De Gulden Snede

Deelvragen:
1. Wat is de Gulden Snede
2. Welke rol speelt de Gulden Snede in de kunst
3. Welke wiskundige vergelijking hoort bij de Gulden Snede
4. Wat heeft Fibonacci hiermee te maken?
5. Bij welke dingen kan de Gulden Snede nog meer een rol spelen

Onderzoek:
Laat een stuk of 30 mensen een rechthoek tekenen, waarbij ze volledig vrij zijn in de afmetingen. Bereken bij elke rechthoek de verhouding tussen de grote en kleine zijde en hiervan het gemiddelde. Komt dit gemiddelde in de buurt van de Gulden Snede? Geef hier een verklaring voor.

Deelvraag 1: Wat is de Gulden Snede?
De gulden snede is om verschillende redenen interessant. Ten eerste is het een klassieke opvatting dat de Gulden Snede "mooie" verhoudingen geeft. Al in de oudheid baseerden de Grieken de ontwerpen van gebouwen op de Gulden Snede. Later kwam dit concept opnieuw in de mode in de Renaissance, en ook vandaag de dag zijn er kunstenaars en architecten die de Gulden Snede bij de vormgeving van hun werk toepassen. Maar hier later verder over bij Deelvraag 2.

De gulden Snede heeft ook verschillende Wiskundige eigenschappen:
1. De Gulden Snede leidt tot een gelijkvormige vlakverdeling.
2. De Gulden Snede blijkt voor te komen in figuren met vijfvoudige symmetrie.
3. De Gulden Snede is de verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonnaci.
4. De Gulden Snede heeft een unieke representatie als voortgezette breuk.
De Gulden Snede is dus een getal dat met een formule uitgerekend kan worden en wat een bijzonder getal is. We geven de Gulden Snede aan met de Griekse letter φ. φ staat voor het getal 0,61803398875. Hoe we aan dit getal komen leggen we bij deelvraag 3 uit.

Deelvraag 2: Welke rol speelt de Gulden Snede in de kunst?
De gulden Snede speelt een belangrijke rol in de kunst. Hier een paar voorbeelden.
De oude Egyptenaren bouwden vroeger soms een piramide als graf voor hun farao. Dit duurden vele jaren. Vele piramides zijn in de loop van de tijd al verwoest, maar bij sommige is er nog wiskundig onderzoek gedaan. Daaruit blijkt dat er bij sommige piramides gebruik werd gemaakt van de Gulden Snede. Een voorbeeld daarvan is de Grote Piramide in Gizeh, gebouwd rond 2500 voor Christus. Of het toeval is dat de Gulden Snede bij deze piramides is gebruikt zijn de meningen van de wetenschappers over verdeeld. Er zijn wetenschappers die denken dat als de piramides op deze manier zijn gebouwd, ze beter bestand zijn tegen aardbevingen. Daarom is deze piramide ook goed gebleven.
Een ander voorbeeld is het Parthenon. De Griek Euclides kende de Gulden Snede zeker, want hij heeft erover geschreven in zijn geschriften. De Gulden Snede is door de Grieken vaak toegepast in hun bouwwerken en steenhouwwerk. Het Parthenon is hier een mooi voorbeeld van, dat is een oude Griekse tempel. Er is nu alleen nog een ruїne van over. De tempel is ontworpen door Callicrates en gemaakt onder leiding van Phidias(waarnaar de Gulden Snede (Phi) ook vernoemd is) De Gulden Snede is hier op verschillende plaatsen terug te vinden(zie het plaatje).

