beter benaderd dan wanneer de punten met een gebroken lijn waren verbonden.


Lijn grafieken worden veel in de economie gebruikt. Een voorbeeld daarvan is de koers lijst van de AEX, de euro e.d. Ook worden lijngrafieken gebruikt in het ziekenhuis, denk daarbij maar aan de hartslag van een patiënt die je op een scherm kan af lezen gebeurt vaak nog met een lijngrafiek ( dit kan ook met een meter met getallen per minuut ). Veel bedrijven gebruiken dit dus om verschillende dingen bij te kunnen houden, een voorbeeld is een kastuinder met paprika’s. Een grafiek voor het aantal euro’s per kilo, een grafiek voor de temperatuur, een grafiek voor het aantal verkochte kilo’s per week en ga zo maar door. Overal worden dus lijngrafieken gebruikt.

Misleidende grafieken zijn grafieken die wel kloppen maar het beeld ‘verergen’. Hieronder staan een grafiek die de het aantal zieken bomen per jaar weergeeft. De getallen van het stijgen per jaar komen niet boven de 40 per jaar, maar in een grafiek kan je wel laten zien dat er een grote daling is door het aantal op de verticale as kleiner te maken, 800 en 820 bijvoorbeeld in plaats van 800 en 900.

Als de krant bijvoorbeeld over een blad schrijft dat een stijging heeft van het aantal mensen dat lid is van het blad of een abonnement heeft, geeft de krant ( of het blad zelf ) de grafiek waar in de misleidende vorm. Zo kunnen ze laten zien dat ze een grote stijging hebben maar dat eigenlijk helemaal niet zo veel is. Als ze bijvoorbeeld 900 leden hebben en ze hebben er nu 1000, laten ze dat niet zien met stappen van 100, maar nemen ze stappen op de verticale as van bijvoorbeeld 25 om de stijging nog exclusiever te laten lijken. Terwijl dit eigenlijk maar niet zo veel is, er komt maar 1 10e deel bij.

Conclusie:

Ik vond dit een erg leuk werkstuk om te maken omdat het onderwerp mij best wel leuk leek en het ook echt zo is. Ik wist al veel van de grafieken omdat we tijdens de wiskunde les al een heleboel te weten zijn gekomen door de uitleg maar ook omdat er veel aantekeningen gemaakt zijn. Wel vond ik moeilijk aan dit werkstuk om aan grafieken te komen. Uit het lesboek en van internet mocht je er maar samen 10 halen en uit kranten waren er ook niet zo veel, vaak alleen iedere dag het zelfde, qua onderwerp en soort grafiek dan. Wij krijgen thuis niet zo veel kranten en bij familie was ook niet veel te vinden. Ik heb ook tijdschriften gezocht maar daar heb ik er ook geen een uit. Wel uit de atlas kon ik er genoeg vinden. Ik vind dat je een hoop kan leren van zo’n werkstuk omdat je alles nog een keer ‘leert’ en dus nog een keer op schrijft.