Opgave 18
a. De totale afstand is 10 km. De renner doet daar 20 minuten over.
Dus gemiddeld is dat 10 km / 20 min = 30 km / uur.
b. Plot de grafiek d(t) eerst op het interval [0,10]. Je moet dan dus
Y1 = 5X3 plotten met X tussen 0 en 10. Bedenk nu dat de bijbehorende Y-waarden (als X tussen 0 en 10 zit) tussen 0 en 5•103 = 5000 komen te liggen. Als je op deze manier de grafiek plot zul je zien dat de helling van de grafiek steeds steiler wordt als X van 0 tot 10 toeneemt. Dus de snelheid neemt toe naarmate X dichter bij X = 10 komt te liggen. Op dezelfde manier ga je nu ook de grafiek van d(t) plotten op het interval [10,20]. Nu moet je dus Y1 = 10000 - 5(20-X) 3 plotten, met X tussen 10 en 20! Als je goed naar de formule ijkt, kun je begrijpen dat Y1 precies 10000 is als X = 20 en gelijk is aan 5000 als X = 10. Dus kies je bij het plotten Y tussen 5000 en 10000. Bekijk je nu de grafiek dan zie je dat de grafiek steeds minder steil loopt als X van 10 naar 20 gaat. Dus de gemiddelde snelheid neemt af op dit interval. c. d(a+1) - d(a) is een algemene schrijfwijze voor het verschil tussen twee opeenvolgende waardes van d(t) die 1 eenheid van elkaar liggen. Als je bijvoorbeeld a = 1 kiest, dan staat er d(2) - d(1). Kies je bijvoorbeeld a = 19, dan staat er d(20) - d(19). Omdat t het aantal minuten voorstelt, is bijvoorbeeld d(7) - d(6) precies de afstand die is afgelegd in de zevende minuut. Maar het staat ook voor de gemiddelde snelheid in de zevende minuut in meters per minuut. Om dezelfde reden is d(1) - d(0) de gemiddelde snelheid in de eerste minuut. Let wel op: als je bijvoorbeeld de gemiddelde snelheid in meters per minuut op de eerste 10 minuten zou willen berekenen, dan moet je dus d(10) - d(0) bepalen en vervolgens nog delen door 10. Zorg er nu voor dat je m.b.v. de toets VARS van je rekenapparaat, ingetoetst krijgt Y2 = Y1(X+1) - Y1(X). Y2 is dan namelijk de functie die je alle waardes d(a+1) - d(a) geeft. Immers als ik X =1 kies, dan staat er Y2 = Y1(2) - Y1(1) en dat is hetzelfde als d(2) - d(1) want Y1 staat voor d(t). Als je aldus Y2 hebt ingevoerd, kun je vervolgens met TABLESET en TABLE de gezochte waardes gewoon aflezen. d. Je moet dus berekenen wat de afgelegde afstand is na 7 minuten, dus d(7) berekenen en ook wat de afstand is na 7,1 minuten, dus d(7,1) berekenen. Om de afstand te bepalen die tussen t=7 en t=7,1 is afgelegd, moet je dus d(7,1) - d(7) uitrekenen. Je wilt de gemiddelde snelheid op dit kleine interval weten, dus je moet tenslotte nog delen door 0,1 (ofwel door 7,1 - 7). Als je niet snapt waarom bedenk dan voor je zelf gemakkelijk voorbeelden om in te zien dat je de afgelegde weg altijd moet delen door de tijdsduur om de gemiddelde snelheid te krijgen. Bijvoorbeeld 10 m in 0,4 minuut levert een gemiddelde snelheid op van
10 / 0,4 = 100 / 4 = 25 m / min. e. Zie antwoordenboek (de methode is analoog aan opgave d.) f. Zie antwoordenboek (de methode is analoog aan opgave d.)
