Examenstof

Samenvatting Moderne wiskunde - editie 8
4 vmbo gemengd theoretisch

H1 Grafieken en vergelijkingen
§ Verbanden Lineair verband, Omgekeerd evenredig verband, Kwadratisch verband, Wortelverband

§ Allerlei verbanden Hellingsgetal, Symmetrieas, Periode, Evenwichtsstand, frequentie
Grafieken die zichzelf herhalen heten periodieke grafieken. In de grafiek is een horizontale stippellijn getekend, die het gemiddelde nivo aangeeft. Dit nivo heet de evenwichtsstand. De grootste afwijking van de grafiek ten opzichte van de evenwichtsstand heet de amplitude. Hiernaast ligt de evenwichtsstand tussen -1 en 4, dus bij y-1 ½. De amplitude is 2 1/2 . De periode van de grafiek is 2

§ Vergelijkingen Omgekeerde pijlenketting, bordjesmanier, balansmanier, inklemmen, top parabool, somgrafiek, verschilgrafiek.


Hoe kies je de juiste formule bij een grafiek?
1 Maak eerst een tabel bij de grafiek.
2 Vul de getallen van je tabel in bij een gegeven formule.
3 Alleen als alle getallen uit je tabel bij de formule kloppen, heb je de juiste formule gevonden.

Hoe bereken je waar de uitkomsten van de ene formule groter zijn dan die van de andere formule?
1 Teken de grafieken bij beide formules.
2 Teken vanuit het snijpunt een pijl naar de x-as en bereken of benader de x-waarde van het snijpunt.
3 Ga na voor welke waarden van x de uitkomsten van de ene formule groter zijn dan die van de andere.

Hoe maak je een lineaire formule bij een gegeven grafiek?
1 Maak een tabel bij de grafiek. Kies de getallen in de bovenste regel van je tabel opeenvolgend.
2 Vul dan de getallen van je tabel in bij een gegeven formule.
3 Alleen als alle getallen uit je tabel bij de formule kloppen, heb je de juiste formule gevonden.
H2 Meten en redeneren § Hoek, oppervlakte en inhoud Berekenen van hoeken, stelling van


Pythagoras, tangens, spiegelsymmetrisch, draaisymmetrisch, oppervlakte, inhoud
Oppervlakte rechthoek: korte zijde x lange zijde
Oppervlakte vierkant: zijde x zijde (=zijde²)
Oppervlakte driehoek: (korte zijde x lange zijde) : 2
Oppervlakte regelmatige n-hoek: (nz²) : (4 tan x π /n)
Oppervlakte cirkel: π x straal²
Oppervlakte ellips: π x halve lange as a x halve korte as b
Oppervlakte parallellogram: breedte x hoogte
Oppervlakte trapezium: ( (B+b) x h ) : 2
Oppervlakte Prisma (2 x Grondvlak) + Som van de oppervlakten van de zijvlakken
Oppervlakte Piramide: grondvlak + Som van de oppervlakten van de zijvlakken
Inhoud cilinder: π x straal² x hoogte
Inhoud prisma: oppervlakte grondvlak x hoogte
Inhoud kegel: 1/3 π x straal² x hoogte
Inhoud piramide: 1/3 Grondvlak x hoogte
Inhoud kubus/balk: l x b x h

Inhoud bol: 4/3 x π x r³
Inhoud van een steen: neem een maatglas, vul met wat water, meet stand, leg steen in maatglas, meet stijging, bereken van deze stijging de inhoud (π x straal² x hoogte)
Omtrek cirkel: 2 x π x straal

Stelling van Pythagoras: a² + b² = c², waarbij a en b de twee rechthoekszijden zijn van de rechthoekige driehoek en c is de langste zijde.
In een tekening met evenwijdige lijnen kun je Z-figuren en F-figuren herkennen. In zo’n figuur zijn twee hoeken altijd even groot.

