30

36

d

e Het product van de ogenaantallen is in 4 gevallen gelijk aan 12. f Een oneven product komt 9 keer voor.

1-1    Mogelijkheden tellen

Pagina 14

Dat komt omdat er drie gangen zijn.

b Op de stippen boven de kolommen komen Voorgerecht, Hoofdgerecht en Nagerecht.

    C Bij de getekende takken komen de woorden Soep en Garnalen.

d

e In het totaal zijn er 2 x 3 x 2 = 12 verschillende menu's mogelijk.

2a Er zijn 4 >< 3 x 2 = 24 verschillende uitvoeringen mogelijk. b Er rijden 4 x 2 x 2 = 16 uitvoeringen niet op diesel.

3a      Leo had baan I en baan 2 bovenaan in het diagram moeten zetten en de kleuren rood, wit en blauw bij de mogelijke keuzes voor elk van de banen moeten nemen. Nu heeft hij het net andersom gedaan, waardoor bijvoorbeeld baan I drie verschillende kleuren zou kunnen hebben.

b Bij een correct boomdiagram staan de banen I en 2 bovenaan in het diagram en kan elk van de banen de kleuren rood, wit en blauw krijgen, dus bij baan I komen er drie takken en elk van die takken splitsen in drie takken voor elk van de kleuren voor baan 2.

Dat geeft in het totaal 9 mogelijkheden.

Pagina

15

4a

b Als de drie verschillende onderdelen van de stoel allemaal een verschillende kleur krijgen, zijn er 4 x 3 x 2 = 24 verschillende mogelijkheden.

5    Voor de bovenste baan kun je kiezen uit vier kleuren en voor elke volgende baan uit drie kleuren, omdat je de kleur van de baan er boven niet mag gebruiken.

Er zijn dus 4 x 3 x 3 x 3 x 3 = 324 verschillende vlaggen mogelijk.

RWRWRWW

WRWRWRW

RWRWWRW

WRWWRWR

RWRWWWR

WRWRWWR

RWWRWRW

WWRWRWR

RWWWRWR

RWWRWWR

Er zijn 10 verschillende rijtjes mogelijk.

6 x 5

b Het eerste tweetal kun je op = 15 manieren kiezen. Je moet door twee 2 delen, omdat de volgorde van het gekozen tweetal onbelangrijk is. Je hebt

4 x 3

dan nog vier leerlingen over. Daaruit kun je nog op = 6 verschillende 2 manieren een tweetal kiezen. De overige twee leerlingen vormen dan het laatste tweetal.

Het totaal aantal manieren is dus 15 x 6 = 90.

Er zijn 3 x 2 = 6 wandelingen mogelijk.

b Dan zijn er 3 x 5 = 15 wandelingen mogelijk.

rood 8a       

Uit het diagram zijn de antwoorden van opdracht 2 af te lezen.

b Een wegendiagram is dan niet zo handig omdat op de andere typen auto's wel een trekhaak mogelijk is.

Je kunt dat in een wegendiagram niet goed weergeven, omdat steeds meerdere wegen in één punt samenkomen en vertrekken.

1-2 Machtsbomen en faculteitsbomen

Pagina 16

9a      Boven aan het boomdiagram staat : eerste keer, tweede keer en derde keer. Je tekent twee takken, die elk nog twee keer splitsen in twee takken.

b Er zijn 2 x 2 x 2 = 8 uitslagvolgordes

     C      Je tekent dan weer twee takken die elk nog vier keer splitsen in twee takken.

Er zijn dan 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 uitslagvolgordes.

1. Je moet dan uitrekenen 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 >< 2.
2. Je zoekt een macht van 2 die groter is dan 1000. Er geldt 29 = 512 en

2 10 = 1024 > 1000.

Je moet dan dus minstens 10 keer gooien.

   10  Voor elke broodsoort kan Peter kiezen uit vijf soorten beleg.

Het lunchpakket kan dus op 5 x 5 x 5 = 125 manieren worden samengesteld.

lla Voor elke worp zijn er 6 mogelijkheden, dus in het totaal zijn er 6 x 6 x 6 x 6 = 64 = 1296 getallen mogelijk.

b Janneke kan 6 keer uit 4 mogelijkheden kiezen.

Dat kan op 4 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4096 verschillende manieren.

pagina 17

12a  Het boomdiagram krijgt zes kolommen, want je gaat elke driehoek kleuren.

