Wiskunde hoofdstuk 13 Formules en grafieken
Lineaire functie
Y is een lineaire functie van x betekent y=ax+b. met a= deltaY/deltaX = Yb-Ya/Xb-Xa
De grafiek is een lijn door het punt (0,b) met richtingscoëfficiënt (helling) a
Richtingscoëfficiënt = a betekent 1 naar rechts en a omhoog
Bij p is een lineaire functie van q hoort de formule p=aq+b met a=delta p / delta q
Formules opstellen
De formule van de lijn in figuur 13.5 krijg je als volgt:
Figuur: hoogste punt=(2,7) en laagste punt=(4,3)
P=aq+b met a=delta p/delta q = 7-3/2-4 = -2
(2,7) invullen in p= -2q+b
Geeft 7 = -2*2+b ofwel b=11
Dus p=-2q + 11 met 1<5 (q is groter of gelijk aan 1 en kleiner of gelijk aan 5).
Je moet het domein 1<5 erbij zetten.
Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden
Lineaire vergelijkingen moet je algebraïsch oplossen.
Bij de vergelijking 0,22t + 2,3 = -0,18t + 6,7 gaat dat als volgt:
0,22t + 2,3 = -0,18t + 6,7
0,22t+0,18t = 6,7 – 2,3
0,40t = 4,4
t = 11
Je weet nu dat de grafieken in figuur 13.6 elkaar snijden bij t = 11. uit de figuur lees je af dat formule 1 groter is dan formule 2 voor t > 11. Dus 0,22t + 2,3 > -0,18 + 6,7 voor t>11.
Formules in de economie
Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K een lineaire functie te zijn van het aantal gefabriceerde artikelen q.
De opbrengst R = pq is dan een kwadratische functie van q. Ook de winst W=R-K is in dat geval een kwadratische functie van q.
Maximale opbrengst en maximale winst
Is p= -0,5 + 1000, dan is R=pq = (-0,5q + 1000)q = -0,5q^2 + 1000q.
Met de optie maximum op de GR vind je:
Rmax = 500 000 voor q= 1000.
Is verder K = 400q + 30 000 dan is:
W = R-K = -0,5q^2 + 1000q – (400q + 30 000)
= -0,5q^2 + 1000q – 400q – 30 000.
= - 0,5q^2 + 600q – 30 000
De optie maximum op de Gr geeft Wmax = 150 000 voor q = 600.
Kwadratische vergelijkingen
Vergelijkingen zoals 0,1q^2 – 10q = - en 0,1q^2 – 10q = 110 moet je algebraïsch kunnen oplossen. De methode is:
Maak het rechterlid 0
ontbind het linkerlid in factoren
pas toe AB=0 geeft A=0 en B=0.
0,1q^2 – 10q = 0
q(0,1q-10) = 0
q = 0 of 0,1q – 10 = 0
q = 0 of 0,1q = 10
q = 0 of q = 100
0,1q^2 – 10q = 110
0,1q^2 – 10q – 110 = 0
q^2 – 100q – 1100 = 0
(q-110)(q+10)=0
q-110 = 0 of q+10 = 0
q= 110 of q = -10
Herken je bij het algebraïsch oplossen van een kwadratische vergelijking geen ontbinding in factoren, dan gebruik je de ABC formule.
Kwadratische formules
Bij Y is een kwadratische functie van x hoort de formule Y=ax^2 + bx + c, waarbij a niet nul is. De grafiek is een parabool.
De x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as volgen uit ax^2+bx + c =0.
Afhankelijk van de vraagstelling los je deze vergelijking algebraïsch op of met de optie ZERO op de GR.
Snelheid en raaklijn
De snelheid waarmee Y verandert voor x = Xa is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn m van de grafiek in het punt A.
Moet je bij een gegeven grafiek een snelheid schatten, dan teken je de raaklijn in het bijbehorende punt zo nauwkeurig mogelijk en meet je de richtingscoëfficiënt van deze lijn op.
Snelheid en de GR
Is een formule gegeven, dan krijg je met de optie dy/dx in elk punt van de grafiek de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. De rc van de raaklijn (=de helling) in A wordt genoteerd als [dy/dx]x=Xa.
[dy/dx]x=Xa is:
De helling van de grafiek in A.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A.
De snelheid waarmee Y veranderd voor x=Xa.
Het differentiaalquotiënt voor x=Xa.
De afgeleide functie
De afgeleide functie f voegt aan elke x de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het bijbehorende punt (x,f,(x)) van de grafiek van f toe.
Het berekenen van f’(x) heet differentiëren.
