Binaire getallen

Tientallig stelsel In een tientallig stelsel heb je de getallen 0 t/m 9 tot je beschikking. Zoals je als je weet heb je honderdtallen, tientallen eenheden enz. Een honderdtal kun je aangeven met 102, een tiental met 101 en een eenheid met 100. Het getal dat je voor deze machten van tien zet, de getallen 0 t/m 9, bepalen hoeveel honderdtallen, tientallen en eenheden er zijn. De volgende getallen worden dan als volgt geschreven: 6200  6,2*10³ 46.700.000  4,67*106
Tweetallig stelsel

Je hebt kunnen zien dat in een tientallig stelsel steeds met het grondtal 10 werd gewerkt om de tientallen enz. aan te geven. Bij een tweetallig stelsel is het dus logisch dat er gewerkt word met het grondtal 2. In het tweetallig stelsel komen maar twee getallen voor, 0 en 1. Voor de machten van twee kunnen dus alleen maar de getallen 0 of 1 komen te staan. v.b. 0 = 0 x 20 1 = 1 x 20.kijk hieronder voor de opdrachten. binair decimaal binair decimaal binair decimaal binair decimaal
1 1 0 0 1000 8 10000 16
10 2 1 1 1001 9 10001 17
100 4 10 2 1010 10 10010 18
1000 8 11 3 1011 11 10011 19
10000 16 100 4 1100 12 10100 20
100000 32 101 5 1101 13 1000000 64 110 6 1110 14 10000000 128 111 7 1111 15 101011 - 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 43
1001100 - 1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = 76
11110101 - 1 x 27 + 1 x 26 + 1 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 245
10101001101 - 1 x 210 + 0 x 29 + 1 x 28 + 0 x 27 + 1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 =1357
10110,01 - 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 = 22,75
Deze antwoorden zijn samengevoegd d.m.v. de eerste tabel. decimaal binair
16 10000

29 11101
128 10000000
153 10011001
Je hebt kunnen zien dat het omrekenen erg simpel gaat. Van binair naar decimaal = gewoon machten uitrekenen en optellen en van decimaal naar binair is de machten weg laten en de nullen en enen opschrijven
Vermenigvuldigen met binaire getallen
Vermenigvuldigen met binaire getallen gaat net zo als met decimale getallen. De voorbeelden hieronder zijn meteen de regels voor het vermenigvuldigen met binaire getallen. 1 x 0 = 1 x 0 = 0 = 0
binair½decimaal½binair
0 x 1 = 0 x 1 = 0 = 0
binair½decimaal½binair
0 x 0 = 0 x 0 = 0 = 0
binair½decimaal½binair
1 x 1 = 1 x 1 = 1 = 1
binair½decimaal½binair
Optellen met binaire getallen
Optellen met binaire getallen is eigenlijk hetzelfde als met decimale getallen alleen moet je de volgende regels goed onthouden. 0 + 0 = 0 want 0 x 20 + 0 x 20 = 0
0 + 1 = 1 want 0 x 20 + 1 x 20 = 1
1 + 1 = 10 want 1 x 20 + 1 x 20 = 2 x 20 = 2 en 2 = 1 x 21 + 0 x 20 = 10 Achtergrond De naam binair komt van het woord "bi" dat dubbel betekent. Binair betekent letterlijk tweetallig, tweedelig. Binaire getallen vinden hun toepassing in computers, het is de standaard computertaal geworden. Er worden niet allen cijfers maar ook letters mee gevormd. De computers werken met een 8- cijferige code elke nul of een wordt een bit genoemd. Je maakt dus steeds een combinatie van 8 bits (binairy digit). Zo'n combinatie van 8 bits wordt een byte (by eight) genoemd. Een kilobyte is dan 210 (=1024) bytes. Een byte omvat een letter of twee cijfers. Andere getallenstelsels