Na de Grieken die de Gulden Snede hebben ontdekt, zijn er nog vele kunstenaars geweest die de Gulden Snede hebben gebruikt voor de verhouding in hun kunstwerk. Vooral in de Renaissance, omdat er toen veel aandacht aan de verhoudingen werd besteed. Die verhoudingen moesten in heel het gebouw worden toegepast. In renaissance gebouwen zie je veel horizontale lijnen. De gebouwen zien er massief en gesloten uit.
Na de Renaissance komt er een nieuwe stroming in de kunst namelijk de Romantiek. In dit tijdperk kregen de mensen weer opnieuw aandacht voor de Gulden Snede. In dit tijdperk kreeg de Gulden Snede ook haar echte naam.(1835) Mensen lijken de Gulden Snede overal in te herkennen. Er zijn kunstenaars die hun inspiratie opdeden aan De Gulden Snede.
Bij de kunstenaars die we hiervoor genoemd hebben weten we niet zeker of de Gulden Snede expres gebruikt is. Maar bij Le Corbusier wel. Le Corbusier heet eigenlijk Charles Edouard Jeanneret, maar hij is bekent geworden onder de naam Le Corbusier. Hij ontwierp, volgens het ‘modulair systeem’, gebaseerd op de maten van het menselijk lichaam de Gulden Snede. Volgens hem splitst de navel het menselijk lichaam in tweeen die als verhouding de Gulden Snede hebben.(zie plaatje)
Hier kan je ook de getallen van Fibonacci in terug herkennen. 432 + 698= 1130.

Deelvraag 3: Welke Wiskundige vergelijking hoort bij de Gulden Snede?
De Gulden Snede wordt meestal ingevoerd aan de hand van een lijnstuk in twee gedeelten.
Lengte lijnstuk AB is 1. AB wordt in tweeёn gedeeld door M. De verhouding MB:AM is gelijk aan de verhouding AM:AB. De lengte van AM noemen we x. Daardoor krijgen we de vergelijking:
Deze vergelijking kan je omschrijven tot:
Hierop kan je dan de abc-formule toepassen. Dan kom je uit op x = (–1 + √5)/2 ≈ 0.618 of x = (–1 – √ 5)/2 ≈ –1.618. Dit laatste antwoord kan niet omdat er geen negatief getal uit mag komen. De Gulden Snede is dus 1,618. De Gulden Snede heeft ook het Griekse teken φ. De Gulden Snede heeft de eigenschap dat 1/ φ = 1+ φ. Dit getal wordt soms ook weleens de Gulden Snede genoemd.

Deelvraag 4: Wat heeft Fibonnaci hiermee te maken?
De wiskundige Leonardo Pisano, wordt meestal Leonardo de Pisa genoemd, werd rond 1175 geboren in Pisa. Hij was de zoon van de koopman Bonaccio(= goedzak) Hij schreef in 1202 een boek met de titel ‘Liber Abaci’, het ‘boek van het telraam’. Hij lost daarin allemaal problemen uit het dagelijks leven op met behulp van de Arabische algebra. Zo heeft hij ook het beroemde konijntjesprobleem uitgelegd:

Als een konijnenpaar elke maand een jong konijnenpaar voortbrengt, dat na twee maanden zelf ook weer een konijnenpaar voortbrengt, hoeveel konijnenparen heb je dan na verloop van tijd, als ze allemaal in leven blijven?
Je krijgt het volgende resultaat:

- Januari: 1
- Februari: 2
- Maart: 3
- April: 5
- Mei: 8
- Juni: 13
- Juli: 21
- Augustus: 34
- September: 55
- Oktober: 89
- November: 144
- December: 233

De getallen komen uit de rij van Fibonacci.
De rij van Fibonacci ziet er zo uit:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …

Je kan een nieuw getal berekenen door de vorige twee getallen bij elkaar op te tellen.
Net als de Gulden Snede komen deze Fibonacci getallen veel in de natuur voor.
Voorbeeld: Zonnebloempitten staan altijd zo ingepland dat ze twee stelsels spiralen lijken te vormen. De stelsels bevatten meestal 34 en 55 spiralen, maar 55 en 89, of 89 en 144 komen ook voor. En deze getallen komen voor in de getallenreeks van Fibonacci.
Over Leonardo Pisano is een biografie geschreven. In deze biografie werd hij ook wel ‘Fillius Bonacci’ genoemd(= zoon van goedzak). Dat is later vervormd tot Fibonacci, zoals hij nu ook bekend is.