Met de volgende regels is het mogelijk van enkele functies direct de afgeleide op te schrijven:
F(x) = c geeft f’(x) = 0
F(x) = ax geeft f’(x) = a
F(x) = ax^n geeft f’(x) = n * ax^n-1
De afgeleide van f(x) = 3x^5 – 8x^3 + 6x krijg je door term voor term te differentiëren. Dus: f’(x) = 5*3x^4 – 3*8x^2 + 6 = 15x^4 – 24x^2 + 6.
De vergelijking van een raaklijn opstellen
De vergelijking van de raaklijn k in het punt A met Xa=3 van de grafiek van f(x)=x^2-8x +1 krijg je als volgt.
F’(x) = 2x-8, dus Rc_k = f’(3) = 2*3-8 = -2.
Dus k: Y= -2x + b
Ya = f(3) = -14, dus A (3,-14)
Maakt: -14 = -2*3 + b = -14 = -6 + b = -8 = b
Dus: k: Y= -2x – 8.
Notities voor de afgeleide
De afgeleide van Y= 8x^3 + 6x^2 is dy/dx= 24x + 12x. Je kunt ook schrijven:
D(8x^3+6x^2)/dx = 24x + 12x of
d/dx (8x^3+6x^2) = 24x + 12x
Bij R= -8q^3 + 5pq^2 is dR/Dq = -24q^2 + 10pq en dR/dp = 0 + 5q^2.
Stijgen, dalen en toppen
Is f’(x) > 0 op een interval, dan is f stijgend op dat interval.
Is f’(x) < 0 op een interval, dan is f dalend op dat interval.
In de grafiek hiernaast is A een top, dus f’(Xa)=0. Omdat Ya=75 is het maximum Ymax=75. Uit [dy/dx]_x=3 > 0 volgt dat y toeneemt voor x=3.
Berekenen en controleren van maxima en minima
Bij de opdracht bereken algebraïsch het maximum van Y moet je:
1. de afgeleide dy/dx berekenen.
2. de vergelijking dy/dx=0 algebraïsch oplossen.
3. de grafiek van y schetsen en aflezen welke oplossing van dy/dx=0 bij het maximum hoort.
4. het maximum berekenen door de gevonden x-waarde in te vullen in de formule van Y.
Bij de opdracht toon met de afgeleide aan dat Y een maximum heeft voor x=a moet je:
1. de afgeleide dy/dx berekenen en laten zien dat [dy/dx]_x=a = 0.
2. de grafiek van y schetsen en opmerken dat er inderdaad een hoogste punt is.
Randmaxima en randminima
Is bij een formule een domein gegeven, dan treden bij de randpunten van het domein maxima en/of minima op. In een praktische situatie spelen deze randextremen een rol als het een absoluut maximum of absoluut minimum betreft.
Lineaire functie
Y is een lineaire functie van x betekent y=ax+b. met a= deltaY/deltaX = Yb-Ya/Xb-Xa
De grafiek is een lijn door het punt (0,b) met richtingscoëfficiënt (helling) a
Richtingscoëfficiënt = a betekent 1 naar rechts en a omhoog
Bij p is een lineaire functie van q hoort de formule p=aq+b met a=delta p / delta q
Formules opstellen
De formule van de lijn in figuur 13.5 krijg je als volgt:
Figuur: hoogste punt=(2,7) en laagste punt=(4,3)
(2,7) invullen in p= -2q+b
Geeft 7 = -2*2+b ofwel b=11
Dus p=-2q + 11 met 1<5 (q is groter of gelijk aan 1 en kleiner of gelijk aan 5).
Je moet het domein 1<5 erbij zetten.
Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden
Lineaire vergelijkingen moet je algebraïsch oplossen.
Bij de vergelijking 0,22t + 2,3 = -0,18t + 6,7 gaat dat als volgt:
0,22t + 2,3 = -0,18t + 6,7
0,22t+0,18t = 6,7 – 2,3
0,40t = 4,4
t = 11
Je weet nu dat de grafieken in figuur 13.6 elkaar snijden bij t = 11. uit de figuur lees je af dat formule 1 groter is dan formule 2 voor t > 11. Dus 0,22t + 2,3 > -0,18 + 6,7 voor t>11.
Formules in de economie
Bij veel economische problemen blijken de prijs p en de kosten K een lineaire functie te zijn van het aantal gefabriceerde artikelen q.
De opbrengst R = pq is dan een kwadratische functie van q. Ook de winst W=R-K is in dat geval een kwadratische functie van q.
Is p= -0,5 + 1000, dan is R=pq = (-0,5q + 1000)q = -0,5q^2 + 1000q.
Met de optie maximum op de GR vind je:
Rmax = 500 000 voor q= 1000.
Is verder K = 400q + 30 000 dan is:
W = R-K = -0,5q^2 + 1000q – (400q + 30 000)
= -0,5q^2 + 1000q – 400q – 30 000.
= - 0,5q^2 + 600q – 30 000
De optie maximum op de Gr geeft Wmax = 150 000 voor q = 600.