Behalve het binaire en decimale getallenstelsel zijn er ook nog andere getallenstelsels, eigenlijk kan je elk grondtal gebruiken om een stelsel te maken. Maar eigenlijk zijn er naast de binaire en decimale getallenstelsels maar twee andere die een beetje bekend zijn; hexadecimaal en octaal. -Hexadecimaal: hexa: 6 + deci (deca: 10) + maal. Oftewel 16 het is dus een 16-tallig stelsel. -Octaal: octa: 8 + maal. Oftewel 8, het is dus een 8-tallig stelsel. Het octale stelsel werkt net zo als het binaire stelsel, alleen met een ander grondtal, namelijk 8
Er worden 8 getallen gebruikt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7
Dus is 145 in het octale stelsel 221, kijk maar: 2 x 82 + 2 x 81 + 1 x 80 = 221 in het octale en 145 in decimale stelsel
Bij het Hexadecimale stelsel werkt het net zo, alleen worden er 16 getallen gebruikt en wij kennen er maar 10, dus gebruiken we dan nog 5 letters erbij, als getal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
145 is in Hex. : 91 kijk maar weer: 9 x 161 + 1 x 160 = 91 in het hexadecimale en 145 in het decimale stelsel
In deze tabel staan een paar voorbeelden; Decimaal Octaal Hexadecimaal Binair
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 10
5 5 5 101
7 7 7 111
8 10 8 1000
9 11 9 1001
10 12 10 1010
11 13 11 1011
12 14 12 1100
13 15 13 1101
14 16 14 1110
15 17 15 1111
16 20 20 10000
Wat zo leuk is aan de drie stelsels Binair, Octaal en Hexadecimaal, is dat je de laatste twee heel makkelijk kan afleiden uit het Binaire stelsel, je hoeft namelijk alleen het binaire getal in groepjes van 3 (octaal) en 4 (hexadecimaal) te zetten waarbij je rechts begint met schrijven. Voorbeeld: Het getal 7354943 is binair 01110000101000111111, om dit hexadecimaal te schrijven: 0111 0000 1010 0011 1111 = 70A3F, om dit octaal te schrijven: 01 110 000 101 000 111 111= 1605077, dus als je een beetje binair kan rekenen, is het heel gemakkelijk om de getallen om te zetten in het octale en hexadecimale getallenstelsel. Binair talstelsel  een bit is een binair cijfer (binary digit)  een bit kan als waarde slechts 0 of 1 hebben  8 bits vormen samen één byte  één byte (by eight) heeft 28 = 256 mogelijke waarden  de minimale waarde van één byte is 0  de maximale waarde van één byte is 255  bits zijn van rechts naar links genummerd van bit 0 t/m bit 7
bit 7 6 5 4 3 2 1 0

macht van twee 27 26 25 24 23 22 21 20
max. bitwaarde 128 64 32 16 8 4 2 1
111010112 is 23510
binair 1 0 0 1 1 0 1 0
max. bitwaarde 128 64 32 16 8 4 2 1
decimaal 128 0 0 16 8 0 2 0
want: 128 + 16 + 8 + 2 = 154
100110102 is 15410
11101011 1 1 1 0 1 0 1 1
max. bitwaarde 27 26 25 24 23 22 21 20
235 128 64 32 0 8 0 2 1
want: 128 + 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 235
Talstelsels
Decimaal
Grondtal : 10
Gebruikte symbolen: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Binair talstelsel
Grondtal : 2
Gebruikte symbolen: 0 1
Octaal
Grondtal : 8
Gebruikte symbolen: 0 1 2 3 4 5 6 7
Hexadecimaal talstelsel
Grondtal : 16
Gebruikte symbolen: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Omzettingen van binair, octaal en hexadecimaal naar decimaal

decimale waarde =  ( (dec waarde van gebruikte symbool) x (grondtal) (orde) ) vb C3F (hexadecimaal) om te zetten naar decimaal
decimale waarde = 12 x 162 + 3 x 161 + 15 x 160 = 3135
Omzetten van decimaal naar binair, octaal en hexadecimaal (gehele getallen) Mogelijke omzetwijze: maak tabel met quotiënt en rest, begin rechts. Vb Om 25 (decimaal) om te zetten naar binair
Q 0 1 3 6 12 25
R 1 1 0 0 1
Plaats rechts bij quotiënt het getal dat je wilt omzetten. Deel door het grondtal van het talstelsel waarnaar je wilt omzetten. Plaats het nieuwe quotiënt links van het startgetal en de rest onder het startgetal. Ga zo door tot je met quotiënt 0 zit. Nu kan je het gekregen getal gewoon aflezen naast R. Dus 25 (decimaal) is 11001 (binair). Omzetten van decimaal naar binair, octaal en hexadecimaal (getallen met decimalen) Mogelijke omzetwijze: V.b. om 0,524 (decimaal) om te zetten naar octaal
0,524*8=4,192
0,192*8=1,536
0,539*8=4,288
Vermenigvuldig het getal met het grondtal van het talstel waarnaar je wilt omzetten. Ga nu verder met het resultaat, maar zonder geheel getal. En ga zo voort tot je een resultaat bekomt of de bereikte nauwkeurigheidsgraad bereikt hebt. Nu is het resultaat de aanéénzetting van de getallen die je eraf nam. Dus 0,524 (decimaal) is 0,414… (octaal). Omzetten van binair naar octaal en hexadecimaal
Mogelijke omzetwijze: Getal opsplitsen in groepjes van 3 (bij binair) of groepjes van 4 (bij hexadecimaal) beginnend bij het decimale punt. Elk groepje omzetten naar het overeenkomende octaal of hexadecimaal symbool. Vb 1010111,11011 (binair) om te zetten naar octaal