1. Driehoek 1 kun je met zes kleuren kleuren.
2. Driehoek 2 kun je niet meer kleuren met de kleur die je driehoek I hebt gegeven, dus met vijf kleuren.
3. Het aantal mogelijkheden is 6 x 5 x 4 3         1 = 720.

   13      Het aantal mogelijkheden is 5! = 120.

14a       10! = 3 628 800

14! = 87 178 291 200

100'

                        b!! =110 en                              = 100 x 99 x 98 = 970 200

15a    Dat kan op 6! = 720 manieren.

b Dat kan op 264 = 456 976 manieren.

     C      Er zijn dan 5! = 120 verschillende woorden mogelijk.

d      Dan zijn er 3 50 = 717 897 987 691 852 588 770 249 manieren van beantwoorden.

1-3 Permutaties

pagina 18

16a Het is geen machtsboom omdat je de voorzitter uit dertien mensen kiest maar de secretaris en de penningmeester uit een kleiner aantal mensen. Het is geen faculteitsboom omdat je maar drie mensen kiest en geen dertien. b Er zijn drie kolommen.

1. Bij de eerste kolom zijn er dertien takken, bij de tweede kolom 12 takken en bij de derde kolom elf takken.
2. Er zijn 13 x 12 x 11 = 1716 bestuurssamenstellingen mogelijk.

17a Het eerste werk kan hij op 9 plaatsen ophangen, het tweede werk nog op 8 plaatsen en zo verder. Het totaal aantal manieren is dus gelijk aan 9! = 362 880. b Op plek één zijn er 9 mogelijkheden en op plek twee 8.

c Het totaal aantal mogelijkheden is 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 60480.

18a  Het aantal permutaties van 4 uit 14 is gelijk aan 14 x 13 x 12 x II = 24 024.

Het aantal permutaties van 3 uit 8 is gelijk aan 8 x 7 >< 6 = 336.

1. Het aantal permutaties van 5 uit 12 is gelijk aan

         12   x 10 x 9 x 8 =95040.

Het aantal permutaties van 4 uit 30 is gelijk aan 30 x 29 x 28 x 27 = 657 720.

1. Het gaat dan om het aantal verschillende volgordes van het totale aantal.

Dat zijner 7 x 6 x 5 x4 x 3 x 2 x 1 = 7!

19a Het aantal verschillende truien is gelijk aan het aantal permutaties van 5 uit 8. Dus  6720.

1. Het aantal verschillende woorden is gelijk aan het aantal permutaties van 4 uit 26 en is gelijk aan 26 x 25 x 24 x 23 = 358 800.
2. Het aantal verschillende mogelijkheden is gelijk aan het aantal permutaties van 5 uit 40 en dus gelijk aan 40 x 39 x 38 x 37 x 36 = 78960 960.

Pagina 19

20a       Het aantal verschillende wikkels is 6! = 720.

1. Het aantal is gelijk aan het aantal permutaties van 6 uit 10, dus

10 x 9 x 8 151200.

1. Omdat Nederlands al één van de talen is die je kiest, kun je er maar 5 talen kiezen uit de 9 overige talen.

Dus is het aantal mogelijkheden gelijk aan het aantal permutaties van 5 uit 9. Dit aantalis 9 x 8 x 7 x 6 x 5= 15120.

21a    De driehoekige vlakjes kunnen op 4! = 24 manieren worden gekleurd met de kleuren rood, geel, blauw en zwart.

b Er kunnen acht vlakken worden gekleurd. Het aantal mogelijke viertallen vlakjes is gelijk aan het aantal permutaties van 4 uit 8. Dit aantal is gelijk aan 8 x 7 x 6 x 5 = 1680. Elk van deze viertallen vlakjes kan op 24 manieren worden gekleurd.

Dit geeft een totaal aantal mogelijkheden van 1 680 x 24 = 40 320.

22a Het aantal manieren waarop de taken kunnen worden verdeeld is gelijk aan het aantal permutaties van 3 uit 8, dus 8 x 7 x 6 = 336. b Dat aantal is gelijk aan 8! = 40 320.

C De meisjes kunnen op 4! = 24 verschillende manieren in de ene roeiboot gaan zitten en de jongens op 24 verschillende manieren in de andere roeiboot. Dat zijn 24 x 24 = 576 verschillende mogelijkheden.