Kwadratische vergelijkingen
Vergelijkingen zoals 0,1q^2 – 10q = - en 0,1q^2 – 10q = 110 moet je algebraïsch kunnen oplossen. De methode is:
Maak het rechterlid 0
ontbind het linkerlid in factoren
pas toe AB=0 geeft A=0 en B=0.
0,1q^2 – 10q = 0
q(0,1q-10) = 0
q = 0 of 0,1q – 10 = 0
q = 0 of 0,1q = 10
q = 0 of q = 100
0,1q^2 – 10q = 110
q^2 – 100q – 1100 = 0
(q-110)(q+10)=0
q-110 = 0 of q+10 = 0
q= 110 of q = -10
Herken je bij het algebraïsch oplossen van een kwadratische vergelijking geen ontbinding in factoren, dan gebruik je de ABC formule.
Kwadratische formules
Bij Y is een kwadratische functie van x hoort de formule Y=ax^2 + bx + c, waarbij a niet nul is. De grafiek is een parabool.
De x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as volgen uit ax^2+bx + c =0.
Afhankelijk van de vraagstelling los je deze vergelijking algebraïsch op of met de optie ZERO op de GR.
Snelheid en raaklijn
De snelheid waarmee Y verandert voor x = Xa is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn m van de grafiek in het punt A.
Moet je bij een gegeven grafiek een snelheid schatten, dan teken je de raaklijn in het bijbehorende punt zo nauwkeurig mogelijk en meet je de richtingscoëfficiënt van deze lijn op.
Is een formule gegeven, dan krijg je met de optie dy/dx in elk punt van de grafiek de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. De rc van de raaklijn (=de helling) in A wordt genoteerd als [dy/dx]x=Xa.
[dy/dx]x=Xa is:
De helling van de grafiek in A.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A.
De snelheid waarmee Y veranderd voor x=Xa.
Het differentiaalquotiënt voor x=Xa.
De afgeleide functie
De afgeleide functie f voegt aan elke x de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het bijbehorende punt (x,f,(x)) van de grafiek van f toe.
Het berekenen van f’(x) heet differentiëren.
Met de volgende regels is het mogelijk van enkele functies direct de afgeleide op te schrijven:
F(x) = c geeft f’(x) = 0
F(x) = ax geeft f’(x) = a
F(x) = ax^n geeft f’(x) = n * ax^n-1
De afgeleide van f(x) = 3x^5 – 8x^3 + 6x krijg je door term voor term te differentiëren. Dus: f’(x) = 5*3x^4 – 3*8x^2 + 6 = 15x^4 – 24x^2 + 6.
De vergelijking van een raaklijn opstellen
F’(x) = 2x-8, dus Rc_k = f’(3) = 2*3-8 = -2.
Dus k: Y= -2x + b
Ya = f(3) = -14, dus A (3,-14)
Maakt: -14 = -2*3 + b = -14 = -6 + b = -8 = b
Dus: k: Y= -2x – 8.
Notities voor de afgeleide
De afgeleide van Y= 8x^3 + 6x^2 is dy/dx= 24x + 12x. Je kunt ook schrijven:
D(8x^3+6x^2)/dx = 24x + 12x of
d/dx (8x^3+6x^2) = 24x + 12x
Bij R= -8q^3 + 5pq^2 is dR/Dq = -24q^2 + 10pq en dR/dp = 0 + 5q^2.
Stijgen, dalen en toppen
Is f’(x) > 0 op een interval, dan is f stijgend op dat interval.
Is f’(x) < 0 op een interval, dan is f dalend op dat interval.
In de grafiek hiernaast is A een top, dus f’(Xa)=0. Omdat Ya=75 is het maximum Ymax=75. Uit [dy/dx]_x=3 > 0 volgt dat y toeneemt voor x=3.
Berekenen en controleren van maxima en minima
Bij de opdracht bereken algebraïsch het maximum van Y moet je:
2. de vergelijking dy/dx=0 algebraïsch oplossen.
3. de grafiek van y schetsen en aflezen welke oplossing van dy/dx=0 bij het maximum hoort.
4. het maximum berekenen door de gevonden x-waarde in te vullen in de formule van Y.
Bij de opdracht toon met de afgeleide aan dat Y een maximum heeft voor x=a moet je:
1. de afgeleide dy/dx berekenen en laten zien dat [dy/dx]_x=a = 0.
2. de grafiek van y schetsen en opmerken dat er inderdaad een hoogste punt is.
Randmaxima en randminima
Is bij een formule een domein gegeven, dan treden bij de randpunten van het domein maxima en/of minima op. In een praktische situatie spelen deze randextremen een rol als het een absoluut maximum of absoluut minimum betreft.
REACTIES
:name
:name
:comment
1 seconde geleden