1 010 111, 110 110
1 2 7, 6 6
Dus 1010111,11011 (binair) = 127,66 (octaal) Omzetten van octaal en hexadecimaal naar binair
Ieder symbool van het om te zetten getal omzetten naar 3 (voor octaal) of 4 (voor hexadecimaal) bits. Vb 1C3,14 (hexadecimaal) om te zetten naar binair
1 C 3, 1 4
0001 1100 0011, 0001 0100
Dus 1C3,14 (hexadecimaal) is 111000011,000101 (binair) Omzetten van hexadecimaal naar octaal of omgekeerd
Eerst omzetten naar binair en dan naar het gewenste talstelsel. Binaire en andere talstelsels
De getallen waar wij gewoonlijk mee werken zijn genoteerd volgens het decimale stelsel. Het decimale stelsel is een zogenaamd positiestelsel. In een positiestelsel is de betekenis van een cijfer afhankelijk van de positie die dat cijfer in het getal inneemt. Daardoor is bijvoorbeeld de ene 3 in het getal 313 niet evenveel waard als de andere 3. In het decimale stelsel kun je een getal als 313 schrijven als de som van producten van de cijfers en machten van 10: De machten van 10 schrijven we normaal gesproken niet op. Alleen de cijfers vóór de machten worden opgeschreven en vormen samen dan een decimaal getal. Het binaire of tweetallige stelsel is analoog aan het decimale stelsel opgebouwd. In het binaire stelsel heb je slechts te maken met de cijfers 0 en 1. Elke cijferpositie in een binair getal vertegenwoordigt nu een andere macht van twee. Een decimaal getal kan ook als een binair getal genoteerd worden. Het decimale getal 13 is bijvoorbeeld gelijk aan het binaire getal 1101, wegens: Door de machten van 2 weg te laten en alleen de cijfers voor de machten op te schrijven ontstaat het getal 1101. De enen en nullen in de binaire schrijfwijze worden bits genoemd. De geheugens van de meeste microcomputers bestaan uit cellen die 8 bits kunnen bevatten. Met deze 8 bits kun je 256 verschillende combinaties van nullen en enen maken. Met 8 bits kun je dus de decimale getallen van 0 tot en met 255 weergeven. Een geheugencel van 8 bits heet een byte. Omzetten van binair naar decimaal en omgekeerd
Omdat machten van 2 zo'n belangrijke rol spelen bij binaire getallen, is het voor het omrekenen van binaire getallen naar decimale getallen handig een aantal machten van twee uit het hoofd te kennen. De eerste elf machten van 2 staan opgesomd in tabel 2. Omgekeerd kun je voor de omzetting van decimaal naar binair tabel 2 eveneens gebruiken. Eerst zoek je de in de tabel de grootste macht van 2 die niet groter is dan het decimale getal. Hiervoor noteer je een 1 en vervolgens trek je die macht van 2 van het decimale getal af. Voor het getal dat nu over blijft bekijk je of je de vorige macht van 2 uit de tabel van dit getal kunt af trekken, zonder dat er een negatieve uitkomst ontstaat. Dit proces herhaal je met alle lagere machten van 2, waarbij je een 0 noteert als je de macht van 2 niet met een positief resultaat van het decimale getal kunt af trekken, en een 1 als je dat wél kunt. Een voorbeeld: we willen het decimale getal 175 als binair getal schrijven. De oplossing gaat als volgt: de hoogste macht van 2 die in 175 ‘past’ is 128. Daarvoor noteer je dus een 1. Trek deze macht van twee er af: 175 – 128 = 47. De volgende macht van 2 is 64 (zie de tabel), maar deze waarde past niet in 47. Dus noteer je een 0. De daar op volgende macht van 2 is 32 en deze waarde past in 47. Voor deze macht noteer je dus een 1. Trek de macht er af: 47 – 32 = 15. Door het rijtje enen en nullen achter elkaar op te schrijven krijg je het getal 10101111, en daarmee de binaire representatie van het decimale getal 175.