Opgave 19
In deze opgave doe je weer hetzelfde wat je ook bij 18d en 18e hebt
gedaan. Op het interval [9,9 ; 10] de gemiddelde snelheid berekenen, betekent dus niks anders dan de afgelegde afstand op tijdstip 10 en de afgelegde afstand op tijdstip 9.9 van elkaar aftrekken en vervolgens te delen door het tijdsinterval: Uiteraard is het weer zo dat de schatting van de snelheid op tijdstip
t = 10 steeds beter wordt naarmate het interval kleiner is. Zie verder het antwoordenboek voor de precieze uitwerking. Opgave 20 Ook deze opgave is weer meer van hetzelfde. Hieronder een uitwerking van onderdeel b. Onderdeel a. gaat precies hetzelfde. Opgave 21 Het domein is [-1,8]. Dat betekent dat de x-waarden tussen -1 en zitten. Kies dus bij het plotten ervoor dat X tussen -1 en 8 zit. Aan de formule f(x) = -x2 + 7x kun je zien dat x = 0 een nulpunt is, en
dat je f(x) ook kunt schrijven als f(x) = x (-x + 7). Dus x = 7 is het
andere nulpunt. Je weet nu ook automatisch dat de top precies tussen x = 0 en x = 7 valt, dus voor x = 3,5. Omdat (gezien het minteken voor de x2) de grafiek een bergparabool is, wordt het maximum bereikt bij x = 3,5. met behulp van deze inzichten kun je dus de grafiek van f tekenen. a. Teken zo goed mogelijk die raaklijn. Het hellingsgetal schat je nu in door bijvoorbeeld tussen twee willekeurige punten de toename in de y-richting te delen door de toename in de x-richting. b. Het hellingsgetal van de lijn door A(1,6) en B1(2,10) bepaal je dus door het verschil in y-waarden te delen door het verschil van de x-waarden. Dus = = 4
c. Analoog aan b
d. Zie antwoordenboek
Opgave 22
a. Kies een punt B1 dichtbij het punt (1,5), bijvoorbeeld het punt met
x-coordinaat 1,001. Je moet dan natuurlijk eerst de y-coordinaat van dit punt berekenen. Dat is f(1,001) = 5,0025. Dus de helling is ongeveer: = 2,5
b. Op dezelfde manier als opgave a. Opgave 23 a. Zie antwoordenboek
b. Vergelijk de grafiek van opgave a maar eens met de plot van f(x). c. Mag worden overgeslagen Opgave 24 a. Zie antwoordenboek
b. Voor een voorbeeld: zie opgave 22
c. Het hellingsgetal is 0 als de grafiek een horizontale raaklijn heeft! Immers van een horizontale lijn is de helling 0. d. Zie antwoordenboek. e. Mag worden overgeslagen
f. Mag worden overgeslagen Opgave 25 a. Voor een voorbeeld: zie opgave 22
b. Je moet twee dingen controleren, namelijk dat de lijn y = -12x + 5 dezelfde helling heeft als de geschatte helling van de grafiek in (1,-7), en dat die lijn bovendien door het punt (1,-7) loopt. Aan de formule kun je zien dat y = -12x + 5 als hellingsgetal -12 heeft, dus dat klopt. Verder gaat de lijn door (1,-7), vul namelijk maar x=1 in en je krijgt voor y de waarde -7. c. Je moet weer eerst op de bekende manier de helling schatten in het punt (-1,-7). Vervolgens ga je op de manier te werk zoals uitgelegd is bovenaan bladzijde 75. d. Zoek de maxima en minima van de grafiek. In die punten is de raaklijn namelijk horizontaal en dus de helling gelijk aan 0. e. Voor een lijn met hellingsgetal 0 is de algemene vergelijking y = b, immers in y = ax + b is nu a gelijk aan 0. Je weet nu dus dat de lijn door het punt (2,16) als vergelijk heeft y = b. Dan moet b wel gelijk zijn aan 16. Dus de raaklijn door (2,16) is de lijn met vergelijking y = 16. Doe hetzelfde voor de andere twee punten.
Opgave 26
a. Analoog aan het voorbeeld bovenaan bladzijde 75.
b. Mag je overslaan.
Opgave 27
a. Zie antwoordenboek
b. Lees uit de grafiek af dat de opbrengst bij q = 6 gelijk is aan 60. Gemiddeld is de opbrengst dus 60/6 = 10 gulden per zonnewijzer. c. Zie antworodenboek. Probeer in de grafiek gewoon met je geo te zoeken naar twee punten waarvan de q-coordinaat gelijk is en de helling ook, dat wil zeggen waarvoor de raaklijnen parallel zijn. d. Precies op dit punt liggen de grafieken van K en O het verst uit elkaar, daarvoor en daarna buigen ze weer naar elkaar toe. En aangezien op het punt waar ze het verst uit elkaar liggen (O)pbrengst min (K)osten maximaal is, is daar de winst maximaal.