1. Berber kan uit 8 plaatsen kiezen, maar Luuk kan eigenlijk niet kiezen. Hij gaat naast Berber zitten en heeft dus maar één mogelijke zitplaats.
2. Nadat Berber en Luuk zijn gaan zitten, zijn er nog 6 zitplaatsen over. Het aantal verschillende mogelijkheden is dus 8 >< I x 6! = 5760.

1-4 Routes in een rooster

Pagina 20

23a    

b Andere routes zijn bijvoorbeeld : r r b r b r, b b r r r r en r r b b r r.

C    Je zou dan drie keer een stap naar boven doen en er moeten maar twee stappen naar boven worden gedaan.

d Om bij Q te komen moetje drie stappen naar boven doen, waardoor je een omweg zou moeten maken om bij P uit te komen.

24a    De punten B en C bereik je door meteen naar rechts te gaan en F door meteen naar boven te gaan. Dat kan maar op één manier.

b De punten D, E en K kun je ook maar op één manier bereiken. C Je kunt bij punt G komen via B, maar ook via F. d Bij punt H kun je dus op 2 + I = 3 manieren komen.

1. Bij L komt het getal 3, want je kunt er op twee manieren komen via G en op één manier via K.
2. Bij M kun je komen op drie manieren via H en op drie manieren via L, dus op 6 manieren.

punt

B C D E F G 11 1 J 1< L lVf lV P

aantal wegen I

1

1

1

1 2 3 4 5 1 3 6

10 15

h Je kunt op 15 manieren bij punt P komen.

25a Dat kan op 21 + 35 = 56 manieren. b Dat kan op 15 manieren.

1. Om van R naar S te komen moet je 3 stappen naar rechts en 5 naar boven doen; dat geeft hetzelfde aantal routes als je krijgt wanneer je van de oorsprong naar (3, 5) gaat en dat aantal is 56.
2. Je moet dan 6 stappen naar rechts en 4 stappen naar beneden. Dat geeft hetzelfde aantal routes als het aantal dat je krijgt wanneer je van O naar (6, 4) gaat. Dat aantal is 210.

pagina 21

26a    

b

c Het aantal scoreverlopen is gelijk aan het aantal routes van O naar (4, 3). Dit aantal is gelijk aan 35.

27a    

1. Er zijn 15 verschillende kleurpatronen.
2. Je telt dan in een rooster het aantal routes van O naar (5, 3). Dit aantal is gelijk aan 56.

28    Je telt dan in een rooster het aantal routes van O naar (4, 3). Dit aantal is gelijk aan 35.

29a Het aantal routes van P naar Q is gelijk aan het aantal routes van O naar (3, 3) en is gelijk aan 20.

1. Het aantal routes van Q naar R is gelijk aan het aantal routes van O naar (2, 2) en is gelijk aan 6.
2. Elke route van P naar Q kun je combineren met elke route van Q naar R. Het aantal routes van P naar R is dus gelijk aan 20 x 6 = 120 en Bert heeft gelijk.

30 Het aantal verschillende lijsten van 8 vragen met 2 fouten kun je berekenen door in een rooster in de ene richting het aantal goede en in de andere richting het aantal foute antwoorden aan te geven en dan het aantal routes te tellen van O naar (6, 2). Dit aantal is gelijk aan 28. Zo ga je ook te werk als je het aantal verschillende lijsten van 4 vragen met twee fouten wilt tellen. Je telt dan in het rooster het aantal routes van O naar (2, 2). Dat zijn er 6. Door te combineren vind je het totaal aantal mogelijke lijsten van Lucia. Dat zijn er 6 x 28 = 168.

1-5 Combinaties

pagina 22

31a Er zijn 210 routes van (0, 0) naar (6, 4) en ook 210 routes naar (4, 6).

b Het getal 21 geeft het aantal routes aan van (0, 0) naar (5, 2) of naar (2, 5) en het getal 126 geeft het aantal routes van (0, 0) naar (5, 4) of naar (4, 5). c Er zijn 120 routes van (0, 0) naar (3, 7).

1. Het getal 45 is de som van het getal 9 dat er links boven en het getal 36 dat er rechts boven staat.
2. De volgende rij getallen is: 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

32a Het 3e getal op rij 5 is het aantal mogelijke kortste routes van (0, 0) naar (3, 2). b Het T getal op rij 9 is het aantal mogelijke kortste routes van (0, 0) naar (3, 6). c Het 7e getal op rij 6 is het aantal mogelijke kortste routes van (0, 0) naar (0, 6 ). d Het 3e getal op rij 7 is het aantal mogelijke kortste routes van (0, 0) naar (5, 2). e Het 5e getal op rij 10 is het aantal mogelijke kortste routes van (0, 0) naar (6, 4).