Bij het berekenen van hoeken kun je verschillende hulpmiddelen gebruiken.
1 De som van de hoeken van een driehoek is 180°
2 De som van de hoeken van een vierhoek is 360°
3 Een gestrekte hoek is 180°
4 Een volle hoek is 360°
5 Bij evenwijdige lijnen kun je vaak F-figuren en Z-figuren gebruiken
6 In sommige figuren kun je gebruik maken van symmetrie
7 In een rechthoekige driehoek kun je de tangens van een scherpe hoek gebruiken.
De deellijn van een hoek verdeelt die hoek in twee even grote hoeken. Twee hoeken die gelijk zijn, hebben elk hetzelfde teken.

Bij het berekenen van afstanden in een rechthoekige driehoek kun je verschillende hulpmiddelen gebruiken.

1 Als er twee zijden gegeven zijn gebruik je de stelling van Pythagoras.
2 Als er een hoek en een zijde gegeven zijn gebruik je de tangens van die hoek.
In een rechthoekige driehoek kun je, als twee rechthoekszijden gegeven zijn, een hoek berekenen met de tangens.

Oppervlakte van samengestelde figuur berekenen?
1 Kijk naar de vormen
2 Bereken van die vormen apart de oppervlakte
3 Tel die oppervlakten bij elkaar op of trek ze van elkaar af.
Hoe bereken je de inhoud van samengestelde figuren?
1 Zoek naar herkenbare vormen
2 Bereken de inhoud van de vormen apart
3 Tel de uitkomsten bij elkaar op of trek ze van elkaar af.
Lijnstuk AD is evenwijdig met lijnstuk BC ……… schrijf je zo: ……… AD // BC

H3 Rekenen § Tijd en snelheid
De snelheid van auto en fiets geef je vaak aan in km/uur. Bij schaats- en zwemwedstrijden wordt de snelheid uitgedrukt in m/s. Bij het omrekenen van snelheden kun je gebruik maken van een verhoudingstabel. (Van km/u naar m/s is delen door 3,6)

§ Grote en kleine getallen

Bij grote getallen zijn machten van 10 handig. Een getal als 7 800 000 000 kun je schrijven als:
7,8 x 1 000 000 000 = 7,8 x 109. Dit is de wetenschappelijke notatie.
Wanneer je op je rekenmachine 6,7 x 1012 deelt door 3,4 x 109 dan moet je beide getallen tussen haakjes zetten. Je berekent dan dus: (6,7 x 1012) : (3,4 x 109) = …..
Kleine getallen worden soms ook met de wetenschappelijke notatie geschreven. Je gebruikt dan een negatieve exponent. 0,0001 = 10-4 en 0,000073= 7,3 x 0,000001 = 7,3 x 10-5

§ Oppervlakte
Veel gebruikte oppervlaktematen zijn m2, dm2 en cm2.
Bij grondoppervlakten worden de maten are (a) en hectare (ha) vaak gebruikt.
1 are = 100 m2 ………………………………..1 hectare = 100 are = 10000 m2

§ Inhoud
Bij het omrekenen van inhoudsmaten gebruik je vaak:
1 m3 = 1000 dm3
1 dm3 = 1000 cm3
1 dm3 = 1 liter
1 hl = 100 l
1 l = 10 dl
1 dl = 10 cl
1 cl = 10 ml

H4 Machtsverbanden § Derdemachten
In alle opdrachten over derdemachtsverbanden teken je grafieken. Je lost de vergelijkingen op door middel van inklemmen.

§ Grafieken tekenen
Formules zoals h=4t5 en s = -5k6 en y=x4 noem je machtsformules.

Bij machtsformules met een even exponent zoals y=x2 is de uitkomst nooit negatief.
Bij machtsformules met een oneven exponent zoals y=-x4 is de uitkomst nooit positief.
Als de exponent oneven is zoals y=-x3 en y=x5 dan is de uitkomst negatief, nul of positief.
Bij het tekenen van de somgrafiek van een machtsformule en een constante formule schuift de grafiek van de machtsformule omhoog of omlaag. Gebruik een somtabel, handig!
De somgrafiek van een machtsformule als p=2r5 en p=15 vind je door de grafiek van p=2r5 vijftien omhoog te schuiven. De somformule is dan p=2r5 + 15.