Y1 = 5X3 plotten met X tussen 0 en 10. Bedenk nu dat de bijbehorende Y-waarden (als X tussen 0 en 10 zit) tussen 0 en 5•103 = 5000 komen te liggen. Als je op deze manier de grafiek plot zul je zien dat de helling van de grafiek steeds steiler wordt als X van 0 tot 10 toeneemt. Dus de snelheid neemt toe naarmate X dichter bij X = 10 komt te liggen. Op dezelfde manier ga je nu ook de grafiek van d(t) plotten op het interval [10,20]. Nu moet je dus Y1 = 10000 - 5(20-X) 3 plotten, met X tussen 10 en 20! Als je goed naar de formule ijkt, kun je begrijpen dat Y1 precies 10000 is als X = 20 en gelijk is aan 5000 als X = 10. Dus kies je bij het plotten Y tussen 5000 en 10000. Bekijk je nu de grafiek dan zie je dat de grafiek steeds minder steil loopt als X van 10 naar 20 gaat. Dus de gemiddelde snelheid neemt af op dit interval. c. d(a+1) - d(a) is een algemene schrijfwijze voor het verschil tussen twee opeenvolgende waardes van d(t) die 1 eenheid van elkaar liggen. Als je bijvoorbeeld a = 1 kiest, dan staat er d(2) - d(1). Kies je bijvoorbeeld a = 19, dan staat er d(20) - d(19). Omdat t het aantal minuten voorstelt, is bijvoorbeeld d(7) - d(6) precies de afstand die is afgelegd in de zevende minuut. Maar het staat ook voor de gemiddelde snelheid in de zevende minuut in meters per minuut. Om dezelfde reden is d(1) - d(0) de gemiddelde snelheid in de eerste minuut. Let wel op: als je bijvoorbeeld de gemiddelde snelheid in meters per minuut op de eerste 10 minuten zou willen berekenen, dan moet je dus d(10) - d(0) bepalen en vervolgens nog delen door 10. Zorg er nu voor dat je m.b.v. de toets VARS van je rekenapparaat, ingetoetst krijgt Y2 = Y1(X+1) - Y1(X). Y2 is dan namelijk de functie die je alle waardes d(a+1) - d(a) geeft. Immers als ik X =1 kies, dan staat er Y2 = Y1(2) - Y1(1) en dat is hetzelfde als d(2) - d(1) want Y1 staat voor d(t). Als je aldus Y2 hebt ingevoerd, kun je vervolgens met TABLESET en TABLE de gezochte waardes gewoon aflezen. d. Je moet dus berekenen wat de afgelegde afstand is na 7 minuten, dus d(7) berekenen en ook wat de afstand is na 7,1 minuten, dus d(7,1) berekenen. Om de afstand te bepalen die tussen t=7 en t=7,1 is afgelegd, moet je dus d(7,1) - d(7) uitrekenen. Je wilt de gemiddelde snelheid op dit kleine interval weten, dus je moet tenslotte nog delen door 0,1 (ofwel door 7,1 - 7). Als je niet snapt waarom bedenk dan voor je zelf gemakkelijk voorbeelden om in te zien dat je de afgelegde weg altijd moet delen door de tijdsduur om de gemiddelde snelheid te krijgen. Bijvoorbeeld 10 m in 0,4 minuut levert een gemiddelde snelheid op van
10 / 0,4 = 100 / 4 = 25 m / min. e. Zie antwoordenboek (de methode is analoog aan opgave d.) f. Zie antwoordenboek (de methode is analoog aan opgave d.)