33 Je telt dan het aantal kortste routes van (0, 0) naar (3, 4). Dit aantal is gelijk aan 35.

pagina 23

34     Je zou dan de driehoek moeten uitbreiden met acht rijen.

35a  Bereken het aantal combinaties van 4 uit 8 is gelijk aan 70.

Het aantal combinaties van 4 uit 14 is gelijk aan 1001.

Het aantal combinaties van 14 uit 20 is gelijk aan 38760.

en

5            15 b= 5005

6

     c              , want als je uit een negental dingen er drie kiest, blijven er steeds zes over.

Het aantal mogelijke drietallen is dus gelijk aan het aantal mogelijke zestallen die je uit het negental dingen kunt kiezen.

7 d      Dat aantal is gelijk aan de combinatie

3

10

36a        Het aantal mogelijke scoreverlopen is gelijk aan           = 210.

4

b

Het aantal manieren is gelijk aan

20

20

     = 15504.

15

5

37a

Het aantal manieren is gelijk aan

37

8

= 38 608 020.

b Als Mark als eerste een drietal boeken krijgt is het aantal mogelijkheden

8 gelijk aan = 56.

3

Er zijn dan nog vijf boeken over en uit dat vijftal krijgt Koen drie boeken.

5

Het aantal mogelijke drietallen boeken voor Koen is gelijk aan  = 10. 3

Dus het totaal aantal mogelijkheden is gelijk aan 56 x 10 = 560.

1-6    Het goede telmodel kiezen

Pagina 24

38a    Een rooster is geen goed telmodel omdat er drie soorten activiteiten zijn en in een rooster kun je maar twee richtingen kiezen.

1. Het aantal verschillende programma's is gelijk aan 4 >< 5 x 3 = 60.
2. Vijf wandelaars kiezen de ene gids.

10

         Het aantal manieren waarop dat kan, is gelijk aan      = 252.

5

De rest van de tien wandelaars gaat met de andere gids mee.

Er zijn dus 252 verschillende verdelingen van de wandelaars over de gidsen mogelijk.

39a        Het aantal verschillende volgordes is gelijk aan 24! z 6,204484017 x 1023

24 b Het aantal mogelijkheden is gelijk aan    = 1961256.

10 c Het aantal rijtjes is gelijk aan

24 x 23 x 22 x 21 x 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 = 7,117005773 x 10 12

pagina 25

40a        Er zijn 104 = 10000 verschillende codes mogelijk.

1. Op zijn hoogst moet hij 4! = 24 verschillende codes uitproberen.
2. Van de vier cijfers zijn er twee drieën. Die twee drieën kun je op

4

= 6 manieren neerzetten. De overige twee cijfers zijn dan vieren.

2

Het totaal aantal mogelijkheden is dus gelijk aan 6.

41a   Het aantal parkeervolgorden is gelijk aan 4! = 24.

b Het aantal mogelijke dagroosters is gelijk aan 7 x 6 x 5 x 4 = 840.

1. c Het aantal manieren is gelijk aan       = 35.

3

42a  Op een achterste rij zijn er acht velden. Vijf pionnen kun je dan op

= 56 verschillende manieren neerzetten. Omdat dit voor beide 5 3

spelers geldt, is het totaal aantal beginopstellingen gelijk aan 56 x 56 = 3136. b Op rij 5 staan dan vijf witte en drie zwarte pionnen of vijf zwarte en drie witte pionnen of van elke kleur vier pionnen. Het totaal aantal manieren is

8

dus= 56 + 70 + 56 = 182.

1-7 Gemengde opdrachten

Pagina 26

43a      Je hebt 12 blokken. Bij elk blok hebben we de keus uit 6 kleuren. Zonder verdere beperking geeft dat 6 12 mogelijke kleuringen.

b Twee opeenvolgende blokken moeten verschillend gekleurd worden. Voor het eerste blok heb je de keus uit 6 kleuren. Voor de volgende: 5 (moet verschillen van de eerste). Voor de volgende weer 5 (moet verschillen van de tweede; mag best weer hetzelfde zijn als de eerste). Etc. Dus: 6 x 5 11 c Rood moet minstens één keer voorkomen. Dan moet je uit de oplossing van vraag b alles verwijderen wat nul rode heeft. Voor de onderste is de keus uit 5 kleuren.