Deze reeks is heel bijzonder en heeft een verband met de Gulden Snede, want als je twee opvolgende getallen door elkaar deelt krijg je de uitkomst van de Gulden Snede.

Deelvraag 5: Bij welke dingen kan de Gulden Snede nog meer een rol spelen?
De Gulden Snede komt in heel veel dingen voor. Wij geven bij deze deelvraag twee voorbeelden: Biologie en Natuurkunde.

Biologie.
Bij deelvraag 4 over de rijen van Fibonacci hebben we het voorbeel van de zonnebloem al genomen, maar hierbij willen we er nog even op doorgaan.
Zonnebloemen moeten pitten maken. Die pitten groeien van binnenuit en de oudste pitten worden naar buiten gedrukt door de jongste. Er is maar een goede manier om de pitten te laten groeien.
Vanuit de pit wordt er telkens over de Gulden Hoek, φ x 360˚= 222,5˚. (zie tekening)
Zo maakt een zonnebloem ook werkelijk zijn pitten. In 1993 werd door Couder en Douady aangetoond dat de oppervlakte van de zonnebloem het meest wordt benut als de nieuwe zonnepitten onder de Gulden Hoek wordt geplaatst.
De Gulden Hoek is in de zonnebloem moeilijk te zien. Je ziet snel andere spiralen waarin de zonnepitten naar bijten lijken te groeien. Het aantal spiralen is een getal van Fibonacci, dat kan niet ander als er met de Gulden Hoek wordt gewerkt.

Natuurkunde.
De Gulden Snede speelt in de natuurkunde niet zo’n grote rol als het getal pie. De Gulden Snede heeft wel een betekenis in de theorie van dynamische systemen en chaotisch gedrag. Dit onderwerp begint weer in het verleden. In de 17e eeuw werd Christiaan Huygens bekend met zijn golftheorie van licht, zijn ontdekking van de ringen van Saturnus en zijn uitvinding van de slingerklok. Die slingerklok is heel interessant voor de Gulden Snede.

Huygens viel namelijk op, dat als twee klokken naast elkaar hingen aan een niet al te stevige wand, ze de neiging hadden gelijk te gaan lopen. Ze beïnvloeden elkaar dus. Hoe dat komt, maakt voor de Gulden Snede niets uit, maar het gevolg wel. De klokken gaan samen lopen, ook al zijn de trillingstijden van de afzonderlijke klokken een klein beetje anders. Dat verschijnsel heet mode locking. Mode locking treedt niet alleen op bij de frequentie waarmee een systeem in trilling is, maar ook bij veelvouden van die frequentie. Voor Huygens betekend dit dat de slingertijden ook in elkaar gekoppeld kunnen raken in een verhouden 1:3 of 3:5. Hoe dichter de klokken bij elkaar hangen en hoe slapper de muur, hoe gemakkelijker deze koppeling optreedt.
Mode locking treedt ook op bij de beweging van bepaalde hemellichamen in ons zonnestelsel. Een voorbeeld hiervan is de beweging van Pluto en Neptunus. De omloopstijden van deze planeten om de zon te verhouden zich als 3:2, als gevolg van de aantrekking van Neptunus op Pluto. Men spreekt in dit verband ook wel van resonaties.
In de theorie van dit soort aan elkaar gekoppelde systemen komt de Gulden Snede voor als de verhouding tussen twee frequenties waarbij mode locking het moeilijkst optreedt. Als de koppeling tussen twee systemen sterker gemaakt wordt is de kans groter dat ze gevangen worden door een rationeel getal. Daardoor zal er bijna altijd mode locking komen. Behalve bij φ of 1- φ. De Gulden Snede is een verhouding die zich door alle getallen het minst laat beïnvloeden. Als je dus mode locking wilt voorkomen moet je de verhouding kiezen volgens de Gulden Snede.