§ Inklemmen
Hoe vind je het snijpunt en vaan horizontale lijn en de grafiek van een machtsformule?
1 Lees uit de grafiek af hoe groot de eerste coördinaat van het snijpunt ongeveer is.
2 Vul de gevonden waarde in de formule in
3 Benader door inklemmen de juiste waarde van de eerste coördinaat. Maak hiervoor een tabel met kleinere stapgrootte.
4 Schrijf de coördinaten van het snijpunt op.

§ Tekenen en rekenen
Hoe benader je een snijpunt van de grafieken van een machtsformule en een lineaire formule?
1 Benader de coördinaat van een snijpunt door inklemmen.

2 Neem als tweede coördinaat het gemiddelde van de twee gevonden coördinaten.
3 Geef de coördinaten van het snijpunt.
H5 Goniometrie § Tangens rechthoekszijde, hoogtelijn, stelling van Pythagoras, TOA SOL CAL
TOA, tangens hoek A = overstaande rechthoekszijde hoek A : aanliggende rechthoekszijde hoek A

De hellingshoek berekenen zonder de stelling van Pythagoras te gebruiken?
Je moet dan niet de tangens maar de sinus gebruiken. SOL
1 Schrijf van de gevraagde hoek de overstaande rechthoekszijde en de langste zijde op.
2 Vul in sin hoek A = BC:AC, sin hoek A = 8:17, sin hoek A = 28° (bijvoorbeeld)
SOL, sinus hoek A = overstaande rechthoekszijde hoek A : langste zijde
Soms weet je in een rechthoekige driehoek de aanliggende rechthoekszijde en de langste zijde van een hoek. Dan kun je de erbij behorende hoek berekenen met de verhouding cosinus.
CAL, cosinus hoek A = aanliggende rechthoekszijde hoek A : langste zijde

§ Sinus Cosinus Tangens

Hoe bereken je een hoek in een rechthoekige driehoek als je twee zijden weet?
1 Kijk welke soort zijden (aanliggende rhz, overstaande rhz en/of langste zijde)
2 Kies uit de ezelsbruggetjes SOL, CAL, TOA de juiste verhouding
3 Vul de verhouding in en bereken de hoek
§ Zijden berekenen

Hoe bereken je een zijde in een rechthoekige driehoek als je een scherpe hoek en één van de andere zijden weet?
1 Kies sinus, cosinus of tangens
2 Vul één van de volgende regels in met letters (sin, cosinus of tangens) … = … : …
3 Vul diezelfde regel nog een keer in met de getallen die je weet
4 Controleer met 2 = 6 : 3 of je moet delen of vermenigvuldigen, bereken en rond af.

§ Hoogtelijn-methode
Soms is een driehoek NIET rechthoekig. Het kan dan handig zijn, om er een hoogtelijn in te tekenen. Door die hoogtelijn ontstaan er twee rechthoekige driehoeken waarin je dan de cosinus, sinus of tangens kunt gebruiken

H6 Informatie-verwerking § Statistiek en telproblemen Gemiddelde, modus, mediaan en spreidings-methode. Boomdiagrammen en grafen.

Modus: het cijfer wat het meest voorkomt (waarde met hoogste frequentie)
Mediaan: de middelste waarde in de rij
Gemiddelde: optelsom van alle waarden gedeeld door 2

§ Mediaan en kwartielen
De mediaan verdeelt een rij waarnemingsgetallen die op volgorde staan, in twee delen. Elk deel bestaat ui 50% van de waarnemingen. De mediaan van de linkerhelft waarnemingen heet 1e kwartiel. De mediaan van de rechterhelft heet 3e kwartiel. De mediaan en de kwartielen verdelen een rij waarnemingsgetallen in vier groepen. In elke groep ligt ongeveer 25% van de waarnemingen.