Voor de tweede 4, voor dederde 4 etc. Dus: 5 x 4 11 . Totaal 6 x 5 11 — 5 x 4 1 1

44a Er zijn 6 mogelijke volgordes waarbij meteen taart 4 als eerste wordt getoond. Dit zijn de volgorden:4 1 2 3, 4 1 3 2, 4 2 1 3, 42 3 1, 4 3 1 2 en 4 3 2 1. b Bij de volgende volgorden heb je de grootste taart:

1 423

3 1 42

2 1 4 3

3 24 1

24 1 3

3 4 1 2

24 3 1

342 1

3 1 2 4

Er zijn dus I I volgordes waarbij je de grootste taart krijgt als je deze strategie volgt.

c Bij deze strategie heb je in de volgende gevallen de grootste taart:

1 243

2 34 1

1 342

3 1 24

1 324

3 1 42

2 1 43

3 2 1 4

23 1 4

3 24 1

Er zijn dan 10 volgordes waarbij je de grootste taart krijgt. Dat is minder gunstig dan de strategie van opdracht 44b.

45a        Er zijn 6! = 720 verschillende volgorden waarin je de zes busjes kunt omkeren. b Als je de mogelijkheid dat je een munt onder een busje vindt aangeeft met M en een busje zonder munt eronder met *, zijn er de volgende mogelijkheden:

          MM             * MM

Het totaal aantal mogelijkheden is 1+2+3 +4+5=15.

Daarvan zijn er 3 waarbij je minder dan vier busjes optilt. Dat is

3

x 100% = 20%.

15

Pagina 27

46a De muziekinstrumenten kunnen op 6! = 720 manieren over de mensen verdeeld worden.

c

F

I

Piano

Keyboard Gitaar

Drumstel

Basgitaar

Altsax

2

Piano

Altsax

Keyboard

Drumstel

Basgitaar

Altsax

3

Piano

Altsax

Keyboard

Drumstel

Gitaar

Basgitaar

4

Piano

Altsax

Keyboard

Gitaar

Drumstel

Basgitaar

5

Piano

Altsax

Keyboard

Gitaar

Drumstel

Altsax

6

Piano

Altsax

Keyboard

Gitaar

Basgitaar

Drumstel

7

Piano

Altsax

Gitaar

Drumstel

Basgitaar

Keyboard

8

Altsax

Piano

Keyboard

Drumstel

Gitaar

Basgitaar

9

Altsax

Piano

Keyboard

Gitaar

Drumstel

Basgitaar

10

Altsax

Piano

Keyboard

Gitaar

Basgitaar

Drumstel

II

Altsax

Piano

Gitaar

Drumstel

Basgitaar

Keyboard

b

Er zijn in totaal 11 manieren om de instrumenten te verdelen.

c De vriendengroep bestaat uit drie mannen en drie vrouwen. De twee vrouwen die elk een solo zingen, kun je op 3 x 3 = 9 manieren kiezen. Eén man kun je ook op drie manieren kiezen.

Er zijn dus 9 x 3 = 27 mogelijke manieren om de solo's te verdelen.

6 d        Er zijn  = 20 mogelijke drietallen groepsleden voor het interview met het            3 ene radiostation. De overige drie doen het interview met het andere radiostation. In het totaal zijn er dus 20 manieren waarop dit kan (er wordt hier geen onderscheid gemaakt naar welk radiostation ze gaan).

e De drie vrouwen gaan naar het ene radiostation wanneer de drie mannen naar het andere radiostation gaan. Dat gebeurt dus maar bij één van de mogelijke verdelingen in drietallen. Er blijven dan 20 — I = 19 verdelingen over waarbij de drie vrouwen niet naar hetzelfde radiostation gaan.

47 Er zijn 2 x 2 x 2 = 8 verschillende typen fruitvliegjes. Voor de twee vrouwtjes zijn er dus 8 x 7 = 56 verschillende keuzemogelijkheden. Ook voor de twee mannetjes zijn er 56 keuzemogelijkheden. Het viertal fruitvliegjes kan dus op

56 x 56 = 3136 verschillende manieren gekozen worden.

Test jezelf

pagina 30

T-Ia        Er zijn 3 x 2 x I = 6 verschillende volgorden.

b Nu zijn er 4 x 3 x 2 x 1 = 24 verschillende volgorden.