gedaan. Op het interval [9,9 ; 10] de gemiddelde snelheid berekenen, betekent dus niks anders dan de afgelegde afstand op tijdstip 10 en de afgelegde afstand op tijdstip 9.9 van elkaar aftrekken en vervolgens te delen door het tijdsinterval: Uiteraard is het weer zo dat de schatting van de snelheid op tijdstip
t = 10 steeds beter wordt naarmate het interval kleiner is. Zie verder het antwoordenboek voor de precieze uitwerking. Opgave 20 Ook deze opgave is weer meer van hetzelfde. Hieronder een uitwerking van onderdeel b. Onderdeel a. gaat precies hetzelfde. Opgave 21 Het domein is [-1,8]. Dat betekent dat de x-waarden tussen -1 en zitten. Kies dus bij het plotten ervoor dat X tussen -1 en 8 zit. Aan de formule f(x) = -x2 + 7x kun je zien dat x = 0 een nulpunt is, en
dat je f(x) ook kunt schrijven als f(x) = x (-x + 7). Dus x = 7 is het
andere nulpunt. Je weet nu ook automatisch dat de top precies tussen x = 0 en x = 7 valt, dus voor x = 3,5. Omdat (gezien het minteken voor de x2) de grafiek een bergparabool is, wordt het maximum bereikt bij x = 3,5. met behulp van deze inzichten kun je dus de grafiek van f tekenen. a. Teken zo goed mogelijk die raaklijn. Het hellingsgetal schat je nu in door bijvoorbeeld tussen twee willekeurige punten de toename in de y-richting te delen door de toename in de x-richting. b. Het hellingsgetal van de lijn door A(1,6) en B1(2,10) bepaal je dus door het verschil in y-waarden te delen door het verschil van de x-waarden. Dus = = 4
c. Analoog aan b
x-coordinaat 1,001. Je moet dan natuurlijk eerst de y-coordinaat van dit punt berekenen. Dat is f(1,001) = 5,0025. Dus de helling is ongeveer: = 2,5
b. Op dezelfde manier als opgave a. Opgave 23 a. Zie antwoordenboek
b. Vergelijk de grafiek van opgave a maar eens met de plot van f(x). c. Mag worden overgeslagen Opgave 24 a. Zie antwoordenboek
b. Voor een voorbeeld: zie opgave 22
c. Het hellingsgetal is 0 als de grafiek een horizontale raaklijn heeft! Immers van een horizontale lijn is de helling 0. d. Zie antwoordenboek. e. Mag worden overgeslagen
f. Mag worden overgeslagen Opgave 25 a. Voor een voorbeeld: zie opgave 22
b. Je moet twee dingen controleren, namelijk dat de lijn y = -12x + 5 dezelfde helling heeft als de geschatte helling van de grafiek in (1,-7), en dat die lijn bovendien door het punt (1,-7) loopt. Aan de formule kun je zien dat y = -12x + 5 als hellingsgetal -12 heeft, dus dat klopt. Verder gaat de lijn door (1,-7), vul namelijk maar x=1 in en je krijgt voor y de waarde -7. c. Je moet weer eerst op de bekende manier de helling schatten in het punt (-1,-7). Vervolgens ga je op de manier te werk zoals uitgelegd is bovenaan bladzijde 75. d. Zoek de maxima en minima van de grafiek. In die punten is de raaklijn namelijk horizontaal en dus de helling gelijk aan 0. e. Voor een lijn met hellingsgetal 0 is de algemene vergelijking y = b, immers in y = ax + b is nu a gelijk aan 0. Je weet nu dus dat de lijn door het punt (2,16) als vergelijk heeft y = b. Dan moet b wel gelijk zijn aan 16. Dus de raaklijn door (2,16) is de lijn met vergelijking y = 16. Doe hetzelfde voor de andere twee punten.
b. Lees uit de grafiek af dat de opbrengst bij q = 6 gelijk is aan 60. Gemiddeld is de opbrengst dus 60/6 = 10 gulden per zonnewijzer. c. Zie antworodenboek. Probeer in de grafiek gewoon met je geo te zoeken naar twee punten waarvan de q-coordinaat gelijk is en de helling ook, dat wil zeggen waarvoor de raaklijnen parallel zijn. d. Precies op dit punt liggen de grafieken van K en O het verst uit elkaar, daarvoor en daarna buigen ze weer naar elkaar toe. En aangezien op het punt waar ze het verst uit elkaar liggen (O)pbrengst min (K)osten maximaal is, is daar de winst maximaal.
REACTIES
:name
:name
:comment
1 seconde geleden