Hoe bereken je de kwartielen? Bij het berekenen komen twee gevallen voor:
1 Het aantal getallen is even. De mediaan verdeelt de waarnemingen in twee gelijke helften.
2 Het aantal getallen is oneven. Om twee gelijke helften te krijgen moet je de mediaan zowel bij de linker als bij de rechterhelft opschrijven.

§ Boxplot
Een goed overzicht van waarnemingsgetallen krijg je door een boxplot te tekenen. De ‘box’ ligt tussen het 1e en het 3e kwartiel. De hoogte van de box heeft geen betekenis. De box wordt door de mediaan in twee delen gesplitst. In elk deel ligt 25% van de waarnemingen. Vanuit de box teken je een lijntje naar de grootste en naar de kleinste waarneming.

§ boomdiagrammen

Met een boomdiagram kun je het aantal mogelijkheden bij een telprobleem overzichtelijk weergeven. Bij elke keuze hoort een tak. Bij elke tak noteer je de betreffende keuze. Je hoeft niet altijd het hele diagram te tekenen.
H7 Exponentiële verbanden § Machten en procenten

§ Groeifactor
§ Verdubbelings- en halveringstijd
§ Exponentiéle formules Rekenen met machten, rekenen met procenten, berekenen van rente op rente.
Hoe bereken je de groeifactor bij een exponentieel verband?
Tijd 0 1 2 3
Aantal 16 40 100 250
x… x… x…
Controleer telkens of er bij elk boogje onder de tabel hetzelfde getal komt te staan. Is dat niet het geval, dan is er geen sprake van een exponentieel verband.
In een tabel staan op de bovenste rij opeenvolgende hele getallen. In de onderste rij zijn de uitkomsten steeds na één week met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Dit soort toename heet exponentiële toename. Het vaste getal waarmee vermenigvuldigd wordt, heet de groeifactor per week. Deze toename heet ook exponentiële groei.
Wanneer de groeifactor groter is dan 1, is de bijbehorende grafiek stijgend.

Wanneer de groeifactor kleiner is dan 1, is de bijbehorende grafiek dalend. (aantallen nemen af, we spreken van negatieve groei. We blijven wel spreken van een groeifactor.)

Op een klein eiland verdubbelde de bevolking zich elke drie jaar. We zeggen in dit geval: de verdubbelingstijd is drie jaar
Wanneer na ongeveer 8 uur een van een hoeveelheid medicijn de helft door je lichaam wordt afgebroken zeggen we: de halveringstijd is ongeveer 8 uur

Hoe maak je een formule bij een tabel met een exponentieel verband?
Bij een exponentieel verband hoort de formule: a = beginwaarde x groeifactort
1 Lees uit de tabel de beginwaarde af. De beginwaarde staat onder t=0 in de tabel.
2 Lees de groeifactor onder de tabel af
3 Schrijf de formule op

Exponentiële formule.
Bij exponentiële groei hoort een formule die er als volgt uitziet:
y = beginwaarde x groeifactort In deze formule is de beginwaarde het getal dat hoort bij t=0
Hoe los je een exponentiële vergelijking met behulp van inklemmen op?
Als je de vergelijking 10 x 2t = 50 moet oplossen, zoek je uit wanneer de formule a = 10 x 2t gelijk is aan 50.
1 Teken de grafiek bij de exponentiële formule
2 Lees uit de grafiek af waar de oplossing van de vergelijking ongeveer ligt

3 Maak een tabel met een kleinere stapgrootte om de oplossing door inklemmen te benaderen. Vul alleen de plaatsen in die je nodig hebt. De oplossing, in één decimaal is t = 2,3

Vermenigvuldigpunt
Bij formule p=3x5t mag je het vermenigvuldigteken niet weglaten, want dan staat er p=35t
Je mag wel p=3 • 5t schrijven. Op het examen wordt een vermenigvuldigteken vaak door een vermenigvuldigpunt vervangen.