C De bovenste baan kan met 4 verschillende kleuren gekleurd worden. Elke volgende baan kan met drie kleuren worden gekleurd. In het totaal kan de vlag op 4 x 3 x 3 x 3 = 108 verschillende manieren worden gekleurd

T-2a    De overige vier nummers kunnen in elke mogelijke volgorde te horen zijn. Dat betekent dat bij 4! = 24 volgorden van afspelen het nummer Big

Sensation als eerste is te horen.

b Dan zijn er 55 = 3125 verschillende mogelijkheden.

T-3a      Het aantal mogelijke volgorden is dan           3 628 800.

b Het aantal volgorden is 10 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604800.

T-4a Van A naar B betekent 6 stappen naar rechts en twee naar boven.

8

          Dat kan op      = 28 manieren.

2

Van B naar C betekent twee stappen naar rechts en vijf naar boven.

7

          Dat kan op      = 21 manieren.

2

b Het aantal kortste routes van A via B naar C is gelijk aan 28 x 21 = 588.

T-5a   Bij dit probleem hoort een rooster waarbij langs de ene as één van de kleuren hoort (bijvoorbeeld grijs) en bij de andere as de andere kleur ( rood).

b Je let op de kleur van de auto's. Bij een grijze auto doe je een stap naar rechts in het rooster en bij een rode auto een stap naar boven. Als je alle auto's hebt gehad ben je in het punt (4, 2). Vervolgens tel je het aantal routes van (0, 0)

6 naar (4, 2). Dat zijn er  = 15.

2

Dus zijn er 15 mogelijke volgorden in de geparkeerde auto's.

pagina 31

T-6a      Het aantal volgorden is= 20.

11 b Het aantal scoreverlopen is         = 462.

5

8

c

Het aantal manieren waarop de meerkeuzetoets gemaakt kan zijn is

2

= 28.

T-7a

Het aantal manieren is gelijk aan 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 40 320.

b

Dat kan op 8 x 7 x 6 x 5       3 x 2 = 40 320 manieren.

c

Het aantal manieren waarop je vier kleuren kunt kiezen is gelijk aan

8

4

= 70.

De drie letters van het vierkant linksboven kunnen op 4 x 3 x 2 = 24 verschillende manieren worden gekleurd.

De letters van het vierkant rechtsonder kunnen op 4 x 3 x 2 x I = 24 verschillende manieren worden gekleurd. Het totaal aantal mogelijk manieren is dus 70 x 24 >< 24 = 40 320.

d Er zijn kleuringen waarbij alle letters een verschillende kleur hebben. Dat zijn er 8 x 7 x 6 x 5 = 1680. Er zijn kleuringen met drie verschillende kleuren; dan hebben precies twee tegenover elkaar geplaatste letters dezelfde kleur.

Dat kan voor elk van beide mogelijkheden op 8 x I x 7 >< 6 = 336 manieren. En er zijn kleuringen waarbij maar twee verschillende kleuren worden gebruikt. In dat geval hebben beide paren letters die tegenover elkaar liggen dezelfde kleur. Dit kan op 8 x 7 = 56 manieren.

Het aantal verschillende kleuringen van de letters is dan 1680 +2 x 336 + 56 = 2408.

T-8a De conducteur kiest drie van de negen vakjes om er een gaatje in te ponsen, dus 9 dat kan op = 84 manieren.

3 b Als het tweede gaatje wordt geponst in een andere rij of kolom dan het eerste gaatje zijn er bij elk eerste gaatje vier mogelijkheden voor het tweede gaatje. Dit geeft 9 x 4 = 36 tweetallen gaatjes. Daarbij wordt elke mogelijkheid dubbel meegeteld, want als je bijvoorbeeld eerst een gaatje ponst in vakje 3 en daarna in vak je 8 heb je dezelfde mogelijkheid dan wanneer je eerst in vakje 8 en daarna in vakje 3 ponst. Dus zijn er 18 verschillende mogelijkheden.

C In elk vakje kun je een gaatje ponsen of niet. Dus voor elk vakje zijn er twee mogelijkheden. Dat geeft in het totaal 29 — 1 = 511 > 400 mogelijkheden. Daarbij houd je er rekening mee dat de mogelijkheid dat je in geen enkel vakje een gaatje ponst niet meetelt. Dus is het mogelijk dat in elke trein op een verschillende manier gaatjes worden geponst.

Extra oefening Basis

Pagina 32

B-1     Voor de eerste binnensport kun je uit vier mogelijkheden kiezen. Voor de buitensport kun je uit drie mogelijkheden kiezen. De tweede keer dat je een binnensport kiest zijn er nog drie mogelijkheden. In het totaal geeft dit

4 x 3 x 3 = 36 mogelijkheden.

B-2a De kinderen kunnen elk uit zeven mogelijke soorten dropjes kiezen. Er zijn dus  = 16 807 verschillende rijtjes mogelijk.

b Het aantal rijtjes met verschillende dropjes is 7 x 6 x 5 4 x 3 = 2520.

B-3a Het aantal rijtjes datje zo kunt maken is gelijk aan 8 7 x 6 x 5 x 4 = 6720. b De rode knikker is de eerste en kan dus niet gekozen worden. Er zijn 7 x 6 x 5 x 4 = 840 verschillende rijtjes.

B-4a    

b Er moet tien keer een stap in het rooster worden gedaan, waarvan drie keer de

10 ene kant op en zeven keer de andere kant. Dat geeft            = 120 mogelijkheden.

3

B-5a            Het aantal vertegenwoordigingen is gelijk aan= 2024.

24 b Dan is het aantal vertegenwoordigingen gelijk aan     = 42 504.

5

B-6a Het aantal verschillende patronen is dan 3 x 3 x 3 x 3 = 34 = 81. b Er zijn twaalf vakjes waaruit je er zes kiest om een gaatje in te ponsen.

12

Dat kan op    = 924 verschillende manieren. 6

4

C Op één rij zijn er vier vakjes . Je kunt daaruit op = 6 verschillende 2 manieren twee vakjes kiezen om er een gaatje in te ponsen. Dat doe je ook bij de andere twee rijen. Er zijn dus 6 >< 6 x 6 = 216 verschillende mogelijkheden.

Extra oefening - Gemengd

Pagina 33

G-la Er zijn 4! = 24 verschillende verdelingen mogelijk.

1. Voor de voorzittersfunctie zijn er dan 2 mogelijkheden. Daarna kun je nog uit 3 mensen kiezen. In het totaal geeft dit 2 x 3 x 2 x I = 12 mogelijkheden.
2. Voor de functies van voorzitter en vicevoorzitter zijn er 4 x 3 = 12 keuzemogelijkheden. Daarbij zijn er 6 waarbij Willem een van beide functies heeft. Bij elk van die mogelijkheden kun je de penningmeester nog uit twee mensen kiezen. Dat geeft 6 x 2 x I = 12 mogelijkheden.

Bij de overige 6 mogelijkheden moet je Willem uitsluiten bij de keuze voor penningmeester.

Dat geeft nog eens 6 x I = 6 mogelijkheden. Samen zijn er dus 18 mogelijkheden.

1. Voor de keuze van voorzitter en vicevoorzitter kun je dan uit 2 mensen kiezen. In het totaal geeft dit 4 x 2 = 8 mogelijkheden. Voor de penningmeester zijn er dan nog twee keuzemogelijkheden en voor secretaris nog één mogelijkheid, dus 8 x 2 x 1 = 16 mogelijkheden.

G-2a    Voor de 3 zijn vijf plaatsen beschikbaar. Voor de 5 zijn nog vier plaatsen beschikbaar.

De overige drie plaatsen zijn zessen.

Er zijn dus 5 x 4 = 20 getallen mogelijk.

8 b Kies eerst vijf uit de acht getallen. Dat kan op   = 56 manieren.

5

Bij elk van deze 56 combinaties is het op een manier mogelijk de getallen in opklimmende volgorde te plaatsen, dus er zijn 56 van deze getallen mogelijk.

c Een dergelijk getal zonder enen is niet mogelijk, omdat met vier tweeën de som van de cijfer al gelijk is aan 8. Er moet dus minstens één I in staan.

Er zijn 5 mogelijke getallen met vier enen en een vier.

             Er zijn        = 20 mogelijke getallen met drie enen, een twee en een drie.

5!

             Er zijn              = 10 getallen met twee enen en drie tweeën.

Samen geeft dat 5 + 10 + 20 = 35 mogelijke getallen.

G-3a De negen gasten kunnen op 9! = 362 880 manieren aan tafel gaan zitten.

1. Er zijn I l! = 39 916 800 verschillende mogelijkheden.
2. De gastheer en zijn vrouw kunnen op 7 verschillende manieren naast elkaar zitten zo dat de gastvrouw links van de gastheer zit. Er zijn dan nog 9 plaatsen te verdelen. Dat geeft een totaal van 7 x 9! = 2540160 verschillende mogelijkheden.

G-4a In het totaal zijn er dus 13 + 5 = 18 passagiers.

Je kunt in het kleinste busje 8 passagiers en in het grootste busje 10 passagiers kwijt.

Je kunt in het kleinste busje 7 passagiers en in het grootste I I passagiers kwijt.

Of in het kleinste busje 6 en in het grootste busje 12.

                                                                                                   13        5

     b Het aantal manieren waarop dit kan, is gelijk aan         x      = 12 870.

5          2 c Er zijn volgens opdracht G-4a maar drie manieren waarop je de busjes kunt vullen. Als je let op het aantal passagiers in het kleinste busje, vind je dat het

                                                                                                18        18        18

              totaal aantal mogelijke verdelingen gelijk is aan                                       94146.

                                                                                 8        7        6

d Er zijn vijf bewoners die in de kleine bus reizen. Deze kunnen op 5!. = 120 verschillende volgorden instappen. De twee begeleiders kunnen op twee volgorden instappen.

In totaal zijn dat 120 x 2 = 240 volgorden van instappen.

Uitdagende opdrachten

Pagina 34

U-la Het totaal aantal mogelijkheden is dan gelijk aan 6 >< 5 x 4 x 3 x 2 = 720. b Het kleinste aantal kleuren krijg je als je tegenover elkaar gekleurde vlakken dezelfde kleur geeft. Met drie kleuren kun je dan toe.

6 c Je kunt op = 20 manieren een drietal kleuren kiezen. Met elk drietal 3 kleuren kun je de vlag op 3! = 6 manieren kleuren. Er zijn dus 20 x 6 = 120 verschillende manieren.

6 d    Je kunt op            = 15 verschillende manieren vier kleuren kiezen.

4

Met elk viertal kleuren kun je de vlag op 2 x 4 x 3 x 2 = 48 manieren kleuren, waarbij één paar tegenover elkaar gelegen vlakken dezelfde kleur heeft en dat kan op twee verschillende manieren.

Dus is de vlag op 15 x 48 = 720 manieren met vier kleuren te kleuren.

Het totaal aantal mogelijke kleuringen is dus 720 + 720 + 120 = 1560.

U-2a Er zijn 4! = 24 verschillende volgorden van de vier kleuren. Bij elk paar schoenen kunnen linker- en rechterschoen op twee manieren naast elkaar staan. Dat geeft 24 x 24 = 384 mogelijkheden.

1. Op positie I staat een linkerschoen, want als er een rechterschoen stond, dan zou de bijbehorende linkerschoen daar rechts van staan.

U-2a Er zijn 4! = 24 verschillende volgorden van de vier kleuren. Bij elk paar schoenen kunnen linker- en rechterschoen op twee manieren naast elkaar staan. Dat geeft 24 x 24 = 384 mogelijkheden.

1. Op positie I staat een linkerschoen, want als er een rechterschoen stond, dan zou de bijbehorende linkerschoen daar rechts van staan.

Voor de schoen op positie I zijn er 4 mogelijkheden. De bijbehorende rechterschoen kan op 7 verschillende plaatsen staan.

1. In het totaal kan dat op 4 x 7 x 3 x 5 x 2 x 3 1 x I = 2520 manieren.

U-3a      Als alle ballen in I doos terecht komen, zijn er 8 mogelijke verdelingen.

Als alle ballen in 2 dozen terecht komen, zit er in elke doos minstens I bal. Je kunt in één van de dozen twee ballen en in de andere een bal doen.

8

Het aantal manieren waarop dit kan, is • 56. 2

8

Je kunt op          = 56 manieren een drietal dozen uitkiezen. Er is I manier om 3 de drie ballen volgens het schema 1 1 1 over de drie dozen te verdelen.

Dus kun je de drie ballen op 56 manieren over de drie dozen verdelen.

1. In het totaal kun je de drie ballen op 56 + 56 + 8 = 120 manieren over de drie dozen verdelen.
2. Bij tekening 2 hoort het rijtje 10001000101001110.
3. Er zijn 10 nullen en 7 enen.
4. Het aantal is gelijk aan het aantal verschillende rijtjes datje met 10 nullen en

17

7 enen kunt maken. Dit aantal is gelijk aan

7

1. Je maakt dan rijtjes met 3 nullen en 7 enen. Het aantal rijtjes is dan gelijk aan

10

= 120.

3